§E12.13閉形式

証明.主張 (1)を示す。$\|x\|\le\|x\|_{q,m}$は定義 1.1の不等式$\langle x,x\rangle_{q,m}\ge\|x\|^2$である。$q(x,y)=\langle x,y\rangle_{q,m}-(1-m)\langle x,y\rangle$であるから、§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式を内積$\langle\ ,\ \rangle_{q,m}$と$H$の内積に適用すると

である。$q(x_n,y_n)-q(x,y)=q(x_n-x,y_n)+q(x,y_n-y)$であり、$(y_n)$は収束するので$(\|y_n\|_{q,m})$は有界であるから、この不等式により$q(x_n,y_n)\to q(x,y)$である。$\|x_n-x\|\le\|x_n-x\|_{q,m}$であるから、$(x_n)$は$H$のノルムについて$x$に収束する。

主張 (2)を示す。$\|x\|_{q,m'}^2=\|x\|_{q,m}^2+(m-m')\|x\|^2$であり、主張 (1)により$0\le(m-m')\|x\|^2\le(m-m')\|x\|_{q,m}^2$であるから、不等式が成り立つ。$q$を閉形式とし、$q$は$m_0$で下に有界であって$D(q)$は$\|\cdot\|_{q,m_0}$について完備であるとする。$q$が$m_1$で下に有界であるとし、$m_2=\min\{m_0,m_1\}$とおく。いま示した不等式により、$\|\cdot\|_{q,m_0}$と$\|\cdot\|_{q,m_1}$はそれぞれ$\|\cdot\|_{q,m_2}$の定数倍で上下から評価される。したがって三つのノルムについて Cauchy 列、収束する点列とその極限、および部分集合の稠密性は一致し、$D(q)$は$\|\cdot\|_{q,m_1}$について完備である。$D_0$が$q$の芯であるとき、$D_0$はある実数$m_3$について$\|\cdot\|_{q,m_3}$について稠密であり、同じ比較を$m_3$と$m_1$に行うと、$D_0$は$\|\cdot\|_{q,m_1}$について稠密である。▨

証明.

主張 (2)を示す。$\widehat j$は単射であるから、$\widehat j$は$\widehat D$から$D(\overline q)$への線形な全単射であり、$\overline q$は$D(\overline q)$上の形式として定まる。$\langle\ ,\ \rangle_{\widehat D}$と$H$の内積の共役対称性により$\overline q$は対称である。$x\in D(q)$について$\widehat j\iota x=x$であるから、$x,y\in D(q)$について

であり、$\overline q$は$q$の拡張である。$\xi\in\widehat D$について、$\|\widehat j\|\le1$により

であるから、$\overline q$は$m$で下に有界であり、すべての$\xi,\eta\in\widehat D$について$\langle\widehat j\xi,\widehat j\eta\rangle_{\overline q,m}=\langle\xi,\eta\rangle_{\widehat D}$が成り立つ。したがって$\widehat j$は Hilbert 空間$\widehat D$から$(D(\overline q),\langle\ ,\ \rangle_{\overline q,m})$への内積を保つ線形な全単射であり、$D(\overline q)$は$\|\cdot\|_{\overline q,m}$について完備である。したがって$\overline q$は閉形式である。$\iota(D(q))$は$\widehat D$で稠密であるから、$D(q)=\widehat j(\iota(D(q)))$は$\|\cdot\|_{\overline q,m}$について$D(\overline q)$で稠密であり、$D(q)$は$\overline q$の芯である。$q'$を$q$の拡張である閉形式とする。主張 1.3.1により$D(\overline q)\subseteq D(q')$である。$\xi,\eta\in\widehat D$とし、$\iota x_n\to\xi$、$\iota y_n\to\eta$を満たす$D(q)$の点列をとる。$x_n=\widehat j\iota x_n\to\widehat j\xi$と$y_n\to\widehat j\eta$が$H$で成り立つから、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性と主張 1.3.1により

である。したがって$\overline q\subseteq q'$であり、$\overline q$は$q$の閉包である。

主張 (1)を示す。$q$が可閉ならば、$q$の拡張である閉形式に主張 1.3.1を適用して、$\widehat j$は単射である。$\widehat j$が単射ならば、主張 (2)により$q$は閉包をもち、閉包は$q$の拡張である閉形式であるから、$q$は可閉である。$\widehat j$が単射であるとし、$(x_n)$を第三の条件の仮定を満たす$D(q)$の点列とする。$\iota$は等長であるから$(\iota x_n)$は$\widehat D$の Cauchy 列であり、ある$\xi\in\widehat D$に収束する。$\widehat j$の連続性により$\widehat j\xi=\lim_n\widehat j\iota x_n=\lim_nx_n=0$であるから$\xi=0$であり、$\|x_n\|_{q,m}=\|\iota x_n\|_{\widehat D}\to0$である。逆に第三の条件が成り立つとし、$\xi\in\widehat D$が$\widehat j\xi=0$を満たすとする。$\iota x_n\to\xi$を満たす$D(q)$の点列$(x_n)$をとると、$x_n=\widehat j\iota x_n\to\widehat j\xi=0$が$H$で成り立ち、$\|x_n-x_k\|_{q,m}=\|\iota x_n-\iota x_k\|_{\widehat D}\to0$である。第三の条件により$\|\xi\|_{\widehat D}=\lim_n\|x_n\|_{q,m}=0$であるから、$\widehat j$は単射である。

主張 (3)を示す。$q_0=q|_{D_0}$とおく。$q$は$q_0$の拡張である閉形式であるから、$q_0$は可閉である。$q_0$は$m$で下に有界であるから、主張 (1)と主張 (2)を$q_0$と$m$に適用すると、閉包$\overline{q_0}$は$m$で下に有界な閉形式である。閉包の定義により$\overline{q_0}\subseteq q$であるから、$D(\overline{q_0})$の上で$\|\cdot\|_{\overline{q_0},m}=\|\cdot\|_{q,m}$であり、補題 1.2 (2)により$D(\overline{q_0})$はこのノルムについて完備である。$x\in D(q)$とする。補題 1.2 (2)により$D_0$は$\|\cdot\|_{q,m}$について$D(q)$で稠密であるから、$\|x_n-x\|_{q,m}\to0$を満たす$D_0$の点列$(x_n)$がある。$(x_n)$は$D(\overline{q_0})$の Cauchy 列であるから、ある$x'\in D(\overline{q_0})$に$\|\cdot\|_{q,m}$について収束し、極限の一意性により$x=x'\in D(\overline{q_0})$である。したがって$D(\overline{q_0})=D(q)$であり、$\overline{q_0}\subseteq q$と合わせて$\overline{q_0}=q$である。▨

証明.$z,z'\in H$がともに$x\in D(A)$についての条件を満たすならば、すべての$y\in D(q)$について$\langle z-z',y\rangle=0$であり、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性と$D(q)$の稠密性により、すべての$y\in H$について$\langle z-z',y\rangle=0$が成り立つ。$y=z-z'$とおいて$z=z'$を得る。$q$の第1変数についての線形性により、$D(A)$は線形部分空間であり、$A$は線形である。

$D(q)$に内積$\langle\ ,\ \rangle_{q,m}$を入れた内積空間を$H_q$と書く。$q$は閉形式であるから、補題 1.2 (2)により$H_q$は Hilbert 空間である。$h\in H$とする。$H_q$上の線形汎関数$y\mapsto\langle y,h\rangle$は、Cauchy–Schwarz の不等式と補題 1.2 (1)により$|\langle y,h\rangle|\le\|h\|\,\|y\|_{q,m}$を満たすので有界である。§E10.5 定理 1.1を$H_q$に適用すると、すべての$y\in D(q)$について$\langle y,h\rangle=\langle y,x_h\rangle_{q,m}$を満たす$x_h\in D(q)$が存在する。両辺の複素共役をとると$\langle h,y\rangle=q(x_h,y)+(1-m)\langle x_h,y\rangle$であるから、すべての$y\in D(q)$について

であり、$x_h\in D(A)$かつ$Ax_h=h-(1-m)x_h$である。$y\in D(q)$が$D(A)$のすべての元と$\langle\ ,\ \rangle_{q,m}$について直交するとする。$h=y$とおくと$x_y\in D(A)$であるから、$0=\langle y,x_y\rangle_{q,m}=\langle y,y\rangle$であり、$y=0$である。§E10.3 命題 2.3を Hilbert 空間$H_q$に適用すると、$D(A)$は$H_q$で稠密である。

主張 (1)を示す。等式$q(x,y)=\langle Ax,y\rangle$は$A$の定義である。$x\in H$と$\varepsilon>0$をとる。$D(q)$は$H$で稠密であるから$\|x-x'\|<\varepsilon$を満たす$x'\in D(q)$があり、$D(A)$は$H_q$で稠密であるから$\|x'-x''\|_{q,m}<\varepsilon$を満たす$x''\in D(A)$がある。補題 1.2 (1)により$\|x-x''\|<2\varepsilon$であるから、$D(A)$は$H$で稠密である。$x,x'\in D(A)$について、$q$の対称性により$\langle Ax,x'\rangle=q(x,x')=\overline{q(x',x)}=\overline{\langle Ax',x\rangle}=\langle x,Ax'\rangle$であり、$\langle Ax,x\rangle=q(x,x)\ge m\|x\|^2$である。したがって$A$は$m$で下に有界な対称作用素である。すべての$h\in H$について$(A-(m-1)I)x_h=h$であるから、$\im(A-(m-1)I)=H$である。§E12.12 定理 3.5 (1)を実数$\lambda=m-1$に適用すると、$A$は自己共役作用素である。

主張 (2)を示す。$D(A)$は$H_q$で稠密であるから、$q$の芯である。$y\in D(q)$について$\varphi(y)=q(x,y)-\langle z,y\rangle$とおく。補題 1.2 (1)と$|\langle z,y-y'\rangle|\le\|z\|\,\|y-y'\|_{q,m}$により、$D(q)$の点列$(y_n)$が$\|\cdot\|_{q,m}$について$y$に収束するならば$\varphi(y_n)\to\varphi(y)$である。補題 1.2 (2)により$D_0$は$H_q$で稠密であり、$\varphi$は$D_0$上で$0$であるから、$\varphi$は$D(q)$上で$0$である。したがって$x\in D(A)$かつ$Ax=z$である。

主張 (3)を示す。$x\in D(S)$とすると、主張 (2)により$x\in D(A)$かつ$Ax=Sx$である。したがって$S\subseteq A$である。主張 (1)により$A$は対称作用素であるから、§E12.12 補題 3.2 (2)により$S=A$である。

主張 (4)を示す。$q$が$m'$で下に有界ならば、$x\in D(A)$について$\langle Ax,x\rangle=q(x,x)\ge m'\|x\|^2$であり、$A$は対称作用素であるから、$A$は$m'$で下に有界である。逆に$A$が$m'$で下に有界であるとし、$x\in D(q)$とする。主張 (2)により、$\|x_n-x\|_{q,m}\to0$を満たす$D(A)$の点列$(x_n)$がある。補題 1.2 (1)により$q(x_n,x_n)\to q(x,x)$かつ$\|x_n\|\to\|x\|$であるから、$q(x_n,x_n)=\langle Ax_n,x_n\rangle\ge m'\|x_n\|^2$の極限をとって$q(x,x)\ge m'\|x\|^2$を得る。▨

証明.(1)を示す。$u,v\in D(q_a)$について$2|au\overline v|\le|a||u|^2+|a||v|^2$であるから$au\overline v$は可積分であり、$q_a$は$H$上の形式である。$a$は実数値であるから$q_a$は対称であり、$q_a(u,u)=\int_\Omega a|u|^2\,d\mu\ge m\|u\|^2$である。$w=a-m+1$とおくと、$\mu$-ほとんどすべての点で$w\ge1$、$w\le|a|+|1-m|$、$|a|\le w+|1-m|$が成り立つ。したがって$u\in H$について、$w^{1/2}u\in H$であることは$|a|^{1/2}u\in H$であることと同値であり、$u\in D(q_a)$について

である。$\Phi u=w^{1/2}u$により線形写像$\Phi\colon D(q_a)\to H$を定めると、$\Phi$は$\|\cdot\|_{q_a,m}$について等長である。$g\in H$について$u=w^{-1/2}g$とおくと、$|u|\le|g|$により$u\in H$であり、$w^{1/2}u=g\in H$であるから$u\in D(q_a)$かつ$\Phi u=g$である。したがって$\Phi$は等長な線形全単射であり、$H$は完備であるから、$D(q_a)$は$\|\cdot\|_{q_a,m}$について完備である。$u\in D(M_a)$ならば$|a||u|^2=|au||u|\le\frac12(|au|^2+|u|^2)$は可積分であるから、$D(M_a)\subseteq D(q_a)$である。$M_a$は自己共役作用素であるから$D(M_a)$は稠密であり、$q_a$は稠密に定義されている。$u\in D(M_a)$と$v\in D(q_a)$について、$au\in H$であるから$\langle M_au,v\rangle=\int_\Omega au\overline v\,d\mu=q_a(u,v)$である。$D(q_a)$は$q_a$の芯であるから、定理 2.1 (3)により$q_a$に対応する作用素は$M_a$である。