超幾何方程式 | 常微分方程式論

定義 1.1. $p,q$ を $\C\setminus\{0,1\}$ 上の正則関数とし、二階線形方程式 $y''+p(z)y'+q(z)y=0$ において、 $0$ と $1$ がそれぞれ常点または確定特異点であり、 $zp(z)$ と $z^2q(z)$ が $z\to\infty$ で有界であるとする。このとき、§E13.38 命題 7.2 (1)を $\{\lvert z\rvert>1\}$ 上の $p,q$ に適用すると、 $\infty$ は常点または確定特異点であり、極限 $p_\infty=\lim_{z\to\infty}zp(z)$ と $q_\infty=\lim_{z\to\infty}z^2q(z)$ が存在する。 $0$ における指数を $\alpha_1,\alpha_2$ 、 $1$ における指数を $\beta_1,\beta_2$ 、 $\infty$ における指数を $\gamma_1,\gamma_2$ とする（いずれも重複を込める）。§E13.38 命題 7.2 (3)により、 $\gamma_1,\gamma_2$ は $\rho(\rho-1)+(2-p_\infty)\rho+q_\infty$ の二根である。これらを並べた表

P\begin{Bmatrix}0&1&\infty\\\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\\alpha_2&\beta_2&\gamma_2\end{Bmatrix}

を、この方程式のRiemann の P 記号 (Riemann P-symbol) という。各列の二数の順序は区別しない。

$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2\in\C$ が $\alpha_1+\alpha_2+\beta_1+\beta_2+\gamma_1+\gamma_2=1$ を満たすとき、この六数の組を $\tau$ と書き、 $\C\setminus\{0,1\}$ 上の有理関数

p_\tau(z)=\frac{1-\alpha_1-\alpha_2}{z}+\frac{1-\beta_1-\beta_2}{z-1},\qquad q_\tau(z)=\frac{\alpha_1\alpha_2}{z^2}+\frac{\beta_1\beta_2}{(z-1)^2}+\frac{\gamma_1\gamma_2-\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2}{z(z-1)}

を定め、 $L_\tau y=y''+p_\tau y'+q_\tau y$ とおく。 $p_\tau,q_\tau$ は $\alpha_1$ と $\alpha_2$ 、 $\beta_1$ と $\beta_2$ 、 $\gamma_1$ と $\gamma_2$ をそれぞれ入れ替えても変わらない。

注意 1.2. 多くの文献では、Riemann の P 記号は変数 $z$ を加えた

P\begin{Bmatrix}0&1&\infty\\\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\\alpha_2&\beta_2&\gamma_2\end{Bmatrix}(z)

の形で書かれ、 $0,1,\infty$ における指数がこの表で与えられる方程式の解（の全体）を表す記号として用いられる。一方、定義 1.1の Riemann の P 記号は方程式に付随する指数の表であり、解を表さない。定理 1.3により、総和が $1$ である指数の表は方程式を一つに定めるから、二つの用法は同じ方程式を指す。

定理 1.3. $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2\in\C$ とする。このとき、次が成り立つ。

$p,q$ を定義 1.1の条件を満たす $\C\setminus\{0,1\}$ 上の正則関数とし、方程式 $y''+py'+qy=0$ の Riemann の P 記号の $0,1,\infty$ の列がそれぞれ $\alpha_1,\alpha_2$ 、 $\beta_1,\beta_2$ 、 $\gamma_1,\gamma_2$ であるとする。このとき $\alpha_1+\alpha_2+\beta_1+\beta_2+\gamma_1+\gamma_2=1$ であり、この六数の組 $\tau$ について $p=p_\tau$ 、 $q=q_\tau$ である。
$\alpha_1+\alpha_2+\beta_1+\beta_2+\gamma_1+\gamma_2=1$ ならば、この六数の組 $\tau$ について $p_\tau,q_\tau$ は定義 1.1の条件を満たし、方程式 $L_\tau y=0$ の Riemann の P 記号の $0,1,\infty$ の列はそれぞれ $\alpha_1,\alpha_2$ 、 $\beta_1,\beta_2$ 、 $\gamma_1,\gamma_2$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $J$ を $0,1$ のうち確定特異点であるものの集合とする。 $\{0,1\}\setminus J$ の点は常点であるから、 $p,q$ は $\C\setminus J$ 上の正則関数に延び、方程式は有限の特異点が $J$ の点である Fuchs 型方程式である。 $s\in\{0,1\}$ について、 $(z-s)p$ と $(z-s)^2q$ の $s$ への正則な延長を用いて $A_s=((z-s)p)(s)$ 、 $B_s=((z-s)^2q)(s)$ 、 $C_s=\frac{d}{dz}((z-s)^2q)(s)$ とおく。 $s\notin J$ ならば $p,q$ は $s$ で正則であるから $A_s=B_s=C_s=0$ である。したがって§E13.38 命題 7.6 (1)により

p=\frac{A_0}{z}+\frac{A_1}{z-1},\qquad q=\frac{B_0}{z^2}+\frac{C_0}{z}+\frac{B_1}{(z-1)^2}+\frac{C_1}{z-1},\qquad C_0+C_1=0

である。 $s$ における決定多項式は $\rho(\rho-1)+A_s\rho+B_s$ であるから、 $\alpha_1+\alpha_2=1-A_0$ 、 $\alpha_1\alpha_2=B_0$ 、 $\beta_1+\beta_2=1-A_1$ 、 $\beta_1\beta_2=B_1$ である。 $C_0/z+C_1/(z-1)=C_1/(z(z-1))$ であるから、 $z\to\infty$ のとき $zp(z)\to A_0+A_1$ 、 $z^2q(z)\to B_0+B_1+C_1$ であり、 $\gamma_1+\gamma_2=A_0+A_1-1$ 、 $\gamma_1\gamma_2=B_0+B_1+C_1$ である。これらの和の関係を加えると $\alpha_1+\alpha_2+\beta_1+\beta_2+\gamma_1+\gamma_2=1$ を得る。 $A_0=1-\alpha_1-\alpha_2$ 、 $A_1=1-\beta_1-\beta_2$ 、 $B_0=\alpha_1\alpha_2$ 、 $B_1=\beta_1\beta_2$ 、 $C_1=\gamma_1\gamma_2-\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2$ を代入すると $p=p_\tau$ 、 $q=q_\tau$ である。

主張 (2)を示す。 $zp_\tau(z)=1-\alpha_1-\alpha_2+\frac{z(1-\beta_1-\beta_2)}{z-1}$ と $z^2q_\tau(z)=\alpha_1\alpha_2+\frac{z^2\beta_1\beta_2}{(z-1)^2}+\frac{z(\gamma_1\gamma_2-\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)}{z-1}$ は $D(0,1)$ 上の正則関数に延び、 $0$ における値はそれぞれ $1-\alpha_1-\alpha_2$ 、 $\alpha_1\alpha_2$ である。したがって $0$ は常点または確定特異点であり、その決定多項式は $\rho(\rho-1)+(1-\alpha_1-\alpha_2)\rho+\alpha_1\alpha_2=(\rho-\alpha_1)(\rho-\alpha_2)$ である。 $(z-1)p_\tau(z)=\frac{(z-1)(1-\alpha_1-\alpha_2)}{z}+1-\beta_1-\beta_2$ と $(z-1)^2q_\tau(z)=\frac{(z-1)^2\alpha_1\alpha_2}{z^2}+\beta_1\beta_2+\frac{(z-1)(\gamma_1\gamma_2-\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)}{z}$ は $D(1,1)$ 上の正則関数に延び、 $1$ における値はそれぞれ $1-\beta_1-\beta_2$ 、 $\beta_1\beta_2$ であるから、 $1$ は常点または確定特異点であり、その決定多項式は $(\rho-\beta_1)(\rho-\beta_2)$ である。 $z\to\infty$ のとき $zp_\tau(z)\to2-\alpha_1-\alpha_2-\beta_1-\beta_2=1+\gamma_1+\gamma_2$ 、 $z^2q_\tau(z)\to\alpha_1\alpha_2+\beta_1\beta_2+(\gamma_1\gamma_2-\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2)=\gamma_1\gamma_2$ であるから、 $zp_\tau$ と $z^2q_\tau$ は $\infty$ で有界であり、 $\rho(\rho-1)+(1-\gamma_1-\gamma_2)\rho+\gamma_1\gamma_2=(\rho-\gamma_1)(\rho-\gamma_2)$ である。▨

注意 1.4. $a_1,a_2,a_3$ を $\widehat\C$ の相異なる三点とすると、§E5.15 定理 3.1により、 $a_1,a_2,a_3$ をそれぞれ $0,1,\infty$ へ移す Möbius 変換 $M$ がただ一つ存在する。 $a_1,a_2,a_3$ のほかの点では常点であり、 $a_1,a_2,a_3$ のそれぞれで常点または確定特異点である二階方程式は、独立変数を $w=M(z)$ に取り替えると定義 1.1の条件を満たす方程式に移り、 $a_1,a_2,a_3$ における指数はそれぞれ $0,1,\infty$ における指数に移る。したがって、このような方程式も三点における指数で定まる。

命題 1.5. $\tau$ を総和が $1$ である六数 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2$ の組とし、 $U\subseteq\C\setminus\{0,1\}$ を開集合、 $y$ を $U$ 上の正則関数とする。このとき、次が成り立つ。

$\lambda,\mu\in\C$ とし、 $\tau'$ を $\alpha_1+\lambda,\alpha_2+\lambda,\beta_1+\mu,\beta_2+\mu,\gamma_1-\lambda-\mu,\gamma_2-\lambda-\mu$ の組とする。 $\phi:U\to\C\setminus\{0\}$ を、 $U$ 上で $\phi'/\phi=\lambda/z+\mu/(z-1)$ を満たす正則関数とする。このとき、 $U$ 上で $L_\tau y=0$ が成り立つことと、 $U$ 上で $L_{\tau'}(\phi y)=0$ が成り立つことは同値である。
$\tau''$ を $\beta_1,\beta_2,\alpha_1,\alpha_2,\gamma_1,\gamma_2$ の組とし、 $1-U=\{1-z:z\in U\}$ 上で $\tilde y(z)=y(1-z)$ とおく。このとき、 $U$ 上で $L_\tau y=0$ が成り立つことと、 $1-U$ 上で $L_{\tau''}\tilde y=0$ が成り立つことは同値である。
$\tau'''$ を $\gamma_1,\gamma_2,\beta_1,\beta_2,\alpha_1,\alpha_2$ の組とし、 $U^{-1}=\{1/z:z\in U\}$ 上で $\check y(z)=y(1/z)$ とおく。このとき、 $U$ 上で $L_\tau y=0$ が成り立つことと、 $U^{-1}$ 上で $L_{\tau'''}\check y=0$ が成り立つことは同値である。

証明. $s_\alpha=1-\alpha_1-\alpha_2$ 、 $s_\beta=1-\beta_1-\beta_2$ 、 $K=\gamma_1\gamma_2-\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2$ とおく。総和が $1$ であるから $\gamma_1+\gamma_2=s_\alpha+s_\beta-1$ である。

主張 (1)を示す。 $g=\phi'/\phi=\lambda/z+\mu/(z-1)$ 、 $u=\phi y$ とおく。 $y'=(u'-gu)/\phi$ 、 $y''=(u''-2gu'+(g^2-g')u)/\phi$ であるから

\phi L_\tau y=u''+(p_\tau-2g)u'+(q_\tau-p_\tau g+g^2-g')u

である。 $p_\tau-2g=\frac{s_\alpha-2\lambda}{z}+\frac{s_\beta-2\mu}{z-1}=p_{\tau'}$ である。 $\frac1z\cdot\frac1{z-1}=\frac1{z(z-1)}$ により

p_\tau g=\frac{s_\alpha\lambda}{z^2}+\frac{s_\beta\mu}{(z-1)^2}+\frac{s_\alpha\mu+s_\beta\lambda}{z(z-1)},\qquad g^2-g'=\frac{\lambda^2+\lambda}{z^2}+\frac{\mu^2+\mu}{(z-1)^2}+\frac{2\lambda\mu}{z(z-1)}

であるから、 $q_\tau-p_\tau g+g^2-g'$ の $\frac1{z^2}$ 、 $\frac1{(z-1)^2}$ 、 $\frac1{z(z-1)}$ の係数はそれぞれ $\alpha_1\alpha_2+(\alpha_1+\alpha_2)\lambda+\lambda^2=(\alpha_1+\lambda)(\alpha_2+\lambda)$ 、 $(\beta_1+\mu)(\beta_2+\mu)$ 、 $K-s_\alpha\mu-s_\beta\lambda+2\lambda\mu$ である。 $\gamma_1+\gamma_2=s_\alpha+s_\beta-1$ を用いて展開すると

(\gamma_1-\lambda-\mu)(\gamma_2-\lambda-\mu)-(\alpha_1+\lambda)(\alpha_2+\lambda)-(\beta_1+\mu)(\beta_2+\mu)=K-s_\alpha\mu-s_\beta\lambda+2\lambda\mu

であるから、 $q_\tau-p_\tau g+g^2-g'=q_{\tau'}$ である。したがって $\phi L_\tau y=L_{\tau'}u$ であり、 $\phi$ は零にならないから主張が成り立つ。

主張 (2)を示す。 $\tilde y'(z)=-y'(1-z)$ 、 $\tilde y''(z)=y''(1-z)$ であるから、 $z\in1-U$ について $(L_\tau y)(1-z)=\tilde y''(z)-p_\tau(1-z)\tilde y'(z)+q_\tau(1-z)\tilde y(z)$ である。 $(1-z)\bigl((1-z)-1\bigr)=z(z-1)$ により

-p_\tau(1-z)=\frac{s_\beta}{z}+\frac{s_\alpha}{z-1}=p_{\tau''}(z),\qquad q_\tau(1-z)=\frac{\beta_1\beta_2}{z^2}+\frac{\alpha_1\alpha_2}{(z-1)^2}+\frac{K}{z(z-1)}=q_{\tau''}(z)

であるから、 $(L_\tau y)(1-z)=(L_{\tau''}\tilde y)(z)$ である。

主張 (3)を示す。§E13.38 補題 7.1を $V=\C\setminus\{0,1\}$ 、 $p=p_\tau$ 、 $q=q_\tau$ と $U$ 上の $y$ に適用すると、 $\zeta\in U^{-1}$ について

(L_\tau y)(1/\zeta)=\zeta^4\bigl(\check y''+\tilde p\check y'+\tilde q\check y\bigr)(\zeta),\qquad \tilde p(\zeta)=\frac2\zeta-\frac1{\zeta^2}p_\tau\Bigl(\frac1\zeta\Bigr),\quad\tilde q(\zeta)=\frac1{\zeta^4}q_\tau\Bigl(\frac1\zeta\Bigr)

である。 $\frac1{\zeta^2}p_\tau(\frac1\zeta)=\frac{s_\alpha}{\zeta}+\frac{s_\beta}{\zeta(1-\zeta)}$ と $\frac1{\zeta(1-\zeta)}=\frac1\zeta-\frac1{\zeta-1}$ により、 $\tilde p(\zeta)=\frac{2-s_\alpha-s_\beta}{\zeta}+\frac{s_\beta}{\zeta-1}$ であり、 $2-s_\alpha-s_\beta=1-\gamma_1-\gamma_2$ であるから $\tilde p=p_{\tau'''}$ である。また $\tilde q(\zeta)=\frac{\alpha_1\alpha_2}{\zeta^2}+\frac{\beta_1\beta_2}{\zeta^2(\zeta-1)^2}-\frac{K}{\zeta^2(\zeta-1)}$ であり、

\frac1{\zeta^2(\zeta-1)^2}=\frac1{\zeta^2}+\frac1{(\zeta-1)^2}-\frac2{\zeta(\zeta-1)},\qquad\frac1{\zeta^2(\zeta-1)}=-\frac1{\zeta^2}+\frac1{\zeta(\zeta-1)}

を代入すると、 $\tilde q(\zeta)=\frac{\alpha_1\alpha_2+\beta_1\beta_2+K}{\zeta^2}+\frac{\beta_1\beta_2}{(\zeta-1)^2}-\frac{2\beta_1\beta_2+K}{\zeta(\zeta-1)}=\frac{\gamma_1\gamma_2}{\zeta^2}+\frac{\beta_1\beta_2}{(\zeta-1)^2}+\frac{\alpha_1\alpha_2-\gamma_1\gamma_2-\beta_1\beta_2}{\zeta(\zeta-1)}=q_{\tau'''}(\zeta)$ である。したがって $(L_\tau y)(1/\zeta)=\zeta^4(L_{\tau'''}\check y)(\zeta)$ であり、 $\zeta\ne0$ であるから主張が成り立つ。▨

定義 2.1. $a,b,c\in\C$ とする。 $\C\setminus\{0,1\}$ 上の二階線形方程式

z(1-z)y''+\bigl(c-(a+b+1)z\bigr)y'-aby=0

を超幾何方程式 (hypergeometric equation) という。この方程式を $z(1-z)$ で割った $y''+p(z)y'+q(z)y=0$ 、 $p(z)=\dfrac{c-(a+b+1)z}{z(1-z)}$ 、 $q(z)=-\dfrac{ab}{z(1-z)}$ の左辺を $H_{a,b,c}y$ と書く。

系 2.2. $a,b,c\in\C$ とする。このとき、次が成り立つ。

$\tau_{a,b,c}$ を六数 $0,1-c,0,c-a-b,a,b$ の組とすると、 $H_{a,b,c}=L_{\tau_{a,b,c}}$ である。とくに、超幾何方程式の Riemann の P 記号は $P\begin{Bmatrix}0&1&\infty\\0&0&a\\1-c&c-a-b&b\end{Bmatrix}$ である。
$\tau$ を総和が $1$ である六数 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2$ の組とし、 $a'=\alpha_1+\beta_1+\gamma_1$ 、 $b'=\alpha_1+\beta_1+\gamma_2$ 、 $c'=1+\alpha_1-\alpha_2$ とおく。 $U\subseteq\C\setminus\{0,1\}$ を開集合とし、 $\phi:U\to\C\setminus\{0\}$ を $U$ 上で $\phi'/\phi=-\alpha_1/z-\beta_1/(z-1)$ を満たす正則関数とする。このとき、 $U$ 上の正則関数 $y$ について、 $U$ 上で $L_\tau y=0$ が成り立つことと $H_{a',b',c'}(\phi y)=0$ が成り立つことは同値である。

証明.主張 (1)を示す。 $\tau_{a,b,c}$ の総和は $1$ である。 $p(z)=\frac{c}{z}+\frac{a+b+1-c}{z-1}$ 、 $q(z)=\frac{ab}{z(z-1)}$ であり、 $1-0-(1-c)=c$ 、 $1-0-(c-a-b)=a+b+1-c$ 、 $ab-0-0=ab$ であるから、 $p=p_{\tau_{a,b,c}}$ 、 $q=q_{\tau_{a,b,c}}$ である。P 記号についての主張は定理 1.3 (2)による。

主張 (2)を示す。命題 1.5 (1)を $\lambda=-\alpha_1$ 、 $\mu=-\beta_1$ として適用すると、 $\tau'$ は $0,\alpha_2-\alpha_1,0,\beta_2-\beta_1,\gamma_1+\alpha_1+\beta_1,\gamma_2+\alpha_1+\beta_1$ の組である。 $1-c'=\alpha_2-\alpha_1$ であり、総和が $1$ であることから $c'-a'-b'=1-\alpha_1-\alpha_2-2\beta_1-\gamma_1-\gamma_2=\beta_2-\beta_1$ であるから、 $\tau'=\tau_{a',b',c'}$ であり、主張 (1)により $L_{\tau'}=H_{a',b',c'}$ である。▨

定義 2.3. $x\in\C$ と $n\in\N$ について、 $(x)_0=1$ 、 $n\ge1$ のとき $(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)$ とおく。 $(x)_n$ をPochhammer 記号 (Pochhammer symbol) という。 $a,b,c\in\C$ とし、 $c\notin\Z_{\le0}$ とする。このとき $(c)_n$ の因子はいずれも零でないから $(c)_n\ne0$ であり、冪級数

\sum_{n\ge0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\,n!}z^n

をGauss の超幾何級数 (Gauss hypergeometric series) という。

定理 2.4. $a,b,c\in\C$ 、 $c\notin\Z_{\le0}$ とし、 $n\in\N$ について $f_n=\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}$ とおき、 $H=H_{a,b,c}$ とする。このとき、次が成り立つ。

$a,b\notin\Z_{\le0}$ ならば、 $\sum_nf_nz^n$ の収束半径は $1$ である。 $m\in\N$ について $a=-m$ または $b=-m$ ならば、 $n>m$ について $f_n=0$ である。この級数の和を、 $D(0,1)$ 上で（ $f_n$ が有限個を除いて零ならば $\C$ 上で） $F(a,b;c;z)$ と書く。
$F(a,b;c;\cdot)$ は $D(0,1)$ 上で正則であり、 $D(0,1)$ 上で $z(1-z)F''+(c-(a+b+1)z)F'-abF=0$ を満たす。とくに、 $F(a,b;c;\cdot)$ の $D(0,1)\setminus\{0\}$ への制限は $\mathcal S_H(D(0,1)\setminus\{0\})$ に属し、 $F(a,b;c;\cdot)$ が多項式ならば、その $\C\setminus\{0,1\}$ への制限は $\mathcal S_H(\C\setminus\{0,1\})$ に属する。
$0<r\le1$ とし、 $y$ を $D(0,r)$ 上の正則関数で、その $D(0,r)\setminus\{0\}$ への制限が $\mathcal S_H(D(0,r)\setminus\{0\})$ に属するものとする。このとき $D(0,r)$ 上で $y=y(0)F(a,b;c;\cdot)$ である。
$D(0,1)$ 上で $\dfrac{d}{dz}F(a,b;c;z)=\dfrac{ab}{c}F(a+1,b+1;c+1;z)$ である。

証明. すべての $n\in\N$ について $(n+1)(n+c)f_{n+1}=(n+a)(n+b)f_n$ である。

主張 (1)を示す。 $a,b\notin\Z_{\le0}$ ならば、すべての $n$ について $f_n\ne0$ であり、 $z\ne0$ について $\lvert f_{n+1}z^{n+1}\rvert/\lvert f_nz^n\rvert=\frac{\lvert(n+a)(n+b)\rvert}{\lvert(n+1)(n+c)\rvert}\lvert z\rvert\to\lvert z\rvert$ である。§D1.21 定理 3.1により、級数は $\lvert z\rvert<1$ で絶対収束し、 $\lvert z\rvert>1$ で発散する。収束半径を $R$ とすると、 $R>1$ ならば $1<\lvert z\rvert<R$ の点で§E5.7 定理 1.2 (1)により級数が収束し、 $R<1$ ならば $R<\lvert z\rvert<1$ の点で§E5.7 定理 1.2 (2)により級数が収束しないから、いずれも $\lvert z\rvert<1$ で収束し $\lvert z\rvert>1$ で発散するという上の結論に反する。よって $R=1$ である。 $a=-m$ ならば、 $n>m$ について $(a)_n$ は因子 $a+m=0$ を含むから $f_n=0$ である。 $b=-m$ ならば、 $n>m$ について $(b)_n$ は因子 $b+m=0$ を含むから $f_n=0$ である。

主張 (2)を示す。§E5.7 定理 1.5により $F=F(a,b;c;\cdot)$ は $D(0,1)$ 上で正則であり、 $F'$ と $F''$ は項別微分で与えられる。 $z(1-z)F''+(c-(a+b+1)z)F'-abF$ の $z^n$ の係数は

(n+1)nf_{n+1}-n(n-1)f_n+c(n+1)f_{n+1}-(a+b+1)nf_n-abf_n=(n+1)(n+c)f_{n+1}-(n+a)(n+b)f_n=0

である。 $D(0,1)\setminus\{0\}$ では $z(1-z)\ne0$ であるから、 $F$ の制限は $\mathcal S_H(D(0,1)\setminus\{0\})$ に属する。 $F$ が多項式ならば、 $z(1-z)F''+(c-(a+b+1)z)F'-abF$ は $D(0,1)$ 上で零となる多項式であるから、すべての係数が零であり、 $\C$ 上で零である。

主張 (3)を示す。 $H$ の係数 $p,q$ について、 $zp(z)=\frac{c-(a+b+1)z}{1-z}$ と $z^2q(z)=-\frac{abz}{1-z}$ は $D(0,1)$ 上の正則関数 $P,Q$ に延び、 $P(0)=c$ 、 $Q(0)=0$ である。したがって、§E13.38 定義 3.1により、 $D(0,1)\setminus\{0\}$ 上の方程式 $Hy=0$ について $0$ は常点または確定特異点であり、その決定多項式は $\rho(\rho-1)+c\rho=\rho(\rho-1+c)$ である。 $c\notin\Z_{\le0}$ であるから、すべての $m\in\NN$ について $m(m-1+c)\ne0$ である。 $D^\circ=D(0,1)\setminus(-1,0]$ とする。§E13.38 命題 4.2 (1)を点 $0$ 、 $r=1$ 、 $\rho=0$ に適用し、得られる $D(0,1)$ 上の正則関数を $\varphi_0$ とする。主張 (2)により $F(a,b;c;\cdot)$ は $D(0,1)$ 上で正則で、 $F(a,b;c;0)=1$ を満たし、その $D^\circ$ への制限は $\mathcal S_H(D^\circ)$ に属するから、§E13.38 命題 4.2 (2)の後半により $\varphi_0=F(a,b;c;\cdot)$ である。 $y$ は $D(0,r)$ 上で正則であり、 $D^\circ\cap D(0,r)$ の上で $Hy=0$ を満たすから、§E13.38 命題 4.2 (2)を $r'=r$ 、 $\psi=y$ 、 $W=D^\circ\cap D(0,r)$ として適用すると、 $D(0,r)$ 上で $y=y(0)\varphi_0=y(0)F(a,b;c;\cdot)$ である。

主張 (4)を示す。 $n\ge1$ について $(x)_n=x(x+1)_{n-1}$ であるから $nf_n=\frac{ab}{c}\cdot\frac{(a+1)_{n-1}(b+1)_{n-1}}{(c+1)_{n-1}(n-1)!}$ であり、§E5.7 定理 1.5による $F'$ の $z^{n-1}$ の係数 $nf_n$ は $\frac{ab}{c}F(a+1,b+1;c+1;\cdot)$ の $z^{n-1}$ の係数に等しい。▨

補題 2.5. $a,b,c\in\C$ とし、 $\tilde c=a+b-c+1$ 、 $H=H_{a,b,c}$ 、 $\tilde H=H_{a,b,\tilde c}$ 、 $D=\C\setminus\{0,1\}$ 、 $\iota(z)=1-z$ とする。このとき、次が成り立つ。

開集合 $V\subseteq D$ 上の正則関数 $y$ について、 $y\in\mathcal S_H(V)$ であることと $y\circ\iota\in\mathcal S_{\tilde H}(\iota(V))$ であることは同値である。
$w\in D$ とする。 $w$ を含む開集合 $V\subseteq D$ と $y\in\mathcal S_H(V)$ について $R_w[y]_w=[y\circ\iota]_{1-w}$ とおくと、 $R_w$ は代表元によらずに定まり、 $\mathcal S_{H,w}$ から $\mathcal S_{\tilde H,1-w}$ への線形同型である。
$R_w$ （ $w\in D$ ）を主張 (2)のとおりとする。このとき、すべての連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ について $R_{\gamma(1)}\circ T^H_\gamma=T^{\tilde H}_{\iota\circ\gamma}\circ R_{\gamma(0)}$ である。
$a+b+1=2c$ ならば、 $\tilde c=c$ であり、 $\tilde H=H$ である。

証明.主張 (1)を示す。系 2.2 (1)により $H=L_{\tau_{a,b,c}}$ 、 $\tilde H=L_{\tau_{a,b,\tilde c}}$ である。 $1-\tilde c=c-a-b$ 、 $\tilde c-a-b=1-c$ であるから、 $\tau_{a,b,\tilde c}$ は $0,c-a-b,0,1-c,a,b$ の組であり、 $\tau_{a,b,c}$ の $0$ と $1$ の列を入れ替えた組である。 $\iota(V)=1-V$ であるから、命題 1.5 (2)を $U=V$ として適用すると主張を得る。

$\iota$ は $D$ からそれ自身への正則写像であり、 $\iota'=-1$ は零にならず、すべての開集合 $U\subseteq D$ について $\iota^{-1}(U)=\iota(U)$ である。主張 (1)により、§E13.37 補題 8.2の仮定は $D'=D$ 、 $h=\iota$ 、 $\kappa=1$ 、 $L=H$ 、 $\tilde L=\tilde H$ について成り立つ。同補題の線形同型を $\iota^\#_{w'}:\mathcal S_{H,\iota(w')}\to\mathcal S_{\tilde H,w'}$ （ $w'\in D$ ）と書く。 $w\in D$ とし、 $V\subseteq D$ を $w$ を含む開集合、 $V_w$ を $V$ の $w$ を含む連結成分とする。 $y\in\mathcal S_H(V)$ について $[y]_w=[y|_{V_w}]_w$ であり、 $\iota(1-w)=w$ であるから、§E13.37 補題 8.2 (1)により $\iota^\#_{1-w}[y]_w=[y\circ\iota]_{1-w}$ である。

主張 (2)を示す。 $\iota^\#_{1-w}[y]_w=[y\circ\iota]_{1-w}$ により、 $w\in D$ について $R_w$ は $\iota^\#_{1-w}$ に等しい。したがって $R_w$ は代表元によらずに定まり、 $\mathcal S_{H,w}$ から $\mathcal S_{\tilde H,1-w}$ への線形同型である。

主張 (3)を示す。 $\delta=\iota\circ\gamma$ は $D$ 内の連続写像であり、 $\iota\circ\delta=\gamma$ である。§E13.37 補題 8.2 (2)を $\delta$ に適用すると $\iota^\#_{\delta(1)}\circ T^H_\gamma=T^{\tilde H}_{\iota\circ\gamma}\circ\iota^\#_{\delta(0)}$ である。 $t=0,1$ について $\delta(t)=1-\gamma(t)$ であるから $\iota^\#_{\delta(t)}=R_{\gamma(t)}$ であり、 $R_{\gamma(1)}\circ T^H_\gamma=T^{\tilde H}_{\iota\circ\gamma}\circ R_{\gamma(0)}$ である。

主張 (4)を示す。 $a+b+1=2c$ ならば $\tilde c=a+b+1-c=c$ であり、 $\tilde H=H_{a,b,c}=H$ である。▨

命題 2.6. $a,b,c\in\C$ とし、 $H=H_{a,b,c}$ とする。複素冪はすべて主値をとる。このとき、次が成り立つ。

$c\notin\Z$ とし、 $U_0=D(0,1)\setminus(-1,0]$ 上で $\varphi_1(z)=F(a,b;c;z)$ 、 $\varphi_2(z)=z^{1-c}F(a-c+1,b-c+1;2-c;z)$ とおく。このとき $\varphi_1,\varphi_2\in\mathcal S_H(U_0)$ であり、すべての $z_0\in(0,1)$ について $[\varphi_1]_{z_0},[\varphi_2]_{z_0}$ は $\mathcal S_{H,z_0}$ の基底である。
$c-a-b\notin\Z$ とし、 $U_1=D(1,1)\setminus[1,2)$ 上で $u_1(z)=F(a,b;a+b-c+1;1-z)$ 、 $u_2(z)=(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c-a-b+1;1-z)$ とおく。 $\tilde c=a+b-c+1$ とし、 $\psi_1,\psi_2$ を $H_{a,b,\tilde c}$ について主張 (1)で定めた $U_0$ 上の解とする。すなわち $\psi_1(w)=F(a,b;\tilde c;w)$ 、 $\psi_2(w)=w^{c-a-b}F(c-b,c-a;c-a-b+1;w)$ である。このとき $1-U_1=U_0$ であり、 $j=1,2$ とすべての $z\in U_1$ について $u_j(z)=\psi_j(1-z)$ であり、 $u_1,u_2\in\mathcal S_H(U_1)$ である。さらに、すべての $z_0\in(0,1)$ について、補題 2.5 (2)の線形同型 $R_{z_0}:\mathcal S_{H,z_0}\to\mathcal S_{H_{a,b,\tilde c},1-z_0}$ は $[u_j]_{z_0}$ を $[\psi_j]_{1-z_0}$ へ移す。
$c-a-b\notin\Z$ とし、 $U_1=D(1,1)\setminus[1,2)$ 上で $u_1(z)=F(a,b;a+b-c+1;1-z)$ 、 $u_2(z)=(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c-a-b+1;1-z)$ とおく。このとき $u_1,u_2\in\mathcal S_H(U_1)$ であり、すべての $z_0\in(0,1)$ について $[u_1]_{z_0},[u_2]_{z_0}$ は $\mathcal S_{H,z_0}$ の基底である。
$a-b\notin\Z$ とし、 $U_\infty=\{z\in\C:\lvert z\rvert>1\}\setminus(-\infty,-1]$ 上で $v_1(z)=z^{-a}F(a,a-c+1;a-b+1;1/z)$ 、 $v_2(z)=z^{-b}F(b,b-c+1;b-a+1;1/z)$ とおく。このとき $v_1,v_2\in\mathcal S_H(U_\infty)$ であり、すべての $z_0\in(1,\infty)$ について $[v_1]_{z_0},[v_2]_{z_0}$ は $\mathcal S_{H,z_0}$ の基底である。

証明.主張 (1)を示す。 $c\notin\Z$ であるから $c,2-c\notin\Z_{\le0}$ である。定理 2.4 (2)により $\varphi_1\in\mathcal S_H(U_0)$ である。系 2.2 (1)により $H_{a-c+1,b-c+1,2-c}=L_\sigma$ であり、 $\sigma$ は $0,c-1,0,c-a-b,a-c+1,b-c+1$ の組である。 $\phi(z)=z^{1-c}$ は $U_0$ 上で零にならず、§E5.3 命題 2.10により $\phi'/\phi=(1-c)/z$ を満たす。命題 1.5 (1)を $\lambda=1-c$ 、 $\mu=0$ として適用すると、 $\sigma'$ は $1-c,0,0,c-a-b,a,b$ の組であり、系 2.2 (1)により $L_{\sigma'}=H$ である。 $F(a-c+1,b-c+1;2-c;\cdot)$ の制限は定理 2.4 (2)により $\mathcal S_{L_\sigma}(U_0)$ に属するから、 $\varphi_2\in\mathcal S_H(U_0)$ である。 $zp(z)=\frac{c-(a+b+1)z}{1-z}$ と $z^2q(z)=-\frac{abz}{1-z}$ は $D(0,1)$ 上で正則であり、 $0$ における指数は $0$ と $1-c$ である。 $\varphi_1$ と $\varphi_2$ は、 $z^0$ と $z^{1-c}$ に $D(0,1)$ 上の正則関数で $0$ における値が $1$ のものを掛けた解である。 $1-c\notin\Z$ であるから、指数の実部の大きい方を第一の解として§E13.38 命題 5.1を $\varepsilon=z_0$ として適用すると、 $[\varphi_1]_{z_0},[\varphi_2]_{z_0}$ は $\mathcal S_{H,z_0}$ の基底である。

主張 (2)を示す。 $\tilde c=a+b-c+1$ とおくと $\tilde c\notin\Z$ であり、 $1-\tilde c=c-a-b$ 、 $a-\tilde c+1=c-b$ 、 $b-\tilde c+1=c-a$ 、 $2-\tilde c=c-a-b+1$ である。主張 (1)を $H_{a,b,\tilde c}$ に適用すると、 $\psi_1,\psi_2\in\mathcal S_{H_{a,b,\tilde c}}(U_0)$ であり、すべての $w_0\in(0,1)$ について $[\psi_1]_{w_0},[\psi_2]_{w_0}$ は $\mathcal S_{H_{a,b,\tilde c},w_0}$ の基底である。 $1-U_1=U_0$ であり、Pochhammer 記号の積は $a$ と $b$ について対称であるから、 $z\in U_1$ について $u_j(z)=\psi_j(1-z)$ である。補題 2.5 (1)を $(a,b,\tilde c)$ と $V=U_0$ について適用すると、 $a+b-\tilde c+1=c$ であるから $u_1,u_2\in\mathcal S_H(U_1)$ である。 $z_0\in(0,1)$ とし、 $R_{z_0}$ を補題 2.5 (2)の線形同型とすると、 $R_{z_0}[u_j]_{z_0}=[\psi_j]_{1-z_0}$ である。

主張 (3)を示す。 $u_1,u_2\in\mathcal S_H(U_1)$ であり、主張 (2)により $z_0\in(0,1)$ について線形同型 $R_{z_0}$ は $[u_1]_{z_0},[u_2]_{z_0}$ を $\mathcal S_{H_{a,b,\tilde c},1-z_0}$ の基底 $[\psi_1]_{1-z_0},[\psi_2]_{1-z_0}$ へ移すから、 $[u_1]_{z_0},[u_2]_{z_0}$ は $\mathcal S_{H,z_0}$ の基底である。

主張 (4)を示す。 $\tau'''$ を $a,b,0,c-a-b,0,1-c$ の組とすると、命題 1.5 (3)と系 2.2 (1)により、開集合 $V\subseteq\C\setminus\{0,1\}$ 上の正則関数 $y$ について、 $y\in\mathcal S_H(V)$ であることと $y(1/\cdot)\in\mathcal S_{L_{\tau'''}}(V^{-1})$ であることは同値である。 $(a_1,b_1,c_1)=(a,a-c+1,a-b+1)$ とおくと $c_1\notin\Z$ であり、 $\tau_{a_1,b_1,c_1}$ は $0,b-a,0,c-a-b,a,a-c+1$ の組である。命題 1.5 (1)を $\lambda=a$ 、 $\mu=0$ 、 $\phi(\zeta)=\zeta^a$ （ $\zeta\in U_0$ ）として $L_{\tau_{a_1,b_1,c_1}}=H_{a_1,b_1,c_1}$ に適用すると、 $\tau'$ は $a,b,0,c-a-b,0,1-c$ の組であるから、定理 2.4 (2)により $\hat v_1(\zeta)=\zeta^aF(a,a-c+1;a-b+1;\zeta)$ は $\mathcal S_{L_{\tau'''}}(U_0)$ に属する。 $\tau'''$ は $a$ と $b$ の入れ替えで変わらないから、 $\hat v_2(\zeta)=\zeta^bF(b,b-c+1;b-a+1;\zeta)$ も $\mathcal S_{L_{\tau'''}}(U_0)$ に属する。 $p_{\tau'''},q_{\tau'''}$ の式から $\zeta p_{\tau'''}$ と $\zeta^2q_{\tau'''}$ は $D(0,1)$ 上の正則関数に延び、定理 1.3 (2)により $0$ における指数は $a,b$ であって、その差は整数でないから、§E13.38 命題 5.1を $\zeta_0\in(0,1)$ と $\varepsilon=\zeta_0$ について適用すると、 $[\hat v_1]_{\zeta_0},[\hat v_2]_{\zeta_0}$ は $\mathcal S_{L_{\tau'''},\zeta_0}$ の基底である。 $U_\infty^{-1}=U_0$ であり、 $z\in U_\infty$ について $z\notin(-\infty,0]$ であるから $\operatorname{Log}(1/z)=-\operatorname{Log}z$ であって、 $v_j(z)=\hat v_j(1/z)$ である。したがって $v_1,v_2\in\mathcal S_H(U_\infty)$ である。 $h(\zeta)=1/\zeta$ は $\C\setminus\{0,1\}$ からそれ自身への正則写像であり、 $h'(\zeta)=-\zeta^{-2}$ は零にならず、開集合 $V\subseteq\C\setminus\{0,1\}$ について $h^{-1}(V)=V^{-1}$ である。最初に述べた同値により、§E13.37 補題 8.2の仮定は $D=D'=\C\setminus\{0,1\}$ 、 $h$ 、 $\kappa=1$ 、 $L=H$ 、 $\tilde L=L_{\tau'''}$ について成り立つ。 $U_0$ は $\frac12$ に関して星形な開集合であるから連結であり、 $U_\infty=h(U_0)$ は連結である。 $z_0\in(1,\infty)$ とすると、 $U_\infty$ は $z_0$ を含む領域であり、 $h^{-1}(U_\infty)=U_0$ の上で $v_j\circ h=\hat v_j$ であるから、§E13.37 補題 8.2 (1)の線形同型 $h^\#_{1/z_0}:\mathcal S_{H,z_0}\to\mathcal S_{L_{\tau'''},1/z_0}$ は $[v_j]_{z_0}$ を $[\hat v_j]_{1/z_0}$ へ移す。 $1/z_0\in(0,1)$ であるから $[\hat v_1]_{1/z_0},[\hat v_2]_{1/z_0}$ は基底であり、 $[v_1]_{z_0},[v_2]_{z_0}$ は $\mathcal S_{H,z_0}$ の基底である。▨

系 2.7. $a,b,c\in\C$ 、 $c\notin\Z_{\le0}$ とする。このとき、すべての $z\in D(0,1)$ について

F(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)

が成り立つ。ここで $(1-z)^{c-a-b}$ は主値である。

証明. $\phi(z)=(1-z)^{c-a-b}$ は $D(0,1)$ 上で正則で零にならず、 $\phi'/\phi=(c-a-b)/(z-1)$ を満たす。系 2.2 (1)により $H_{c-a,c-b,c}=L_\sigma$ であり、 $\sigma$ は $0,1-c,0,a+b-c,c-a,c-b$ の組である。命題 1.5 (1)を $U=D(0,1)\setminus\{0\}$ 、 $\lambda=0$ 、 $\mu=c-a-b$ として適用すると、 $\sigma'$ は $0,1-c,c-a-b,0,b,a$ の組であり、 $L_{\sigma'}=H_{a,b,c}$ である。定理 2.4 (2)により、 $y=\phi\cdot F(c-a,c-b;c;\cdot)$ は $D(0,1)$ 上で正則で、その $D(0,1)\setminus\{0\}$ への制限は $\mathcal S_{H_{a,b,c}}(D(0,1)\setminus\{0\})$ に属し、 $y(0)=1$ である。定理 2.4 (3)により $y=F(a,b;c;\cdot)$ である。▨

系 2.8. $a,b,c\in\C$ 、 $c\notin\Z_{\le0}$ とし、 $\Omega_{1/2}=\{z\in D(0,1):\Re z<1/2\}$ とする。このとき、すべての $z\in\Omega_{1/2}$ について $z/(z-1)\in D(0,1)$ であり、 $(1-z)^{-a}$ を主値として

F(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}F\Bigl(a,c-b;c;\frac{z}{z-1}\Bigr)

が成り立つ。

証明. 証明は演習とする（問題 6.2）。▨

命題 2.9. $a,b\in\C$ 、 $b\notin\Z_{\le0}$ とする。このとき、すべての $z\in D(0,1)$ について、 $(1-z)^{-a}$ を主値として $F(a,b;b;z)=(1-z)^{-a}$ であり、 $F(a,b;b;z)=\sum_{n\ge0}\frac{(a)_n}{n!}z^n$ はこの級数の和として絶対収束する。

証明. $\frac{(a)_n(b)_n}{(b)_nn!}=\frac{(a)_n}{n!}$ であるから、級数の表示は定義による。 $a\notin\Z_{\le0}$ ならば、定理 2.4 (1)により収束半径は $1$ であり、 $a\in\Z_{\le0}$ ならば項は有限個を除いて零であるから、いずれも $D(0,1)$ 上で絶対収束する。系 2.7を $c=b$ として適用すると $F(a,b;b;z)=(1-z)^{-a}F(b-a,0;b;z)$ であり、 $n\ge1$ について $(0)_n=0$ であるから $F(b-a,0;b;z)=1$ である。▨

注意 2.10. $z\mapsto z,\ 1-z,\ 1/z,\ 1/(1-z),\ z/(z-1),\ (z-1)/z$ の六つの一次分数変換は $\{0,1,\infty\}$ をそれ自身へ移し、その六つの置換をすべて与える。 $d=c-a-b$ とおき、命題 2.6の各局所解 $Y$ を次の表の $(P,A,B,C,t)$ によって $Y=P F(A,B;C;t)$ と書く。それぞれの行では、同じ命題の対応する非共鳴条件を仮定し、 $P$ の複素冪にはそこで定めた主値を用いる。

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} Y&P&A&B&C&t\\ \hline \varphi_1&1&a&b&c&z\\ \varphi_2&z^{1-c}&a-c+1&b-c+1&2-c&z\\ u_1&1&a&b&a+b-c+1&1-z\\ u_2&(1-z)^d&c-a&c-b&d+1&1-z\\ v_1&z^{-a}&a&a-c+1&a-b+1&1/z\\ v_2&z^{-b}&b&b-c+1&b-a+1&1/z \end{array}

各行で $\lvert t\rvert<1$ かつ $\lvert t/(t-1)\rvert<1$ となる共通域を取り、 $\ell=\operatorname{Log}(1-t)$ とする。この共通域は、 $\varphi_1,\varphi_2$ について $U_0\cap\{\Re z<1/2\}$ 、 $u_1,u_2$ について $U_1\cap\{\Re z>1/2\}$ 、 $v_1,v_2$ について $U_\infty\cap\{\lvert1-z\rvert>1\}$ である。各行の四つの表示は、それぞれ共通域上で厳密に等しく、

\begin{aligned} Y&=P F(A,B;C;t)\\ &=P e^{(C-A-B)\ell}F(C-A,C-B;C;t)\\ &=P e^{-A\ell}F\Bigl(A,C-B;C;\frac{t}{t-1}\Bigr)\\ &=P e^{-B\ell}F\Bigl(C-A,B;C;\frac{t}{t-1}\Bigr) \end{aligned}

である。これらの等式は系 2.7、系 2.8と上側のパラメータに関する $F$ の対称性から従う。六つの局所解についての 24 個の表示を Kummer の 24 解という。

無限遠点の表示を $z$ と $1-z$ の冪に分けるときは、枝に応じた定数が現れる。 $\{r,q\}=\{a,b\}$ 、 $C_r=r-q+1$ とし、 $U_\infty$ 上で $\operatorname{Log}z$ は主値、 $L=\operatorname{Log}z+\operatorname{Log}(1-1/z)+\pi i$ 、 $(1-z)^s=e^{sL}$ と定める。 $e^L=1-z$ であり、 $U_\infty\cap\{\lvert1-z\rvert>1\}$ 上で指数 $r$ の局所解の四表示は

\begin{aligned} &z^{-r}F\Bigl(r,r-c+1;C_r;\frac1z\Bigr)\\ ={}&e^{-\pi i d}z^{q-c}(1-z)^dF\Bigl(1-q,c-q;C_r;\frac1z\Bigr)\\ ={}&e^{\pi i r}(1-z)^{-r}F\Bigl(r,c-q;C_r;\frac1{1-z}\Bigr)\\ ={}&e^{\pi i(r-c+1)}z^{1-c}(1-z)^{c-1-r}F\Bigl(1-q,r-c+1;C_r;\frac1{1-z}\Bigr) \end{aligned}

である。実際、表の $t=1/z$ の行で $\ell=L-\operatorname{Log}z-\pi i$ と $t/(t-1)=1/(1-z)$ を代入すると、これらの式を得る。各式の $F$ は、表示した共通域で収束する級数の和である。

補題 3.1. $a,b,c,x\in\R$ とし、 $c\notin\Z_{\le0}$ とする。 $n\in\N$ について $f_n=\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}$ とおく。このとき、次が成り立つ。

ある $K_x>0$ が存在して、すべての $n\in\NN$ について $\lvert(x)_n\rvert\le K_x(n-1)!\,n^x$ である。 $x\notin\Z_{\le0}$ ならば、ある $k_x>0$ が存在して、すべての $n\in\NN$ について $\lvert(x)_n\rvert\ge k_x(n-1)!\,n^x$ である。
ある $K>0$ が存在して、すべての $n\in\NN$ について $\lvert f_n\rvert\le Kn^{a+b-c-1}$ である。
$c-a-b>0$ ならば、 $\sum_{n\ge0}\lvert f_n\rvert<\infty$ であり、冪級数 $\sum_{n\ge0}f_nz^n$ は閉円板 $\{z\in\C:\lvert z\rvert\le1\}$ の各点で絶対収束し、その部分和の列はこの閉円板の上で一様収束する。
$c-a-b>0$ ならば、 $\sum_{n\ge0}\lvert f_n\rvert<\infty$ であり、 $n\to\infty$ のとき $nf_n\to0$ であり、実数 $t$ が $0<t<1$ の範囲で $1$ に近づくとき $F(a,b;c;t)\to\sum_{n\ge0}f_n$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $\lvert s\rvert\le1/2$ について $h(s)=s-\ln(1+s)$ は $h(0)=0$ 、 $h'(s)=s/(1+s)$ 、 $\lvert h'(s)\rvert\le2\lvert s\rvert$ を満たすから、平均値の定理により $\lvert h(s)\rvert\le2s^2$ である。 $n\in\NN$ について $r_n=\lvert(x)_n\rvert/((n-1)!\,n^x)$ とおき、 $n_0\in\NN$ を $n_0\ge2$ かつ $n_0\ge2\lvert x\rvert$ を満たすように取る。 $n\ge n_0$ ならば $x+n>0$ であり、 $(x)_{n+1}=(x)_n(x+n)$ により $r_{n+1}=r_n(1+x/n)(1+1/n)^{-x}$ である。 $r_{n_0}=0$ ならば、すべての $n\ge n_0$ について $(x)_n$ は $(x)_{n_0}$ の倍数であるから $r_n=0$ である。 $r_{n_0}>0$ ならば、 $n\ge n_0$ について $r_n>0$ であり、 $\lvert x/n\rvert\le1/2$ 、 $1/n\le1/2$ により

\Bigl\lvert\ln\frac{r_{n+1}}{r_n}\Bigr\rvert=\Bigl\lvert-h\Bigl(\frac xn\Bigr)+x\,h\Bigl(\frac1n\Bigr)\Bigr\rvert\le\frac{2x^2+2\lvert x\rvert}{n^2}

である。§D1.21 例 5.2により $S=\sum_{n\ge n_0}(2x^2+2\lvert x\rvert)/n^2<\infty$ であり、 $n\ge n_0$ について $\lvert\ln r_n-\ln r_{n_0}\rvert\le S$ 、すなわち $r_{n_0}e^{-S}\le r_n\le r_{n_0}e^S$ である。いずれの場合も $K_x=\max\{1,r_1,\dots,r_{n_0},r_{n_0}e^S\}$ が第一の主張を満たす。 $x\notin\Z_{\le0}$ ならば、すべての $n$ について $(x)_n\ne0$ であるから $r_n>0$ であり、 $k_x=\min\{r_1,\dots,r_{n_0},r_{n_0}e^{-S}\}>0$ が第二の主張を満たす。

主張 (2)を示す。 $c\notin\Z_{\le0}$ であるから、主張 (1)により

\lvert f_n\rvert\le\frac{K_aK_b\,((n-1)!)^2\,n^{a+b}}{k_c\,(n-1)!\,n^c\cdot n!}=\frac{K_aK_b}{k_c}n^{a+b-c-1}

である。

主張 (3)を示す。 $c-a-b+1>1$ であるから、主張 (2)と§D1.21 例 5.2により $\sum_n\lvert f_n\rvert<\infty$ である。 $\lvert z\rvert\le1$ ならば $\lvert f_nz^n\rvert\le\lvert f_n\rvert$ であるから、 $\sum_nf_nz^n$ は絶対収束し、 $N\in\N$ について $\bigl\lvert\sum_{n\ge0}f_nz^n-\sum_{n=0}^Nf_nz^n\bigr\rvert\le\sum_{n>N}\lvert f_n\rvert$ である。右辺は $z$ によらず、 $N\to\infty$ のとき $0$ に収束する。

主張 (4)を示す。主張 (3)により $\sum_n\lvert f_n\rvert<\infty$ である。 $a+b-c<0$ であるから、主張 (2)により $n\lvert f_n\rvert\le Kn^{a+b-c}\to0$ である。 $N\in\N$ と $t\in[0,1]$ について $S_N(t)=\sum_{n=0}^Nf_nt^n$ とおく。 $f_n$ は実数であるから、 $S_N$ は $[0,1]$ 上の実数値連続関数である。主張 (3)により、 $(S_N)$ は $[0,1]$ 上で、 $0\le t<1$ のとき $g(t)=F(a,b;c;t)$ 、 $g(1)=\sum_nf_n$ で定まる関数 $g$ に一様収束する。§D1.22 定理 2.1により $g$ は $[0,1]$ 上で連続であるから、実数 $t$ が $0<t<1$ の範囲で $1$ に近づくとき $F(a,b;c;t)=g(t)\to g(1)=\sum_nf_n$ である。▨

補題 3.2. $s,u>0$ とする。このとき、 $(0,1)$ 上の関数 $t\mapsto t^{s-1}(1-t)^{u-1}$ は Lebesgue 測度について可積分であり、その積分は $B(s,u)$ に等しい。

証明. $g(t)=t^{s-1}(1-t)^{u-1}$ は $(0,1)$ 上で正の連続関数であるから、§E10.7 命題 1.3により可測である。 $k\ge3$ について $g_k=g\cdot\mathbf 1_{[1/k,1-1/k]}$ とおくと、 $(g_k)$ は各点で単調に増加して $g$ に収束する。 $g$ は $[1/k,1-1/k]$ 上で連続であるから、§D1.17 定理 2.5と§E10.17 命題 5.1により $\int g_k\,d\lambda=\int_{1/k}^{1-1/k}g(t)\,dt$ である。§E4.16 命題 1.2により、 $0$ と $1$ を別々に端点とする広義積分 $\int_0^{1/2}g$ と $\int_{1/2}^1g$ は収束するから、 $k\to\infty$ のとき右辺は§E4.16 定義 1.1の $B(s,u)$ に収束する。§E10.11 定理 1.1により $\int g\,d\lambda=B(s,u)<\infty$ である。▨

定理 3.3 (Euler の積分表示). $a,b,c\in\R$ が $c>b>0$ を満たすとし、 $W=\C\setminus[1,\infty)$ とする。 $(1-zt)^{-a}$ を主値とする。このとき、すべての $z\in W$ について $(0,1)$ 上の関数 $t\mapsto t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}$ は Lebesgue 測度について可積分であり、

E(z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt

で定まる関数 $E$ （積分は Lebesgue 測度についての積分）は $W$ 上で正則であって、 $D(0,1)$ 上で $E=F(a,b;c;\cdot)$ である。

証明. $z\in W$ 、 $t\in[0,1]$ とする。 $1-zt=-s$ を満たす $s\ge0$ が存在すれば、 $t\ne0$ であり $z=(1+s)/t\ge1$ となって $z\in W$ に反するから、 $1-zt\in\C\setminus(-\infty,0]$ である。 $f(t,z)=t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}e^{-a\operatorname{Log}(1-zt)}$ とおく。各 $t\in(0,1)$ について $z\mapsto f(t,z)$ は§E5.3 命題 2.10により $W$ 上で正則であり、各 $z\in W$ について $t\mapsto f(t,z)$ は $(0,1)$ 上で連続であるから§E10.7 命題 1.3により可測である。 $K\subseteq W$ をコンパクト集合とすると、連続関数 $(z,t)\mapsto\lvert1-zt\rvert$ はコンパクト集合 $K\times[0,1]$ 上で正の最小値 $m_K$ と最大値 $M_K$ をとる。 $a$ は実数であるから $\lvert e^{-a\operatorname{Log}w}\rvert=\lvert w\rvert^{-a}$ であり、 $C_K=\max\{m_K^{-a},M_K^{-a}\}$ について $\lvert f(t,z)\rvert\le C_Kt^{b-1}(1-t)^{c-b-1}$ である。右辺は補題 3.2により可積分であるから、可積分性の主張が成り立ち、§E13.37 補題 3.1により $E$ は $W$ 上で正則である。

主張 3.3.1. すべての $w\in D(0,1)$ について $(1-w)^{-a}=\sum_{n\ge0}\frac{(a)_n}{n!}w^n$ であり、右辺は絶対収束する。

証明. $b>0$ であるから、命題 2.9による。▨

$z\in D(0,1)$ とする。 $t\in(0,1)$ について主張 3.3.1を $w=zt$ に適用すると $(1-zt)^{-a}=\sum_n\frac{(a)_n}{n!}z^nt^n$ であり、部分和の絶対値は $M_z=\sum_n\frac{\lvert(a)_n\rvert}{n!}\lvert z\rvert^n<\infty$ 以下である。部分和に $t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}$ を掛けた関数列は可積分関数 $M_zt^{b-1}(1-t)^{c-b-1}$ で押さえられるから、§E10.11 定理 3.1と補題 3.2により

\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt=\sum_{n\ge0}\frac{(a)_n}{n!}z^nB(b+n,c-b)

である。§E4.16 定理 2.1により $B(b+n,c-b)=\Gamma(b+n)\Gamma(c-b)/\Gamma(c+n)$ であり、§E4.15 命題 3.1を繰り返し用いると $\Gamma(b+n)=(b)_n\Gamma(b)$ 、 $\Gamma(c+n)=(c)_n\Gamma(c)$ であるから、 $E(z)=\sum_n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n=F(a,b;c;z)$ である。▨

定理 3.4 (Gauss の和公式). $a,b,c\in\R$ が $c\notin\Z_{\le0}$ と $c-a-b>0$ を満たすとし、 $q$ を§E4.15 定義 4.1の逆 Gamma 関数の実数延長とする。このとき、級数 $\sum_{n\ge0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}$ は絶対収束し、その和 $F(a,b;c;1)$ について

F(a,b;c;1)=\frac{q(c-a)\,q(c-b)}{q(c)\,q(c-a-b)}

が成り立つ。とくに $c>0$ 、 $c-a>0$ 、 $c-b>0$ ならば $F(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$ である。

証明. $E_0=\{(a,b,c)\in\R^3:c\notin\Z_{\le0},\ c-a-b>0\}$ とする。 $(a,b,c)\in E_0$ について、§E4.15 命題 4.2により $q$ の零点は非正整数だけであるから $q(c)\ne0$ 、 $q(c-a-b)\ne0$ であり、 $R(a,b,c)=\frac{q(c-a)q(c-b)}{q(c)q(c-a-b)}$ が定まる。 $f_n(a,b,c)=\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}$ とおくと、補題 3.1 (4)により $\sum_nf_n(a,b,c)$ は絶対収束する。その和を $G(a,b,c)$ とおく。 $G$ と $R$ は $a$ と $b$ について対称である。正の数 $\xi$ については、§E4.15 式 (4.1.1)を $r=0$ として $q(\xi)=1/\Gamma(\xi)$ である。

$(a,b,c)\in E_0$ が $c>b>0$ を満たす場合を考える。 $c-a=b+(c-a-b)>0$ である。 $0<x<1$ 、 $0<t<1$ について $1-t<1-xt<1$ であるから、 $a\ge0$ ならば $(1-xt)^{-a}\le(1-t)^{-a}$ 、 $a<0$ ならば $(1-xt)^{-a}\le1$ であり、

0<t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\le t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}+t^{b-1}(1-t)^{c-a-b-1}

である。右辺は補題 3.2により可積分である。 $(x_k)$ を $0<x_k<1$ 、 $x_k\to1$ を満たす実数列とすると、 $t\mapsto t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-x_kt)^{-a}$ は各 $t$ で $t^{b-1}(1-t)^{c-a-b-1}$ に収束するから、定理 3.3、§E10.11 定理 3.1、補題 3.2、§E4.16 定理 2.1により

\lim_{k\to\infty}F(a,b;c;x_k)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}B(b,c-a-b)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}

である。左辺は補題 3.1 (4)により $G(a,b,c)$ に等しく、 $c,c-a,c-b,c-a-b$ は正であるから右辺は $R(a,b,c)$ に等しい。

主張 3.4.1. $(a,b,c)\in E_0$ 、 $b\ne0$ とする。このとき $(a,b+1,c+1)\in E_0$ であり、 $cG(a,b,c)=(c-a)G(a,b+1,c+1)$ と $cR(a,b,c)=(c-a)R(a,b+1,c+1)$ が成り立つ。

証明. $c+1\notin\Z_{\le0}$ 、 $(c+1)-a-(b+1)=c-a-b>0$ であるから $(a,b+1,c+1)\in E_0$ である。 $f_n=f_n(a,b,c)$ 、 $g_n=f_n(a,b+1,c+1)$ とおく。 $b(b+1)_n=(b)_n(b+n)$ 、 $c(c+1)_n=(c)_n(c+n)$ であるから $g_n=f_n\frac{c(b+n)}{b(c+n)}$ であり、

b\bigl(cf_n-(c-a)g_n\bigr)=\frac{cf_n}{c+n}\bigl(b(c+n)-(c-a)(b+n)\bigr)=\frac{cf_n}{c+n}\bigl(ab+n(a+b-c)\bigr)

である。 $f_{n+1}=f_n\frac{(a+n)(b+n)}{(c+n)(n+1)}$ により

c\bigl((n+1)f_{n+1}-nf_n\bigr)=\frac{cf_n}{c+n}\bigl((a+n)(b+n)-n(c+n)\bigr)=\frac{cf_n}{c+n}\bigl(ab+n(a+b-c)\bigr)

である。二式を $n=0,\dots,N$ について加えると $b\sum_{n=0}^N\bigl(cf_n-(c-a)g_n\bigr)=c(N+1)f_{N+1}$ であり、右辺は補題 3.1 (4)により $N\to\infty$ で $0$ に収束する。 $b\ne0$ であるから $cG(a,b,c)=(c-a)G(a,b+1,c+1)$ である。§E4.15 式 (4.2.1)により $(c-a)q(c-a+1)=q(c-a)$ 、 $cq(c+1)=q(c)$ であるから、

(c-a)R(a,b+1,c+1)=\frac{(c-a)q(c-a+1)\,q(c-b)}{q(c+1)\,q(c-a-b)}=\frac{c\,q(c-a)\,q(c-b)}{q(c)\,q(c-a-b)}=cR(a,b,c)

である。▨

$(a',b',c')\in E_0$ について、 $G(a',b',c')=R(a',b',c')$ であることを $P(a',b',c')$ と書く。 $b'=0$ ならば $G(a',0,c')=1$ であり、 $c'-a'>0$ により $q(c'-a')\ne0$ であるから $R(a',0,c')=1$ であって、 $P(a',0,c')$ が成り立つ。 $b'\ne0$ ならば、 $c'\ne0$ と主張 3.4.1により、 $P(a',b'+1,c'+1)$ から $P(a',b',c')$ が従う。したがって、ある $j\in\N$ について $P(a',b'+j,c'+j)$ が成り立てば $P(a',b',c')$ が成り立つ。 $G$ と $R$ の対称性により、ある $i\in\N$ について $P(a'+i,b',c'+i)$ が成り立てば $P(a',b',c')$ が成り立つ。

$(a,b,c)\in E_0$ とし、 $j,i\in\N$ を $c+j-a>0$ 、 $a+i>0$ を満たすように取る。 $(a_*,b_*,c_*)=(a+i,b+j,c+j+i)$ とおくと、 $c_*-a_*=c+j-a>0$ 、 $a_*>0$ 、 $c_*-a_*-b_*=c-a-b>0$ であるから、 $(b_*,a_*,c_*)\in E_0$ は $c_*>a_*>0$ を満たし、 $c>b>0$ の場合の結論と $G,R$ の対称性により $P(a_*,b_*,c_*)$ が成り立つ。 $i$ についての帰結を $(a',b',c')=(a,b+j,c+j)$ に用いると $P(a,b+j,c+j)$ が成り立ち、 $j$ についての帰結を $(a',b',c')=(a,b,c)$ に用いると $P(a,b,c)$ が成り立つ。最後の主張は、 $c,c-a,c-b,c-a-b$ が正のとき $q=1/\Gamma$ であることによる。▨

例 3.5.

$a,b\in\C$ 、 $b\notin\Z_{\le0}$ とする。このとき、すべての $z\in D(0,1)$ について、 $(1-z)^{-a}$ を主値として $F(a,b;b;z)=(1-z)^{-a}$ である。これは命題 2.9の主張である。
すべての $z\in D(0,1)$ について $zF(1,1;2;z)=-\operatorname{Log}(1-z)$ である。実際、 $(1)_n=n!$ 、 $(2)_n=(n+1)!$ であるから $F(1,1;2;z)=\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{n+1}$ である。 $z\in D(0,1)$ について $1-z\notin(-\infty,0]$ であるから、 $g(z)=zF(1,1;2;z)+\operatorname{Log}(1-z)$ は§E5.3 命題 2.10により $D(0,1)$ 上で正則であり、§E5.7 定理 1.5により $g'(z)=\sum_{n\ge0}z^n-\frac1{1-z}$ である。 $N\in\N$ について $(1-z)\sum_{n=0}^Nz^n=1-z^{N+1}$ であり、 $\lvert z\rvert<1$ により $z^{N+1}\to0$ であるから、 $\sum_{n\ge0}z^n=\frac1{1-z}$ であって $g'=0$ である。§E5.4 命題 4.3により $g$ は $D(0,1)$ 上で定数 $g(0)=0$ である。この例では $c-a-b=0$ である。級数 $\sum_{n\ge0}\frac1{n+1}$ の部分和の列は単調に増加し、すべての $x\in(0,1)$ について、その上限は $\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{n+1}=-x^{-1}\ln(1-x)$ 以上である。 $x\to1$ のとき $-x^{-1}\ln(1-x)\to+\infty$ であるから、級数 $\sum_{n\ge0}\frac1{n+1}$ は発散する。したがって、定理 3.4の級数の収束は $c-a-b>0$ を外すと成り立たない。

定理 4.1. $a,b,c\in\R$ が $c\notin\Z_{\le0}$ と $c-a-b\notin\Z$ を満たすとし、 $q$ を逆 Gamma 関数の実数延長とする。このとき、すべての $z\in(0,1)$ について

F(a,b;c;z)=\frac{q(c-a)\,q(c-b)}{q(c)\,q(c-a-b)}F(a,b;a+b-c+1;1-z)+\frac{q(a)\,q(b)}{q(c)\,q(a+b-c)}(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c-a-b+1;1-z)

が成り立つ。

証明. 右辺の二つの係数を $\kappa_1,\kappa_2$ とし、 $H=H_{a,b,c}$ 、 $u_1,u_2$ を命題 2.6 (3)のとおりとする。 $q(c)\ne0$ 、 $q(c-a-b)\ne0$ 、 $q(a+b-c)\ne0$ であるから $\kappa_1,\kappa_2$ は定まる。

$c-a-b>0$ の場合を考える。 $\Omega=D(0,1)\cap D(1,1)$ は $(0,1)$ を含む凸な開集合であるから領域であり、 $\Omega\subseteq U_1$ である。定理 2.4 (2)と命題 2.6 (3)により $F(a,b;c;\cdot)$ 、 $u_1$ 、 $u_2$ の $\Omega$ への制限は $\mathcal S_H(\Omega)$ に属し、 $[u_1]_{1/2},[u_2]_{1/2}$ は $\mathcal S_{H,1/2}$ の基底であるから、 $[F(a,b;c;\cdot)]_{1/2}=\theta_1[u_1]_{1/2}+\theta_2[u_2]_{1/2}$ を満たす $\theta_1,\theta_2\in\C$ が存在する。§E5.8 定理 3.1により $\Omega$ 上で $F(a,b;c;\cdot)=\theta_1u_1+\theta_2u_2$ である。

実数 $x$ が $0<x<1$ の範囲で $1$ に近づくとき、 $F(a,b;c;x)\to F(a,b;c;1)$ （補題 3.1 (4)）、 $u_1(x)\to1$ 、 $u_2(x)=(1-x)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c-a-b+1;1-x)\to0$ であるから、定理 3.4により $\theta_1=F(a,b;c;1)=\kappa_1$ である。

$m\in\NN$ を $c-a-b<m$ を満たす最小の整数とし、 $\rho=c-a-b$ 、 $s=m-\rho$ とおくと $s>0$ である。

主張 4.1.1. $D(0,1)$ 上の正則関数 $h_j$ （ $j\in\N$ ）が存在して、 $U_1$ 上で $u_2^{(j)}(z)=(1-z)^{\rho-j}h_j(1-z)$ が成り立ち、 $h_j(0)=(a+b-c)_j$ である。

証明. $h_0=F(c-a,c-b;c-a-b+1;\cdot)$ とし、 $h_{j+1}(w)=-(\rho-j)h_j(w)-wh_j'(w)$ と定める。 $h_0(0)=1$ である。 $(1-z)^{\rho-j}=(1-z)(1-z)^{\rho-j-1}$ であるから、 $u_2^{(j)}(z)=(1-z)^{\rho-j}h_j(1-z)$ を微分すると $u_2^{(j+1)}(z)=-(\rho-j)(1-z)^{\rho-j-1}h_j(1-z)-(1-z)^{\rho-j}h_j'(1-z)=(1-z)^{\rho-j-1}h_{j+1}(1-z)$ である。 $h_{j+1}(0)=(-\rho+j)h_j(0)$ であり、 $-\rho=a+b-c$ であるから、 $j$ についての帰納法により主張が成り立つ。▨

$u_1$ は $D(1,1)$ 上で正則であるから、 $u_1^{(m)}$ は $[1/2,1]$ 上で有界であり、 $x\to1$ のとき $(1-x)^su_1^{(m)}(x)\to0$ である。主張 4.1.1により $(1-x)^su_2^{(m)}(x)=h_m(1-x)\to(a+b-c)_m$ である。他方、定理 2.4 (4)を繰り返し用いると $\frac{d^m}{dz^m}F(a,b;c;z)=\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m}F(a+m,b+m;c+m;z)$ であり、 $c+m\notin\Z_{\le0}$ 、 $(c+m)-(a+m)-(b+m)=-s$ であるから、系 2.7により

(1-x)^s\frac{d^m}{dx^m}F(a,b;c;x)=\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m}F(c-a,c-b;c+m;x)

である。 $(c+m)-(c-a)-(c-b)=s>0$ であるから、補題 3.1 (4)と定理 3.4により、右辺は $\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m}\cdot\frac{q(a+m)q(b+m)}{q(c+m)q(s)}$ に収束する。 $\Omega$ 上の等式 $F(a,b;c;\cdot)=\theta_1u_1+\theta_2u_2$ を $m$ 回微分して比べると

\theta_2(a+b-c)_m=\frac{(a)_mq(a+m)\cdot(b)_mq(b+m)}{(c)_mq(c+m)\cdot q(s)}

を得る。§E4.15 式 (4.2.1)を繰り返し用いると、 $\xi\in\R$ について $q(\xi)=(\xi)_mq(\xi+m)$ であるから、右辺は $\frac{q(a)q(b)}{q(c)}\cdot\frac{(a+b-c)_m}{q(a+b-c)}$ に等しい。 $a+b-c\notin\Z$ により $(a+b-c)_m\ne0$ であるから、 $\theta_2=\kappa_2$ である。

$c-a-b<0$ の場合を考える。 $(c-a,c-b,c)$ は $c\notin\Z_{\le0}$ と $c-(c-a)-(c-b)=a+b-c>0$ を満たし、 $a+b-c\notin\Z$ であるから、 $c-a-b>0$ の場合に示した等式を $(c-a,c-b,c)$ に適用すると、 $z\in(0,1)$ について

F(c-a,c-b;c;z)=\kappa_2F(c-a,c-b;c-a-b+1;1-z)+\kappa_1(1-z)^{a+b-c}F(a,b;a+b-c+1;1-z)

である。両辺に $(1-z)^{c-a-b}$ を掛けると、系 2.7により左辺は $F(a,b;c;z)$ になり、右辺は $\kappa_2u_2(z)+\kappa_1u_1(z)$ になる。▨

補題 4.2. $D=\C\setminus\{0,1\}$ 、 $n\in\NN$ とし、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とする。 $z_0\in(0,1)$ とし、 $\gamma_0(t)=z_0e^{2\pi it}$ 、 $\gamma_1(t)=1-(1-z_0)e^{2\pi it}$ （ $0\le t\le1$ ）とおく。このとき、 $\gamma(0)=\gamma(1)=z_0$ を満たす $D$ 内の任意の閉曲線 $\gamma$ について、 $T_\gamma$ は $T_{\gamma_0},T_{\gamma_1}$ が生成する $\GL(\mathcal S_{A,z_0})$ の部分群に属する。したがって $M_{A,z_0}$ は $T_{\gamma_0},T_{\gamma_1}$ で生成される。 $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とする $n$ 階方程式 $Ly=0$ についても、 $M_{L,z_0}$ は $T^L_{\gamma_0},T^L_{\gamma_1}$ で生成される。

証明. $G$ を $T_{\gamma_0},T_{\gamma_1}$ が生成する部分群とする。 $u,v\in\C$ について、 $[u,v]$ で連続写像 $t\mapsto u+t(v-u)$ （ $0\le t\le1$ ）を表す。

主張 4.2.1. $S\subseteq D$ と $c_S\in S$ が、すべての $w\in S$ について $[c_S,w]$ の像が $S$ に含まれるという条件を満たすとする。 $\alpha,\beta:[0,1]\to S$ を $\alpha(0)=\beta(0)$ 、 $\alpha(1)=\beta(1)$ を満たす連続写像とする。このとき $T_\alpha=T_\beta$ である。

証明. $\delta=\alpha*\beta^-$ とし、 $H(s,t)=(1-s)\delta(t)+sc_S$ とおく。 $H(s,t)$ は $[c_S,\delta(t)]$ の像の点であるから $S\subseteq D$ に属し、 $H$ は連続で、 $H(0,t)=\delta(t)$ 、 $H(1,t)=c_S$ 、 $H(s,0)=H(s,1)$ を満たす。§E13.37 系 6.3により $T_\delta$ は恒等写像であり、§E13.37 命題 5.5 (2)と§E13.37 命題 5.5 (3)により $T_\delta=T_\beta^{-1}\circ T_\alpha$ であるから、 $T_\alpha=T_\beta$ である。▨

$\Omega_M=\C\setminus((-\infty,0]\cup[1,\infty))$ 、 $\Omega_L=\C\setminus[0,\infty)$ 、 $\Omega_R=\C\setminus(-\infty,1]$ 、 $\bar H_+=\{w\in\C:\Im w\ge0\}\setminus\{0,1\}$ 、 $\bar H_-=\{w\in\C:\Im w\le0\}\setminus\{0,1\}$ とし、 $c_M=z_0$ 、 $c_L=-1$ 、 $c_R=2$ 、 $c_+=i$ 、 $c_-=-i$ とする。この五つの集合は $D$ に含まれ、それぞれの点 $c$ について主張 4.2.1の条件を満たす。実際、 $X\in\{M,L,R\}$ と $w\in\Omega_X$ について、 $w\notin\R$ ならば $[c_X,w]$ の $t>0$ における点の虚部は零でない。 $w\in\R$ ならば、 $X=M,L,R$ に応じて $w$ と $c_X$ はともに $(0,1)$ 、 $(-\infty,0)$ 、 $(1,\infty)$ に属し、 $[c_X,w]$ の像はその区間に含まれる。 $w\in\bar H_\pm$ について、 $[\pm i,w]$ の $t<1$ における点の虚部の絶対値は $1-t>0$ 以上である。

$\alpha_\pm(t)=z_0e^{\pm i\pi t}$ 、 $\beta_\pm(t)=1-(1-z_0)e^{\mp i\pi t}$ とおく。 $\alpha_+,\beta_+$ の像は $\bar H_+$ に、 $\alpha_-,\beta_-$ の像は $\bar H_-$ に含まれ、 $\alpha_\pm(1)=-z_0$ 、 $\beta_\pm(1)=2-z_0$ である。 $\gamma_0=\alpha_+*\alpha_-^-$ 、 $\gamma_1=\beta_-*\beta_+^-$ であるから、§E13.37 命題 5.5 (2)と§E13.37 命題 5.5 (3)により $T_{\gamma_0}=T_{\alpha_-}^{-1}\circ T_{\alpha_+}$ 、 $T_{\gamma_1}=T_{\beta_+}^{-1}\circ T_{\beta_-}$ である。 $\tau_M$ と $\nu_M$ を $z_0$ の定値写像とし、 $\tau_L=\alpha_+*[-z_0,-1]$ 、 $\nu_L=\alpha_-*[-z_0,-1]$ 、 $\tau_R=\beta_+*[2-z_0,2]$ 、 $\nu_R=\beta_-*[2-z_0,2]$ とおく。 $X\in\{M,L,R\}$ について、 $\tau_X$ と $\nu_X$ は $z_0$ から $c_X$ への連続写像であり、 $\tau_X$ の像は $\bar H_+$ に、 $\nu_X$ の像は $\bar H_-$ に含まれる。 $k_X=T_{\tau_X}^{-1}\circ T_{\nu_X}$ とおくと、§E13.37 命題 5.5 (1)と§E13.37 命題 5.5 (2)により、 $k_M$ は恒等写像であり、 $k_L=T_{\alpha_+}^{-1}\circ T_{\alpha_-}=T_{\gamma_0}^{-1}$ 、 $k_R=T_{\beta_+}^{-1}\circ T_{\beta_-}=T_{\gamma_1}$ である。

$X,Y\in\{M,L,R\}$ と $w\in\Omega_X\cap\Omega_Y$ について $h(X,Y,w)=T_{\tau_Y}^{-1}\circ T_{[w,c_Y]}\circ T_{[c_X,w]}\circ T_{\tau_X}$ とおく。 $X=Y$ ならば、 $[w,c_X]=[c_X,w]^-$ と§E13.37 命題 5.5 (3)により $h(X,X,w)$ は恒等写像である。 $X\ne Y$ とする。 $\Omega_M,\Omega_L,\Omega_R$ に含まれる実数の全体はそれぞれ $(0,1)$ 、 $(-\infty,0)$ 、 $(1,\infty)$ であるから、 $w\notin\R$ である。 $\Im w>0$ ならば、 $[c_X,w]*[w,c_Y]$ と $\tau_X^-*\tau_Y$ はともに $\bar H_+$ の中の $c_X$ から $c_Y$ への連続写像であるから、主張 4.2.1により $T_{[w,c_Y]}\circ T_{[c_X,w]}=T_{\tau_Y}\circ T_{\tau_X}^{-1}$ であり、 $h(X,Y,w)$ は恒等写像である。 $\Im w<0$ ならば、 $[c_X,w]*[w,c_Y]$ と $\nu_X^-*\nu_Y$ はともに $\bar H_-$ の中の $c_X$ から $c_Y$ への連続写像であるから、主張 4.2.1により $T_{[w,c_Y]}\circ T_{[c_X,w]}=T_{\nu_Y}\circ T_{\nu_X}^{-1}$ であり、 $h(X,Y,w)=k_Y\circ k_X^{-1}$ である。いずれの場合も $h(X,Y,w)\in G$ である。

$\gamma$ を $z_0$ を基点とする $D$ 内の閉曲線とする。 $[0,1]$ は§E2.9 定理 4.3と§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。 $\Omega_M\cup\Omega_L\cup\Omega_R=D$ であるから、 $\gamma^{-1}(\Omega_X)$ （ $X\in\{M,L,R\}$ ）は $[0,1]$ の開被覆であり、§E2.9 補題 2.3によりこの開被覆は Lebesgue 数 $\delta>0$ をもつ。 $1/N<\delta$ を満たす $N\in\NN$ を取り、 $t_k=k/N$ とおくと、 $[t_{k-1},t_k]\subseteq B(t_{k-1},\delta)$ であるから、各 $k$ について $\gamma([t_{k-1},t_k])\subseteq\Omega_{X_k}$ を満たす $X_k\in\{M,L,R\}$ が存在する。 $z_0$ を含むのは $\Omega_M$ だけであるから $X_1=X_N=M$ であり、 $X_{N+1}=M$ とおく。 $w_k=\gamma(t_k)$ 、 $\gamma_k(s)=\gamma(t_{k-1}+s/N)$ とおく。各 $\gamma_k$ について§E13.37 命題 5.3 (1)の分割と開円板を取り、 $[t_{k-1},t_k]$ へ移して並べると $\gamma$ についての分割と開円板を得るから、§E13.37 定義 5.4の表示により $T_\gamma=T_{\gamma_N}\circ\cdots\circ T_{\gamma_1}$ である。

$0\le k\le N$ について $w_k\in\Omega_{X_{k+1}}$ であり、 $\sigma_k=\tau_{X_{k+1}}*[c_{X_{k+1}},w_k]$ とおく。 $\sigma_0$ と $\sigma_N$ は定値写像の連結であるから、§E13.37 命題 5.5 (1)と§E13.37 命題 5.5 (2)により $T_{\sigma_0}$ と $T_{\sigma_N}$ は恒等写像であり、 $T_\gamma=g_N\circ\cdots\circ g_1$ 、 $g_k=T_{\sigma_k}^{-1}\circ T_{\gamma_k}\circ T_{\sigma_{k-1}}$ である。 $[c_{X_k},w_{k-1}]*\gamma_k$ と $[c_{X_k},w_k]$ はともに $\Omega_{X_k}$ の中の $c_{X_k}$ から $w_k$ への連続写像であるから、主張 4.2.1により $T_{\gamma_k}\circ T_{[c_{X_k},w_{k-1}]}=T_{[c_{X_k},w_k]}$ である。したがって

g_k=T_{\tau_{X_{k+1}}}^{-1}\circ T_{[w_k,c_{X_{k+1}}]}\circ T_{[c_{X_k},w_k]}\circ T_{\tau_{X_k}}=h(X_k,X_{k+1},w_k)

であり、 $w_k\in\Omega_{X_k}\cap\Omega_{X_{k+1}}$ であるから $g_k\in G$ である。よって $T_\gamma\in G$ である。 $T_{\gamma_0},T_{\gamma_1}\in M_{A,z_0}$ であるから $M_{A,z_0}=G$ である。 $n$ 階方程式についての主張は、§E13.37 定義 7.1の $M_{L,z_0}=\varphi_{z_0}^{-1}\circ M_{A_L,z_0}\circ\varphi_{z_0}$ と§E13.37 命題 5.5 (4)により、 $A_L$ についての主張から得られる。▨

定理 4.3. $a,b,c\in\C$ 、 $H=H_{a,b,c}$ とし、 $z_0\in(0,1)$ と $\gamma_0,\gamma_1$ を補題 4.2のとおりとする。このとき、次が成り立つ。

$M_{H,z_0}$ は $T^H_{\gamma_0},T^H_{\gamma_1}$ で生成される。
$c\notin\Z$ ならば、 $\varphi_1,\varphi_2$ を命題 2.6 (1)のとおりとすると、基底 $[\varphi_1]_{z_0},[\varphi_2]_{z_0}$ に関する $T^H_{\gamma_0}$ の行列は $\operatorname{diag}(1,e^{-2\pi ic})$ である。
$c-a-b\notin\Z$ ならば、 $u_1,u_2$ を命題 2.6 (3)のとおりとすると、基底 $[u_1]_{z_0},[u_2]_{z_0}$ に関する $T^H_{\gamma_1}$ の行列は $\operatorname{diag}(1,e^{2\pi i(c-a-b)})$ である。
$a,b,c\in\R$ 、 $c\notin\Z$ 、 $c-a-b\notin\Z$ とし、 $q$ を逆 Gamma 関数の実数延長として $\Theta=\begin{pmatrix}\theta_{11}&\theta_{12}\\\theta_{21}&\theta_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{q(c-a)q(c-b)}{q(c)q(c-a-b)}&\dfrac{q(1-a)q(1-b)}{q(2-c)q(c-a-b)}\\[2mm]\dfrac{q(a)q(b)}{q(c)q(a+b-c)}&\dfrac{q(a-c+1)q(b-c+1)}{q(2-c)q(a+b-c)}\end{pmatrix}$ とおく。このとき $j=1,2$ について $[\varphi_j]_{z_0}=\theta_{1j}[u_1]_{z_0}+\theta_{2j}[u_2]_{z_0}$ であり、 $\Theta$ は可逆であって、基底 $[\varphi_1]_{z_0},[\varphi_2]_{z_0}$ に関する $T^H_{\gamma_1}$ の行列は $\Theta^{-1}\operatorname{diag}(1,e^{2\pi i(c-a-b)})\Theta$ である。

証明.主張 (1)は補題 4.2を $H$ の係数に適用すると得られる。

主張 (2)を示す。 $\varphi_1(z)=F(a,b;c;z)$ と $\varphi_2(z)=z^{1-c}F(a-c+1,b-c+1;2-c;z)$ は、 $0$ における指数 $0,1-c$ について、 $z^0$ と $z^{1-c}$ に $D(0,1)$ 上の正則関数で $0$ における値が $1$ のものを掛けた関数であり、命題 2.6 (1)により $\mathcal S_H(U_0)$ に属するから、§E13.38 定理 4.3 (1)、§E13.38 定理 4.3 (2)の形の解である。 $\gamma_0$ は $0$ を中心とする半径 $z_0$ の円である。§E13.38 命題 5.1 (1)により $T^H_{\gamma_0}[\varphi_1]_{z_0}=[\varphi_1]_{z_0}$ 、 $T^H_{\gamma_0}[\varphi_2]_{z_0}=e^{2\pi i(1-c)}[\varphi_2]_{z_0}=e^{-2\pi ic}[\varphi_2]_{z_0}$ である。

主張 (3)を示す。 $\tilde c=a+b-c+1$ 、 $\tilde H=H_{a,b,\tilde c}$ 、 $\iota(z)=1-z$ とし、 $\psi_1,\psi_2$ を命題 2.6 (2)のとおり、 $R_w$ （ $w\in D$ ）を補題 2.5 (2)のとおりとする。 $\iota\circ\gamma_1(t)=(1-z_0)e^{2\pi it}$ は、 $1-z_0\in(0,1)$ を基点とする補題 4.2の $\gamma_0$ にあたる。 $\tilde c\notin\Z$ であるから、主張 (2)を $\tilde H$ と基点 $1-z_0$ に適用すると、 $T^{\tilde H}_{\iota\circ\gamma_1}[\psi_1]_{1-z_0}=[\psi_1]_{1-z_0}$ 、 $T^{\tilde H}_{\iota\circ\gamma_1}[\psi_2]_{1-z_0}=e^{-2\pi i\tilde c}[\psi_2]_{1-z_0}$ であり、 $e^{-2\pi i\tilde c}=e^{2\pi i(c-a-b)}$ である。命題 2.6 (2)により $R_{z_0}[u_j]_{z_0}=[\psi_j]_{1-z_0}$ であるから、補題 2.5 (3)により $R_{z_0}T^H_{\gamma_1}[u_1]_{z_0}=T^{\tilde H}_{\iota\circ\gamma_1}[\psi_1]_{1-z_0}=R_{z_0}[u_1]_{z_0}$ 、 $R_{z_0}T^H_{\gamma_1}[u_2]_{z_0}=e^{2\pi i(c-a-b)}R_{z_0}[u_2]_{z_0}$ である。 $R_{z_0}$ は単射であるから、 $T^H_{\gamma_1}[u_1]_{z_0}=[u_1]_{z_0}$ 、 $T^H_{\gamma_1}[u_2]_{z_0}=e^{2\pi i(c-a-b)}[u_2]_{z_0}$ である。

主張 (4)を示す。 $\Omega=D(0,1)\cap D(1,1)$ は $(0,1)$ を含む凸な開集合であるから領域であり、 $\Omega\subseteq U_0\cap U_1$ であるから、§E5.8 定理 3.1により、 $(0,1)$ 上の等式 $\varphi_j=\theta_{1j}u_1+\theta_{2j}u_2$ から芽の等式が従う。 $j=1$ の等式は定理 4.1である。 $(a',b',c')=(a-c+1,b-c+1,2-c)$ は実数で、 $c'\notin\Z_{\le0}$ 、 $c'-a'-b'=c-a-b\notin\Z$ を満たし、 $c'-a'=1-a$ 、 $c'-b'=1-b$ 、 $a'+b'-c'+1=a+b-c+1$ である。 $x\in(0,1)$ について定理 4.1を $(a',b',c')$ に適用すると

\varphi_2(x)=\theta_{12}\,x^{1-c}F(a-c+1,b-c+1;a+b-c+1;1-x)+\theta_{22}\,x^{1-c}(1-x)^{c-a-b}F(1-a,1-b;c-a-b+1;1-x)

である。系 2.7を $(a-c+1,b-c+1,a+b-c+1)$ と $(1-a,1-b,c-a-b+1)$ に適用すると、いずれも第三の数から第一と第二の数を引いた値は $c-1$ であるから、

F(a-c+1,b-c+1;a+b-c+1;1-x)=x^{c-1}F(b,a;a+b-c+1;1-x),\qquad F(1-a,1-b;c-a-b+1;1-x)=x^{c-1}F(c-b,c-a;c-a-b+1;1-x)

である。よって $\varphi_2=\theta_{12}u_1+\theta_{22}u_2$ が $(0,1)$ 上で成り立つ。 $[\varphi_1]_{z_0},[\varphi_2]_{z_0}$ と $[u_1]_{z_0},[u_2]_{z_0}$ はいずれも基底であるから $\Theta$ は可逆であり、基底の取り替えの行列が $\Theta$ であることと主張 (3)により、最後の主張が成り立つ。▨

例 4.4. $H=H_{a,b,c}$ とし、 $z_0\in(0,1)$ と $\gamma_0$ を補題 4.2のとおりとする。

$m\in\N$ 、 $c=-m$ とし、 $a,b\in\C$ が $(a)_{m+1}(b)_{m+1}\ne0$ を満たすとする。このとき、 $0<r\le1$ について、 $D(0,r)$ 上の正則関数 $y$ で、 $y(0)=1$ を満たし、 $D(0,r)\setminus\{0\}$ への制限が $\mathcal S_H(D(0,r)\setminus\{0\})$ に属するものは存在しない。実際、そのような $y$ があれば、§E5.7 定理 2.1により $D(0,r)$ 上で $y=\sum_ny_nz^n$ であり、 $z(1-z)y''+(c-(a+b+1)z)y'-aby$ は $D(0,r)$ 上で零であり、その $z^n$ の係数 $(n+1)(n-m)y_{n+1}-(n+a)(n+b)y_n$ は零である。 $n<m$ について $(n+1)(n-m)\ne0$ であるから、 $n\le m$ について $y_n=\frac{(a)_n(b)_n}{(-m)_nn!}$ であり、 $n=m$ の係数から $(m+a)(m+b)y_m=0$ を得る。他方 $(m+a)(m+b)y_m=\frac{(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(-m)_mm!}\ne0$ である。この二つは両立しない。したがって、定理 2.4 (2)の仮定 $c\notin\Z_{\le0}$ は外すことができない。
$c=1$ とし、 $a,b\in\C$ とする。このとき、 $0$ における指数は $0,0$ であり、 $zp$ と $z^2q$ は $D(0,1)$ 上で正則である。§E13.38 定理 4.3 (3)の $N=0$ の場合の解 $y_1,y_2$ について、§E13.38 命題 5.1 (2)により、基底 $[y_1]_{z_0},[y_2]_{z_0}$ に関する $T^H_{\gamma_0}$ の行列は $\begin{pmatrix}1&2\pi i\\0&1\end{pmatrix}$ であり、 $T^H_{\gamma_0}$ は対角化可能でない。したがって定理 4.3 (2)の結論は $c\notin\Z$ を外すと成り立たない。
$m\in\N$ 、 $a=-m$ 、 $b\in\C$ 、 $c\in\C\setminus\Z_{\le0}$ とし、 $P=F(-m,b;c;\cdot)$ とおく。このとき、定理 2.4 (2)により $P$ は多項式であり、その $D$ への制限は $\mathcal S_H(D)$ に属する。 $D$ 内の任意の閉曲線 $\gamma$ について、すべての $t$ に $(\Phi_D(P),D)$ を対応させる族（§E13.37 命題 4.1 (1)の $\Phi_D(P)=(P,P')^{\mathsf T}$ ）は伴随系に対する $\gamma$ に沿う解の接続であるから、 $T^H_\gamma[P]_{z_0}=[P]_{z_0}$ である。したがって $M_{H,z_0}$ のすべての元は零でない同じ元 $[P]_{z_0}$ を固定する。 $b,c$ が実数で $c\notin\Z$ 、 $c-a-b\notin\Z$ ならば、 $q(-m)=0$ により定理 4.3 (4)の $\theta_{21}$ は $0$ であり、 $[P]_{z_0}=\theta_{11}[u_1]_{z_0}$ である。

定義 5.1. $\alpha,\beta\in\R$ 、 $\alpha>-1$ 、 $\beta>-1$ 、 $n\in\N$ とする。多項式

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}F\Bigl(-n,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1;\frac{1-x}{2}\Bigr)

をJacobi 多項式 (Jacobi polynomial) という。

定義 5.2. $T_0(x)=1$ 、 $T_1(x)=x$ とし、 $k\in\NN$ について $T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x)$ と定める。多項式 $T_n$ （ $n\in\N$ ）をChebyshev 多項式 (Chebyshev polynomial) という。

命題 5.3. $n\in\N$ とする。このとき、次が成り立つ。

$\alpha,\beta>-1$ とし、 $\lambda_n=n(n+\alpha+\beta+1)$ とおく。このとき、多項式 $y$ が $\R$ 上で $(1-x^2)y''+\bigl(\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x\bigr)y'+\lambda_ny=0$ を満たすための必要十分条件は、 $y$ が $P_n^{(\alpha,\beta)}$ の定数倍であることである。 $P_n^{(\alpha,\beta)}$ の次数は $n$ であり、 $P_n^{(\alpha,\beta)}(1)=(\alpha+1)_n/n!$ である。
$\alpha,\beta>-1$ とし、 $\lambda_n=n(n+\alpha+\beta+1)$ とおく。このとき、 $P_n^{(\alpha,\beta)}$ の $(-1,1)$ への制限は、 $p(x)=(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}$ 、 $q=0$ 、 $w(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ についての $\ell[y]=\lambda_nwy$ の解である。
すべての $\theta\in\R$ について $T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ であり、すべての $x\in\R$ について $T_n(x)=F\Bigl(-n,n;\frac12;\frac{1-x}{2}\Bigr)=\frac{n!}{(1/2)_n}P_n^{(-1/2,-1/2)}(x)$ である。

証明.主張 (1)を示す。多項式 $y$ について $Y(w)=y(1-2w)$ とおく。 $y'(1-2w)=-Y'(w)/2$ 、 $y''(1-2w)=Y''(w)/4$ 、 $1-(1-2w)^2=4w(1-w)$ 、 $\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)(1-2w)=-2\bigl(\alpha+1-(\alpha+\beta+2)w\bigr)$ であるから、左辺の $x=1-2w$ における値は

w(1-w)Y''(w)+\bigl(\alpha+1-(\alpha+\beta+2)w\bigr)Y'(w)+\lambda_nY(w)

に等しい。これは $a=-n$ 、 $b=n+\alpha+\beta+1$ 、 $c=\alpha+1$ の超幾何方程式の左辺である（ $a+b+1=\alpha+\beta+2$ 、 $-ab=\lambda_n$ ）。 $c=\alpha+1>0$ である。

十分性を示す。定理 2.4 (2)により $F(-n,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1;\cdot)$ は $\C$ 上で超幾何方程式を満たす多項式であるから、その定数倍に $w=(1-x)/2$ を代入した多項式は方程式を満たす。

必要性を示す。 $y$ が方程式を満たす多項式ならば、 $Y$ は $\R$ 上で超幾何方程式を満たす多項式であり、超幾何方程式の左辺は $\R$ 上で零となる多項式であるから $\C$ 上で零である。定理 2.4 (3)により $D(0,1)$ 上で $Y=Y(0)F(-n,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1;\cdot)$ であり、両辺は多項式であるから $\C$ 上で等しい。 $(\alpha+1)_n>0$ であるから、 $y$ は $P_n^{(\alpha,\beta)}$ の定数倍である。

$F(-n,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1;w)$ の $w^n$ の係数は $\frac{(-n)_n(n+\alpha+\beta+1)_n}{(\alpha+1)_nn!}$ であり、 $(-n)_n=(-1)^nn!$ 、 $n\ge1$ のとき $(n+\alpha+\beta+1)_n$ の各因子は $n-1\ge0$ より大きいから、この係数は零でない。よって $P_n^{(\alpha,\beta)}$ の次数は $n$ である。 $x=1$ は $w=0$ に対応し、 $F(\cdots;0)=1$ であるから $P_n^{(\alpha,\beta)}(1)=(\alpha+1)_n/n!$ である。

主張 (2)を示す。主張 (1)により $P_n^{(\alpha,\beta)}$ は $\R$ 上で $\lambda=\lambda_n$ の Jacobi の方程式を満たし、多項式であるから $C^1$ で導関数は局所絶対連続である。§E13.26 命題 2.2 (1)により、その $(-1,1)$ への制限は示した $p,q,w$ についての $\ell[y]=\lambda_nwy$ の解である。

主張 (3)を示す。 $T_0(\cos\theta)=1$ 、 $T_1(\cos\theta)=\cos\theta$ であり、 $\cos(k+1)\theta+\cos(k-1)\theta=2\cos\theta\cos k\theta$ であるから、 $k$ についての帰納法により $T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ である。この等式を $\theta$ で二回微分すると $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta)=-n\sin n\theta$ 、 $\sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta)-\cos\theta\,T_n'(\cos\theta)=-n^2\cos n\theta$ であり、 $x=\cos\theta\in(-1,1)$ について $(1-x^2)T_n''(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0$ である。左辺は $(-1,1)$ 上で零となる多項式であるから $\R$ 上で零である。この方程式は $\alpha=\beta=-1/2$ の場合の主張 (1)の方程式であり（ $\lambda_n=n^2$ ）、主張 (1)により $T_n$ は $P_n^{(-1/2,-1/2)}$ の定数倍である。 $T_n(1)=1$ 、 $P_n^{(-1/2,-1/2)}(1)=(1/2)_n/n!$ であるから $T_n=\frac{n!}{(1/2)_n}P_n^{(-1/2,-1/2)}$ であり、定義 5.1により右辺は $F(-n,n;\frac12;\frac{1-x}2)$ に等しい。▨

命題 5.4. $n\in\N$ とする。このとき、すべての $x\in\R$ について

P_n(x)=F\Bigl(-n,n+1;1;\frac{1-x}{2}\Bigr)=P_n^{(0,0)}(x)

が成り立つ。

証明. $\alpha=\beta=0$ のとき、命題 5.3 (1)の方程式は $\nu=n$ の Legendre 方程式§E13.35 式 (1.1.1)である。 $P_n$ は§E13.35 定義 1.1によりこの方程式の多項式解であるから、命題 5.3 (1)により $P_n^{(0,0)}$ の定数倍であり、 $P_n(1)=1=(1)_n/n!=P_n^{(0,0)}(1)$ であるから $P_n=P_n^{(0,0)}$ である。定義 5.1により $P_n^{(0,0)}(x)=F(-n,n+1;1;\frac{1-x}2)$ である。▨

問題 6.1.

$n\in\N$ 、 $b\in\C$ 、 $c\in\R\setminus\Z_{\le0}$ とする。 $F(-n,b;c;1)=\dfrac{(c-b)_n}{(c)_n}$ を示せ。
$n\in\N$ について、1 を用いて $\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n$ を示せ。

問題 6.2.系 2.8の証明を、命題 1.5を用いて完成させよ。

§E13.39超幾何方程式

1 Riemann の P 記号

2 超幾何方程式と超幾何級数

3 Euler の積分表示と Gauss の和公式

4 接続公式とモノドロミー

5 直交多項式との関係

6 演習

参考文献

前提記事