§E10.1ノルム空間

証明. 非負性と同一性は定義 1.1 条件 (a)から従い、対称性は$\|x-y\|=\|-(y-x)\|=\|y-x\|$から従う。三角不等式は

である。

さらに、$x=(x-y)+y$に三角不等式を適用すると$\|x\|-\|y\|\leq\|x-y\|$を得る。$x$と$y$を交換すると$\|y\|-\|x\|\leq\|x-y\|$を得るため、逆三角不等式が従う。▨

証明.$X$の距離を$d(x,y)=\|x-y\|$とすると、制限ノルムが$M$に定める距離は$d$の制限である。したがって、主張 (1)は§E2.5 定理 3.2から従い、主張 (2)は§E2.5 定理 3.3から従う。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)を示す。$X$を Banach 空間とし、$\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|<\infty$を満たす列$(x_n)$をとる。$s_N=\sum_{n=1}^N x_n$とおく。$M>N$に対して、三角不等式により

であり、右辺は$N\to\infty$のとき$0$に収束する。したがって$(s_N)$は Cauchy 列であり、$X$の完備性により$X$の元へ収束する。

(b)$\Rightarrow$(a)を示す。条件 (b)を仮定し、$X$の Cauchy 列$(u_n)$をとる。各$k\geq1$に対して、$m,n\geq N_k$ならば$\|u_m-u_n\|<2^{-k}$となる正の整数$N_k$をとる。$n_k\geq N_k$を満たす狭義増加な正の整数列$(n_k)$を選び、

とおく。$n_{k+1}>n_k\geq N_k$であるから

仮定により、部分和$\sum_{k=1}^K v_k=u_{n_K}$はある$u\in X$へ収束する。$\varepsilon>0$をとり、$m,n\geq N$ならば$\|u_m-u_n\|<\varepsilon/2$となる$N$をとる。$n_K\geq N$かつ$\|u_{n_K}-u\|<\varepsilon/2$となる$K$を固定すると、任意の$n\geq N$に対して

である。したがって$u_n\to u$であり、$X$は Banach 空間である。▨

証明.$n=0$ならば零空間の点列自体をとればよい。以下では$n\geq1$とする。$\mathbb K=\R$のとき、点列の第1座標に§D1.8 定理 2.2を適用し、その座標が収束する部分列をとる。選んだ部分列の第2座標に同じ定理を適用して、さらに部分列をとる。第$n$座標までこの操作を繰り返す。各段階で先の座標は収束列の部分列となるため、同じ極限へ収束する。有限回の部分列選択の添字を合成した列は狭義増加するので、最後に得た列は元の点列の部分列であり、すべての座標が収束する。

$\mathbb K=\C$のとき、各座標の実部と虚部を並べた$2n$個の実座標はすべて有界である。実数体の場合の結論をこの点列へ適用すると、実部と虚部がともに収束する部分列を得る。したがって、各複素座標も収束する。▨

証明.$V=\{0\}$ならば、任意の$c,C>0$に対して主張する不等式が成り立つ。以下では$V\neq\{0\}$とし、$n=\dim V\geq1$とする。$V$の基底$e_1,\ldots,e_n$を固定し、$x=\sum_{j=1}^n\xi_j e_j$に対して

と定める。任意のノルム$\|\cdot\|$について、三角不等式から

を得る。

すべての$x\in V$に対して$\|x\|\geq c|x|_1$を満たす定数$c>0$が存在しないと仮定する。このとき、各$m\geq1$に対して$|x_m|_1=1$かつ$\|x_m\|<1/m$となる$x_m$が存在する。各座標の絶対値は$1$以下なので、補題 2.1により、座標ごとにある$x$へ収束する部分列$(x_{m_k})$が存在する。有限和の極限をとると$|x|_1=1$である。一方、すでに示した上からの評価を$x_{m_k}-x$に適用すると$\|x_{m_k}-x\|\to0$である。逆三角不等式により$\|x\|=\lim_k\|x_{m_k}\|=0$となるので$x=0$である。$|x|_1=1$と矛盾する。

したがって、任意のノルムは$|\cdot|_1$と同値である。$\|\cdot\|_a$と$\|\cdot\|_b$のそれぞれを$|\cdot|_1$と比較し、不等式を合成すると、主張する定数$c,C$を得る。▨

証明.$V$を有限次元ノルム空間とし、$V$の基底を固定する。$V$の Cauchy 列$(x_m)$は、命題 2.2によって座標の$1$-ノルムについても Cauchy 列である。各座標は$\mathbb K$の Cauchy 列なので収束する。したがって、$(x_m)$は座標極限から定まる$x\in V$へ座標の$1$-ノルムで収束する。ノルム同値により、$(x_m)$はもとのノルムでも$x$へ収束する。▨

証明. 演習とする（問題 4.1）。▨

証明.$x,y\in\ell^p$と正の整数$J$をとる。各成分の絶対値の三角不等式と、非負実数列$|x_j|,|y_j|$（$1\leq j\leq J$）に適用した§E2.1 定理 2.7により

したがって、非負項の部分和$\sum_{j=1}^J|x_j+y_j|^p$は$J$によらず有界であり、$x+y\in\ell^p$である。$J\to\infty$とすると、$\|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p$を得る。任意の$\alpha\in\mathbb K$に対して

であるから、$\alpha x\in\ell^p$であり、$\|\alpha x\|_p=|\alpha|\|x\|_p$である。零列も$\ell^p$に属するので、$\ell^p$は数列全体のベクトル空間の線形部分空間である。また、非負項の和$\sum_j|x_j|^p$が$0$であることは、すべての成分が$0$であることと同値である。以上より、$\|\cdot\|_p$はノルムである。

$\ell^p$の Cauchy 列$(x^{(n)})_{n\geq1}$をとる。各$j\geq1$について

であるから、$(x_j^{(n)})_{n\geq1}$は$\mathbb K$の Cauchy 列である。$\mathbb K$の完備性により、$x_j=\lim_{n\to\infty}x_j^{(n)}$が存在する。$x=(x_j)_{j\geq1}$とおく。

$\varepsilon>0$をとり、$n,m\geq N$ならば$\|x^{(n)}-x^{(m)}\|_p<\varepsilon/2$となる$N$をとる。$n\geq N$と正の整数$J$を固定すると、有限和の極限から

である。$J$は任意であるから、非負項の級数$\sum_{j=1}^{\infty}|x_j^{(n)}-x_j|^p$は収束し、その和は$(\varepsilon/2)^p$以下である。したがって$x^{(n)}-x\in\ell^p$であり、$\ell^p$が線形空間であることから$x=x^{(n)}-(x^{(n)}-x)\in\ell^p$である。さらに、すべての$n\geq N$について

である。ゆえに$x^{(n)}\to x$であり、$\ell^p$は Banach 空間である。▨

証明.$u,v\in E$と$a,b\in\R$に対して

であるから、$E+iE$は複素線形空間である。$f=u+iv\in E+iE$に対して、点ごとの絶対値の評価から

を得る。したがって、$\|f\|_\infty$は有限であり、絶対値の正定値性、斉次性、三角不等式から、一様ノルムは複素ノルムである。

$E+iE$の Cauchy 列を$f_n=u_n+iv_n$（$u_n,v_n\in E$）と書く。上の左側の不等式を$f_n-f_m$に適用すると、$(u_n)$と$(v_n)$はそれぞれ$E$の Cauchy 列である。$E$の完備性により、一様ノルムについて$u_n\to u$、$v_n\to v$となる$u,v\in E$が存在する。$f=u+iv\in E+iE$とおくと、右側の不等式から

である。したがって、$E+iE$は完備である。▨

証明.$K=\emptyset$ならば$C(K)$は零空間なので完備である。$K\neq\emptyset$とする。連続関数によるコンパクト集合の像はコンパクトであるため、各$f\in C(K)$は有界であり、一様ノルムは有限である。実数値関数の場合には、$C(K)=C_b(K)$であり、§E2.16 定理 2.7により一様距離について完備である。複素数値関数の場合には、$E$を$K$上の連続実数値関数の空間とする。複素数値関数が連続であることは実部と虚部がともに連続であるための必要十分条件であるから、$C(K)=E+iE$である。補題 3.3により、$C(K)$は複素数値の場合にも完備である。▨

証明.$[0,1]$はコンパクト空間であるから、定理 3.5を$K=[0,1]$に適用する。▨