§E10.14Radon–Nikodym の定理

$Z=\{f=\infty\}$とおく。$E\in\mathcal{F}$について$f\mathbf{1}_{E\cap Z}=\infty\cdot\mathbf{1}_{E\cap Z}$であり、$m\mathbf{1}_{E\cap Z}\uparrow\infty\cdot\mathbf{1}_{E\cap Z}$に§E10.11 定理 1.1を適用すると$\lambda_f(E\cap Z)=\infty\cdot\mu(E\cap Z)$である（$\infty\cdot0=0$）。

$\mu(Z)>0$と仮定し、$\lambda_f(C_n)<\infty$を満たす可測集合列$(C_n)$が$X$を覆うとする。$\lambda_f(C_n\cap Z)=\infty\cdot\mu(C_n\cap Z)$であり、左辺は$\lambda_f(C_n)$以下で有限であるから、$\mu(C_n\cap Z)=0$である。可算劣加法性から$\mu(Z)\leq\sum_n\mu(C_n\cap Z)=0$となり矛盾する。したがって、$\lambda_f$が σ-有限ならば$\mu(Z)=0$である。

逆に$\mu(Z)=0$とし、$\mu(B_k)<\infty$で$X=\bigcup_kB_k$を満たす列をとる。$C_{k,n}=B_k\cap\{f\leq n\}$について$f\mathbf{1}_{C_{k,n}}\leq n\mathbf{1}_{B_k}$であるから$\lambda_f(C_{k,n})\leq n\mu(B_k)<\infty$である。また、$\lambda_f(Z)=\infty\cdot\mu(Z)=0$である。可算族$\{C_{k,n}\}_{k,n}\cup\{Z\}$は$X$を覆うので、$\lambda_f$は σ-有限である。

$F(y)$を$y\leq0$で$0$、$0<y<1$で$\sqrt y$、$y\geq1$で$1$と定める。$F$は有限実数値で、非減少かつ連続である。また、$0<y\leq1$では$h(y)=1/(2\sqrt y)$、それ以外では$h(y)=0$とおく。

$x\in[0,1]$について、$c\in\R$に対して$x^2\leq c$であることは$c\geq0$かつ$x\leq\sqrt c$であることと同値であるから、$\{\,x\in[0,1]\mid x^2\leq c\,\}$の$\lambda$による測度は$F(c)$である（$c\geq0$では$[0,\min\{\sqrt c,1\}]$、$c<0$では空集合であり、一点集合は零集合である）。ゆえに$\nu((a,b])=\mu(T^{-1}((a,b]))=F(b)-F(a)$である。

$0\leq a<b\leq1$とし、$n$を$1/n<b$を満たす整数とする。$c_n=\max\{a,1/n\}$とおくと、$h$は$[c_n,b]$上で連続であり$\sqrt y$の導関数である。§E10.10 系 5.2を$Y=\R$、$[a,b]=[c_n,b]$として適用すると、$[c_n,b]$上の$h$の積分値は$\sqrt b-\sqrt{c_n}$である。一点集合の測度は$0$であるから$\int_{(c_n,b]}h\,d\lambda=\sqrt b-\sqrt{c_n}$である。$h\mathbf{1}_{(c_n,b]}\uparrow h\mathbf{1}_{(a,b]}$に§E10.11 定理 1.1を適用すると$\lambda_h((a,b])=\sqrt b-\sqrt a=F(b)-F(a)$である。一般の$a<b$では、$h$が$(0,1]$の外で$0$であることから、$(a,b]\cap(0,1]$に前の計算を適用して同じ等式を得る。

§E10.12 命題 1.3と§E10.12 命題 3.3により$\nu$と$\lambda_h$は$\mathcal{B}(\R)$上の測度であり、ともに任意の半開区間$(a,b]$に$F(b)-F(a)$を対応させる。したがって、§E10.9 定理 9.1の一意性により$\nu=\lambda_h$である。とくに$\lambda(E)=0$ならば$\nu(E)=\lambda_h(E)=0$であり$\nu\ll\lambda$である。$\nu$と$\lambda$は σ-有限であるから、定理 3.1により$d\nu/d\lambda=h$が$\lambda$に関してほとんど至る所で成り立つ。

$\mu(E)=0$ならば$E=\emptyset$であるから$\nu(E)=0$であり、$\nu\ll\mu$である。任意の可測集合$E$について$\nu(E)=\int_Ef\,d\mu$を満たす非負可測関数$f$が存在すると仮定する。$x\in[0,1]$について$f\mathbf{1}_{\{x\}}=f(x)\mathbf{1}_{\{x\}}$であり、$f(x)<\infty$ならば§E10.8 定義 5.1、$f(x)=\infty$ならば§E10.11 定理 1.1により$\int_{\{x\}}f\,d\mu=f(x)\mu(\{x\})=f(x)$である。$\nu(\{x\})=0$であるから$f(x)=0$がすべての$x$で成り立ち、$\nu([0,1])=\int_{[0,1]}0\,d\mu=0$となる。これは$\nu([0,1])=1$に反する。$\mu(C)<\infty$を満たす集合は有限集合であり、可算個の有限集合の和集合は可算であるから$[0,1]$を覆わない。したがって、$\mu$は σ-有限でない。$\mu$の σ-有限性を仮定しなければ、定理 2.3の結論は一般には成り立たない。

$\rho(E)=0$ならば$\mu(E)=0$であり、さらに$\nu(E)=0$であるから$\nu\ll\rho$である。定理 2.3により$f=d\nu/d\mu$と$g=d\mu/d\rho$をとる。このとき、§E10.12 系 3.7により、任意の$E\in\mathcal F$に対して$\nu(E)=\int_Efg\,d\rho$である。したがって$fg$は$\nu$を$\rho$に関して表す密度である。$\nu$は σ-有限であるから、定理 3.1により、$\nu$を表す任意の密度$d\nu/d\rho$は$fg$と$\rho$に関してほとんど至る所で一致する。

$\mu\ll\nu$かつ$\nu\ll\mu$のとき、§E10.12 系 3.7を$\mu\ll\nu\ll\mu$（$\rho=\mu$）における密度へ適用すると、$\mu$を$\mu$に関して表す密度として$\frac{d\mu}{d\nu}\cdot\frac{d\nu}{d\mu}$を得る。定数関数$1$も$\mu(E)=\int_E1\,d\mu$を満たすので、定理 3.1により$\frac{d\mu}{d\nu}\cdot\frac{d\nu}{d\mu}=1$が$\mu$に関してほとんど至る所で成り立つ。

$\mu(B_k)<\infty$で$X=\bigcup_kB_k$を満たす可測被覆をとる。正の整数$k,n$に対して$C_{k,n}=B_k\cap\{f\leq n\}$とおく。§E10.12 命題 3.3により、非負可測関数$f\mathbf1_{C_{k,n}}$の密度測度

を定める。$\eta_{k,n}(X)\leq n\mu(B_k)<\infty$であるから、$\eta_{k,n}$は有限測度である。任意の$E\in\mathcal F$に対し、仮定を$E\cap C_{k,n}$に適用すると

である。したがって、定理 3.1を表示測度$\eta_{k,n}$と二密度$f\mathbf1_{C_{k,n}},g\mathbf1_{C_{k,n}}$に適用すると、各$C_{k,n}$上で$f=g$が$\mu$に関してほとんど至る所で成り立つ。$\{f<g\}\subseteq\{f<\infty\}=\bigcup_{k,n}C_{k,n}$であるから、$\{f<g\}$は可測零集合$C_{k,n}\cap\{f\ne g\}$の可算和に含まれる。ゆえに、可算劣加法性により$\mu(\{f<g\})=0$である。$f$と$g$を交換し、$B_k\cap\{g\leq n\}$に同じ議論を適用すると$\mu(\{g<f\})=0$である。したがって、$f=g$が$\mu$に関してほとんど至る所で成り立つ。

例として、一点集合$X=\{p\}$に$\mu(\{p\})=\infty$を入れ、$f\equiv1$、$g\equiv2$とおく。どちらの積分も$\{p\}$上で$\infty$、空集合上で$0$であるから、すべての$E$について$\int_Ef\,d\mu=\int_Eg\,d\mu$である。しかし$\mu(\{f\neq g\})=\mu(\{p\})=\infty>0$である。この例で$\mu$と$\lambda_f$はともに σ-有限でない。

$Q=\Q\cap[0,1]$とおく。$\alpha(A)=\lambda(A\cap[0,1])$と$\sigma(A)=\#(A\cap Q)$は正測度である（後者は可算集合$Q$上の数え上げ測度の、包含写像による像測度であり、互いに交わらない集合列の個数は加法的である）。ゆえに$\nu=\alpha+\sigma$は正測度である。$Q$は可算であるから、$\R\setminus Q$と各一点集合$\{q\}$（$q\in Q$）からなる可算族は$\R$を覆い、$\R\setminus Q$の$\nu$による値は$\lambda([0,1])=1$以下、$\{q\}$の値は$1$である。したがって$\nu$は σ-有限である。

$\nu_{\mathrm a}=\alpha$、$\nu_{\mathrm s}=\sigma$とおく。$\lambda(E)=0$ならば$\alpha(E)\leq\lambda(E)=0$であるから$\alpha\ll\lambda$である。$Q$は可算集合であるから$\lambda(Q)=0$であり、$\sigma(\R\setminus Q)=0$であるから$\sigma\perp\lambda$である。定理 4.1の一意性により、これが Lebesgue 分解である。また$\alpha(E)=\int_E\mathbf{1}_{[0,1]}\,d\lambda$であるから、定理 3.1により$d\nu_{\mathrm a}/d\lambda=\mathbf{1}_{[0,1]}$が$\lambda$に関してほとんど至る所で成り立つ。最後に、$\lambda(Q)=0$であるが$\nu(Q)=\#Q=\infty\neq0$であるから、$\nu\ll\lambda$は成り立たない。