§E13.16相平面

証明.主張 (1)を示す。$x$を含み$f$の零点を含まない$U$の部分区間はすべて点$x$を共有するから、その和集合$C$は区間である。$y\in C$とすると、$f(y)\ne0$であり、$U$は開集合で$f$は連続であるから、$\varepsilon>0$が存在して、$(y-\varepsilon,y+\varepsilon)\subseteq U$かつこの区間上で$f\ne0$である。この区間と、$x$と$y$を含み$f$の零点を含まない$U$の部分区間との和は、$x$を含み$f$の零点を含まない$U$の部分区間であるから、$C$に含まれる。したがって$C$は開区間である。$a,b\in C$について$f(a)$と$f(b)$の符号が異なるならば、$a$と$b$を端点とする閉区間は$C$に含まれ、§D1.12 系 1.2によりその閉区間に$f$の零点が存在する。これは$C$が$f$の零点を含まないことに反するから、$f$は$C$上で$f(x)$と同じ符号をとる。

$t\in I(x)$とし、$y=\varphi_t(x)$とおく。$f(y)=0$ならば、§E13.15 命題 4.3 (2)により$\gamma(y)=\{y\}$であり、$y\in\gamma(x)$であるから§E13.15 命題 4.3 (1)により$\gamma(x)=\gamma(y)=\{y\}$である。このとき$x=y$であり、これは$f(x)\ne0$に反する。したがって$\gamma(x)$は$f$の零点を含まない。$t_1<t_2$を$I(x)$の点とすると、§D1.12 系 1.2を$[t_1,t_2]$上の連続関数$s\mapsto\varphi_s(x)$に適用することにより、$\varphi_{t_1}(x)$と$\varphi_{t_2}(x)$の間の値はすべて$\gamma(x)$に属する。したがって$\gamma(x)$は$x$を含み$f$の零点を含まない$U$の部分区間であり、$\gamma(x)\subseteq C$である。

主張 (2)を示す。$t_1<t_2$を$I(x)$の点とする。$s\mapsto\varphi_s(x)$は$I(x)$上で微分可能であり、その導関数は$s\mapsto f(\varphi_s(x))$である。§D1.14 定理 3.1により、$c\in(t_1,t_2)$が存在して$\varphi_{t_2}(x)-\varphi_{t_1}(x)=f(\varphi_c(x))(t_2-t_1)$である。主張 (1)により$\varphi_c(x)\in C$であり、$f(\varphi_c(x))$は$f(x)$と同じ符号をもつ。

主張 (3)を示す。§E13.15 定理 5.3 (2)により、$[0,\infty)\subseteq I(x)$であり、$\omega(x)$は空でなく、$\omega(x)\subseteq K$である。$f(x)>0$ならば$\sigma=1$、$f(x)<0$ならば$\sigma=-1$とおくと、主張 (2)により$s\mapsto\sigma\varphi_s(x)$は$I(x)$上で狭義単調増加である。$\ell\in\omega(x)$と、$\varphi_{t_m}(x)\to\ell$を満たす数列$t_m\to\infty$を取る。$s\ge0$について、$t_m>s$ならば$\sigma\varphi_{t_m}(x)>\sigma\varphi_s(x)$であるから、$m\to\infty$として$\sigma\ell\ge\sigma\varphi_s(x)$である。$\varepsilon>0$に対して$m$を$\sigma\ell-\sigma\varphi_{t_m}(x)<\varepsilon$を満たすように取ると、$t\ge t_m$について$\sigma\varphi_{t_m}(x)\le\sigma\varphi_t(x)\le\sigma\ell$であるから、$\lvert\varphi_t(x)-\ell\rvert<\varepsilon$である。したがって$\varphi_t(x)\to\ell$$(t\to\infty)$である。$\omega(x)$の任意の元はある数列$t'_m\to\infty$に沿う$\varphi_{t'_m}(x)$の極限であるから$\ell$に等しく、$\omega(x)=\{\ell\}$である。§E13.15 定理 5.3 (1)により$\omega(x)$は不変集合であるから$\gamma(\ell)\subseteq\{\ell\}$であり、§E13.15 命題 4.3 (2)により$f(\ell)=0$である。$\ell\in\omega(x)\subseteq K$である。▨

証明.$\varphi$を$F$の流れとする。§E10.1 命題 2.2により、定数$0<c\le C$が存在して、すべての$v\in\R^n$で$c\lVert v\rVert_1\le\lVert v\rVert_2\le C\lVert v\rVert_1$が成り立つ。$x_*$が$\lVert\cdot\rVert_1$について Lyapunov 安定であるとし、$\varepsilon>0$を取る。$\varepsilon/C$に対して$\lVert\cdot\rVert_1$についての$\delta>0$を取る。$x\in U$が$\lVert x-x_*\rVert_2<c\delta$を満たすならば$\lVert x-x_*\rVert_1<\delta$であるから、$[0,\infty)\subseteq I(x)$であり、すべての$t\ge0$で$\lVert\varphi_t(x)-x_*\rVert_2\le C\lVert\varphi_t(x)-x_*\rVert_1<\varepsilon$である。したがって$x_*$は$\lVert\cdot\rVert_2$について Lyapunov 安定である。さらに$x_*$が$\lVert\cdot\rVert_1$について漸近安定であり、$\rho>0$が漸近安定性の定義の条件を$\lVert\cdot\rVert_1$について満たすとする。$x\in U$が$\lVert x-x_*\rVert_2<c\rho$を満たすならば$\lVert x-x_*\rVert_1<\rho$であるから、$[0,\infty)\subseteq I(x)$であり、$\lVert\varphi_t(x)-x_*\rVert_2\le C\lVert\varphi_t(x)-x_*\rVert_1\to0$$(t\to\infty)$である。したがって$x_*$は$\lVert\cdot\rVert_2$について漸近安定である。$\lVert\cdot\rVert_1$と$\lVert\cdot\rVert_2$の役割を入れ替えると、逆の含意を得る。不安定性は Lyapunov 安定性の否定である。▨

証明. 局所位相共役の定義の開近傍$W\subseteq U$、$W'\subseteq V$と同相写像$h:W\to W'$を取り、$\R^n$のノルムを一つ固定する。$p\in\R^n$、$r>0$について$B(p,r)=\{x\in\R^n:\lVert x-p\rVert<r\}$と書く。

主張 (1)を示す。$x_*$が Lyapunov 安定であるとし、$\varepsilon>0$を取る。$\varepsilon$に対する主張 2.4.1の$\varepsilon_1$を取り、Lyapunov 安定性の定義により$\varepsilon_1$に対する$\delta_1>0$を取る。$W'$は開集合で、$h^{-1}$は$y_*$で連続であり$h^{-1}(y_*)=x_*$であるから、$\delta>0$が存在して$B(y_*,\delta)\subseteq W'$かつ$h^{-1}(B(y_*,\delta))\subseteq B(x_*,\delta_1)$である。$y\in V$、$\lVert y-y_*\rVert<\delta$とし、$x=h^{-1}(y)$とおく。$\lVert x-x_*\rVert<\delta_1$であるから、$[0,\infty)\subseteq I_F(x)$であり、すべての$s\ge0$で$\varphi_s(x)\in B(x_*,\varepsilon_1)$である。主張 2.4.1により、$[0,\infty)\subseteq I_G(y)$であり、すべての$t\ge0$で$\lVert\psi_t(y)-y_*\rVert<\varepsilon$である。

主張 (2)を示す。$x_*$が漸近安定であるとし、$\rho>0$を漸近安定性の定義の条件を満たすように取る。主張 (1)により$y_*$は Lyapunov 安定である。$\varepsilon=1$に対する主張 2.4.1の$\varepsilon_1$を取り、$\varepsilon_1$に対する Lyapunov 安定性の定義の$\delta_1>0$を取って、$\rho_1=\min\{\delta_1,\rho\}$とおく。$h^{-1}$は$y_*$で連続であるから、$\rho'>0$が存在して$B(y_*,\rho')\subseteq W'$かつ$h^{-1}(B(y_*,\rho'))\subseteq B(x_*,\rho_1)$である。$y\in V$、$\lVert y-y_*\rVert<\rho'$とし、$x=h^{-1}(y)$とおく。$\lVert x-x_*\rVert<\delta_1$であるから、主張 2.4.1により$[0,\infty)\subseteq I_G(y)$であり、すべての$t\ge0$で$\psi_t(y)=h(\varphi_t(x))$である。$\lVert x-x_*\rVert<\rho$であるから$\varphi_t(x)\to x_*$であり、$h$は$x_*$で連続であるから$\psi_t(y)\to h(x_*)=y_*$$(t\to\infty)$である。▨

証明.$F$と$G$の流れを$\varphi$、$\psi$とする。§E13.15 命題 7.2 (1)により$h(x_*)$は$G$の平衡点である。$x\in U$、$t\in I_F(x)$ならば、位相共役の定義により$t\in I_G(h(x))$かつ$h(\varphi_t(x))=\psi_t(h(x))$であるから、$W=U$、$W'=V$として$F$は$x_*$で$G$の$h(x_*)$と局所位相共役である。$y\in V$、$t\in I_G(y)$とし、$x=h^{-1}(y)$とおくと、$I_F(x)=I_G(y)$であるから$t\in I_F(x)$であり、$h(\varphi_t(x))=\psi_t(y)$により$h^{-1}(\psi_t(y))=\varphi_t(h^{-1}(y))$である。したがって、$W=V$、$W'=U$として、$G$は$h(x_*)$で$F$の$x_*$と局所位相共役である。この二つの局所位相共役に補題 2.4を適用すると、結論を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$\R^n$のノルムと対応する作用素ノルムについて$\lVert Ax-Ay\rVert\le\lVert A\rVert\lVert x-y\rVert$であるから、$F$は Lipschitz 連続である。$x\in\R^n$とし、$z(t)=e^{tA}x$（$t\in\R$）とおく。§E13.12 定義 1.2により$e^{tA}$は実行列であり、§E13.12 定理 2.1により$z$は$\R$上で$C^1$級で、$z'(t)=Ae^{tA}x=F(z(t))$、$z(0)=x$である。§E13.15 補題 1.2を$J=\R$、$\tau=0$に適用すると、$\R\subseteq I(x)$であり、$\R$上で$z=\varphi(\cdot,x)$である。

主張 (2)を示す。$h$は連続な逆写像$y\mapsto S^{-1}y$をもつ同相写像である。$G$の流れを$\psi$とする。主張 (1)を$A$と$SAS^{-1}$に適用すると、$F$と$G$の流れはともに完備であり、$\psi_t(y)=e^{tSAS^{-1}}y$である。§E13.12 命題 4.1を行列$tA$と$S$に適用すると$e^{tSAS^{-1}}=Se^{tA}S^{-1}$であるから、すべての$t\in\R$、$x\in\R^n$について$I_G(h(x))=\R=I_F(x)$であり、$\psi_t(h(x))=Se^{tA}x=h(\varphi_t(x))$である。▨

証明. 作用素ノルムは$\R^{d\times d}$上のノルムであるから、§E13.12 系 6.6を$\mathbb K=\R$、$B=A$に適用して結論を得る。▨

証明.命題 3.1 (1)により、$F$の流れ$\varphi$は完備であり、すべての$t\in\R$、$x\in\R^n$について$\varphi_t(x)=e^{tA}x$である。

主張 (1)を示す。$C=\sup_{t\ge0}\lVert e^{tA}\rVert<\infty$とする。$e^{0A}=I$であるから$C\ge1$である。$\varepsilon>0$に対して$\delta=\varepsilon/C$とおくと、$\lVert x\rVert<\delta$ならば、すべての$t\ge0$で$\lVert\varphi_t(x)\rVert\le C\lVert x\rVert<\varepsilon$である。したがって原点は Lyapunov 安定である。逆に、原点が Lyapunov 安定であるとし、$\varepsilon=1$に対する$\delta>0$を取る。$x\ne0$について$y=\delta x/(2\lVert x\rVert)$とおくと、$\lVert y\rVert<\delta$であるから、すべての$t\ge0$で$\lVert e^{tA}y\rVert<1$であり、$\lVert e^{tA}x\rVert<2\lVert x\rVert/\delta$である。したがって$\sup_{t\ge0}\lVert e^{tA}\rVert\le2/\delta$である。作用素ノルムは$\R^{n\times n}$上のノルムであるから、§E13.12 補題 6.4 (2)を$\mathbb K=\R$、$B=A$に適用すると、残りの同値を得る。

主張 (2)を示す。すべての$\beta\in\sigma(A)$が$\Re\beta<0$を満たすとする。補題 3.2により、$M\ge1$と$\gamma>0$が存在して、すべての$t\ge0$で$\lVert e^{tA}\rVert\le Me^{-\gamma t}$である。したがって$\sup_{t\ge0}\lVert e^{tA}\rVert\le M$であり、主張 (1)により原点は Lyapunov 安定である。さらに、すべての$x\in\R^n$で$\lVert e^{tA}x\rVert\le Me^{-\gamma t}\lVert x\rVert\to0$$(t\to\infty)$であるから、原点は漸近安定である。

逆に、原点が漸近安定であるとし、$\rho>0$を漸近安定性の定義の条件を満たすように取る。$\beta\in\sigma(A)$が$\Re\beta\ge0$を満たすと仮定する。$\beta$に対する$A$の固有ベクトル$v\in\C^n$を取り、$v=p+iq$（$p,q\in\R^n$）と書く。§E13.12 補題 6.2 (3)により$e^{tA}v=e^{t\beta}v$であり、$e^{tA}$は実行列であるから、$e^{tA}p$と$e^{tA}q$はそれぞれ$e^{t\beta}v$の実部と虚部である。$v_j\ne0$となる成分$v_j$を取ると、すべての$t\ge0$で$\lvert e^{t\beta}v_j\rvert=e^{t\Re\beta}\lvert v_j\rvert\ge\lvert v_j\rvert>0$である。$e^{tA}p\to0$かつ$e^{tA}q\to0$$(t\to\infty)$ならば、§E10.1 命題 2.2により両者の各成分が$0$に収束し、$e^{t\beta}v_j\to0$となって前の不等式に反する。したがって、$w=p$または$w=q$のいずれかについて、$e^{tA}w$は$0$に収束しない。このとき$w\ne0$であり、$w'=\rho w/(2\lVert w\rVert)$とおくと、$\lVert w'\rVert<\rho$であるが、$e^{tA}w'=\rho e^{tA}w/(2\lVert w\rVert)$は$0$に収束しない。これは$\rho$の取り方に反する。したがって、すべての$\beta\in\sigma(A)$は$\Re\beta<0$を満たす。▨

証明.命題 3.1 (1)により、すべての$t\in\R$、$x\in\R^2$について$\varphi_t(x)=e^{tA}x$である。$A$の相異なる複素固有値全体の集合を$\sigma(A)$とする。