Euclid 空間の変数変換 | 測度と積分

補題 1.1. $n\geq1$ を整数、 $E\subseteq\R^n$ をコンパクトな Jordan 可測集合、 $f:E\to\R$ を連続関数とする。このとき $f$ は $E$ 上で Lebesgue 可積分であり、Riemann 積分との間に

\int_E f(x)\,dx=\int_E f\,d\lambda_n

が成り立つ。左辺は Riemann 積分である。

証明. $E$ を含む閉直方体 $R$ を取り、 $f$ を $R\setminus E$ 上で零として延長した関数を $\widetilde f$ とする。 $E$ は閉集合であり、 $f$ は連続であるから、 $\widetilde f$ は Borel 可測である。関数 $\widetilde f$ は有界であり、 $\lambda_n(R)<\infty$ であるため、Lebesgue 可積分である。

§E4.11 補題 3.4により、 $\widetilde f$ は $R$ 上で Riemann 可積分である。任意の $\ep>0$ に対して、Darboux 上和と下和の差が $\ep$ 未満となる直方体分割 $\mathcal P$ を取る。各小直方体 $Q$ 上の $\widetilde f$ の下限と上限を、それぞれ $a_Q,b_Q$ とする。分割面の有限和を $H$ とし、 $R\setminus H$ 上で

s=\sum_{Q\in\mathcal P}a_Q\mathbf1_{\tpint{Q}}, \qquad t=\sum_{Q\in\mathcal P}b_Q\mathbf1_{\tpint{Q}}

と定め、 $H$ 上では $s=t=0$ とする。

分割面は有界な座標超平面の部分集合である。各面を、厚さを零へ近づけた半開直方体で覆い、§E10.16 命題 4.1を適用すると、各面の Lebesgue 測度は零である。したがって $\lambda_n(H)=0$ であり、同じ直方体の体積公式から

\int_Rs\,d\lambda_n=\sum_{Q\in\mathcal P}a_Q\operatorname{vol}(Q), \qquad \int_Rt\,d\lambda_n=\sum_{Q\in\mathcal P}b_Q\operatorname{vol}(Q)

となる。 $s\leq\widetilde f\leq t$ は $H$ の外で成り立つため、Lebesgue 積分値は Darboux 下和と上和の間にある。Riemann 積分値も同じ二つの和の間にあるので、両積分値の差の絶対値は $\ep$ 未満である。 $\ep\downarrow0$ とすれば両積分値は一致する。▨

補題 1.2. $n\geq1$ を整数、 $U,V\subseteq\R^n$ を開集合、 $F:U\to V$ を $C^1$ 級微分同相写像とする。 $J_F(x)=|\det DF(x)|$ とおく。このとき、任意の $h\in C_c(U,\R)$ に対して

\int_V h\circ F^{-1}\,d\lambda_n =\int_U hJ_F\,d\lambda_n

が成り立ち、両辺の関数は可積分である。

証明. $K=\supp h$ とする。各 $x\in K$ に対して、 $x$ を内部に含み $U$ に含まれる閉直方体を取る。有限個の直方体 $Q_1,\ldots,Q_r$ の内部で $K$ を覆い、 $E=\bigcup_{j=1}^rQ_j$ とおく。 $K=\emptyset$ ならば $E=\emptyset$ とする。有限和 $E$ の境界は各直方体の境界の和に含まれるため、 $E$ はコンパクトな Jordan 可測集合であり、 $E\subseteq U$ である。

関数 $g=h\circ F^{-1}$ は $V$ 上で連続であり、台はコンパクト集合 $F(K)$ である。また、 $hJ_F$ は $U$ 上で連続であり、台は $K$ に含まれる。したがって両関数は有界で有限測度の集合に台をもち、Lebesgue 可積分である。

§E4.14 系 2.2を $F$ 、 $E$ 、 $g|_{F(E)}$ へ適用すると、 $F(E)$ はコンパクトな Jordan 可測集合であり、Riemann 積分について

\int_{F(E)}g(y)\,dy=\int_E h(x)J_F(x)\,dx

となる。補題 1.1を両辺へ適用する。 $g$ は $V\setminus F(E)$ 上で零であり、 $hJ_F$ は $U\setminus E$ 上で零であるから、主張の公式を得る。▨

定理 2.1. $n\geq1$ を整数、 $U,V\subseteq\R^n$ を開集合、 $F:U\to V$ を $C^1$ 級微分同相写像とする。 $J_F(x)=|\det DF(x)|$ とおく。このとき次の主張が成り立つ。

任意の集合 $A\subseteq U$ に対して、 $A$ が Borel 集合であることと $F(A)$ が Borel 集合であることは同値である。また、 $A$ が Lebesgue 可測であることと $F(A)$ が Lebesgue 可測であることは同値である。
任意の Lebesgue 可測集合 $A\subseteq U$ に対して $\lambda_n(F(A))=\int_A J_F\,d\lambda_n$ が $[0,\infty]$ において成り立つ。
任意の Lebesgue 可測関数 $g:V\to[0,\infty]$ に対して、 $g\circ F$ は Lebesgue 可測であり、 $\int_Vg\,d\lambda_n =\int_U(g\circ F)J_F\,d\lambda_n$ が $[0,\infty]$ において成り立つ。
Lebesgue 可測関数 $g:V\to\R$ または $g:V\to\C$ が $V$ 上で可積分であるための必要十分条件は、 $(g\circ F)J_F$ が $U$ 上で可積分であることである。この条件が成り立つとき $\int_Vg\,d\lambda_n =\int_U(g\circ F)J_F\,d\lambda_n$ が成り立つ。

証明. 連鎖律により、任意の $x\in U$ に対して

DF^{-1}(F(x))DF(x)=I_n

である。したがって $J_F$ は連続な有限値関数であり、すべての $x\in U$ で $J_F(x)>0$ である。 $F$ と $F^{-1}$ は同相写像であるから Borel 可測であり、Borel 集合を Borel 集合へ写す。

$U$ の Borel 集合族上で

\eta(A)=\lambda_n^B(F(A)), \qquad \nu(A)=\int_AJ_F\,d\lambda_n^B

と定める。測度 $\eta$ は $F^{-1}$ による $\lambda_n^B|_V$ の像測度であり、 $\nu$ は§E10.12 命題 3.3による正測度である。任意のコンパクト集合 $L\subseteq U$ に対して、 $F(L)$ はコンパクトであり、 $J_F$ は $L$ 上で有界であるから、 $\eta(L)$ と $\nu(L)$ は有限である。

§E10.16 定理 9.1により、任意の Borel 集合 $A\subseteq U$ の像 $F(A)$ の測度は、 $F(A)$ に含まれるコンパクト集合の測度の上限である。各コンパクト集合の $F^{-1}$ による像は $A$ に含まれるコンパクト集合であるため、 $\eta$ はコンパクト内正則である。

$U$ に含まれる有理端点の非退化な閉直方体を列挙し、最初の $m$ 個の和を $E_m$ とする。 $U=\emptyset$ の場合には $E_m=\emptyset$ とする。各 $E_m$ はコンパクトであり、 $E_m\uparrow U$ である。 $M_m\geq1$ を $E_m$ 上の $J_F$ の上界とする。任意の Borel 集合 $A\subseteq U$ と $\ep>0$ に対して、§E10.16 定理 9.1により、コンパクト集合 $L\subseteq A\cap E_m$ を

\lambda_n^B((A\cap E_m)\setminus L)<\ep/M_m

となるように取ることができる。したがって

0\leq\nu(A\cap E_m)-\nu(L)<\ep.

また、§E10.11 定理 1.1により $\nu(A\cap E_m)\uparrow\nu(A)$ である。ゆえに $\nu$ も、無限測度の Borel 集合を含めてコンパクト内正則である。したがって $\eta,\nu$ は $U$ 上の Radon 測度である。開集合 $U$ は、各点の周りに $U$ に含まれる閉球を取ることができるため、局所コンパクト Hausdorff 空間である。

任意の $h\in C_c(U,\R)$ に対して、像測度の積分公式§E10.12 定理 1.2と密度の積分公式§E10.12 系 3.4により

\int_Uh\,d\eta=\int_Vh\circ F^{-1}\,d\lambda_n^B, \qquad \int_Uh\,d\nu=\int_UhJ_F\,d\lambda_n^B

となる。補題 1.2と、Borel 関数の積分が完備化によって変わらないことを述べる§E10.10 命題 4.3から、二つの積分は一致する。したがって§E10.32 系 4.2により $\eta=\nu$ である。すなわち、すべての Borel 集合 $A\subseteq U$ に対して

\lambda_n^B(F(A))=\int_AJ_F\,d\lambda_n^B

が成り立つ。

$Z\subseteq U$ が Borel 零集合ならば、Borel 集合に対する測度変換公式により $F(Z)$ も Borel 零集合である。また、 $W\subseteq V$ が Borel 零集合ならば

\int_{F^{-1}(W)}J_F\,d\lambda_n^B=0.

各 $k\geq1$ に対して

\lambda_n^B\bigl(F^{-1}(W)\cap\{J_F\geq1/k\}\bigr) \leq k\int_{F^{-1}(W)}J_F\,d\lambda_n^B=0

である。 $J_F>0$ であるから、左辺の集合の可算和は $F^{-1}(W)$ であり、 $F^{-1}(W)$ も Borel 零集合である。

Lebesgue 可測集合 $A\subseteq U$ を取る。§E10.16 定理 6.2 (2)により、Borel 集合 $B\subseteq U$ と Borel 零集合 $Z\subseteq U$ が存在して $A\mathbin{\triangle}B\subseteq Z$ となる。単射性から

F(A)\mathbin{\triangle}F(B) =F(A\mathbin{\triangle}B)\subseteq F(Z).

したがって $F(A)$ は Lebesgue 可測であり、 $\lambda_n(F(A))=\lambda_n^B(F(B))$ である。同じ完備化の表示と逆像の零集合保存を $V$ 上で用いると、 $F(A)$ が Lebesgue 可測ならば $A$ も Lebesgue 可測である。これで主張 (1)は示された。 $A$ と $B$ の差は零集合に含まれるため、§E10.10 定理 3.2と Borel 集合の公式から

\int_AJ_F\,d\lambda_n =\int_BJ_F\,d\lambda_n^B =\lambda_n^B(F(B)) =\lambda_n(F(A))

を得る。これで主張 (2)は示された。

$U$ の Lebesgue 可測集合族上で、§E10.12 命題 3.3により正測度 $\mu(A)=\int_AJ_F\,d\lambda_n$ を定める。主張 (1)により $F$ は Lebesgue 可測集合族の間の可測写像であり、主張 (2)により、任意の Lebesgue 可測集合 $C\subseteq V$ に対して

(F_\#\mu)(C)=\mu(F^{-1}(C))=\lambda_n(C)

である。したがって $F_\#\mu=\lambda_n|_V$ である。非負 Lebesgue 可測関数 $g:V\to[0,\infty]$ に対して、§E10.12 定理 1.2 (1)と§E10.12 命題 3.2により、 $g\circ F$ は可測であり、

\int_Vg\,d\lambda_n =\int_Ug\circ F\,d\mu =\int_U(g\circ F)J_F\,d\lambda_n.

これで主張 (3)は示された。

系 2.2. $n\geq1$ を整数、 $U,V\subseteq\R^n$ を開集合、 $F:U\to V$ を $C^1$ 級微分同相写像とする。このとき $F$ による $\lambda_n|_U$ の像測度は、 $V$ 上の $\lambda_n|_V$ に関して密度

y\longmapsto |\det DF^{-1}(y)| =\frac{1}{|\det DF(F^{-1}(y))|}

をもつ。すなわち、任意の Lebesgue 可測集合 $B\subseteq V$ に対して

(F_\#(\lambda_n|_U))(B) =\lambda_n(F^{-1}(B)) =\int_B|\det DF^{-1}(y)|\,d\lambda_n(y)

が成り立つ。

証明.定理 2.1 (2)を $C^1$ 級微分同相写像 $F^{-1}:V\to U$ と集合 $B$ へ適用する。連鎖律と行列式の乗法性から

|\det DF^{-1}(y)|\,|\det DF(F^{-1}(y))|=1

であるため、密度の二つの表示は一致する。▨

補題 3.1. $n\geq1$ を整数、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $F:U\to\R^n$ を連続写像とする。このとき、 $U$ の相対位相についての $F_\sigma$ 集合の像は、 $\R^n$ の $F_\sigma$ 集合である。

さらに、 $F$ が局所 Lipschitz 連続ならば、 $U$ に含まれる Lebesgue 零集合の像は Lebesgue 零集合であり、任意の Lebesgue 可測集合 $A\subseteq U$ の像 $F(A)$ は Lebesgue 可測である。

証明. $U$ に含まれる有理端点の非退化な閉直方体を列挙し、最初の $m$ 個の和を $E_m$ とおく。 $U=\emptyset$ ならば $E_m=\emptyset$ とする。各 $E_m$ はコンパクトであり、 $E_m\uparrow U$ である。 $H$ が $U$ の相対閉集合ならば、各 $H\cap E_m$ はコンパクトであり、

F(H)=\bigcup_{m\geq1}F(H\cap E_m)

はコンパクト集合の可算和である。相対 $F_\sigma$ 集合を相対閉集合の可算和に書けば、その像も $\R^n$ の $F_\sigma$ 集合となる。

$F$ が局所 Lipschitz 連続であるとする。 $W\subseteq U$ 上で $F$ が Lipschitz 定数 $L\geq1$ をもち、 $N\subseteq W$ が Lebesgue 零集合であるとする。任意の $\ep>0$ に対して、§E10.16 補題 8.1と Lebesgue 外測度の定義により、 $N$ を覆う半開直方体の列で、体積の総和が $\ep$ 未満となるものを取る。辺長が $a_1,\ldots,a_n>0$ の半開直方体について、 $r=\min_i a_i$ とおく。各座標区間を左端から長さ $r$ ずつに区切り、最後の区間を長さ $r$ まで延ばすと、その直方体を辺長 $r$ の閉立方体で覆うことができる。必要な立方体数は

\prod_{i=1}^n\left\lceil\frac{a_i}{r}\right\rceil \leq 2^n\prod_{i=1}^n\frac{a_i}{r}

以下である。したがって、 $N$ を覆う閉立方体列 $(Q_j)$ とその辺長 $r_j>0$ を

\sum_j r_j^n<2^n\ep

となるように取ることができる。

$N\cap Q_j\neq\emptyset$ となる添字ごとに $x_j\in N\cap Q_j$ を取る。 $x\in N\cap Q_j$ ならば

\|F(x)-F(x_j)\|\leq L\|x-x_j\|\leq L\sqrt n\,r_j

であるから、 $F(N\cap Q_j)$ は $F(x_j)$ を中心とする辺長 $2L\sqrt n\,r_j$ の座標軸に平行な閉立方体 $P_j$ に含まれる。閉直方体の Lebesgue 測度も辺長の積である。実際、外から減少する半開直方体へ§E10.16 定理 5.3と測度の上からの連続性を適用し、§E10.16 定理 6.2 (3)を用いればよい。よって Borel 集合 $G_\ep=\bigcup_jP_j$ は

F(N)\subseteq G_\ep,\qquad \lambda_n(G_\ep)\leq (2L\sqrt n)^n\sum_jr_j^n <2^n(2L\sqrt n)^n\ep

を満たす。 $F(N)$ は Borel 零集合 $\bigcap_{k\geq1}G_{1/k}$ に含まれるので、§E10.16 定理 6.2 (5)により Lebesgue 零集合である。

有理中心・有理半径の開球のうち、 $U$ に含まれ $F$ が Lipschitz 連続となるもの全体は $U$ の可算開被覆となる。この被覆を $(W_j)$ と書く。Lebesgue 零集合 $N\subseteq U$ に対して、前段の結果を各 $N\cap W_j$ に適用すると

F(N)=\bigcup_jF(N\cap W_j)

も Lebesgue 零集合となる。

$A\subseteq U$ を Lebesgue 可測とする。各 $m,k\geq1$ に対して、 $\lambda_n(A\cap E_m)<\infty$ と§E10.16 定理 9.1により、コンパクト集合 $K_{m,k}\subseteq A\cap E_m$ を

\lambda_n((A\cap E_m)\setminus K_{m,k})<1/k

となるように取る。 $B=\bigcup_{m,k\geq1}K_{m,k}$ とおくと、 $B\subseteq A$ であり、すべての $m,k$ について

\lambda_n((A\setminus B)\cap E_m)<1/k

となる。したがって $(A\setminus B)\cap E_m$ は各 $m$ で零集合であり、 $E_m\uparrow U$ から $A\setminus B$ も零集合である。 $F(B)$ はコンパクト集合の可算和であり、 $F(A\setminus B)$ は前段で示した零集合保存により零集合である。ゆえに

F(A)=F(B)\cup F(A\setminus B)

は Lebesgue 可測である。▨

補題 3.2. $n\geq1$ を整数、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $F:U\to\R^n$ を $C^1$ 級写像とする。このとき

C=\{x\in U\mid\det DF(x)=0\}

の像 $F(C)$ は Lebesgue 零集合である。

証明. $K\subseteq U$ を空でないコンパクト集合とする。 $C$ は $U$ の相対閉集合であるから、 $C\cap K$ とその像 $F(C\cap K)$ はコンパクトである。 $r>0$ を、閉近傍

K_r=\{x\in\R^n\mid\operatorname{dist}(x,K)\leq r\}

が $U$ に含まれるように取る。 $K_r$ はコンパクトであり、

M=\max_{x\in K_r}\|DF(x)\|_{\mathrm{op}}<\infty

である。 $0<\ep<1$ を固定する。 $DF$ は $K_r$ 上で一様連続であるから、 $0<h\leq\min(1,r/\sqrt n)$ を十分小さく取れば、 $z,w\in K_r$ と $\|z-w\|\leq\sqrt n\,h$ に対して

\|DF(z)-DF(w)\|_{\mathrm{op}}\leq\ep

となる。

辺長 $h$ の座標格子の閉立方体のうち $C\cap K$ と交わるものの有限族を $\mathcal Q_h$ とする。 $K\subseteq[-R,R]^n$ となる $R>0$ を固定すると、各座標方向で $[-R,R]$ と交わる格子区間の数は $2R/h+3$ 以下であるから

\#\mathcal Q_h\,h^n\leq(2R+3)^n

となる。各 $Q\in\mathcal Q_h$ に対して $a_Q\in C\cap K\cap Q$ を取る。 $Q\subseteq K_r$ であり、任意の $y\in Q$ について線分 $[a_Q,y]$ も $Q$ に含まれる。写像 $z\mapsto F(z)-DF(a_Q)z$ に§E4.3 定理 2.1を適用すると

\|F(y)-F(a_Q)-DF(a_Q)(y-a_Q)\| \leq\ep\|y-a_Q\|\leq\ep\sqrt n\,h

を得る。

$a_Q\in C$ であるから、 $DF(a_Q)$ の像に直交する単位ベクトル $v_{Q,n}$ が存在する。このベクトルを含む $\R^n$ の正規直交基底 $v_{Q,1},\ldots,v_{Q,n}$ を取る。 $y\in Q$ に対して

\begin{aligned} |\langle F(y)-F(a_Q),v_{Q,i}\rangle| &\leq(M+\ep)\sqrt n\,h &&(1\leq i<n),\\ |\langle F(y)-F(a_Q),v_{Q,n}\rangle| &\leq\ep\sqrt n\,h \end{aligned}

となる。したがって、 $F(Q)$ は、この正規直交基底に関する最初の $n-1$ 方向の辺長が $2(M+\ep)\sqrt n\,h$ 、最後の方向の辺長が $2\ep\sqrt n\,h$ である閉直方体 $P_Q$ に含まれる。

正規直交基底による座標変換と平行移動を合わせた写像は、Jacobian の絶対値が1の微分同相写像である。定理 2.1 (2)と座標軸に平行な直方体の測度公式により

\lambda_n(P_Q) =(2\sqrt n)^n(M+\ep)^{n-1}\ep h^n

である。 $F(C\cap K)\subseteq\bigcup_{Q\in\mathcal Q_h}P_Q$ であるから

\lambda_n(F(C\cap K)) \leq(2\sqrt n)^n(M+1)^{n-1}(2R+3)^n\ep.

右辺の $\ep$ 以外の因子は $\ep$ に依存しない。 $\ep\downarrow0$ とすれば、 $\lambda_n(F(C\cap K))=0$ となる。

$U$ に含まれる有理端点の非退化な閉直方体は可算個で $U$ を覆う。各直方体を $K$ として前段の結論を適用すると、 $F(C)$ は零集合の可算和となる。したがって $F(C)$ は Lebesgue 零集合である。▨

定理 3.3. $n\geq1$ を整数、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $F:U\to\R^n$ を $C^1$ 級写像とする。このとき、任意の Lebesgue 可測集合 $A\subseteq U$ に対して $F(A)$ は Lebesgue 可測であり、

\lambda_n(F(A))\leq\int_A|\det DF(x)|\,d\lambda_n(x)

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明. $U$ に含まれる各閉球上では $DF$ は有界であり、§E4.3 定理 2.1により $F$ はその閉球上で Lipschitz 連続である。したがって $F$ は局所 Lipschitz 連続であり、補題 3.1により $F(A)$ は Lebesgue 可測である。

$C=\{x\in U\mid\det DF(x)=0\}$ とおく。 $x\in U\setminus C$ に対して、§E4.7 定理 2.1により、 $x$ の開近傍 $O_x\subseteq U\setminus C$ を、 $F|_{O_x}$ が開集合 $F(O_x)$ への $C^1$ 級微分同相写像となるように取ることができる。有理中心・有理半径の開球のうち、ある $O_x$ に含まれるもの全体は $U\setminus C$ の可算開被覆であり、各開球への $F$ の制限も、その開いた像への $C^1$ 級微分同相写像である。この開球の族を $(V_j)_{j\in J}$ と書く。ただし、 $J$ は正の整数の集合の部分集合である。

各 $j\in J$ に対して

A_j=(A\cap V_j)\setminus\bigcup_{\substack{i\in J\\i<j}}V_i

とおく。集合 $A_j$ は Lebesgue 可測で互いに素であり、 $\bigcup_{j\in J}A_j=A\setminus C$ である。定理 2.1 (2)を $F|_{V_j}$ と $A_j$ に適用すると

\lambda_n(F(A_j))=\int_{A_j}|\det DF|\,d\lambda_n

となる。一方、補題 3.2と Lebesgue 測度の完備性により、 $F(A\cap C)\subseteq F(C)$ は零集合である。ゆえに可算劣加法性と、互いに素な可測集合上の非負積分の加法性から

\begin{aligned} \lambda_n(F(A)) &\leq\lambda_n(F(A\cap C))+\sum_{j\in J}\lambda_n(F(A_j))\\ &=\sum_{j\in J}\int_{A_j}|\det DF|\,d\lambda_n\\ &=\int_{A\setminus C}|\det DF|\,d\lambda_n =\int_A|\det DF|\,d\lambda_n \end{aligned}

を得る。最後の等式は $C$ 上で $\det DF=0$ であることによる。▨

例 4.1. $U=\R$ 、 $V=(0,\infty)$ とし、 $F:U\to V$ を $F(x)=\exp x$ と定める。このとき、§D1.24 命題 3.1、§D1.24 定理 1.3、§D1.24 定理 3.4により、 $F$ は逆写像 $F^{-1}(y)=\log y$ をもつ $C^1$ 級微分同相写像であり、

J_F(x)=\exp x,\qquad |(F^{-1})'(y)|=\frac1y

である。

実数 $a<b$ に対して、 $F((a,b))=(\exp a,\exp b)$ である。定理 2.1 (2)により

\lambda_1(F((a,b))) =\int_{(a,b)}\exp x\,d\lambda_1(x) =\exp b-\exp a.

最後の等式は、端点の集合が零集合であることと、補題 1.1、§D1.19 定理 2.1による。

一方、 $\rho=F_\#\lambda_1$ とおくと、系 2.2により、任意の Lebesgue 可測集合 $B\subseteq(0,\infty)$ に対して

\rho(B)=\int_B\frac1y\,d\lambda_1(y)

である。実数 $0<c<d$ に対して、 $F^{-1}((c,d))=(\log c,\log d)$ であるから

\rho((c,d)) =\lambda_1((\log c,\log d)) =\log d-\log c =\int_{(c,d)}\frac1y\,d\lambda_1(y).

最後の積分値も、端点の集合が零集合であることと、補題 1.1、§D1.24 定理 3.4、§D1.19 定理 2.1から得られる。

例 4.2. $U=\R\setminus\{0\}$ 、 $V=(0,\infty)$ とし、 $F:U\to V$ を $F(x)=x^2$ と定める。このとき $F$ は $C^1$ 級であり、すべての $x\in U$ に対して $F'(x)=2x\neq0$ である。 $F$ の $(0,\infty)$ と $(-\infty,0)$ への制限はそれぞれ $V$ への全単射であり、逆写像は $y\mapsto\sqrt y$ と $y\mapsto-\sqrt y$ である。 $y>0$ に対して

\lim_{t\to0}\frac{\sqrt{y+t}-\sqrt y}{t} =\lim_{t\to0}\frac1{\sqrt{y+t}+\sqrt y} =\frac1{2\sqrt y}

であり、二つの逆写像の導関数は $V$ 上で連続である。したがって $F$ は $U$ の各点の近傍で $C^1$ 級微分同相写像となる。しかし、任意の $x\in U$ に対して $F(x)=F(-x)$ であるから、 $F$ は単射ではない。

$A=(-1,0)\cup(0,1)$ とおく。このとき、 $F(A)=(0,1)$ であるから、 $\lambda_1(F(A))=1$ である。一方、端点の有限集合は零集合であり、補題 1.1と§D1.19 定理 2.1により

\int_A|F'(x)|\,d\lambda_1(x) =\int_{-1}^0(-2x)\,dx+\int_0^1 2x\,dx =1+1=2.

各半直線への制限には定理 2.1 (2)を適用することができるが、二つの区間の像はともに $(0,1)$ である。したがって、各点で導関数が非零であっても、大域的な単射性を除くと定理 2.1 (2)の等式は成り立たない。

定理 3.3の不等式では、この例の両辺はそれぞれ1と2であり、不等号は狭義となる。

§E10.44Euclid 空間の変数変換

1 連続関数の積分

2 Lebesgue 測度と積分の変換

3 一般の C1 写像の像の測度

4 計算例

前提記事