§E10.2有界線形作用素

$T$が$x_0$で連続であるとし、$\varepsilon>0$をとる。ある$\delta>0$が存在し、$\|x-x_0\|_X<\delta$ならば$\|Tx-Tx_0\|_Y<\varepsilon$となる。$\|z\|_X<\delta$を満たす$z\in X$に対して$x=x_0+z$とおくと$\|x-x_0\|_X=\|z\|_X<\delta$であり、$T$の線形性により$T0=0$と$T(x_0+z)-Tx_0=Tz$が成り立つので

である。$\varepsilon>0$は任意であるから、$T$は$0$で連続である。定理 1.5 (3)$\Rightarrow$(1)により、$T$は有界である。▨

$\Theta$は線形である。実際、$(aS+bT)1=aS1+bT1$である。$T\in B(\mathbb K,Y)$と$\alpha\in\mathbb K$について$T\alpha=\alpha T1$であるから、$\|T\alpha\|=|\alpha|\,\|T1\|$であり、命題 1.2により$\|T\|=\sup_{|\alpha|=1}\|T\alpha\|=\|T1\|$である。したがって$\Theta$は等長であり、とくに単射である。$y\in Y$に対して$T_y\alpha=\alpha y$と定めると、$T_y$は線形で$\|T_y\alpha\|=|\alpha|\,\|y\|$を満たすので有界であり、$\Theta(T_y)=y$である。ゆえに$\Theta$は全射である。

$Y=c_{00}$とする。§E10.1 例 2.6の Cauchy 列$(x^{(N)})$は$c_{00}$の中で収束しない。$T_N=\Theta^{-1}(x^{(N)})$とおくと、$\Theta$が等長であるから$\|T_N-T_M\|=\|x^{(N)}-x^{(M)}\|_\infty$であり、$(T_N)$は$B(\mathbb K,c_{00})$の Cauchy 列である。$T_N\to T$となる$T\in B(\mathbb K,c_{00})$が存在すると仮定すると、$\|x^{(N)}-T1\|_\infty=\|T_N-T\|\to0$となり、$(x^{(N)})$が$c_{00}$の元$T1$に収束することになって矛盾する。したがって$B(\mathbb K,c_{00})$は完備でなく、定理 2.2の結論は$Y$が完備でない場合には成り立たないことがある。

一方、$\mathbb K$は Banach 空間であるから、定理 2.2を$X=c_{00}$、$Y=\mathbb K$に適用すると、$c_{00}$が完備でなくても$B(c_{00},\mathbb K)$は Banach 空間である。▨

$x=(x_1,x_2,\ldots)\in\ell^p$とする。定義から

であるから$LR=I$である。一方、

であり、標準基底の$e_1=(1,0,0,\ldots)$に対して$RLe_1=0\neq e_1$である。したがって$RL\neq I$である。

$R$は全射でない。実際、任意の$x\in\ell^p$について$Rx$の第1成分は$0$であるから、第1成分が$1$である$e_1$は$R$の像に属さない。$L$は単射でない。実際、$e_1\neq0$かつ$Le_1=0$である。

$LR=I$であるから、$Rx=Rx'$を満たす$x,x'\in\ell^p$に対して$x=LRx=LRx'=x'$となり、$R$は単射である。任意の$x\in\ell^p$は$x=L(Rx)$と表されるから、$L$は全射である。▨

$V$は例 2.7の作用素$(Vf)(x)=\int_0^xf(t)\,dt$である。$f\in C[0,1]$と$n\geq1$に対して、主張する式の右辺を

と書く。$V^n$と$W_n$はともに線形であり、実数値関数を実数値関数へ送る。複素数値の$f$を実部$u$と虚部$v$に分けると$V^nf=V^nu+iV^nv$と$W_nf=W_nu+iW_nv$が成り立つので、実数値の$f$について$V^nf=W_nf$が成り立てば、複素数値の$f$についても成り立つ。以下、$V^nf=W_nf$の証明では$f$を実数値とする。

$n=1$のとき、$(x-t)^0=1$であるから$W_1f=Vf$である。$n\geq1$について、任意の実数値関数$f\in C[0,1]$に対して$V^nf=W_nf$が成り立つと仮定する。$g=Vf$とおく。§D1.19 定理 1.1により、$g$は$[0,1]$上で連続であり、$(0,1)$上で$g'=f$を満たす。端点でも片側微分が存在し、$g(0)=0$である。$x\in(0,1]$を固定すると、積の微分法により、$0<t<x$で

が成り立つ。右辺は$[0,x]$上で連続であり、関数$t\mapsto(x-t)^ng(t)$も$[0,x]$上で連続であるから、§D1.19 定理 2.1により

を得る。境界項は、$t=x$では$n\geq1$により、$t=0$では$g(0)=0$により零である。実数値連続関数$g$に帰納法の仮定を適用すると

である。$x=0$では両辺が$0$であるから、$V^{n+1}f=W_{n+1}f$が成り立つ。したがって、帰納法により、すべての$n\geq1$と実数値関数$f\in C[0,1]$に対して$V^nf=W_nf$が成り立つ。

$x\in(0,1]$に対して、§D1.19 定理 2.1を原始関数$t\mapsto-(x-t)^n/n$に適用すると$\int_0^x(x-t)^{n-1}\,dt=x^n/n$であり、この等式は$x=0$でも成り立つ。$0\leq t\leq x$では$(x-t)^{n-1}\geq0$であるから、任意の$f\in C[0,1]$と$x\in[0,1]$に対して

である。したがって$\|V^nf\|_\infty\leq\|f\|_\infty/n!$であり、$\|V^n\|\leq1/n!$である。$f\equiv1$とすると$\|f\|_\infty=1$であり、同じ積分の計算により$(V^nf)(x)=x^n/n!$であるから、$\|V^nf\|_\infty=1/n!$である。したがって$\|V^n\|\geq1/n!$であり、$\|V^n\|=1/n!$が成り立つ。▨