スペクトル定理 II | 関数解析 I

補題 1.1. $(\Omega,\Sigma)$ を可測空間、 $H$ を複素 Hilbert 空間、 $E$ を $(\Omega,\Sigma)$ 上の射影値測度とし、 $f\colon\Omega\to\C$ を可測関数、 $B\in\Sigma$ とする。このとき、次が成り立つ。

$x\in H$ について、 $x\in D(\Phi_E(f\mathbf 1_B))$ であることは、 $E(B)x\in D(\Phi_E(f))$ であるための必要十分条件である。このとき $\Phi_E(f)E(B)x=\Phi_E(f\mathbf 1_B)x$ が成り立つ。特に、 $f$ が $B$ の上で有界ならば、すべての $x\in H$ について $E(B)x\in D(\Phi_E(f))$ である。
$x\in D(\Phi_E(f))$ ならば、 $x\in D(\Phi_E(f\mathbf 1_B))$ であり、 $E(B)\Phi_E(f)x=\Phi_E(f)E(B)x=\Phi_E(f\mathbf 1_B)x$ が成り立つ。さらに $y=\Phi_E(f)x$ とおくと、すべての $C\in\Sigma$ について $E_{y,y}(C)=\int_C|f|^2\,dE_{x,x}$ が成り立ち、すべての可測関数 $g\colon\Omega\to\C$ について $\int_\Omega|g|^2\,dE_{y,y}=\int_\Omega|g|^2|f|^2\,dE_{x,x}$ が $[0,\infty]$ において成り立つ。
$x\in D(\Phi_E(f))$ と $h\in B_b(\Omega,\Sigma)$ について、 $x\in D(\Phi_E(hf))$ であり、 $\Phi_E(h)\Phi_E(f)x=\Phi_E(hf)x$ が成り立つ。

証明. $n\in\NN$ について $\Omega_n=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)|\le n\}$ 、 $f_n=f\mathbf 1_{\Omega_n}$ とおく。 $\Omega_n'=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)\mathbf 1_B(\omega)|\le n\}$ とおくと、 $B$ の点では $\Omega_n'$ と $\Omega_n$ の定義関数は一致し、 $B$ の外では $f\mathbf 1_B=0$ であるから、 $(f\mathbf 1_B)\mathbf 1_{\Omega_n'}=f_n\mathbf 1_B$ である。

主張 (1)を示す。 $x\in H$ とする。§E12.7 命題 3.2 (2)と§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により、すべての $C\in\Sigma$ について

E_{E(B)x,E(B)x}(C)=\|E(C)E(B)x\|^2=\|E(B\cap C)x\|^2=E_{x,x}(B\cap C)=\int_C\mathbf 1_B\,dE_{x,x}

である。§E10.12 命題 3.2により

\int_\Omega|f|^2\,dE_{E(B)x,E(B)x}=\int_\Omega|f|^2\mathbf 1_B\,dE_{x,x}=\int_\Omega|f\mathbf 1_B|^2\,dE_{x,x}

であるから、 $x\in D(\Phi_E(f\mathbf 1_B))$ であることは、 $E(B)x\in D(\Phi_E(f))$ であるための必要十分条件である。この条件が成り立つとする。§E12.7 定理 4.5 (2)により $\Phi_E(f_n)E(B)=\Phi_E(f_n)\Phi_E(\mathbf 1_B)=\Phi_E(f_n\mathbf 1_B)$ である。§E12.7 命題 5.1 (2)を $f$ と $E(B)x$ に適用し、さらに $f\mathbf 1_B$ と $x$ に適用すると、冒頭の等式 $(f\mathbf 1_B)\mathbf 1_{\Omega_n'}=f_n\mathbf 1_B$ により

\Phi_E(f)E(B)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(f_n)E(B)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(f_n\mathbf 1_B)x=\Phi_E(f\mathbf 1_B)x

を得る。 $f$ が $B$ の上で有界ならば $f\mathbf 1_B$ は有界であり、§E12.7 命題 5.1 (3)により $D(\Phi_E(f\mathbf 1_B))=H$ である。

主張 (2)を示す。 $x\in D(\Phi_E(f))$ とする。 $|f\mathbf 1_B|^2\le|f|^2$ であるから $x\in D(\Phi_E(f\mathbf 1_B))$ であり、主張 (1)により $E(B)x\in D(\Phi_E(f))$ かつ $\Phi_E(f)E(B)x=\Phi_E(f\mathbf 1_B)x$ である。 $E(B)$ は連続であるから、§E12.7 命題 5.1 (2)と§E12.7 定理 4.5 (2)により

E(B)\Phi_E(f)x=\lim_{n\to\infty}E(B)\Phi_E(f_n)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(f_n\mathbf 1_B)x=\Phi_E(f\mathbf 1_B)x

である。 $y=\Phi_E(f)x$ とし、 $C\in\Sigma$ とする。いま示した等式を $B$ の代わりに $C$ について用いると、§E12.7 命題 3.2 (2)と§E12.7 命題 5.1 (2)により

E_{y,y}(C)=\|E(C)y\|^2=\|\Phi_E(f\mathbf 1_C)x\|^2=\int_\Omega|f\mathbf 1_C|^2\,dE_{x,x}=\int_C|f|^2\,dE_{x,x}

である。最後の主張は§E10.12 命題 3.2による。

主張 (3)を示す。 $|hf|\le\|h\|_\infty|f|$ であるから $x\in D(\Phi_E(hf))$ である。 $hf_n=(hf)\mathbf 1_{\Omega_n}$ は有界であるから、§E12.7 命題 5.1 (3)と、 $hf$ と $\Omega_n$ に適用した主張 (2)により $\Phi_E(hf_n)x=E(\Omega_n)\Phi_E(hf)x$ である。 $\Phi_E(h)$ は連続であるから、§E12.7 命題 5.1 (2)、§E12.7 定理 4.5 (2)、§E12.7 命題 5.1 (1)により

\Phi_E(h)\Phi_E(f)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(h)\Phi_E(f_n)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(hf_n)x=\lim_{n\to\infty}E(\Omega_n)\Phi_E(hf)x=\Phi_E(hf)x

である。▨

定理 1.2. $(\Omega,\Sigma)$ を可測空間、 $H$ を複素 Hilbert 空間、 $E$ を $(\Omega,\Sigma)$ 上の射影値測度とし、 $f,g\colon\Omega\to\C$ を可測関数とする。このとき、次が成り立つ。

$\Phi_E(f)$ は $H$ 上の稠密に定義された閉作用素であり、 $\Phi_E(f)^*=\Phi_E(\overline f)$ が成り立つ。特に $D(\Phi_E(f)^*)=D(\Phi_E(f))$ であり、すべての $x\in D(\Phi_E(f))$ について $\|\Phi_E(f)^*x\|=\|\Phi_E(f)x\|$ が成り立つ。
$f$ が実数値ならば、 $\Phi_E(f)$ は自己共役作用素である。
$\Phi_E(f)+\Phi_E(g)\subseteq\Phi_E(f+g)$ であり、 $c\in\C\setminus\{0\}$ について $\Phi_E(cf)=c\Phi_E(f)$ である。 $g$ が有界ならば $\Phi_E(f+g)=\Phi_E(f)+\Phi_E(g)$ である。
$\Phi_E(f)\Phi_E(g)\subseteq\Phi_E(fg)$ であり、 $D(\Phi_E(f)\Phi_E(g))=D(\Phi_E(g))\cap D(\Phi_E(fg))$ である。 $g$ が有界ならば $\Phi_E(f)\Phi_E(g)=\Phi_E(fg)$ である。

証明. $n\in\NN$ について $\Omega_n=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)|\le n\}$ 、 $f_n=f\mathbf 1_{\Omega_n}$ とおく。 $|\overline f|=|f|$ であるから $D(\Phi_E(\overline f))=D(\Phi_E(f))$ であり、 $\overline{f_n}=\overline f\mathbf 1_{\Omega_n}$ は $\overline f$ について同じ集合 $\Omega_n$ で定めた関数である。 $y\in H$ について、§E12.7 定理 4.5 (3)と§E10.11 定理 1.1により

\int_\Omega|f|^2\,dE_{y,y}=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega|f_n|^2\,dE_{y,y}=\lim_{n\to\infty}\|\Phi_E(\overline{f_n})y\|^2

である。

主張 (1)を示す。§E12.7 命題 5.1 (1)により $\Phi_E(f)$ は稠密に定義されている。 $x,y\in D(\Phi_E(f))$ とする。§E12.7 定理 4.5 (2)により $\Phi_E(f_n)^*=\Phi_E(\overline{f_n})$ であるから、§E12.7 命題 5.1 (2)と、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性により

\langle\Phi_E(f)x,y\rangle=\lim_{n\to\infty}\langle\Phi_E(f_n)x,y\rangle=\lim_{n\to\infty}\langle x,\Phi_E(\overline{f_n})y\rangle=\langle x,\Phi_E(\overline f)y\rangle

である。したがって $\Phi_E(\overline f)\subseteq\Phi_E(f)^*$ である。逆に $y\in D(\Phi_E(f)^*)$ とし、 $z=\Phi_E(f)^*y$ とおく。 $x\in H$ とする。 $f$ は $\Omega_n$ の上で有界であるから、補題 1.1 (1)により $E(\Omega_n)x\in D(\Phi_E(f))$ かつ $\Phi_E(f)E(\Omega_n)x=\Phi_E(f_n)x$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (a)により

\langle x,\Phi_E(\overline{f_n})y\rangle=\langle\Phi_E(f_n)x,y\rangle=\langle\Phi_E(f)E(\Omega_n)x,y\rangle=\langle E(\Omega_n)x,z\rangle=\langle x,E(\Omega_n)z\rangle

である。 $x$ は任意であるから $\Phi_E(\overline{f_n})y=E(\Omega_n)z$ である。§E12.7 命題 3.2 (2)により $\|E(\Omega_n)z\|^2=E_{z,z}(\Omega_n)\le\|z\|^2$ であるから、冒頭の等式により $\int_\Omega|f|^2\,dE_{y,y}\le\|z\|^2$ であり、 $y\in D(\Phi_E(\overline f))$ である。§E12.7 命題 5.1 (2)と§E12.7 命題 5.1 (1)により

\Phi_E(\overline f)y=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(\overline{f_n})y=\lim_{n\to\infty}E(\Omega_n)z=z

である。以上により $\Phi_E(f)^*=\Phi_E(\overline f)$ である。この等式を $\overline f$ に適用すると $\Phi_E(f)=\Phi_E(\overline f)^*$ であり、§E12.12 命題 2.2 (2)により $\Phi_E(f)$ は閉作用素である。 $x\in D(\Phi_E(f))$ について、§E12.7 命題 5.1 (2)により $\|\Phi_E(\overline f)x\|^2=\int_\Omega|\overline f|^2\,dE_{x,x}=\|\Phi_E(f)x\|^2$ である。

主張 (2)を示す。 $f$ が実数値ならば $\overline f=f$ であるから、主張 (1)により、稠密に定義された $\Phi_E(f)$ は $\Phi_E(f)^*=\Phi_E(f)$ を満たす。

主張 (3)を示す。 $x\in D(\Phi_E(f))\cap D(\Phi_E(g))$ とする。 $|f+g|^2\le2|f|^2+2|g|^2$ であるから $x\in D(\Phi_E(f+g))$ である。 $y\in H$ とする。§E12.7 命題 5.1 (2)により $f$ と $g$ は $E_{x,y}$ に関して可積分であり、§E10.27 定義 3.1と§E10.10 定理 2.3 (2)により

\langle\Phi_E(f)x+\Phi_E(g)x,y\rangle=\int_\Omega f\,dE_{x,y}+\int_\Omega g\,dE_{x,y}=\int_\Omega(f+g)\,dE_{x,y}=\langle\Phi_E(f+g)x,y\rangle

である。 $y$ は任意であるから $\Phi_E(f)x+\Phi_E(g)x=\Phi_E(f+g)x$ である。 $c\ne0$ ならば $|cf|^2=|c|^2|f|^2$ により $D(\Phi_E(cf))=D(\Phi_E(f))$ であり、 $x\in D(\Phi_E(f))$ と $y\in H$ について、§E10.27 定義 3.1と§E10.10 定理 2.3 (2)により

\langle c\Phi_E(f)x,y\rangle=c\int_\Omega f\,dE_{x,y}=\int_\Omega cf\,dE_{x,y}=\langle\Phi_E(cf)x,y\rangle

であるから、 $\Phi_E(cf)=c\Phi_E(f)$ である。 $g$ が有界であるとする。§E12.7 命題 5.1 (3)により $D(\Phi_E(g))=H$ である。 $x\in D(\Phi_E(f+g))$ ならば、 $|f|^2\le2|f+g|^2+2|g|^2$ と、§E12.7 命題 3.2 (2)による $\int_\Omega|g|^2\,dE_{x,x}\le\|g\|_\infty^2\|x\|^2$ により $x\in D(\Phi_E(f))$ である。したがって $\Phi_E(f)+\Phi_E(g)$ と $\Phi_E(f+g)$ の定義域は一致し、二つの作用素は等しい。

主張 (4)を示す。 $\Phi_E(f)\Phi_E(g)$ の定義域は $\{x\in D(\Phi_E(g)):\Phi_E(g)x\in D(\Phi_E(f))\}$ である。 $x\in D(\Phi_E(g))$ について、補題 1.1 (2)を $g$ に適用すると

\int_\Omega|f|^2\,dE_{\Phi_E(g)x,\Phi_E(g)x}=\int_\Omega|fg|^2\,dE_{x,x}

であるから、 $x\in D(\Phi_E(fg))$ であることは、 $\Phi_E(g)x\in D(\Phi_E(f))$ であるための必要十分条件である。したがって $D(\Phi_E(f)\Phi_E(g))=D(\Phi_E(g))\cap D(\Phi_E(fg))$ である。 $x$ をこの集合の元とする。 $f_ng=(fg)\mathbf 1_{\Omega_n}$ であるから、§E12.7 命題 5.1 (2)、有界な $f_n$ についての補題 1.1 (3)、 $fg$ と $\Omega_n$ についての補題 1.1 (2)、および§E12.7 命題 5.1 (1)により

\Phi_E(f)\Phi_E(g)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(f_n)\Phi_E(g)x=\lim_{n\to\infty}\Phi_E(f_ng)x=\lim_{n\to\infty}E(\Omega_n)\Phi_E(fg)x=\Phi_E(fg)x

である。 $g$ が有界ならば、§E12.7 命題 5.1 (3)により $D(\Phi_E(g))=H$ であるから、 $\Phi_E(f)\Phi_E(g)$ と $\Phi_E(fg)$ の定義域は一致する。▨

命題 1.3. $(\Omega,\Sigma)$ を可測空間、 $H$ を複素 Hilbert 空間、 $E$ を $(\Omega,\Sigma)$ 上の射影値測度とし、 $f\colon\Omega\to\C$ を可測関数、 $T=\Phi_E(f)$ とする。 $z\in\C$ と $\delta>0$ について $N(z,\delta)=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)-z|<\delta\}$ とおき、

\Lambda=\{z\in\C:\text{すべての }\delta>0\text{ について }E(N(z,\delta))\ne0\}

とおく。 $z\in\C$ について、 $f(\omega)\ne z$ ならば $r_z(\omega)=(z-f(\omega))^{-1}$ 、 $f(\omega)=z$ ならば $r_z(\omega)=0$ として関数 $r_z\colon\Omega\to\C$ を定める。このとき、次が成り立つ。

$\Lambda$ は $\C$ の閉集合であり、 $E(f^{-1}(\C\setminus\Lambda))=0$ が成り立ち、 $\sigma(T)=\Lambda$ である。 $H=\{0\}$ であることは、 $\Lambda=\emptyset$ であるための必要十分条件である。
すべての $z\in\rho(T)$ について $R(z,T)=\Phi_E(r_z)$ が成り立つ。 $H\ne\{0\}$ ならば、すべての $z\in\rho(T)$ について $\|R(z,T)\|=\operatorname{dist}(z,\sigma(T))^{-1}$ である。
すべての $z\in\C$ について $\ker(zI-T)=\im E(f^{-1}(\{z\}))$ が成り立つ。

証明. $z\in\C$ とする。 $r_z$ は $\overline{z-f}$ を正の値をとる関数 $|z-f|^2+\mathbf 1_{f^{-1}(\{z\})}$ で割った関数に等しいから、§E10.7 定理 8.1と§E10.7 命題 4.1により可測である。定理 1.2 (3)により $\Phi_E(z-f)=zI-T$ であり、その定義域は $D(T)$ である。

主張 1.3.1. $z\in\C$ と $\delta>0$ が $E(N(z,\delta))=0$ を満たすならば、 $z\in\rho(T)$ であり、 $R(z,T)=\Phi_E(r_z)$ かつ $\|R(z,T)\|\le\delta^{-1}$ が成り立つ。

証明. $N=N(z,\delta)$ 、 $r=r_z\mathbf 1_{\Omega\setminus N}$ とおく。 $\Omega\setminus N$ の上で $|z-f|\ge\delta$ であるから、 $r$ は $\|r\|_\infty\le\delta^{-1}$ を満たす有界可測関数であり、 $(z-f)r=\mathbf 1_{\Omega\setminus N}$ である。 $r$ と $r_z$ は $N$ の外で一致し $E(N)=0$ であるから、§E12.7 命題 5.1 (4)と§E12.7 命題 5.1 (3)により $\Phi_E(r_z)=\Phi_E(r)\in B(H)$ であり、§E12.7 定理 4.5 (1)により $\|\Phi_E(r)\|\le\delta^{-1}$ である。定理 1.2 (4)、§E12.7 定理 4.5 (2)、§E12.7 命題 3.2 (1)により

(zI-T)\Phi_E(r)=\Phi_E(\mathbf 1_{\Omega\setminus N})=E(\Omega\setminus N)=I-E(N)=I

であり、 $\Phi_E(r)(zI-T)\subseteq\Phi_E(\mathbf 1_{\Omega\setminus N})=I$ の左辺の定義域は $D(T)\cap D(\Phi_E(\mathbf 1_{\Omega\setminus N}))=D(T)$ である。したがって $zI-T$ は $D(T)$ から $H$ への全単射であり、その逆写像 $\Phi_E(r_z)$ は $B(H)$ に属する。§E12.12 定義 1.5により $z\in\rho(T)$ であり、 $R(z,T)=\Phi_E(r_z)$ かつ $\|R(z,T)\|\le\delta^{-1}$ である。▨

主張 (1)を示す。 $z\in\C\setminus\Lambda$ とし、 $E(N(z,\delta))=0$ を満たす $\delta>0$ をとる。 $|z'-z|<\delta/2$ ならば $N(z',\delta/2)\subseteq N(z,\delta)$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $E(N(z',\delta/2))=E(N(z',\delta/2))E(N(z,\delta))=0$ であるから、 $z'\notin\Lambda$ である。したがって $\C\setminus\Lambda$ は開集合であり、 $\Lambda$ は閉集合である。 $q\in\C$ と $s>0$ について $D(q,s)=\{w\in\C:|w-q|<s\}$ とおき、実部と虚部が有理数である $q$ と正の有理数 $s$ の組で $E(f^{-1}(D(q,s)))=0$ を満たすものの全体を $\mathcal Q$ とする。 $\mathcal Q$ は可算集合である。 $z$ と $\delta$ を上のとおりとし、 $0<s<\delta/2$ を満たす有理数 $s$ と、実部と虚部が有理数で $|q-z|<s$ を満たす $q$ をとる。 $z\in D(q,s)$ であり、 $w\in D(q,s)$ ならば $|w-z|<2s<\delta$ であるから $f^{-1}(D(q,s))\subseteq N(z,\delta)$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $(q,s)\in\mathcal Q$ である。したがって、 $f^{-1}(\C\setminus\Lambda)$ は $N_\infty=\bigcup_{(q,s)\in\mathcal Q}f^{-1}(D(q,s))$ に含まれる。 $x\in H$ について、§E12.7 命題 3.2 (2)と正測度 $E_{x,x}$ の可算劣加法性により

\|E(N_\infty)x\|^2=E_{x,x}(N_\infty)\le\sum_{(q,s)\in\mathcal Q}\|E(f^{-1}(D(q,s)))x\|^2=0

であるから $E(N_\infty)=0$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $E(f^{-1}(\C\setminus\Lambda))=E(f^{-1}(\C\setminus\Lambda))E(N_\infty)=0$ である。

$z\in\C\setminus\Lambda$ ならば、 $\Lambda$ の定義により $E(N(z,\delta))=0$ を満たす $\delta>0$ が存在するから、主張 1.3.1により $z\in\rho(T)$ である。したがって $\sigma(T)\subseteq\Lambda$ である。

$z\in\Lambda$ とし、 $z\in\rho(T)$ と仮定する。 $\delta\|R(z,T)\|<1$ を満たす $\delta>0$ をとり、 $N=N(z,\delta)$ とおく。 $E(N)\ne0$ であるから、 $u=E(N)x\ne0$ を満たす $x\in H$ が存在する。 $z-f$ は $N$ の上で有界であるから、補題 1.1 (1)により $u\in D(T)$ かつ $(zI-T)u=\Phi_E(z-f)E(N)x=\Phi_E((z-f)\mathbf 1_N)x$ であり、§E12.7 定理 4.5 (3)と§E12.7 命題 3.2 (2)により

\|(zI-T)u\|^2=\int_N|z-f|^2\,dE_{x,x}\le\delta^2E_{x,x}(N)=\delta^2\|u\|^2

である。したがって $\|u\|=\|R(z,T)(zI-T)u\|\le\delta\|R(z,T)\|\,\|u\|$ であり、 $\delta\|R(z,T)\|<1$ から $\|u\|=0$ を得る。これは $u\ne0$ と両立しない。したがって $\Lambda\subseteq\sigma(T)$ であり、 $\sigma(T)=\Lambda$ である。

$\Lambda=\emptyset$ ならば $f^{-1}(\C\setminus\Lambda)=\Omega$ であるから $I=E(\Omega)=0$ であり、 $H=\{0\}$ である。 $H=\{0\}$ ならば $E$ の値はすべて $0$ であるから、 $\Lambda=\emptyset$ である。

主張 (2)を示す。 $z\in\rho(T)$ とし、 $d=\operatorname{dist}(z,\sigma(T))$ とおく。ここで $\sigma(T)=\emptyset$ ならば $d=\infty$ 、 $d^{-1}=0$ とする。主張 (1)により $\sigma(T)=\Lambda$ は閉集合であるから $d>0$ である。 $0<\delta<d$ ならば $N(z,\delta)\subseteq f^{-1}(\C\setminus\Lambda)$ であり、主張 (1)と§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $E(N(z,\delta))=E(N(z,\delta))E(f^{-1}(\C\setminus\Lambda))=0$ である。主張 1.3.1により $R(z,T)=\Phi_E(r_z)$ かつ $\|R(z,T)\|\le\delta^{-1}$ であり、 $\delta<d$ は任意であるから $\|R(z,T)\|\le d^{-1}$ である。 $H\ne\{0\}$ ならば、主張 (1)により $\sigma(T)\ne\emptyset$ であり、§E12.12 命題 1.6 (5)により $\|R(z,T)\|\ge d^{-1}$ である。

主張 (3)を示す。 $z\in\C$ とし、 $F=f^{-1}(\{z\})$ とおく。 $x\in\ker(zI-T)$ とする。 $x\in D(T)$ であり、§E12.7 命題 5.1 (2)により $\int_\Omega|z-f|^2\,dE_{x,x}=\|(zI-T)x\|^2=0$ である。 $k\in\NN$ について $F_k=\{\omega\in\Omega:|f(\omega)-z|\ge1/k\}$ とおくと $k^{-2}E_{x,x}(F_k)\le\int_\Omega|z-f|^2\,dE_{x,x}=0$ であり、 $\Omega\setminus F=\bigcup_kF_k$ であるから $E_{x,x}(\Omega\setminus F)=0$ である。§E12.7 命題 3.2 (1)と§E12.7 命題 3.2 (2)により $\|x-E(F)x\|^2=\|E(\Omega\setminus F)x\|^2=E_{x,x}(\Omega\setminus F)=0$ であるから、 $x\in\im E(F)$ である。逆に $x\in\im E(F)$ とすると、§E12.7 定義 3.1 条件 (a)により $x=E(F)x$ である。 $f$ は $F$ の上で有界であり $f\mathbf 1_F=z\mathbf 1_F$ であるから、補題 1.1 (1)と§E12.7 定理 4.5 (2)により $x\in D(T)$ かつ $Tx=\Phi_E(f)E(F)x=\Phi_E(z\mathbf 1_F)x=zE(F)x=zx$ である。▨

定理 2.1 (スペクトル定理). $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素とする。 $\iota\colon\R\to\C$ を包含写像とし、 $\mathbb T=\{w\in\C:|w|=1\}$ とおく。 $c\colon\R\to\C$ を $c(\lambda)=(\lambda-i)/(\lambda+i)$ で定め、 $h\colon\mathbb T\to\C$ を $w\ne1$ について $h(w)=i(1+w)/(1-w)$ 、 $h(1)=0$ で定める。このとき、次が成り立つ。

$\R$ 上の射影値測度 $E$ で $\Phi_E(\iota)=A$ を満たすもの、すなわち $D(A)=\Bigl\{x\in H:\int_\R\lambda^2\,dE_{x,x}(\lambda)<\infty\Bigr\},\qquad\langle Ax,y\rangle=\int_\R\lambda\,dE_{x,y}(\lambda)\quad(x\in D(A),\ y\in H)$ を満たすものがただ一つ存在する。この $E$ を $A$ の射影値測度といい、Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ について $g(A)=\Phi_E(g)$ と書く。写像 $g\mapsto g(A)$ を $A$ の Borel 汎関数計算 (Borel functional calculus) という。
$H\ne\{0\}$ とし、 $U$ を $A$ の Cayley 変換 $V_A$ とし、 $E_U$ を§E12.8 定理 2.2 (1)の $\sigma(U)$ 上の射影値測度とする。このとき、 $c$ は $\mathbb T$ に値をとり、 $h$ は実数値の Borel 関数であり、 $A$ の射影値測度 $E$ について $c(A)=U$ が成り立ち、すべての Borel 集合 $B\subseteq\R$ について $E(B)=E_U(h^{-1}(B)\cap\sigma(U))$ が成り立つ。
$H\ne\{0\}$ かつ $A\in B(H)$ とし、 $E'$ を§E12.8 定理 2.2 (1)の $\sigma(A)$ 上の射影値測度とする。このとき、 $A$ の射影値測度 $E$ はすべての Borel 集合 $B\subseteq\R$ について $E(B)=E'(B\cap\sigma(A))$ を満たす。Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ の $\sigma(A)$ への制限 $g|_{\sigma(A)}$ が有界ならば、 $g(A)$ は§E12.8 定理 2.2 (1)の $(g|_{\sigma(A)})(A)$ に等しい。

証明.主張 (1)を示す。 $H=\{0\}$ ならば $B(H)=\{0\}$ であるから、 $\R$ 上の射影値測度は $B\mapsto0$ だけであり、 $\Phi_E(\iota)$ と $A$ はともに $\{0\}$ 上の零写像である。以下では $H\ne\{0\}$ とする。

$\lambda\in\R$ について $|\lambda-i|=|\lambda+i|>0$ であるから、 $c$ は $\R$ から $\mathbb T$ への連続写像である。 $w\in\mathbb T\setminus\{1\}$ について $w\overline w=1$ により

h(w)=\frac{i(1+w)(1-\overline w)}{|1-w|^2}=\frac{i(w-\overline w)}{|1-w|^2}=\frac{-2\Im w}{|1-w|^2}

であるから、 $h$ は実数値である。 $k\in\NN$ について $h_k(w)=-2\Im w/(|1-w|^2+k^{-1})$ とおくと、 $h_k\colon\mathbb T\to\R$ は連続であり、すべての $w\in\mathbb T$ について $h_k(w)\to h(w)$ である。§E10.7 命題 1.3と§E10.7 定理 5.1により $h$ は Borel 可測である。 $\lambda\in\R$ について $1-c(\lambda)=2i/(\lambda+i)\ne0$ かつ $1+c(\lambda)=2\lambda/(\lambda+i)$ であるから、 $h(c(\lambda))=\lambda$ である。

$U=V_A$ とおく。§E12.12 定理 4.1 (4)により $U$ はユニタリ作用素であり、 $\ker(I-U)=\{0\}$ かつ $D(A)=\im(I-U)$ である。 $V_A$ の定義域 $\im(A+iI)$ は $H$ に等しいから、§E12.12 定理 4.1 (1)により、すべての $z\in H$ について $A(I-U)z=i(I+U)z$ が成り立つ。§E12.1 命題 4.5により $\sigma(U)\subseteq\mathbb T$ である。 $E_U$ を§E12.8 定理 2.2 (1)の $\sigma(U)$ 上の射影値測度とし、 $j\colon\sigma(U)\to\C$ を包含写像とすると、 $\Phi_{E_U}(j)=U$ である。 $1\in\sigma(U)$ ならば、§E12.8 命題 2.3により $E_U(\{1\})$ は $\ker(I-U)=\{0\}$ への直交射影であるから $0$ である。 $1\notin\sigma(U)$ ならば $\sigma(U)\cap\{1\}=\emptyset$ である。したがって、いずれの場合も $E_U(\sigma(U)\cap\{1\})=0$ である。

$a=h|_{\sigma(U)}$ とおく。包含写像 $\sigma(U)\to\mathbb T$ は連続であるから、§E10.7 命題 1.3と§E10.7 命題 1.2により $a\colon\sigma(U)\to\R$ は Borel 可測である。§E12.7 命題 7.1 (1)により、 $E(B)=E_U(a^{-1}(B))=E_U(h^{-1}(B)\cap\sigma(U))$ で定まる $E$ は $\R$ 上の射影値測度であり、§E12.7 命題 7.1 (3)により $\Phi_E(\iota)=\Phi_{E_U}(\iota\circ a)=\Phi_{E_U}(a)$ である。 $S=\Phi_{E_U}(a)$ とおく。 $a$ は実数値であるから、定理 1.2 (2)により $S$ は自己共役作用素である。 $\kappa=1-j$ は $\sigma(U)$ 上の有界な連続関数であり、§E12.7 定理 4.5 (2)により $\Phi_{E_U}(\kappa)=I-U$ である。 $\sigma(U)\setminus\{1\}$ の上で $a\kappa=i(1+j)$ であるから、§E12.7 命題 5.1 (4)、§E12.7 命題 5.1 (3)、§E12.7 定理 4.5 (2)により $\Phi_{E_U}(a\kappa)=\Phi_{E_U}(i(1+j))=i(I+U)$ である。定理 1.2 (4)を有界な $\kappa$ について用いると $S(I-U)=\Phi_{E_U}(a\kappa)=i(I+U)$ であるから、すべての $z\in H$ について $(I-U)z\in D(S)$ かつ $S(I-U)z=i(I+U)z=A(I-U)z$ である。 $D(A)=\im(I-U)$ であるから $A\subseteq S$ であり、 $S$ は対称作用素であるから、§E12.12 補題 3.2 (2)により $S=A$ である。したがって $\Phi_E(\iota)=A$ である。

主張 2.1.1. $\R$ 上の射影値測度 $F$ が $\Phi_F(\iota)=A$ を満たすならば、 $\Phi_F(c)=U$ である。

証明. $c$ は $|c|=1$ を満たす連続関数であり、 $\R$ の上で $c\cdot(\iota+i)=\iota-i$ である。定理 1.2 (3)により $\Phi_F(\iota\pm i)=A\pm iI$ であり、これらの定義域は $D(A)$ である。定理 1.2 (4)により $\Phi_F(c)(A+iI)\subseteq\Phi_F(\iota-i)=A-iI$ であり、左辺の定義域は $D(A)\cap D(A)=D(A)$ である。§E12.12 定理 4.1 (1)により、すべての $x\in D(A)$ について $\Phi_F(c)(A+iI)x=(A-iI)x=U(A+iI)x$ である。 $\im(A+iI)=H$ であるから、 $\Phi_F(c)=U$ である。▨

$F$ を $\R$ 上の射影値測度で $\Phi_F(\iota)=A$ を満たすものとする。主張 2.1.1により $\Phi_F(c)=U$ である。§E12.12 定義 1.5により、 $U\in B(H)$ の線形作用素としてのスペクトルは§E12.1 定義 3.2の $\sigma(U)$ に一致する。命題 1.3 (1)を $F$ と $c$ に適用すると、 $F(c^{-1}(\C\setminus\sigma(U)))=0$ を得る。 $\R_0=c^{-1}(\sigma(U))$ とおくと、 $c$ の連続性と $\sigma(U)$ の閉性により $\R_0$ は $\R$ の閉集合であり、 $F(\R\setminus\R_0)=0$ である。§E12.1 定理 4.1により $w_0\in\sigma(U)$ をとり、 $\lambda\in\R_0$ ならば $\tilde c(\lambda)=c(\lambda)$ 、 $\lambda\notin\R_0$ ならば $\tilde c(\lambda)=w_0$ として $\tilde c\colon\R\to\sigma(U)$ を定める。Borel 集合 $B\subseteq\sigma(U)$ について、 $\tilde c^{-1}(B)$ は、 $w_0\notin B$ ならば $c^{-1}(B)\cap\R_0$ に等しく、 $w_0\in B$ ならば $c^{-1}(B)\cap\R_0$ と $\R\setminus\R_0$ との和集合に等しいから、 $\tilde c$ は Borel 可測である。§E12.7 命題 7.1 (1)により $G=F\circ\tilde c^{-1}$ は $\sigma(U)$ 上の射影値測度である。 $j\circ\tilde c$ と $c$ は $\R\setminus\R_0$ の外で一致するから、§E12.7 命題 7.1 (2)、§E12.7 命題 5.1 (4)、§E12.7 命題 5.1 (3)により $\Phi_G(j)=\Phi_F(j\circ\tilde c)=\Phi_F(c)=U$ である。§E12.8 定理 2.2 (1)の一意性により $G=E_U$ である。 $\lambda\in\R_0$ について $a(\tilde c(\lambda))=h(c(\lambda))=\lambda$ であるから、Borel 集合 $B\subseteq\R$ について $(a\circ\tilde c)^{-1}(B)\cap\R_0=B\cap\R_0$ である。Borel 集合 $X\subseteq\R$ について、§E12.7 命題 3.2 (1)と§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $F(X)=F(X\cap\R_0)+F(X\setminus\R_0)F(\R\setminus\R_0)=F(X\cap\R_0)$ であるから

E(B)=E_U(a^{-1}(B))=F\bigl((a\circ\tilde c)^{-1}(B)\bigr)=F(B\cap\R_0)=F(B)

である。したがって $F=E$ である。

主張 (2)を示す。 $c$ が $\mathbb T$ に値をとること、 $h$ が実数値の Borel 関数であること、および $A$ の射影値測度 $E$ が $E(B)=E_U(h^{-1}(B)\cap\sigma(U))$ を満たすことは、主張 (1)の証明の中で $E$ を構成したときに示した。主張 2.1.1を $F=E$ に適用すると、 $c(A)=\Phi_E(c)=U$ を得る。

主張 (3)を示す。§E12.12 定義 3.1により $A$ は§E12.1 定義 2.1の意味で自己共役作用素であり、§E12.1 定理 3.5と§E12.1 命題 4.4 (1)により $\sigma(A)$ は $\R$ のコンパクト部分集合である。包含写像 $j'\colon\sigma(A)\to\R$ は連続であるから Borel 可測であり、§E12.7 命題 7.1 (1)により $F(B)=E'(B\cap\sigma(A))$ で定まる $F=E'\circ j'^{-1}$ は $\R$ 上の射影値測度である。 $\iota\circ j'$ は $\sigma(A)$ 上の有界な包含写像であるから、§E12.7 命題 7.1 (3)、§E12.7 命題 5.1 (3)、§E12.8 定理 2.2 (1)により $D(\Phi_F(\iota))=H$ かつ $\Phi_F(\iota)=\Phi_{E'}(\iota\circ j')=A$ である。主張 (1)の一意性により $E=F$ である。 $g|_{\sigma(A)}=g\circ j'$ が有界ならば、§E12.7 命題 7.1 (3)と§E12.7 命題 5.1 (3)により $g(A)=\Phi_F(g)=\Phi_{E'}(g\circ j')$ であり、右辺は§E12.8 定理 2.2 (1)の $(g|_{\sigma(A)})(A)$ である。▨

例 2.2.定理 2.1の仮定の自己共役性を、閉な対称作用素であることに弱めることはできない。§E12.12 例 5.2の作用素 $T_{\min}$ は、§E12.12 例 5.2 (1)により $L^2([0,1])$ 上の稠密に定義された閉な対称作用素であり、§E12.12 例 5.2 (2)により自己共役作用素でない。 $T_{\min}\subseteq T_{\min}^*$ かつ $T_{\min}\ne T_{\min}^*$ であるから、 $D(T_{\min})\ne D(T_{\min}^*)$ である。一方、可測空間 $(\Omega,\Sigma)$ 上の射影値測度 $E$ と可測関数 $f\colon\Omega\to\C$ について、定理 1.2 (1)により $D(\Phi_E(f))=D(\Phi_E(f)^*)$ である。したがって、 $\Phi_E(f)=T_{\min}$ を満たす射影値測度 $E$ と可測関数 $f$ は存在しない。特に、 $\R$ 上の射影値測度 $E$ で $\Phi_E(\iota)=T_{\min}$ を満たすものは存在しない。

命題 3.1. $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素、 $E$ を定理 2.1 (1)の $A$ の射影値測度とする。

\supp E=\{\lambda\in\R:\text{すべての }\delta>0\text{ について }E((\lambda-\delta,\lambda+\delta))\ne0\}

とおく。このとき、次が成り立つ。

$\sigma(A)=\supp E$ であり、 $\sigma(A)$ は $\R$ の閉集合であって $E(\R\setminus\sigma(A))=0$ を満たす。 $H=\{0\}$ であることは、 $\sigma(A)=\emptyset$ であるための必要十分条件である。
$z\in\rho(A)$ とし、 $\lambda\ne z$ ならば $r_z(\lambda)=(z-\lambda)^{-1}$ 、 $\lambda=z$ ならば $r_z(\lambda)=0$ として Borel 関数 $r_z\colon\R\to\C$ を定める。このとき $R(z,A)=r_z(A)$ が成り立つ。 $H\ne\{0\}$ ならば、すべての $z\in\rho(A)$ について $\|R(z,A)\|=\operatorname{dist}(z,\sigma(A))^{-1}$ である。
すべての $\lambda\in\R$ について $\ker(\lambda I-A)=\im E(\{\lambda\})$ が成り立つ。特に、 $\lambda\in\R$ について、 $E(\{\lambda\})\ne0$ であることは、 $\lambda$ が $A$ の固有値であるための必要十分条件である。また、 $\sigma(A)$ の孤立点は $A$ の固有値である。

証明.命題 1.3を $\Omega=\R$ 、射影値測度 $E$ 、 $f=\iota$ に適用する。定理 2.1 (1)により $\Phi_E(\iota)=A$ である。 $z\in\C$ と $\delta>0$ について、 $N(z,\delta)$ は $\{\lambda\in\R:|\lambda-z|<\delta\}$ である。 $z\in\C\setminus\R$ ならば $\delta=|\Im z|$ について $N(z,\delta)=\emptyset$ であるから、 $z\notin\Lambda$ である。 $z\in\R$ ならば $N(z,\delta)=(z-\delta,z+\delta)$ である。したがって $\Lambda=\supp E$ であり、 $\iota^{-1}(\C\setminus\Lambda)=\R\setminus\supp E$ である。

主張 (1)は命題 1.3 (1)による。主張 (2)は命題 1.3 (2)による。 $\lambda\in\R$ について $\iota^{-1}(\{\lambda\})=\{\lambda\}$ であるから、主張 (3)の等式は命題 1.3 (3)による。 $\ker(\lambda I-A)\ne\{0\}$ 、すなわち $E(\{\lambda\})\ne0$ であることは、 $\lambda$ が $A$ の固有値であるための必要十分条件である。

$\lambda$ を $\sigma(A)$ の孤立点とし、 $(\lambda-\delta,\lambda+\delta)\cap\sigma(A)=\{\lambda\}$ を満たす $\delta>0$ をとる。 $V=(\lambda-\delta,\lambda+\delta)\setminus\{\lambda\}$ は $\R\setminus\sigma(A)$ に含まれるから、§E12.7 定義 3.1 条件 (b)と主張 (1)により $E(V)=E(V)E(\R\setminus\sigma(A))=0$ である。§E12.7 命題 3.2 (1)により $E((\lambda-\delta,\lambda+\delta))=E(\{\lambda\})+E(V)=E(\{\lambda\})$ であり、 $\lambda\in\supp E$ であるから左辺は $0$ でない。したがって $E(\{\lambda\})\ne0$ であり、 $\lambda$ は $A$ の固有値である。▨

補題 3.2. $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素、 $g\colon\R\to\C$ を Borel 関数、 $c\ge0$ を実数とする。このとき、すべての $\lambda\in\sigma(A)$ について $|g(\lambda)|\le c$ が成り立つならば、 $D(g(A))=H$ 、 $g(A)\in B(H)$ 、 $\|g(A)\|\le c$ が成り立つ。さらに、Borel 関数 $h\colon\R\to\C$ も $\sigma(A)$ 上で有界ならば、 $D((gh)(A))=H$ であり、 $(gh)(A)=g(A)h(A)$ が成り立つ。

証明. $E$ を $A$ の射影値測度とし、 $S=\sigma(A)$ 、 $g_0=g\mathbf 1_S$ とおく。命題 3.1 (1)により $S$ は $\R$ の閉集合であり、 $E(\R\setminus S)=0$ である。したがって $g_0$ は $\R$ 上の Borel 関数であり、すべての $\lambda\in\R$ について $|g_0(\lambda)|\le c$ である。 $g$ と $g_0$ は $\R\setminus S$ の外で一致するから、§E12.7 命題 5.1 (4)と§E12.7 命題 5.1 (3)により $D(g(A))=D(\Phi_E(g_0))=H$ かつ $g(A)=\Phi_E(g_0)\in B(H)$ である。§E12.7 定理 4.5 (1)により $\|g(A)\|\le\|g_0\|_\infty\le c$ である。

$h$ も $S$ 上で有界であるとする。 $gh$ も $S$ 上で有界であるから、いま示した結論を $h$ と $gh$ に適用すると、 $D(h(A))=D((gh)(A))=H$ である。定理 1.2 (4)により $g(A)h(A)\subseteq(gh)(A)$ であり、

D(g(A)h(A))=D(h(A))\cap D((gh)(A))=H

であるから、 $(gh)(A)=g(A)h(A)$ である。▨

補題 3.3. $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素とし、 $f\colon\R\to\C$ を連続関数とする。このとき、 $\sigma(f(A))$ は $f(\sigma(A))$ の $\C$ における閉包に等しい。

証明. $E$ を定理 2.1 (1)の $A$ の射影値測度とし、 $S=\sigma(A)$ とおく。§E10.7 命題 1.3により $f$ は Borel 関数であり、 $f(A)=\Phi_E(f)$ である。命題 1.3を $\Omega=\R$ 、 $E$ 、 $f$ に適用し、そこでの $N(z,\delta)$ と $\Lambda$ をとる。命題 1.3 (1)により、 $\Lambda$ は閉集合であって $\sigma(f(A))=\Lambda$ である。命題 3.1 (1)により、 $S=\supp E$ であり、 $E(\R\setminus S)=0$ である。

$\lambda\in S$ とし、 $z=f(\lambda)$ 、 $\delta>0$ とする。 $f$ の連続性により、区間 $J=(\lambda-\eta,\lambda+\eta)$ が $N(z,\delta)$ に含まれる $\eta>0$ が存在する。 $\lambda\in\supp E$ であるから $E(J)\ne0$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $E(J)=E(J\cap N(z,\delta))=E(J)E(N(z,\delta))$ であるから、 $E(N(z,\delta))\ne0$ である。したがって $z\in\Lambda$ であり、 $f(S)\subseteq\Lambda$ である。 $\Lambda$ は閉集合であるから、 $f(S)$ の閉包は $\Lambda$ に含まれる。

$z\in\C$ が $f(S)$ の閉包に属さないとする。 $\{w\in\C:\lvert w-z\rvert<\delta\}$ が $f(S)$ と交わらない $\delta>0$ をとると、 $N(z,\delta)\subseteq\R\setminus S$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (b)により $E(N(z,\delta))=E(N(z,\delta))E(\R\setminus S)=0$ である。したがって $z\notin\Lambda$ であり、 $\Lambda$ は $f(S)$ の閉包に含まれる。 $f(S)$ の閉包は $\Lambda$ に含まれるから、 $\Lambda$ は $f(S)$ の閉包に等しい。▨

定理 4.1. $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素、 $E$ を $A$ の射影値測度とする。 $z\in\C\setminus\R$ について

S(z)=(A-zI)^{-1}=-R(z,A),\qquad \Im S(z)=\frac{S(z)-S(z)^*}{2i}

とおく。 $a,b\in\R$ 、 $a<b$ とする。このとき、すべての $\varepsilon>0$ について

T_\varepsilon=\frac1\pi\int_a^b\Im S(t+i\varepsilon)\,dt

は作用素ノルムに関する Riemann 和の極限として存在し、すべての $x\in H$ について

\lim_{\varepsilon\downarrow0}T_\varepsilon x =\left(E((a,b))+\frac12E(\{a\})+\frac12E(\{b\})\right)x

が $H$ のノルムに関して成り立つ。特に、 $E(\{a\})=E(\{b\})=0$ ならば、この極限は $E((a,b))x$ に等しい。

証明.命題 3.1 (1)により $\sigma(A)\subseteq\R$ であり、命題 3.1 (2)により $S(z)=\Phi_E(s_z)$ （ $s_z(\lambda)=(\lambda-z)^{-1}$ ）である。 $s_z$ は $\R$ 上で有界であるから、§E12.7 定理 4.5 (2)により

\Im S(t+i\varepsilon)=\Phi_E(p_{\varepsilon,t}),\qquad p_{\varepsilon,t}(\lambda)=\frac{\varepsilon}{(\lambda-t)^2+\varepsilon^2}

である。

$\varepsilon>0$ を固定する。すべての $\lambda,t\in\R$ について

\left|\frac{\partial}{\partial t}p_{\varepsilon,t}(\lambda)\right| =\frac{2\varepsilon|\lambda-t|}{((\lambda-t)^2+\varepsilon^2)^2} \le\frac1{\varepsilon^2}

である。区間 $[a,b]$ の分割 $P$ の小区間 $I_j$ から標本点 $t_j\in I_j$ をとり、 $|P|$ を小区間の長さの最大値とする。平均値の定理により

\sup_{\lambda\in\R}\left| \sum_j|I_j|p_{\varepsilon,t_j}(\lambda) -\int_a^bp_{\varepsilon,t}(\lambda)\,dt\right| \le\frac{(b-a)|P|}{\varepsilon^2}

である。したがって Riemann 和は $\lambda$ に関して一様に積分へ収束する。§E12.7 定理 4.5 (1)のノルム評価と§E12.7 定理 4.5 (2)の線形性により、対応する作用素の Riemann 和は作用素ノルムに関して収束し、

T_\varepsilon=\Phi_E(F_\varepsilon),\qquad F_\varepsilon(\lambda) =\frac1\pi\int_a^b\frac{\varepsilon}{(\lambda-t)^2+\varepsilon^2}\,dt =\frac1\pi\left( \arctan\frac{b-\lambda}{\varepsilon} -\arctan\frac{a-\lambda}{\varepsilon}\right)

を得る。

すべての $\lambda\in\R$ について $0\le F_\varepsilon(\lambda)\le1$ であり、 $\varepsilon\downarrow0$ のとき

F_\varepsilon(\lambda)\longrightarrow \mathbf1_{(a,b)}(\lambda)+\frac12\mathbf1_{\{a\}}(\lambda)+\frac12\mathbf1_{\{b\}}(\lambda)

である。任意の正の数列 $\varepsilon_k\to0$ について、§E12.7 定理 4.5 (4)と§E12.7 定理 4.5 (2)を適用すると、すべての $x\in H$ で

T_{\varepsilon_k}x\longrightarrow \left(E((a,b))+\frac12E(\{a\})+\frac12E(\{b\})\right)x

を得る。数列 $\varepsilon_k\to0$ は任意であるから、 $\varepsilon\downarrow0$ における強極限の等式が成り立つ。▨

定理 5.1. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素とする。このとき、集合 $I$ 、可測空間 $(\Omega,\Sigma)$ 上の有限な正測度の族 $(\mu_i)_{i\in I}$ 、可測関数 $a\colon\Omega\to\R$ 、および Hilbert 直和へのユニタリ作用素

W\colon H\to\bigoplus_{i\in I}L^2(\Omega,\Sigma,\mu_i;\C)

が存在して、次が成り立つ。Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ と $x\in H$ について $u=Wx$ とおく。このとき、

\sum_{i\in I}\int_\Omega|g\circ a|^2|u_i|^2\,d\mu_i<\infty

であることは、 $x\in D(g(A))$ であるための必要十分条件である。この条件が成り立つとき、すべての $i\in I$ について $(g\circ a)u_i\in L^2(\Omega,\Sigma,\mu_i;\C)$ であって、 $Wg(A)x=((g\circ a)u_i)_{i\in I}$ が成り立つ。特に、

\sum_{i\in I}\int_\Omega a^2|u_i|^2\,d\mu_i<\infty

であることは、 $x\in D(A)$ であるための必要十分条件である。この条件が成り立つとき、 $WAx=(au_i)_{i\in I}$ である。 $H$ が可分ならば、 $I$ を高々可算にとることができる。

証明. $U=V_A$ とし、 $E_U$ を§E12.8 定理 2.2 (1)の $\sigma(U)$ 上の射影値測度とする。 $\Omega=\sigma(U)$ 、 $\Sigma=\mathcal B(\sigma(U))$ とし、測度 $\nu$ について $L^2(\nu)=L^2(\Omega,\Sigma,\nu;\C)$ と書く。§E12.8 定理 3.2を $U$ に適用し、集合 $I$ 、 $\sigma(U)$ 上の有限 Radon 測度の族 $(\mu_i)_{i\in I}$ 、およびユニタリ作用素 $W\colon H\to\bigoplus_{i\in I}L^2(\mu_i)$ で、すべての $\varphi\in B_b(\sigma(U))$ と $u\in\bigoplus_iL^2(\mu_i)$ について $W\varphi(U)W^*u=(\varphi u_i)_{i\in I}$ を満たすものをとる。 $H$ が可分ならば、 $I$ を高々可算にとることができる。定理 2.1の関数 $h$ について $a=h|_{\sigma(U)}$ とおく。定理 2.1 (2)、§E10.7 命題 1.3、§E10.7 命題 1.2により $a$ は実数値の可測関数であり、 $A$ の射影値測度 $E$ は $E_U\circ a^{-1}$ に等しい。

$g\colon\R\to\C$ を Borel 関数とし、 $\varphi=g\circ a$ とおき、 $n\in\NN$ について $\varphi_n=\varphi\mathbf 1_{\{|\varphi|\le n\}}$ とおく。§E12.7 命題 7.1 (3)により $D(g(A))=D(\Phi_{E_U}(\varphi))$ かつ $g(A)=\Phi_{E_U}(\varphi)$ である。 $x\in H$ とし、 $u=Wx$ とおく。 $\varphi_n(U)=\Phi_{E_U}(\varphi_n)$ であるから $W\varphi_n(U)x=W\varphi_n(U)W^*u=(\varphi_nu_i)_{i\in I}$ であり、§E12.7 定理 4.5 (3)、 $W$ の等長性、§E12.7 命題 1.6 (1)により

\int_\Omega|\varphi_n|^2\,d(E_U)_{x,x}=\|\varphi_n(U)x\|^2=\sum_{i\in I}\int_\Omega|\varphi_n|^2|u_i|^2\,d\mu_i

である。 $a_{i,n}=\int_\Omega|\varphi_n|^2|u_i|^2\,d\mu_i$ 、 $a_i=\int_\Omega|\varphi|^2|u_i|^2\,d\mu_i$ とおくと、§E10.11 定理 1.1により各 $i$ について $a_{i,n}$ は $n$ について単調非減少であって $a_i$ に収束する。 $a_{i,n}\le a_i$ であるから $\sum_ia_{i,n}\le\sum_ia_i$ であり、 $I$ の有限部分集合 $F$ について $\sum_{i\in F}a_i=\lim_n\sum_{i\in F}a_{i,n}\le\sup_n\sum_{i\in I}a_{i,n}$ であるから、§E12.7 定義 1.1 (1)により $\sup_n\sum_{i\in I}a_{i,n}=\sum_{i\in I}a_i$ である。表示式の左辺 $\int_\Omega|\varphi_n|^2\,d(E_U)_{x,x}$ に§E10.11 定理 1.1を適用して $n\to\infty$ とすると

\int_\Omega|\varphi|^2\,d(E_U)_{x,x}=\sum_{i\in I}\int_\Omega|\varphi|^2|u_i|^2\,d\mu_i

を得る。したがって、表示式の右辺が有限であることは、 $x\in D(g(A))$ であるための必要十分条件である。

右辺が有限であるとする。すべての $i$ について $\int_\Omega|\varphi u_i|^2\,d\mu_i\le\sum_ka_k<\infty$ であるから、 $\varphi u_i\in L^2(\mu_i)$ である。§E12.7 命題 5.1 (2)により $\varphi_n(U)x\to g(A)x$ であり、 $W$ は連続であるから、 $(\varphi_nu_i)_{i\in I}$ は $\bigoplus_iL^2(\mu_i)$ において $Wg(A)x$ に収束する。 $v\in\bigoplus_iL^2(\mu_i)$ の第 $i$ 成分 $v_i$ は $\|v_i\|\le\|v\|$ を満たすから、各 $i$ について $\varphi_nu_i$ は $L^2(\mu_i)$ において $(Wg(A)x)_i$ に収束する。一方、 $|\varphi_nu_i-\varphi u_i|^2\le|\varphi u_i|^2$ であり、左辺は各点で $0$ に収束するから、§E10.11 定理 3.1により $\varphi_nu_i$ は $L^2(\mu_i)$ において $\varphi u_i$ に収束する。極限の一意性により $(Wg(A)x)_i=\varphi u_i$ である。

$g=\iota$ とおくと、定理 2.1 (1)により $g(A)=\Phi_E(\iota)=A$ であり、 $g\circ a=a$ であるから、 $D(A)$ と $WAx$ についての主張を得る。▨

例 5.2. $(\Omega,\Sigma,\mu)$ を測度空間、 $H=L^2(\Omega,\Sigma,\mu;\C)$ とし、 $a\colon\Omega\to\R$ を可測関数、 $M_a$ を§E12.12 例 3.7 (1)の自己共役作用素、 $E$ を $M_a$ の射影値測度とする。このとき、すべての Borel 集合 $B\subseteq\R$ と $u\in H$ について $E(B)u=\mathbf 1_{a^{-1}(B)}u$ である。Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ について $D(g(M_a))=\{u\in H:(g\circ a)u\in H\}$ であり、 $u\in D(g(M_a))$ について $g(M_a)u=(g\circ a)u$ である。

証明. $F^0$ を§E12.7 例 7.2 (1)の $(\Omega,\Sigma)$ 上の射影値測度 $F^0(C)u=\mathbf 1_Cu$ とする。§E12.7 命題 7.1 (1)により $F=F^0\circ a^{-1}$ は $\R$ 上の射影値測度であり、 $F(B)u=\mathbf 1_{a^{-1}(B)}u$ を満たす。Borel 関数 $g$ について $g\circ a$ は§E10.7 命題 1.2により可測であり、§E12.7 命題 7.1 (3)と§E12.7 例 7.2 (1)により $D(\Phi_F(g))=D(\Phi_{F^0}(g\circ a))=\{u\in H:(g\circ a)u\in H\}$ であって、 $u\in D(\Phi_F(g))$ について $\Phi_F(g)u=(g\circ a)u$ である。 $g=\iota$ とおくと $D(\Phi_F(\iota))=D(M_a)$ かつ $\Phi_F(\iota)=M_a$ であるから、定理 2.1 (1)の一意性により $E=F$ であり、 $g(M_a)=\Phi_F(g)$ である。▨

命題 6.1. $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A$ を $H$ 上の自己共役作用素、 $E$ を定理 2.1 (1)の $A$ の射影値測度とする。

$(e_\alpha)_{\alpha\in J}$ を $H$ の完全正規直交系で、すべての $\alpha\in J$ について $e_\alpha\in D(A)$ であり、 $Ae_\alpha=\lambda_\alpha e_\alpha$ を満たす $\lambda_\alpha\in\C$ が存在するものとする。このとき、すべての $\alpha\in J$ について $\lambda_\alpha\in\R$ である。Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ と $x\in H$ について、 $\sum_{\alpha\in J}|g(\lambda_\alpha)|^2|\langle x,e_\alpha\rangle|^2<\infty$ であることは、 $x\in D(g(A))$ であるための必要十分条件である。このとき族 $(g(\lambda_\alpha)\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha)_{\alpha\in J}$ は総和可能であって $g(A)x=\sum_{\alpha\in J}g(\lambda_\alpha)\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha$ が成り立つ。特に、すべての Borel 集合 $B\subseteq\R$ と $x\in H$ について $E(B)x=\sum_{\alpha\in J}\mathbf 1_B(\lambda_\alpha)\langle x,e_\alpha\rangle e_\alpha$ である。
$m\in\R$ とし、 $A$ が $m$ で下に有界であってコンパクトなレゾルベントをもつとし、 $A$ の離散固有基底 $(e_n)_{n\in N}$ 、 $(\lambda_n)_{n\in N}$ （§E12.14 定理 2.3 (1)により存在する）をとる。このとき、Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ について $D(g(A))=\Bigl\{x\in H:\sum_{n\in N}|g(\lambda_n)|^2|\langle x,e_n\rangle|^2<\infty\Bigr\},\qquad g(A)x=\sum_{n\in N}g(\lambda_n)\langle x,e_n\rangle e_n\quad(x\in D(g(A)))$ が成り立ち、級数は $H$ のノルムについて収束する。 $\Lambda=\{\lambda_n:n\in N\}$ とおくと、 $\Lambda$ は $A$ の固有値の全体であり、 $\sigma(A)$ に等しく、 $E(\R\setminus\Lambda)=0$ が成り立つ。 $\mu\in\Lambda$ について、 $E(\{\mu\})$ は有限次元の部分空間 $\ker(\mu I-A)=\operatorname{span}\{e_n:\lambda_n=\mu\}$ への直交射影である。

証明.主張 (1)を示す。 $\alpha\in J$ とする。 $A$ は対称作用素であるから $\lambda_\alpha=\langle Ae_\alpha,e_\alpha\rangle=\langle e_\alpha,Ae_\alpha\rangle=\overline{\lambda_\alpha}$ であり、 $\lambda_\alpha\in\R$ である。命題 3.1 (3)により $e_\alpha\in\im E(\{\lambda_\alpha\})$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (a)により $E(\{\lambda_\alpha\})e_\alpha=e_\alpha$ である。 $\varphi\colon\R\to\C$ を Borel 関数とする。 $\varphi$ は $\{\lambda_\alpha\}$ の上で有界であり、 $\varphi\mathbf 1_{\{\lambda_\alpha\}}=\varphi(\lambda_\alpha)\mathbf 1_{\{\lambda_\alpha\}}$ であるから、補題 1.1 (1)と§E12.7 定理 4.5 (2)により $e_\alpha\in D(\varphi(A))$ かつ

\varphi(A)e_\alpha=\Phi_E(\varphi)E(\{\lambda_\alpha\})e_\alpha=\Phi_E(\varphi(\lambda_\alpha)\mathbf 1_{\{\lambda_\alpha\}})e_\alpha=\varphi(\lambda_\alpha)e_\alpha

\text{(6.1.1)}

である。 $x\in H$ と $\alpha\in J$ について $c_\alpha(x)=\langle x,e_\alpha\rangle$ とおく。

主張 6.1.1. Borel 関数 $g\colon\R\to\C$ と $y\in D(g(A))$ について、 $\sum_{\alpha\in J}|g(\lambda_\alpha)c_\alpha(y)|^2=\|g(A)y\|^2$ であり、族 $(g(\lambda_\alpha)c_\alpha(y)e_\alpha)_{\alpha\in J}$ は総和可能であって、その和は $g(A)y$ に等しい。

証明.定理 1.2 (1)により $g(A)^*=\overline g(A)$ であり、式 (6.1.1)を $\varphi=\overline g$ について用いると

\langle g(A)y,e_\alpha\rangle=\langle y,\overline g(A)e_\alpha\rangle=\langle y,\overline{g(\lambda_\alpha)}e_\alpha\rangle=g(\lambda_\alpha)c_\alpha(y)

である。§E12.7 補題 2.2 (4)と§E12.7 補題 2.2 (3)を $g(A)y$ に適用すると、 $\sum_\alpha|g(\lambda_\alpha)c_\alpha(y)|^2=\|g(A)y\|^2<\infty$ であり、族 $(g(\lambda_\alpha)c_\alpha(y)e_\alpha)_{\alpha\in J}$ は総和可能であって、その和は $g(A)y$ に等しい。▨

主張 6.1.1により、 $x\in D(g(A))$ ならば $\sum_\alpha|g(\lambda_\alpha)c_\alpha(x)|^2<\infty$ であり、 $g(A)x=\sum_\alpha g(\lambda_\alpha)c_\alpha(x)e_\alpha$ である。逆に、 $x\in H$ が $K^2=\sum_\alpha|g(\lambda_\alpha)c_\alpha(x)|^2<\infty$ を満たすとする。 $y\in D(\overline g(A))$ とする。主張 6.1.1を $\overline g$ と $y$ に適用し、連続な線形汎関数 $w\mapsto\langle w,x\rangle$ について§E12.7 補題 1.3 (2)を用いると

\langle\overline g(A)y,x\rangle=\sum_{\alpha\in J}\overline{g(\lambda_\alpha)}c_\alpha(y)\overline{c_\alpha(x)}

である。 $J$ の有限部分集合 $F$ について、標準内積を入れた $\C^F$ における Cauchy–Schwarz の不等式（§E10.3 補題 1.2）と§E12.7 補題 2.2の不等式により

\Bigl|\sum_{\alpha\in F}\overline{g(\lambda_\alpha)}c_\alpha(y)\overline{c_\alpha(x)}\Bigr|\le\Bigl(\sum_{\alpha\in F}|c_\alpha(y)|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_{\alpha\in F}|g(\lambda_\alpha)c_\alpha(x)|^2\Bigr)^{1/2}\le K\|y\|

であり、§E12.7 定義 1.1 (2)により総和はこれらの有限和の極限であるから、 $|\langle\overline g(A)y,x\rangle|\le K\|y\|$ である。定理 1.2 (1)により $\overline g(A)$ は稠密に定義されているから、§E12.12 命題 2.2 (1)により $x\in D(\overline g(A)^*)$ である。定理 1.2 (1)を $\overline g$ に適用すると $\overline g(A)^*=g(A)$ であるから、 $x\in D(g(A))$ である。

$B\subseteq\R$ を Borel 集合とし、 $g=\mathbf 1_B$ とおくと、§E12.7 命題 5.1 (3)と§E12.7 定理 4.5 (2)により $D(g(A))=H$ かつ $g(A)=E(B)$ であるから、最後の主張を得る。

主張 (2)を示す。 $(e_n)_{n\in N}$ は $H$ の完全正規直交系である。主張 (1)により $D(g(A))$ の記述と $g(A)x$ の総和の式を得る。 $N=\NN$ の場合は、§E12.7 補題 1.3 (4)により級数は $H$ のノルムについて $g(A)x$ に収束する。 $\mu\in\C$ について、§E12.14 定理 2.3 (4)により $\ker(\mu I-A)=\operatorname{span}\{e_n:\lambda_n=\mu\}$ は有限次元であり、 $\mu\in\Lambda$ のときに限り $\{0\}$ でないから、 $A$ の固有値の全体は $\Lambda$ である。§E12.14 定理 2.3 (5)により $\sigma(A)=\Lambda$ である。 $\Lambda$ は高々可算集合であるから Borel 集合であり、 $B=\R\setminus\Lambda$ についてすべての $n$ で $\mathbf 1_B(\lambda_n)=0$ であるから、主張 (1)により $E(\R\setminus\Lambda)=0$ である。 $\mu\in\Lambda$ について、命題 3.1 (3)により $\im E(\{\mu\})=\ker(\mu I-A)$ であり、§E12.7 定義 3.1 条件 (a)と§E12.7 補題 1.5により $E(\{\mu\})$ はこの部分空間への直交射影である。▨

例 6.2.命題 6.1 (2)からコンパクトなレゾルベントの仮定を外すことはできない。 $L^2(\R)$ を Lebesgue 測度 $m$ に関する複素数値の二乗可積分関数の Hilbert 空間とし、 $A$ を§E12.14 例 5.3の乗算作用素 $M_a$ （ $a(x)=x^2$ ）、 $E$ を $A$ の射影値測度とする。このとき、 $A$ は $0$ で下に有界な自己共役作用素であってコンパクトなレゾルベントをもたず、 $\sigma(A)=[0,\infty)$ であり、すべての $\lambda\in\R$ について $E(\{\lambda\})=0$ である。したがって $A$ の固有値の全体は空集合であり、 $E(\R\setminus\emptyset)=I\ne0$ であるから、固有値の全体の補集合の射影が零であるという命題 6.1 (2)の結論は $A$ について成り立たない。

証明.§E12.14 例 5.3により、 $A$ は $0$ で下に有界な自己共役作用素であって、コンパクトなレゾルベントをもたない。Borel 集合 $B\subseteq\R$ について $S_B=\{x\in\R:x^2\in B\}$ とおくと、例 5.2により $E(B)u=\mathbf 1_{S_B}u$ である。 $\lambda<0$ ならば $S_{(2\lambda,0)}=\emptyset$ であるから、 $\delta=|\lambda|$ について $E((\lambda-\delta,\lambda+\delta))=0$ であり、 $\lambda\notin\supp E$ である。 $\lambda\ge0$ と $\delta>0$ について、区間 $J=(\sqrt\lambda,\sqrt{\lambda+\delta})$ は $S_{(\lambda-\delta,\lambda+\delta)}$ に含まれ、 $u=\mathbf 1_J$ は $\|u\|^2=m(J)>0$ と $E((\lambda-\delta,\lambda+\delta))u=u$ を満たすから、 $\lambda\in\supp E$ である。命題 3.1 (1)により $\sigma(A)=[0,\infty)$ である。 $A$ は§E12.14 例 5.3により固有値をもたないから、命題 3.1 (3)によりすべての $\lambda\in\R$ について $\im E(\{\lambda\})=\ker(\lambda I-A)=\{0\}$ であり、 $E(\{\lambda\})=0$ である。 $\mathbf 1_{[0,1]}$ は $L^2(\R)$ の零でない元であるから、 $E(\R)=I\ne0$ である。▨

問題 7.1. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $(e_n)_{n\ge1}$ をその標準基底とする。全単射 $d\colon\NN\to\Q$ をとり、 $d_n=d(n)$ とおく。§E12.12 例 3.7 (3)の自己共役作用素 $D_d$ とその射影値測度 $E$ について、次を示せ。

すべての Borel 集合 $B\subseteq\R$ と $x\in\ell^2$ について $E(B)x=(\mathbf 1_B(d_n)x_n)_{n\ge1}$ である。
$\sigma(D_d)=\R$ である。 $\lambda\in\R$ について、 $\lambda\in\Q$ であることは、 $\lambda$ が $D_d$ の固有値であるための必要十分条件である。
$D_d$ はコンパクトなレゾルベントをもたない。

§E12.15スペクトル定理 II

1 可測関数の汎関数計算

2 Cayley 変換によるスペクトル定理

3 レゾルベントとスペクトル

4 Stone の反転公式

5 乗算作用素形

6 固有ベクトルによる展開との整合

7 演習

参考文献

前提記事