可測関数 | 測度と積分

定義 1.1. $(X,\mathcal{F})$ と $(Y,\mathcal{G})$ を可測空間とし、 $f:X\to Y$ を写像とする。 $f$ が $\mathcal{F}/\mathcal{G}$ 可測 (F/G-measurable) であるとは、任意の $B\in\mathcal{G}$ に対して

f^{-1}(B)\in\mathcal{F}

が成り立つことをいう。σ-加法族が文脈から一意に定まる場合には、単に $f$ が可測であるという。

命題 1.2. $(X,\mathcal{F})$ 、 $(Y,\mathcal{G})$ 、 $(Z,\mathcal{H})$ を可測空間とする。このとき、写像 $f:X\to Y$ と $g:Y\to Z$ が、それぞれ $\mathcal{F}/\mathcal{G}$ 可測、 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 可測であるならば、合成 $g\circ f:X\to Z$ は $\mathcal{F}/\mathcal{H}$ 可測である。

証明. 任意の $C\in\mathcal{H}$ をとる。 $g$ の可測性から $g^{-1}(C)\in\mathcal{G}$ であり、 $f$ の可測性から $f^{-1}(g^{-1}(C))\in\mathcal{F}$ である。逆像の定義により

(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))

が成り立つ。したがって、 $g\circ f$ は $\mathcal{F}/\mathcal{H}$ 可測である。▨

命題 1.3. $(X,\mathcal{O}_X)$ と $(Y,\mathcal{O}_Y)$ を位相空間とし、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上の σ-加法族で $\mathcal{B}(X)\subseteq\mathcal{F}$ を満たすものとする。このとき、写像 $f:X\to Y$ が連続であるならば、 $f:(X,\mathcal{F})\to(Y,\mathcal{B}(Y))$ は可測である。

証明. 任意の $U\in\mathcal O_Y$ に対して、連続性から $f^{-1}(U)\in\mathcal O_X\subseteq\mathcal B(X)\subseteq\mathcal F$ である。 $\mathcal B(Y)=\sigma(\mathcal O_Y)$ であるから、§E10.6 命題 4.2により $f$ は可測である。▨

定義 2.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とする。 $\overline{\R}$ に全順序から定まる順序位相を入れる。この順序位相の開集合族が生成する σ-加法族を $\mathcal{B}(\overline{\R})$ と書く。 $f:X\to\overline{\R}$ が $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\overline{\R})$ 可測であるとき、 $f$ を拡張実数値可測関数 (extended-real-valued measurable function) という。

命題 2.2. 拡張実数直線に順序位相を入れ、

\mathcal{H}_{\mathrm{ext}} =\{\,[-\infty,a]\mid a\in\R\,\}

とおく。このとき、

\mathcal{B}(\overline{\R}) =\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

が成り立つ。

証明. 各 $[-\infty,a]$ は順序位相で閉集合である。したがって、

\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}}) \subseteq\mathcal{B}(\overline{\R})

である。

集合族 $\mathcal{C}$ を次の式で定める。

\begin{aligned} \mathcal{C} ={}&\{\,(p,q)\mid p,q\in\Q,\ p<q\,\}\\ &{}\cup\{\,[-\infty,q)\mid q\in\Q\,\} \cup\{\, (p,\infty]\mid p\in\Q\,\}. \end{aligned}

$\Q$ が可算であることから、 $\mathcal{C}$ は可算である。 $U$ を順序位相の開集合とし、 $x\in U\cap\R$ とする。 $U\cap\R$ は通常の実数直線の開集合であるから、§E10.6 補題 5.3により、 $x\in(p,q)\subseteq U\cap\R$ を満たす有理数 $p<q$ が存在する。 $-\infty\in U$ ならば、ある $\beta\in\R$ が存在して $[-\infty,\beta)\subseteq U$ が成り立つ。 $q<\beta$ を満たす $q\in\Q$ を選べば、 $-\infty\in[-\infty,q)\subseteq U$ である。 $\infty\in U$ の場合には、ある $\alpha\in\R$ が存在して $(\alpha,\infty]\subseteq U$ が成り立つ。 $p>\alpha$ を満たす $p\in\Q$ を選べば、 $\infty\in(p,\infty]\subseteq U$ である。以上により、 $\mathcal{C}$ は可算基である。

任意の $q\in\Q$ に対して、

[-\infty,q) =\bigcup_{\substack{r\in\Q\\r<q}}[-\infty,r] \in\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

である。任意の $p\in\Q$ に対して、

(p,\infty] =\overline{\R}\setminus[-\infty,p] \in\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

である。さらに、 $p<q$ ならば、

(p,q)=[-\infty,q)\setminus[-\infty,p] \in\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

である。したがって、 $\mathcal{C}\subseteq\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})$ である。

可算開基 $\mathcal C$ に§E10.6 補題 5.2を適用すると、 $\mathcal B(\overline{\R})=\sigma(\mathcal C)$ である。 $\mathcal C\subseteq\sigma(\mathcal H_{\mathrm{ext}})$ と生成 σ-加法族の最小性から、

\mathcal{B}(\overline{\R}) \subseteq\sigma(\mathcal{H}_{\mathrm{ext}})

を得る。二つの包含により、主張が従う。▨

命題 2.3. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f:X\to\R$ または $f:X\to\overline{\R}$ とする。値域には対応する Borel 集合族を入れる。このとき、写像 $f$ について、次の四条件は互いに同値であり、いずれも $f$ が可測であることと同値である。

任意の $a\in\R$ に対して $\{x\in X\mid f(x)>a\}\in\mathcal{F}$ である。
任意の $a\in\R$ に対して $\{x\in X\mid f(x)\geq a\}\in\mathcal{F}$ である。
任意の $a\in\R$ に対して $\{x\in X\mid f(x)<a\}\in\mathcal{F}$ である。
任意の $a\in\R$ に対して $\{x\in X\mid f(x)\leq a\}\in\mathcal{F}$ である。

証明. $f:X\to\overline{\R}$ とする。 $f$ が可測ならば、四種類の半直線が $\mathcal{B}(\overline{\R})$ に属するので、主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)、および主張 (4)が成り立つ。

主張 (1)を仮定する。任意の $a\in\R$ に対して、

f^{-1}([-\infty,a]) =X\setminus\{x\in X\mid f(x)>a\}\in\mathcal{F}

である。命題 2.2と§E10.6 命題 4.2により、 $f$ は可測である。

四条件の間の同値性は、任意の $a\in\R$ に対する次の集合等式から従う。

\begin{aligned} \{f\geq a\} &=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{f>a-1/n\},\\ \{f<a\} &=X\setminus\{f\geq a\},\\ \{f\leq a\} &=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{f<a+1/n\},\\ \{f>a\} &=X\setminus\{f\leq a\}. \end{aligned}

ここで、例えば $\{f\geq a\}$ は $\{x\in X\mid f(x)\geq a\}$ の略記である。σ-加法族は可算共通部分と差集合に対して閉じているため、(1) $\Rightarrow$ (2)、(2) $\Rightarrow$ (3)、(3) $\Rightarrow$ (4)、(4) $\Rightarrow$ (1)が順に従う。

$f:X\to\R$ の場合には、§E10.6 命題 5.4により

\mathcal{B}(\R) =\sigma(\{\,(-\infty,a]\mid a\in\R\,\})

が与えられる。拡張実数値の場合と同じ逆像の議論および同じ集合等式により、実数値の場合の同値性も従う。▨

例 2.4. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $A\in\mathcal{F}$ とする。このとき、指示関数 $\mathbf1_A:X\to\R$ は実数値可測関数である。実際、任意の $a\in\R$ に対して、

\{x\in X\mid\mathbf{1}_A(x)>a\} = \begin{cases} X,&a<0,\\ A,&0\leq a<1,\\ \emptyset,&a\geq1 \end{cases}

であり、右辺の各集合は $\mathcal{F}$ に属する。

命題 3.1. $(X,\mathcal F)$ を可測空間、 $d\geq1$ を整数とし、 $h:X\to\R^d$ を写像とする。このとき、 $h$ が Borel 可測であるための必要十分条件は、すべての $i\in\{1,\ldots,d\}$ に対して座標関数 $h_i:X\to\R$ が可測であることである。さらに、すべての $h_i$ が可測であるならば、任意の整数 $m\geq1$ と任意の連続写像 $\Phi:\R^d\to\R^m$ に対して $\Phi\circ h$ は Borel 可測である。

証明. $h$ が可測ならば、各座標への射影は連続であるから、命題 1.3と命題 1.2により $h_i$ は可測である。逆に、すべての $h_i$ が可測であるとする。有理端点をもつ開箱

Q=\prod_{i=1}^d(a_i,b_i),\qquad a_i,b_i\in\Q,\quad a_i<b_i

全体は§E10.6 補題 5.3により $\mathcal B(\R^d)$ を生成する。各箱について

h^{-1}(Q)=\bigcap_{i=1}^d h_i^{-1}((a_i,b_i))\in\mathcal F

であるから、§E10.6 命題 4.2により $h$ は可測である。連続写像 $\Phi$ は命題 1.3により可測であり、合成も命題 1.2により可測である。▨

命題 4.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f,g:X\to\R$ を可測関数とする。このとき、任意の $c\in\R$ に対して $cf:X\to\R$ は可測である。また、 $f+g$ 、 $f-g$ 、 $fg$ 、 $\max\{f,g\}$ 、 $\min\{f,g\}$ 、および $|f|$ は実数値可測関数である。

証明. $(f,g):X\to\R^2$ は命題 3.1により可測である。写像

(u,v)\longmapsto u+v,\quad u-v,\quad uv,\quad\max(u,v),\quad\min(u,v)

は $\R^2$ 上で連続であり、 $u\mapsto cu$ と $u\mapsto|u|$ は $\R$ 上で連続である。命題 3.1の合成の結論を各写像へ適用すると、主張を得る。▨

定理 5.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、各正の整数 $n$ に対して $f_n:X\to\overline{\R}$ を可測関数とする。このとき、点ごとに定めた

\sup_{n\geq1}f_n,\qquad \inf_{n\geq1}f_n,\qquad \limsup_{n\to\infty}f_n,\qquad \liminf_{n\to\infty}f_n

は拡張実数値可測関数である。さらに、各 $x\in X$ において $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ が拡張実数として存在するならば、点ごとの極限

f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)

によって定まる $f:X\to\overline{\R}$ は可測である。

証明.

S(x)=\sup_{n\geq1}f_n(x),\qquad I(x)=\inf_{n\geq1}f_n(x)

とおく。任意の $a\in\R$ に対して、

\{S>a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n>a\}

が成り立つ。実際、ある $n$ が存在して $f_n(x)>a$ ならば $S(x)>a$ である。逆に、すべての $n$ に対して $f_n(x)\leq a$ ならば $S(x)\leq a$ である。右辺は可測集合の可算和であるから、 $S$ は可測である。

同じく、任意の $a\in\R$ に対して、

\{I<a\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n<a\}

が成り立つ。実際、ある $n$ が存在して $f_n(x)<a$ ならば $I(x)<a$ である。逆に、すべての $n$ に対して $f_n(x)\geq a$ ならば $I(x)\geq a$ である。半直線判定から、 $I$ も可測である。

各正の整数 $m$ に対して、

S_m(x)=\sup_{n\geq m}f_n(x),\qquad I_m(x)=\inf_{n\geq m}f_n(x)

とおく。前二段落を各末尾列へ適用すると、すべての $S_m$ と $I_m$ は可測である。拡張実数列の上極限と下極限の定義により、

\limsup_{n\to\infty}f_n=\inf_{m\geq1}S_m,\qquad \liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{m\geq1}I_m

が点ごとに成り立つ。前二段落の可算下限と可算上限に関する結論を適用すると、 $\limsup_n f_n$ と $\liminf_n f_n$ は可測である。

各点で拡張実数としての極限が存在する場合には、

f=\limsup_{n\to\infty}f_n=\liminf_{n\to\infty}f_n

が点ごとに成り立つ。したがって、 $f$ は可測である。▨

例 5.2. 可算選択公理を仮定し、集合族

\mathcal C=\{B\subseteq\R\mid B\text{ または }\R\setminus B\text{ が高々可算}\}

と $A=[0,\infty)$ を考える。このとき、 $\mathcal C$ は $\R$ 上の σ-加法族であり、 $A\notin\mathcal C$ である。

$\emptyset,\R\in\mathcal C$ であり、 $\mathcal C$ は補集合について閉じている。 $B_n\in\mathcal C$ の列について、すべての $B_n$ が高々可算ならば、§E1.18 定理 6.3 (2)により $\bigcup_n B_n$ も高々可算である。ある $n$ について $\R\setminus B_n$ が高々可算ならば、 $\R\setminus\bigcup_n B_n\subseteq\R\setminus B_n$ は高々可算である。したがって、 $\mathcal C$ は $\R$ 上の σ-加法族である。

二つの半直線 $(-\infty,0)$ と $(0,\infty)$ は符号反転によって全単射で結ばれる。どちらかが可算ならば、両半直線と一点集合 $\{0\}$ の和集合 $\R$ も可算となり、 $\R$ の非可算性に反する。したがって、 $A$ と $\R\setminus A$ はともに非可算であり、 $A\notin\mathcal C$ である。

例 5.3. 可算選択公理を仮定し、

\mathcal C=\{B\subseteq\R\mid B\text{ または }\R\setminus B\text{ が高々可算}\},\qquad A=[0,\infty)

とおく。このとき、例 5.2により $\mathcal C$ は $\R$ 上の σ-加法族であり、 $A\notin\mathcal C$ である。各 $a\in A$ に対して $f_a=\mathbf1_{\{a\}}$ とおく。一点集合 $\{a\}$ は $\mathcal C$ に属するので、例 2.4により、すべての $f_a:(\R,\mathcal C)\to\R$ は可測である。一方、

\sup_{a\in A}f_a=\mathbf1_A,\qquad \left\{x\in\R\ \middle|\ \sup_{a\in A}f_a(x)>\frac12\right\}=A\notin\mathcal C

である。したがって、この非可算関数族の点ごとの上限は可測でない。

例 5.4. $[0,1]$ に通常の相対位相と Borel 集合族を入れ、各 $n\in\NN$ に対して $f_n:[0,1]\to\R$ を $f_n(x)=x^n$ と定める。このとき、各 $f_n$ は連続であるから、命題 1.3により可測である。また、

\lim_{n\to\infty}f_n(x) = \begin{cases} 0,&0\leq x<1,\\ 1,&x=1 \end{cases} =\mathbf{1}_{\{1\}}(x)

である。点ごとの極限は定理 5.1により可測である。また、 $\{1\}$ は $[0,1]$ の閉集合であるから、例 2.4からも可測性を確認することができる。一方、開区間 $(1/2,3/2)$ の逆像 $\{1\}$ は $[0,1]$ の相対位相で開集合ではない。したがって、極限関数は $1$ で連続でない。

命題 6.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f,g:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、任意の $a,b\in[0,\infty)$ に対して、 $af+bg:X\to[0,\infty]$ は拡張実数値可測関数である。関数の値の演算では $0\cdot\infty=0$ とする。

証明. $n\geq1$ に対して $f_n=\min(f,n)$ 、 $g_n=\min(g,n)$ とおく。任意の $t\in\R$ に対して

\{f_n>t\}=\begin{cases}\{f>t\},&t<n,\\\emptyset,&t\geq n\end{cases}

であるから、命題 2.3により $f_n$ は有限実数値可測関数である。 $g_n$ も同じ集合等式により有限実数値可測関数である。命題 4.1により $af_n+bg_n$ は可測である。 $a=0$ ならば $af_n=0=af$ であり、 $a>0$ ならば $af_n\uparrow af$ である。 $bg_n\uparrow bg$ も成り立つ。両極限が有限ならば通常の極限の和により、一方が無限大ならば対応する項が任意の実数を超えることにより、 $af_n+bg_n\uparrow af+bg$ である。定理 5.1により $af+bg$ は可測である。▨

補題 6.2. 可測空間 $(X,\mathcal F)$ 上の非負拡張実数値可測関数 $f,g$ に対して、 $0\cdot\infty=0$ によって定めた積 $fg$ は可測である。

証明. $n\geq1$ に対して $f_n=\min(f,n)$ 、 $g_n=\min(g,n)$ とおく。任意の $t<n$ に対して $\{f_n>t\}=\{f>t\}$ 、 $t\geq n$ に対して $\{f_n>t\}=\emptyset$ であるから、命題 2.3により $f_n$ は有限実数値可測関数である。 $g_n$ も同じ集合等式により有限実数値可測関数である。命題 4.1により $f_ng_n$ は可測である。各点で、どちらかの因子が零ならば $f_ng_n=0=fg$ である。両因子が正ならば、両方が有限の場合は通常の積の極限により、一方が無限大の場合は他方の切断がある正数以上となることにより、 $f_ng_n\uparrow fg$ である。定理 5.1により $fg$ は可測である。▨

定義 7.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とする。集合 $X$ 上の有限値関数 $\varphi:X\to\R$ が可測であるとき、 $\varphi$ を単関数 (simple function)（可測単関数）という。さらに、すべての $x\in X$ に対して $\varphi(x)\geq0$ が成り立つ単関数を非負単関数 (nonnegative simple function)（非負可測単関数）という。

命題 7.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、集合 $X$ 上の有限値関数 $\varphi$ の相異なる値を $c_1,\dots,c_k$ とする。このとき、 $\varphi$ が可測であるための必要十分条件は、各 $A_i=\varphi^{-1}(\{c_i\})$ が可測であることである。また、 $A_1,\dots,A_k$ は $X$ の互いに交わらない分割であり、

\varphi=\sum_{i=1}^{k}c_i\mathbf{1}_{A_i}

が成り立つ。

逆に、 $A_1,\dots,A_k\in\mathcal{F}$ が $X$ の互いに交わらない分割であり、 $c_1,\dots,c_k\in\R$ であるならば、 $\varphi=\sum_{i=1}^kc_i\mathbf1_{A_i}$ は可測単関数である。 $c_1,\dots,c_k\geq0$ ならば、 $\varphi$ は非負単関数である。

証明. 値の逆像による分割と表示式は§E10.6 命題 1.2による。 $\varphi$ が可測ならば、各一元集合 $\{c_i\}$ は $\R$ の Borel 集合であるから、 $A_i\in\mathcal{F}$ である。

逆向きでは、任意の Borel 集合 $B\subseteq\R$ に対して、

\varphi^{-1}(B)=\bigcup_{\{i\mid c_i\in B\}}A_i

である。右辺は有限個の可測集合の和集合であるから可測である。また、 $\varphi$ の像は $\{c_1,\dots,c_k\}$ の部分集合であるから有限である。したがって、 $\varphi$ は単関数である。 $c_1,\dots,c_k\geq0$ ならば、表示式から $\varphi(x)\geq0$ がすべての $x\in X$ について成り立つので、 $\varphi$ は非負単関数である。▨

定理 7.3. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、非負単関数の列 $(\varphi_n)_{n\geq1}$ が存在し、任意の $x\in X$ に対して

0\leq\varphi_n(x)\leq\varphi_{n+1}(x)\leq f(x)

がすべての正の整数 $n$ について成り立つ。さらに、

\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)=f(x)

が任意の $x\in X$ について拡張実数の意味で成り立つ。具体的には、 $n\geq1$ と $t\in[0,\infty]$ に対して

D_n(t)=2^{-n}\left\lfloor2^n\min(t,n)\right\rfloor

とおき、 $\varphi_n=D_n\circ f$ とすることができる。 $\min(\infty,n)=n$ とする。各 $D_n$ は単調非減少であり、 $D_n(t)\leq D_{n+1}(t)$ である。

証明. 各正の整数 $n$ に対して、

\varphi_n(x)= \begin{cases} \dfrac{k}{2^n}, &\dfrac{k}{2^n}\leq f(x)<\dfrac{k+1}{2^n} \quad(0\leq k<n2^n),\\[6pt] n,&f(x)\geq n \end{cases}

と定める。第一の場合の整数 $k$ は一意に定まる。

$0\leq k<n2^n$ に対して、

A_{n,k} =\left\{x\in X\ \middle|\ \frac{k}{2^n}\leq f(x)<\frac{k+1}{2^n}\right\}

とおき、

A_{n,n2^n}=\{x\in X\mid f(x)\geq n\}

とおく。命題 2.3により、各 $A_{n,k}$ は可測である。

\varphi_n =\sum_{k=0}^{n2^n}\frac{k}{2^n}\mathbf{1}_{A_{n,k}}

である。集合族 $(A_{n,k})_{0\leq k\leq n2^n}$ は $X$ の有限可測分割であり、各係数は非負であるから、命題 7.2により $\varphi_n$ は非負単関数である。定義から $0\leq\varphi_n(x)\leq f(x)$ が任意の $x\in X$ について成り立つ。

任意の $x\in X$ を固定し、 $t=f(x)\in[0,\infty]$ とおく。各 $n\geq1$ について、写像 $t\mapsto\min(t,n)$ と床関数は単調非減少であるので、 $D_n$ は単調非減少である。定義した近似値は

\varphi_n(x) =2^{-n}\left\lfloor 2^n\min\{t,n\}\right\rfloor

と書くことができる。任意の実数 $u$ に対して $\lfloor2u\rfloor\geq2\lfloor u\rfloor$ が成り立つ。 $t\leq n$ ならば、

\begin{aligned} \varphi_{n+1}(x) &=2^{-(n+1)}\lfloor2^{n+1}t\rfloor\\ &\geq2^{-(n+1)}\,2\lfloor2^nt\rfloor =\varphi_n(x). \end{aligned}

$t>n$ の場合には $\varphi_n(x)=n$ である。また、 $\min\{t,n+1\}\geq n$ であるから、

\varphi_{n+1}(x) =2^{-(n+1)} \left\lfloor2^{n+1}\min\{t,n+1\}\right\rfloor \geq n=\varphi_n(x)

である。したがって、 $(\varphi_n(x))_{n\geq1}$ は任意の $x$ について広義単調増加である。

$t<\infty$ ならば、 $n>t$ を満たすすべての正の整数 $n$ に対して

0\leq t-\varphi_n(x)<2^{-n}

が成り立つ。したがって、 $\varphi_n(x)\to t=f(x)$ である。 $t=\infty$ ならば、すべての正の整数 $n$ に対して $\varphi_n(x)=n$ であるから、 $\varphi_n(x)\to\infty=f(x)$ である。以上により、点ごとの収束が従う。▨

定理 8.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $f:X\to\C$ を写像とする。 $\C$ を $\R^2$ と同一視し、Euclid 位相の Borel 集合族を入れる。このとき、次の二条件は同値である。

$f:(X,\mathcal{F})\to(\C,\mathcal{B}(\C))$ は可測である。
$\Re f:X\to\R$ と $\Im f:X\to\R$ は可測である。

証明. $\C$ を Euclid 位相の $\R^2$ と同一視すると、 $f$ の二座標は $\Re f$ と $\Im f$ である。命題 3.1を $d=2$ として適用すると、(1) $\Leftrightarrow$ (2)を得る。▨

命題 9.1. $(Y,\mathcal G)$ を可測空間、 $X$ を集合、 $T:X\to Y$ を写像とする。このとき、集合族

\sigma(T)=\{T^{-1}(B)\mid B\in\mathcal G\}

は $X$ 上の σ-加法族であり、 $T:(X,\sigma(T))\to(Y,\mathcal G)$ は可測である。また、 $X$ 上の任意の σ-加法族 $\mathcal A$ について、 $T:(X,\mathcal A)\to(Y,\mathcal G)$ が可測ならば、 $\sigma(T)\subseteq\mathcal A$ である。

証明. $T^{-1}(Y)=X$ 、 $X\setminus T^{-1}(B)=T^{-1}(Y\setminus B)$ 、 $\bigcup_n T^{-1}(B_n)=T^{-1}(\bigcup_n B_n)$ であるから、この集合族は σ-加法族である。 $T$ を可測にする σ-加法族はすべての $T^{-1}(B)$ を含むため、最小性も従う。▨

定理 9.2. $(X,\mathcal F)$ と $(Y,\mathcal G)$ を可測空間とし、 $T:X\to Y$ を可測写像とする。このとき、 $Z:X\to[0,\infty]$ が $\sigma(T)$ に関して可測ならば、 $\mathcal G$ 可測関数 $g:Y\to[0,\infty]$ が存在して $Z=g\circ T$ が成り立つ。また、 $Z:X\to\R$ が $\sigma(T)$ に関して可測ならば、有限実数値の $\mathcal G$ 可測関数 $g:Y\to\R$ が存在して $Z=g\circ T$ が成り立つ。最初の場合も $Z$ が有限実数値ならば、 $g$ を有限実数値に選ぶことができる。

証明. $Z:X\to[0,\infty]$ に対して、定理 7.3の二進近似 $s_n=D_n\circ Z$ をとる。各 $n$ について、 $s_n$ の値による分割を $A_{n,1},\ldots,A_{n,k_n}$ 、対応する値を $c_{n,1},\ldots,c_{n,k_n}\geq0$ とする。命題 9.1により、 $T^{-1}(B_{n,j})=A_{n,j}$ を満たす $B_{n,j}\in\mathcal G$ をとる。添字 $(n,j)$ 全体は可算であり、これらの集合の同時選択には可算選択公理を用いる。

C_{n,j}=B_{n,j}\setminus\bigcup_{i<j}B_{n,i},\qquad u_n=\sum_{j=1}^{k_n}c_{n,j}\mathbf1_{C_{n,j}}

とおく。各 $u_n$ は非負単関数である。 $A_{n,j}$ は二つずつ交わらないので、 $T^{-1}(C_{n,j})=A_{n,j}$ であり、 $u_n\circ T=s_n$ である。 $g=\limsup_n u_n$ は定理 5.1により可測であり、任意の $x\in X$ に対して

g(T(x))=\limsup_n s_n(x)=Z(x)

である。 $Z$ が有限実数値ならば、 $\{g=\infty\}$ の上で $g$ を 0 に変更する。この集合は可測であり、 $T(X)$ と交わらないため、合成の等式を保った有限実数値可測関数を得る。

$Z:X\to\R$ に対しては、有限実数値の非負関数 $Z^+=\max(Z,0)$ と $Z^-=\max(-Z,0)$ に前段落の有限実数値の場合の結論を適用する。有限実数値可測関数 $g_+,g_-:Y\to[0,\infty)$ で $Z^+=g_+\circ T$ 、 $Z^-=g_-\circ T$ を満たすものが存在する。 $g=g_+-g_-$ とおくと、命題 4.1により $g$ は可測であり、 $g\circ T=Z^+-Z^-=Z$ である。▨

例 9.3. $X=\{a,b,c\}$ と $Y=\{0,1\}$ にそれぞれ冪集合の可測構造を入れる。 $T:X\to Y$ と $Z:X\to\R$ を

T(a)=T(b)=0,\quad T(c)=1,\qquad Z(a)=Z(b)=2,\quad Z(c)=-1

で定める。このとき、 $Y$ の四つの部分集合の逆像をとると、

\sigma(T)=\{\emptyset,\{a,b\},\{c\},X\}

である。 $Z^{-1}(\{2\})=\{a,b\}$ 、 $Z^{-1}(\{-1\})=\{c\}$ はともに $\sigma(T)$ に属するから、命題 7.2により $Z$ は $\sigma(T)$ に関して可測である。関数 $g:Y\to\R$ を $g(0)=2$ 、 $g(1)=-1$ と定めると、 $g$ は可測であり、 $Z=g\circ T$ である。 $T$ の同じ値をとる点 $a,b$ では、 $Z$ も同じ値をとる。

問題 10.1. $X=\{0,1\}$ 、 $\mathcal{F}=\{\emptyset,X\}$ 、 $\mathcal{G}=\mathcal{P}(X)$ とする。同じ恒等写像について、

\operatorname{id}_X:(X,\mathcal{F})\to(X,\mathcal{G})

は可測でなく、

\operatorname{id}_X:(X,\mathcal{G})\to(X,\mathcal{F})

は可測であることを示せ。

§E10.7可測関数

1 可測空間の間の写像

2 実数値写像と拡張実数値写像

3 有限次元の座標による判定

4 有限実数値可測関数の代数演算

5 可算上限・可算下限・点ごとの極限

6 非負拡張実数値可測関数の演算

7 単関数と増加近似

8 複素数値写像

9 可測写像を通じた関数の表示

10 演習

参考文献

前提記事