§E12.14コンパクトなレゾルベント

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固有ベクトルによる展開は、Hilbert 空間上の作用素の作用を係数ごとの計算として記述する基本的な方法である。しかし、下に有界な自己共役作用素でも固有ベクトルをもつとは限らず、たとえばL2(R)L^2(\R)上のx2x^2による乗算作用素は固有値をもたない。下に有界な自己共役作用素がコンパクトなレゾルベントをもつならば、固有ベクトルからなる完全正規直交系が存在する。非有界な場合にも、作用素の定義域と作用を固有値と展開係数によって記述することができる。本記事では、コンパクトなレゾルベントの基本的な性質と、固有ベクトルによる展開の代表的な例について解説する。

1 コンパクトなレゾルベント

定義 1.1.XXをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Banach 空間とし、TTをXX上の線形作用素とする。R(λ,T)R(\lambda,T)が§E12.2 定義 1.1の意味でコンパクト作用素であるようなλ∈ρ(T)\lambda\in\rho(T)が存在するとき、TTは コンパクトなレゾルベント (compact resolvent) をもつという。

補題 1.2.XXをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Banach 空間とし、TTをXX上のコンパクトなレゾルベントをもつ線形作用素とする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのμ∈ρ(T)\mu\in\rho(T)についてR(μ,T)∈K(X)R(\mu,T)\in\mathcal K(X)である。
  2. TTは閉作用素である。

証明.主張 (1)を示す。λ∈ρ(T)\lambda\in\rho(T)をR(λ,T)∈K(X)R(\lambda,T)\in\mathcal K(X)を満たす点とする。§E12.12 命題 1.6 (4)により、μ∈ρ(T)\mu\in\rho(T)についてR(λ,T)−R(μ,T)=(μ−λ)R(λ,T)R(μ,T)R(\lambda,T)-R(\mu,T)=(\mu-\lambda)R(\lambda,T)R(\mu,T)であるから

R(μ,T)=R(λ,T)(I−(μ−λ)R(μ,T))R(\mu,T)=R(\lambda,T)\bigl(I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)\bigr)

である。I−(μ−λ)R(μ,T)∈B(X)I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)\in B(X)であるから、§E12.2 命題 1.5によりR(μ,T)∈K(X)R(\mu,T)\in\mathcal K(X)である。

主張 (2)を示す。ρ(T)≠∅\rho(T)\ne\emptysetであるから、§E12.12 命題 1.6 (2)によりTTは閉作用素である。▨

2 固有ベクトルによる展開

定義 2.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、AAをHH上の線形作用素とする。NNは{1,…,k}\{1,\dots,k\}（k≥0k\ge0）またはN≥1\NNを表す。HHの完全正規直交系(en)n∈N(e_n)_{n\in N}と実数列(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}が次の二条件を満たすとき、(en)n∈N(e_n)_{n\in N}と(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}の組をAAの 離散固有基底 (discrete eigenbasis) という。

  1. すべてのn∈Nn\in Nについてen∈D(A)e_n\in D(A)かつAen=λnenAe_n=\lambda_ne_nである。
  2. すべてのc∈Rc\in\Rについて{n∈N:∣λn∣≤c}\{n\in N:|\lambda_n|\le c\}は有限集合である。

補題 2.2.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、NNを{1,…,k}\{1,\dots,k\}（k≥0k\ge0）またはN≥1\NNとし、(en)n∈N(e_n)_{n\in N}をHHの完全正規直交系とする。(an)n∈N(a_n)_{n\in N}を実数列で、すべてのc∈Rc\in\Rについて{n∈N:∣an∣≤c}\{n\in N:|a_n|\le c\}が有限集合であるものとする。x∈Hx\in Hについてcn(x)=⟨x,en⟩c_n(x)=\langle x,e_n\rangleとおき、

Da={x∈H:∑n∈Nan2∣cn(x)∣2<∞}D_a=\Bigl\{x\in H:\sum_{n\in N}a_n^2|c_n(x)|^2<\infty\Bigr\}

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. DaD_aはHHの線形部分空間であり、x∈Dax\in D_aについて∑nancn(x)en\sum_na_nc_n(x)e_nはHHのノルムについて収束する。この和をAaxA_axとおくと、Aa ⁣:Da→HA_a\colon D_a\to Hは線形であり、すべてのnnについてen∈Dae_n\in D_aかつAaen=anenA_ae_n=a_ne_nであり、x∈Dax\in D_aについて⟨Aax,en⟩=ancn(x)\langle A_ax,e_n\rangle=a_nc_n(x)が成り立つ。
  2. μ∈K\mu\in\mathbb Kについて、ker⁡(μI−Aa)=span⁡{en:an=μ}\ker(\mu I-A_a)=\operatorname{span}\{e_n:a_n=\mu\}であり、これは有限次元である。ρ(Aa)=K∖{an:n∈N}\rho(A_a)=\mathbb K\setminus\{a_n:n\in N\}であり、μ∈ρ(Aa)\mu\in\rho(A_a)について R(μ,Aa)x=∑n∈N(μ−an)−1cn(x)en(x∈H)R(\mu,A_a)x=\sum_{n\in N}(\mu-a_n)^{-1}c_n(x)e_n\qquad(x\in H) が成り立ち、R(μ,Aa)R(\mu,A_a)はコンパクト作用素である。特にσ(Aa)={an:n∈N}\sigma(A_a)=\{a_n:n\in N\}であり、AaA_aはコンパクトなレゾルベントをもつ。
  3. DaD_aはHHで稠密であり、AaA_aはHH上の自己共役作用素である。

証明.§E10.3 定理 3.5 (3)と§E10.3 定理 3.5 (4)により、すべてのx∈Hx\in Hについてx=∑ncn(x)enx=\sum_nc_n(x)e_nと∥x∥2=∑n∣cn(x)∣2\|x\|^2=\sum_n|c_n(x)|^2が成り立つ。u,v∈Hu,v\in Hとする。§E10.3 補題 1.2による内積の連続性とvvの展開の部分和から、⟨u,v⟩=∑ncn(u)cn(v)‾\langle u,v\rangle=\sum_nc_n(u)\overline{c_n(v)}が成り立つ。また、∑n∣bn∣2<∞\sum_n|b_n|^2<\inftyを満たす数列(bn)n∈N(b_n)_{n\in N}について、K<MK<Mのとき§E10.3 補題 3.2により∥∑K<n≤Mbnen∥2=∑K<n≤M∣bn∣2\bigl\|\sum_{K<n\le M}b_ne_n\bigr\|^2=\sum_{K<n\le M}|b_n|^2であるから、部分和は Cauchy 列であり、HHの完備性により∑nbnen\sum_nb_ne_nは収束する。その和yyは内積の連続性によりck(y)=bkc_k(y)=b_kを満たす。

主張 (1)を示す。x,y∈Dax,y\in D_aとs,t∈Ks,t\in\mathbb Kについて∣an(scn(x)+tcn(y))∣2≤2∣s∣2an2∣cn(x)∣2+2∣t∣2an2∣cn(y)∣2|a_n(sc_n(x)+tc_n(y))|^2\le2|s|^2a_n^2|c_n(x)|^2+2|t|^2a_n^2|c_n(y)|^2であるから、DaD_aは線形部分空間である。x∈Dax\in D_aについてbn=ancn(x)b_n=a_nc_n(x)は二乗総和可能であるから、二乗総和可能な係数をもつ正規直交級数の収束によりAax=∑nancn(x)enA_ax=\sum_na_nc_n(x)e_nは収束し、cn(Aax)=ancn(x)c_n(A_ax)=a_nc_n(x)を満たす。部分和の線形性と極限の線形性によりAaA_aは線形である。cn(ek)=δnkc_n(e_k)=\delta_{nk}であるからek∈Dae_k\in D_aかつAaek=akekA_ae_k=a_ke_kである。

主張 (2)を示す。μ∈K\mu\in\mathbb Kとする。y∈ker⁡(μI−Aa)y\in\ker(\mu I-A_a)ならば、ene_nとの内積をとって(μ−an)cn(y)=0(\mu-a_n)c_n(y)=0を得る。したがってan≠μa_n\ne\muならばcn(y)=0c_n(y)=0である。F={n∈N:an=μ}F=\{n\in N:a_n=\mu\}は有限集合であり、y=∑n∈Fcn(y)en∈span⁡{en:n∈F}y=\sum_{n\in F}c_n(y)e_n\in\operatorname{span}\{e_n:n\in F\}である。逆にan=μa_n=\muならばen∈ker⁡(μI−Aa)e_n\in\ker(\mu I-A_a)である。μ=ak\mu=a_kのときek≠0e_k\ne0はker⁡(μI−Aa)\ker(\mu I-A_a)に属するから、μI−Aa\mu I-A_aは単射でなくμ∉ρ(Aa)\mu\notin\rho(A_a)である。

μ∈K∖{an:n∈N}\mu\in\mathbb K\setminus\{a_n:n\in N\}とする。{n∈N:∣an∣≤∣μ∣+1}\{n\in N:|a_n|\le|\mu|+1\}は有限集合であり、その各nnについて∣μ−an∣>0|\mu-a_n|>0である。その外のnnについては∣μ−an∣≥∣an∣−∣μ∣>1|\mu-a_n|\ge|a_n|-|\mu|>1である。したがってδ=inf⁡n∣μ−an∣>0\delta=\inf_n|\mu-a_n|>0である。φn=(μ−an)−1\varphi_n=(\mu-a_n)^{-1}とおくと∣φn∣≤δ−1|\varphi_n|\le\delta^{-1}であり、anφn=μφn−1a_n\varphi_n=\mu\varphi_n-1により∣anφn∣≤∣μ∣δ−1+1|a_n\varphi_n|\le|\mu|\delta^{-1}+1である。x∈Hx\in Hについて∑n∣φncn(x)∣2≤δ−2∥x∥2\sum_n|\varphi_nc_n(x)|^2\le\delta^{-2}\|x\|^2であるから、二乗総和可能な係数をもつ正規直交級数の収束によりSμx=∑nφncn(x)enS_\mu x=\sum_n\varphi_nc_n(x)e_nは収束し、Sμ∈B(H)S_\mu\in B(H)かつ∥Sμ∥≤δ−1\|S_\mu\|\le\delta^{-1}である。∑nan2∣φncn(x)∣2≤(∣μ∣δ−1+1)2∥x∥2\sum_na_n^2|\varphi_nc_n(x)|^2\le(|\mu|\delta^{-1}+1)^2\|x\|^2であるからSμx∈DaS_\mu x\in D_aであり、cn((μI−Aa)Sμx)=(μ−an)φncn(x)=cn(x)c_n\bigl((\mu I-A_a)S_\mu x\bigr)=(\mu-a_n)\varphi_nc_n(x)=c_n(x)である。すべての係数が00であるベクトルは00であるから（§E10.3 定理 3.5 (2)）、(μI−Aa)Sμx=x(\mu I-A_a)S_\mu x=xである。y∈Day\in D_aについてcn(Sμ(μI−Aa)y)=φn(μ−an)cn(y)=cn(y)c_n\bigl(S_\mu(\mu I-A_a)y\bigr)=\varphi_n(\mu-a_n)c_n(y)=c_n(y)であるから、同じ理由でSμ(μI−Aa)y=yS_\mu(\mu I-A_a)y=yである。したがってμI−Aa ⁣:Da→H\mu I-A_a\colon D_a\to Hは全単射であり、その逆写像SμS_\muはB(H)B(H)に属するから、μ∈ρ(Aa)\mu\in\rho(A_a)かつR(μ,Aa)=SμR(\mu,A_a)=S_\muである。NNが有限集合ならばSμS_\muは有限階数である。N=N≥1N=\NNならば、仮定により∣an∣→∞|a_n|\to\inftyであるからφn→0\varphi_n\to0である。Sμ,Mx=∑n≤Mφncn(x)enS_{\mu,M}x=\sum_{n\le M}\varphi_nc_n(x)e_nは有限階数であり、∥(Sμ−Sμ,M)x∥2=∑n>M∣φn∣2∣cn(x)∣2≤sup⁡n>M∣φn∣2∥x∥2\|(S_\mu-S_{\mu,M})x\|^2=\sum_{n>M}|\varphi_n|^2|c_n(x)|^2\le\sup_{n>M}|\varphi_n|^2\|x\|^2であるから∥Sμ−Sμ,M∥→0\|S_\mu-S_{\mu,M}\|\to0(M→∞)(M\to\infty)である。§E12.2 命題 1.4と§E12.2 命題 1.6によりSμS_\muはコンパクト作用素である。{an:n∈N}\{a_n:n\in N\}は可算集合であるから、これに属さない実数が存在する。したがってρ(Aa)≠∅\rho(A_a)\ne\emptysetであり、AaA_aはコンパクトなレゾルベントをもつ。

主張 (3)を示す。DaD_aは{en}\{e_n\}の線形包を含み、完全性により後者はHHで稠密である。x,y∈Dax,y\in D_aについて、内積の表示⟨u,v⟩=∑ncn(u)cn(v)‾\langle u,v\rangle=\sum_nc_n(u)\overline{c_n(v)}をu=Aaxu=A_ax、v=yv=yに適用し、ana_nが実数であることを用いると

⟨Aax,y⟩=∑nancn(x)cn(y)‾=∑ncn(x)ancn(y)‾=⟨x,Aay⟩\langle A_ax,y\rangle=\sum_na_nc_n(x)\overline{c_n(y)}=\sum_nc_n(x)\overline{a_nc_n(y)}=\langle x,A_ay\rangle

であるから、AaA_aは対称作用素である。{an:n∈N}\{a_n:n\in N\}は可算集合であるから、これに属さない実数μ\muが存在する。主張 (2)によりμ∈ρ(Aa)\mu\in\rho(A_a)であるからim⁡(Aa−μI)=H\im(A_a-\mu I)=Hであり、§E12.12 定理 3.5 (1)によりAaA_aは自己共役作用素である。▨

定理 2.3.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、m∈Rm\in\Rとし、AAをHH上のmmで下に有界な自己共役作用素で、コンパクトなレゾルベントをもつものとする。このとき、次が成り立つ。

  1. AAの離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}でλ1≤λ2≤⋯\lambda_1\le\lambda_2\le\cdotsを満たすものが存在する。
  2. AAの任意の離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}について、すべてのnnでλn≥m\lambda_n\ge mである。N=N≥1N=\NNならばλn→+∞\lambda_n\to+\inftyであり、sup⁡{∥Ax∥:x∈D(A),∥x∥≤1}=∞\sup\{\|Ax\|:x\in D(A),\|x\|\le1\}=\inftyである。
  3. AAの任意の離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}について D(A)={x∈H:∑n∈Nλn2∣⟨x,en⟩∣2<∞},Ax=∑n∈Nλn⟨x,en⟩en(x∈D(A))D(A)=\Bigl\{x\in H:\sum_{n\in N}\lambda_n^2|\langle x,e_n\rangle|^2<\infty\Bigr\},\qquad Ax=\sum_{n\in N}\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n\quad(x\in D(A)) が成り立ち、級数はHHのノルムについて収束する。
  4. AAの任意の離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}とμ∈K\mu\in\mathbb Kについて、ker⁡(μI−A)=span⁡{en:λn=μ}\ker(\mu I-A)=\operatorname{span}\{e_n:\lambda_n=\mu\}であり、これは有限次元である。
  5. AAの任意の離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}について、ρ(A)=K∖{λn:n∈N}\rho(A)=\mathbb K\setminus\{\lambda_n:n\in N\}であり、σ(A)={λn:n∈N}⊆[m,∞)\sigma(A)=\{\lambda_n:n\in N\}\subseteq[m,\infty)である。μ∈ρ(A)\mu\in\rho(A)についてR(μ,A)x=∑n(μ−λn)−1⟨x,en⟩enR(\mu,A)x=\sum_n(\mu-\lambda_n)^{-1}\langle x,e_n\rangle e_nが成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。λ0=m−1\lambda_0=m-1とおく。§E12.12 命題 3.4によりλ0∈ρ(A)\lambda_0\in\rho(A)であり、B=(A−λ0I)−1=−R(λ0,A)B=(A-\lambda_0I)^{-1}=-R(\lambda_0,A)は単射な正作用素である。補題 1.2 (1)によりR(λ0,A)R(\lambda_0,A)はコンパクトであるから、§E12.2 命題 1.8 (1)によりBBはコンパクトである。BBは§E12.1 定義 2.5と§E12.1 命題 2.7 (1)により自己共役作用素である。§E12.6 定理 4.1をBBに適用する。BBは単射であるからker⁡B={0}\ker B=\{0\}であり、§E12.6 定理 4.1 (2)によりH=ker⁡B⊕MH=\ker B\oplus MのMMはHHに等しい。§E12.6 定理 4.1 (3)により、HHの完全正規直交系(en)n∈N(e_n)_{n\in N}と、零でない実数μn\mu_nでBen=μnenBe_n=\mu_ne_nを満たすものが存在し、N=N≥1N=\NNならばμn→0\mu_n\to0である。μn=⟨Ben,en⟩≥0\mu_n=\langle Be_n,e_n\rangle\ge0であるからμn>0\mu_n>0である。

§E12.12 命題 1.6 (1)によりim⁡B=D(A)\im B=D(A)であるからen=μn−1Ben∈D(A)e_n=\mu_n^{-1}Be_n\in D(A)であり、(A−λ0I)Ben=en(A-\lambda_0I)Be_n=e_nからμn(A−λ0I)en=en\mu_n(A-\lambda_0I)e_n=e_nを得る。したがってAen=λnenAe_n=\lambda_ne_n（λn=λ0+μn−1\lambda_n=\lambda_0+\mu_n^{-1}）であり、λn=⟨Aen,en⟩≥m\lambda_n=\langle Ae_n,e_n\rangle\ge mである。c∈Rc\in\Rについて、λn≤c\lambda_n\le cならばμn−1=λn−λ0≤c−λ0\mu_n^{-1}=\lambda_n-\lambda_0\le c-\lambda_0であるから、c>λ0c>\lambda_0のときμn≥(c−λ0)−1\mu_n\ge(c-\lambda_0)^{-1}であり、c≤λ0c\le\lambda_0のとき条件を満たすnnは存在しない。NNが有限集合であるか、μn→0\mu_n\to0であるから、μn≥ε\mu_n\ge\varepsilon（ε>0\varepsilon>0）を満たすnnは有限個である。∣λn∣≤c|\lambda_n|\le cならばλn≤c\lambda_n\le cであるから、(en),(λn)(e_n),(\lambda_n)は離散固有基底である。NN上の関係k≺nk\prec nを「λk<λn\lambda_k<\lambda_n、またはλk=λn\lambda_k=\lambda_nかつk<nk<n」と定める。これはNNの全順序であり、k≺nk\prec nならばλk≤λn\lambda_k\le\lambda_nであるから、各nnの先行元は有限個である。したがってn↦1+#{k:k≺n}n\mapsto1+\#\{k:k\prec n\}はNNからN≥1\NNの始切片への全単射であり、この番号で(en),(λn)(e_n),(\lambda_n)を並べ替えるとλ1≤λ2≤⋯\lambda_1\le\lambda_2\le\cdotsを得る。

主張 (2)を示す。AAはmmで下に有界であるから、λn=⟨Aen,en⟩≥m\lambda_n=\langle Ae_n,e_n\rangle\ge mである。c∈Rc\in\Rについてλn≤c\lambda_n\le cならば∣λn∣≤max⁡{∣m∣,∣c∣}|\lambda_n|\le\max\{|m|,|c|\}であるから、{n:λn≤c}\{n:\lambda_n\le c\}は有限集合である。N=N≥1N=\NNならば、すべてのccに対してλn>c\lambda_n>cが有限個の例外を除くすべてのnnで成り立つのでλn→+∞\lambda_n\to+\inftyである。∥en∥=1\|e_n\|=1かつ∥Aen∥=∣λn∣→∞\|Ae_n\|=|\lambda_n|\to\inftyであるから、AAは有界でない。

主張 (3)を示す。an=λna_n=\lambda_nとして補題 2.2のDaD_a、AaA_aをとる。x∈D(A)x\in D(A)とする。AAは対称であるから⟨Ax,en⟩=⟨x,Aen⟩=λn⟨x,en⟩\langle Ax,e_n\rangle=\langle x,Ae_n\rangle=\lambda_n\langle x,e_n\rangleであり、§E10.3 定理 3.5 (4)をAxAxに適用すると∑nλn2∣⟨x,en⟩∣2=∥Ax∥2<∞\sum_n\lambda_n^2|\langle x,e_n\rangle|^2=\|Ax\|^2<\inftyである。したがってx∈Dax\in D_aであり、§E10.3 定理 3.5 (3)によりAx=∑n⟨Ax,en⟩en=AaxAx=\sum_n\langle Ax,e_n\rangle e_n=A_axである。これはA⊆AaA\subseteq A_aを意味する。補題 2.2 (3)によりAaA_aは自己共役作用素、特に対称作用素であるから、§E12.12 補題 3.2 (2)によりA=AaA=A_aである。

主張 (4)と主張 (5)はA=AaA=A_aと補題 2.2 (2)による。σ(A)⊆[m,∞)\sigma(A)\subseteq[m,\infty)は主張 (2)のλn≥m\lambda_n\ge mによる。▨

系 2.4.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、AAをHH上の非負の自己共役作用素で、(A+I)−1=−R(−1,A)(A+I)^{-1}=-R(-1,A)がコンパクト作用素であるものとする。このとき、次が成り立つ。

  1. AAはコンパクトなレゾルベントをもつ。{1,…,k}\{1,\dots,k\}（k≥0k\ge0）またはN≥1\NNである添字集合NN、HHの完全正規直交系(en)n∈N(e_n)_{n\in N}および0≤λ1≤λ2≤⋯0\le\lambda_1\le\lambda_2\le\cdotsを満たす実数列(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}が存在して、すべてのnnについてen∈D(A)e_n\in D(A)かつAen=λnenAe_n=\lambda_ne_nであり、D(A)={x∈H:∑nλn2∣⟨x,en⟩∣2<∞}D(A)=\bigl\{x\in H:\sum_n\lambda_n^2|\langle x,e_n\rangle|^2<\infty\bigr\}、x∈D(A)x\in D(A)についてAx=∑nλn⟨x,en⟩enAx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n、およびσ(A)={λn:n∈N}\sigma(A)=\{\lambda_n:n\in N\}が成り立つ。N=N≥1N=\NNならばλn→∞\lambda_n\to\inftyである。

証明.−1<0-1<0であるから、§E12.12 命題 3.4により−1∈ρ(A)-1\in\rho(A)である。R(−1,A)=−(A+I)−1R(-1,A)=-(A+I)^{-1}は§E12.2 命題 1.8 (1)によりコンパクトであるから、AAはコンパクトなレゾルベントをもつ。定理 2.3 (1)、定理 2.3 (2)、定理 2.3 (3)、定理 2.3 (5)をm=0m=0としてAAに適用すると、残りの主張を得る。▨

命題 2.5.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、TTをHH上の単射なコンパクト正作用素とする。D(A)=im⁡TD(A)=\im Tとおき、y∈D(A)y\in D(A)についてTy′=yTy'=yを満たすy′∈Hy'\in H（TTの単射性によりただ一つ）をAy=y′Ay=y'と定める。このときAAはHH上の自己共役作用素であり、すべてのy∈D(A)y\in D(A)について⟨Ay,y⟩≥0\langle Ay,y\rangle\ge0であり、0∈ρ(A)0\in\rho(A)かつR(0,A)=−TR(0,A)=-Tである。特にAAはコンパクトなレゾルベントをもつ。

証明.AAはTTの逆写像であるから線形であり、im⁡A=H\im A=Hである。TTは§E12.1 定義 2.5と§E12.1 命題 2.7 (1)により自己共役作用素である。y∈(im⁡T)⊥y\in(\im T)^\perpならば、すべてのx∈Hx\in Hについて0=⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩0=\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangleであるからTy=0Ty=0であり、TTの単射性によりy=0y=0である。§E10.3 命題 2.3によりim⁡T‾=H\tpcl{\im T}=Hであるから、AAは稠密に定義されている。y=Tuy=Tu、z=Tvz=Tvについて⟨Ay,z⟩=⟨u,Tv⟩=⟨Tu,v⟩=⟨y,Az⟩\langle Ay,z\rangle=\langle u,Tv\rangle=\langle Tu,v\rangle=\langle y,Az\rangleであるから、AAは対称作用素である。⟨Ay,y⟩=⟨u,Tu⟩=⟨Tu,u⟩‾=⟨Tu,u⟩≥0\langle Ay,y\rangle=\langle u,Tu\rangle=\overline{\langle Tu,u\rangle}=\langle Tu,u\rangle\ge0である。im⁡(A−0I)=H\im(A-0I)=Hであり00は実数であるから、§E12.12 定理 3.5 (1)によりAAは自己共役作用素である。0I−A=−A ⁣:D(A)→H0I-A=-A\colon D(A)\to Hは全単射であり、その逆写像−T-TはB(H)B(H)に属するから、0∈ρ(A)0\in\rho(A)かつR(0,A)=−TR(0,A)=-Tである。−T-Tはコンパクトである（§E12.2 命題 1.8 (1)）。▨

3 閉形式の定義域

命題 3.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、m∈Rm\in\Rとし、qqをmmで下に有界なHH上の稠密に定義された閉形式とし、AAをqqに対応する作用素とする。D(q)D(q)に内積⟨ , ⟩q,m\langle\ ,\ \rangle_{q,m}を入れた内積空間をHqH_qと書き、x∈D(q)x\in D(q)をx∈Hx\in Hへ写す包含写像をJ ⁣:Hq→HJ\colon H_q\to Hとする。このとき、次が成り立つ。

  1. AAがコンパクトなレゾルベントをもつとし、(en)n∈N(e_n)_{n\in N}、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}をAAの任意の離散固有基底とする。このとき D(q)={x∈H:∑n∈N(λn−m+1)∣⟨x,en⟩∣2<∞},q(x,y)=∑n∈Nλn⟨x,en⟩⟨y,en⟩‾(x,y∈D(q))D(q)=\Bigl\{x\in H:\sum_{n\in N}(\lambda_n-m+1)|\langle x,e_n\rangle|^2<\infty\Bigr\},\qquad q(x,y)=\sum_{n\in N}\lambda_n\langle x,e_n\rangle\overline{\langle y,e_n\rangle}\quad(x,y\in D(q)) が成り立ち、右辺の級数は収束する。
  2. JJがコンパクト作用素であることは、AAがコンパクトなレゾルベントをもつための必要十分条件である。

証明.qqは閉形式であるから、§E12.13 補題 1.2 (2)によりHqH_qは Hilbert 空間である。§E12.13 補題 1.2 (1)により、すべてのx∈D(q)x\in D(q)について∥x∥≤∥x∥q,m\|x\|\le\|x\|_{q,m}であるから、J∈B(Hq,H)J\in B(H_q,H)である。§E12.13 定理 2.1 (1)により、AAはmmで下に有界な自己共役作用素である。

主張 (1)を示す。x∈Hx\in Hについてcn(x)=⟨x,en⟩c_n(x)=\langle x,e_n\rangleとおき、wn=λn−m+1w_n=\lambda_n-m+1とおく。定理 2.3 (2)によりλn≥m\lambda_n\ge mであるからwn≥1w_n\ge1である。en∈D(A)⊆D(q)e_n\in D(A)\subseteq D(q)であり、§E12.13 定理 2.1 (1)により、すべてのy∈D(q)y\in D(q)についてq(en,y)=⟨Aen,y⟩=λn⟨en,y⟩q(e_n,y)=\langle Ae_n,y\rangle=\lambda_n\langle e_n,y\rangleである。qqの対称性とλn∈R\lambda_n\in\Rによりq(y,en)=q(en,y)‾=λncn(y)q(y,e_n)=\overline{q(e_n,y)}=\lambda_nc_n(y)であるから、すべてのy∈D(q)y\in D(q)について

⟨y,en⟩q,m=q(y,en)+(1−m)⟨y,en⟩=wncn(y)\langle y,e_n\rangle_{q,m}=q(y,e_n)+(1-m)\langle y,e_n\rangle=w_nc_n(y)

である。特に⟨ek,en⟩q,m=wnδkn\langle e_k,e_n\rangle_{q,m}=w_n\delta_{kn}であるから、fn=wn−1/2enf_n=w_n^{-1/2}e_nとおくと(fn)n∈N(f_n)_{n\in N}はHqH_qの正規直交系であり、y∈D(q)y\in D(q)について⟨y,fn⟩q,m=wn1/2cn(y)\langle y,f_n\rangle_{q,m}=w_n^{1/2}c_n(y)である。y∈D(q)y\in D(q)がすべてのnnについて⟨y,fn⟩q,m=0\langle y,f_n\rangle_{q,m}=0を満たすならば、すべてのnnについてcn(y)=0c_n(y)=0であり、§E10.3 定理 3.5 (2)をHHの完全正規直交系(en)(e_n)に適用してy=0y=0を得る。したがって、§E10.3 定理 3.5 (2)⇔\Leftrightarrow(4)と§E10.3 定理 3.5 (2)⇔\Leftrightarrow(3)を Hilbert 空間HqH_qの正規直交系(fn)(f_n)に適用すると、すべてのy∈D(q)y\in D(q)について

∥y∥q,m2=∑n∈Nwn∣cn(y)∣2\|y\|_{q,m}^2=\sum_{n\in N}w_n|c_n(y)|^2

であり、∑n⟨y,fn⟩q,mfn=∑ncn(y)en\sum_n\langle y,f_n\rangle_{q,m}f_n=\sum_nc_n(y)e_nは∥⋅∥q,m\|\cdot\|_{q,m}についてyyに収束する。特にD(q)⊆{x∈H:∑nwn∣cn(x)∣2<∞}D(q)\subseteq\{x\in H:\sum_nw_n|c_n(x)|^2<\infty\}である。

逆に、x∈Hx\in Hが∑nwn∣cn(x)∣2<∞\sum_nw_n|c_n(x)|^2<\inftyを満たすとし、M∈NM\in NについてsM=∑n≤Mcn(x)ens_M=\sum_{n\le M}c_n(x)e_nとおく。NNが有限集合ならば、§E10.3 定理 3.5 (3)によりx=skx=s_kはD(A)D(A)の元の有限個の線形結合であるから、x∈D(q)x\in D(q)である。N=N≥1N=\NNとする。sM=∑n≤Mwn1/2cn(x)fn∈D(q)s_M=\sum_{n\le M}w_n^{1/2}c_n(x)f_n\in D(q)であり、K<MK<Mのとき§E10.3 補題 3.2をHqH_qに適用すると∥sM−sK∥q,m2=∑K<n≤Mwn∣cn(x)∣2\|s_M-s_K\|_{q,m}^2=\sum_{K<n\le M}w_n|c_n(x)|^2であるから、(sM)(s_M)はHqH_qの Cauchy 列である。HqH_qの完備性により、(sM)(s_M)は∥⋅∥q,m\|\cdot\|_{q,m}についてz∈D(q)z\in D(q)に収束する。∥sM−z∥≤∥sM−z∥q,m\|s_M-z\|\le\|s_M-z\|_{q,m}であるから(sM)(s_M)はHHのノルムについてzzに収束し、§E10.3 定理 3.5 (3)によりHHのノルムについてxxに収束する。したがってx=z∈D(q)x=z\in D(q)である。

x,y∈D(q)x,y\in D(q)とし、M∈NM\in NについてsM(x)=∑n≤Mcn(x)ens_M(x)=\sum_{n\le M}c_n(x)e_n、sM(y)=∑n≤Mcn(y)ens_M(y)=\sum_{n\le M}c_n(y)e_nとおく。q(ek,en)=λk⟨ek,en⟩=λkδknq(e_k,e_n)=\lambda_k\langle e_k,e_n\rangle=\lambda_k\delta_{kn}であるからq(sM(x),sM(y))=∑n≤Mλncn(x)cn(y)‾q(s_M(x),s_M(y))=\sum_{n\le M}\lambda_nc_n(x)\overline{c_n(y)}である。N=N≥1N=\NNのとき、sM(x)s_M(x)とsM(y)s_M(y)は∥⋅∥q,m\|\cdot\|_{q,m}についてxxとyyに収束するから、§E12.13 補題 1.2 (1)によりq(sM(x),sM(y))→q(x,y)q(s_M(x),s_M(y))\to q(x,y)である。したがってq(x,y)=∑nλncn(x)cn(y)‾q(x,y)=\sum_n\lambda_nc_n(x)\overline{c_n(y)}であり、右辺の級数は収束する。NNが有限集合ならば、M=kM=kとしてsk(x)=xs_k(x)=x、sk(y)=ys_k(y)=yである。

主張 (2)を示す。λ0=m−1\lambda_0=m-1とおく。§E12.12 命題 3.4によりλ0∈ρ(A)\lambda_0\in\rho(A)であり、B=(A−λ0I)−1=−R(λ0,A)∈B(H)B=(A-\lambda_0I)^{-1}=-R(\lambda_0,A)\in B(H)である。h∈Hh\in Hとy∈Hqy\in H_qをとる。Bh∈D(A)⊆D(q)Bh\in D(A)\subseteq D(q)であるから、§E12.13 定理 2.1 (1)により

⟨Bh,y⟩q,m=q(Bh,y)−λ0⟨Bh,y⟩=⟨(A−λ0I)Bh,y⟩=⟨h,Jy⟩\langle Bh,y\rangle_{q,m}=q(Bh,y)-\lambda_0\langle Bh,y\rangle =\langle(A-\lambda_0I)Bh,y\rangle=\langle h,Jy\rangle

である。§E12.1 命題 1.2の共役の特徴づけにより、J∗hJ^*hはBhBhをHqH_qの元とみなしたものである。したがってB=JJ∗B=JJ^*である。

JJがコンパクト作用素であるとする。J∗∈B(H,Hq)J^*\in B(H,H_q)であるから、§E12.2 命題 1.5によりB=JJ∗B=JJ^*はコンパクトである。§E12.2 命題 1.8 (1)によりR(λ0,A)=−BR(\lambda_0,A)=-Bもコンパクトであり、AAはコンパクトなレゾルベントをもつ。

逆に、AAがコンパクトなレゾルベントをもつとする。補題 1.2 (1)と§E12.2 命題 1.8 (1)によりB=−R(λ0,A)B=-R(\lambda_0,A)はコンパクトである。(hn)(h_n)をHHの任意の有界な点列とし、すべてのnnについて∥hn∥≤M\|h_n\|\le Mを満たすM>0M>0をとる。§E12.2 命題 1.3 (1)⇒\Rightarrow(2)により、(Bhn)(Bh_n)はHHのノルムについて収束する部分列(Bhnk)(Bh_{n_k})をもつ。すべてのk,lk,lについて、dk,l=hnk−hnld_{k,l}=h_{n_k}-h_{n_l}とおくと、B=JJ∗B=JJ^*と Cauchy–Schwarz の不等式により

∥J∗hnk−J∗hnl∥q,m2=⟨J∗dk,l,J∗dk,l⟩q,m=∣⟨dk,l,Bdk,l⟩∣≤2M∥Bhnk−Bhnl∥\|J^*h_{n_k}-J^*h_{n_l}\|_{q,m}^2 =\langle J^*d_{k,l},J^*d_{k,l}\rangle_{q,m} =|\langle d_{k,l},Bd_{k,l}\rangle| \le 2M\|Bh_{n_k}-Bh_{n_l}\|

である。右辺はk,l→∞k,l\to\inftyのとき00に収束するから、(J∗hnk)(J^*h_{n_k})はHqH_qの Cauchy 列である。HqH_qの完備性により、この点列はHqH_qのある点へ収束する。§E12.2 命題 1.3 (2)⇒\Rightarrow(1)によりJ∗J^*はコンパクトであり、§E12.3 系 3.3によりJJはコンパクトである。▨

4 閉形式の固有値の変分表示

定理 4.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、m∈Rm\in\Rとし、qqをmmで下に有界なHH上の稠密に定義された閉形式とし、AAをqqに対応する作用素とする。D(q)D(q)に形式ノルム∥⋅∥q,m\|\cdot\|_{q,m}を入れた空間からHHへの包含写像がコンパクトであると仮定する。このとき、AAの離散固有基底(ej)j∈N(e_j)_{j\in N}、(λj)j∈N(\lambda_j)_{j\in N}で、固有値を各固有空間の次元だけ重複させてλ1≤λ2≤⋯\lambda_1\le\lambda_2\le\cdotsと並べたものが存在する。HHが有限次元でdim⁡H=k\dim H=kならばN={1,…,k}N=\{1,\dots,k\}（k=0k=0ならばN=∅N=\emptyset）であり、HHが無限次元ならばN=N≥1N=\NNである。すべてのn∈Nn\in Nについて

λn=min⁡V⊆D(q)dim⁡V=nmax⁡0≠u∈Vq(u,u)∥u∥2\lambda_n= \min_{\substack{V\subseteq D(q)\\\dim V=n}} \max_{0\ne u\in V}\frac{q(u,u)}{\|u\|^2}

が成り立つ。ここでVVはD(q)D(q)の線形部分空間を動き、最小値はV=span⁡{e1,…,en}V=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\}で達成される。特に、H≠{0}H\ne\{0\}ならば

λ1=min⁡0≠u∈D(q)q(u,u)∥u∥2\lambda_1=\min_{0\ne u\in D(q)}\frac{q(u,u)}{\|u\|^2}

である。

証明.命題 3.1 (2)によりAAはコンパクトなレゾルベントをもつ。§E12.13 定理 2.1 (1)によりAAはmmで下に有界な自己共役作用素であるから、定理 2.3 (1)により昇順の固有値をもつ離散固有基底(ej)j∈N(e_j)_{j\in N}、(λj)j∈N(\lambda_j)_{j\in N}が存在する。(ej)j∈N(e_j)_{j\in N}が完全正規直交系であることから、NNが有限集合であることは、HHが有限次元であるための必要十分条件である。NNが有限集合の場合には#N=dim⁡H\#N=\dim Hである。定理 2.3 (4)により、各固有値が現れる添字の個数はその固有空間の次元に等しい。

n∈Nn\in Nとし、V⊆D(q)V\subseteq D(q)をnn次元の線形部分空間とする。VVの正規直交基底v1,…,vnv_1,\dots,v_nをとると、u=∑j=1ncjvju=\sum_{j=1}^nc_jv_jについて

∥u∥2=∑j=1n∣cj∣2,q(u,u)=∑j,k=1ncjck‾ q(vj,vk)\|u\|^2=\sum_{j=1}^n|c_j|^2,\qquad q(u,u)=\sum_{j,k=1}^nc_j\overline{c_k}\,q(v_j,v_k)

である。したがって、u↦q(u,u)u\mapsto q(u,u)はVV上の実数値連続関数であり、∥u∥=1\|u\|=1のとき有界である。この単位球面上で上限に近づく点列をとると、§E12.2 補題 1.2によりVVで収束する部分列が存在する。その極限のノルムは11であり、qqの座標表示の連続性により、極限で上限が達成される。Rayleigh 商は零でないスカラー倍によって変わらないから、max⁡0≠u∈Vq(u,u)/∥u∥2\max_{0\ne u\in V}q(u,u)/\|u\|^2が存在する。

線形写像

V⟶Kn−1,u⟼(⟨u,e1⟩,…,⟨u,en−1⟩)V\longrightarrow\mathbb K^{n-1},\qquad u\longmapsto(\langle u,e_1\rangle,\dots,\langle u,e_{n-1}\rangle)

の核の次元は少なくとも11である。核から零でない元uuをとる。命題 3.1 (1)と Parseval の等式により

q(u,u)−λn∥u∥2=∑j∈Nj≥n(λj−λn)∣⟨u,ej⟩∣2≥0q(u,u)-\lambda_n\|u\|^2 =\sum_{\substack{j\in N\\j\ge n}}(\lambda_j-\lambda_n)|\langle u,e_j\rangle|^2\ge0

である。したがって、任意のnn次元部分空間V⊆D(q)V\subseteq D(q)について、Rayleigh 商の最大値はλn\lambda_n以上である。

Vn=span⁡{e1,…,en}V_n=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\}とおく。ej∈D(A)⊆D(q)e_j\in D(A)\subseteq D(q)であるからVn⊆D(q)V_n\subseteq D(q)であり、dim⁡Vn=n\dim V_n=nである。0≠u∈Vn0\ne u\in V_nについて、命題 3.1 (1)により

q(u,u)=∑j=1nλj∣⟨u,ej⟩∣2≤λn∑j=1n∣⟨u,ej⟩∣2=λn∥u∥2q(u,u)=\sum_{j=1}^n\lambda_j|\langle u,e_j\rangle|^2 \le\lambda_n\sum_{j=1}^n|\langle u,e_j\rangle|^2 =\lambda_n\|u\|^2

である。u=enu=e_nでは等号が成り立つから、VnV_n上の Rayleigh 商の最大値はλn\lambda_nである。任意のVVについて得た下界と合わせて min-max の等式と最小値の達成を得る。H≠{0}H\ne\{0\}のとき、任意の零でないu∈D(q)u\in D(q)は一次元部分空間を張り、その上の Rayleigh 商は一定であるから、n=1n=1の等式は最後の表示に等しい。▨

5 例と仮定の必要性

例 5.1. 複素数値の数列の Hilbert 空間ℓ2\ell^2の標準基底を(en)n≥1(e_n)_{n\ge1}とし、実数列(dn)n≥1(d_n)_{n\ge1}に対して§E12.12 例 3.7 (3)の対角作用素DdD_dを考える。このとき、Dden=dnenD_de_n=d_ne_nであり、(en)(e_n)は§E10.3 例 3.7により完全正規直交系である。

  1. すべてのnnでdn≥0d_n\ge0でありdn→∞d_n\to\inftyならば、DdD_dはコンパクトなレゾルベントをもち、(en)(e_n)、(dn)(d_n)はDdD_dの離散固有基底であって、σ(Dd)={dn:n≥1}\sigma(D_d)=\{d_n:n\ge1\}である。
  2. dn=0d_n=0（nnが奇数）、dn=nd_n=n（nnが偶数）ならば、DdD_dは00で下に有界な自己共役作用素で、ℓ2\ell^2の完全正規直交系(en)(e_n)がすべて固有ベクトルであるが、DdD_dはコンパクトなレゾルベントをもたない。

証明.(1)を示す。§E12.12 例 3.7 (3)によりDdD_dは00で下に有界な自己共役作用素であり、−1∈ρ(Dd)-1\in\rho(D_d)かつ(Dd+I)−1x=−R(−1,Dd)x=((1+dn)−1xn)n≥1(D_d+I)^{-1}x=-R(-1,D_d)x=\bigl((1+d_n)^{-1}x_n\bigr)_{n\ge1}である。数列((1+dn)−1)\bigl((1+d_n)^{-1}\bigr)は有界であり00に収束するから、§E12.2 命題 1.9により(Dd+I)−1(D_d+I)^{-1}はコンパクトである。したがってDdD_dはコンパクトなレゾルベントをもつ（§E12.2 命題 1.8 (1)）。dn→∞d_n\to\inftyであるから、すべてのccについて{n:∣dn∣≤c}\{n:|d_n|\le c\}は有限集合であり、(en)(e_n)、(dn)(d_n)は離散固有基底である。定理 2.3 (5)によりσ(Dd)={dn}\sigma(D_d)=\{d_n\}である。

(2)を示す。dn≥0d_n\ge0であるから、§E12.12 例 3.7 (3)によりDdD_dは00で下に有界な自己共役作用素であり、(Dd+I)−1x=((1+dn)−1xn)(D_d+I)^{-1}x=\bigl((1+d_n)^{-1}x_n\bigr)である。奇数nnについて(1+dn)−1=1(1+d_n)^{-1}=1であるから、この数列は00に収束しない。§E12.2 命題 1.9により(Dd+I)−1(D_d+I)^{-1}はコンパクトでなく、補題 1.2 (1)の対偶によりDdD_dはコンパクトなレゾルベントをもたない。▨

例 5.2.§E12.6 例 4.4のL2([0,π])L^2([0,\pi])、(en)n≥1(e_n)_{n\ge1}、TGT_Gを用いる。このとき、TGT_Gは単射なコンパクト正作用素である。命題 2.5のT=TGT=T_Gに対する作用素AA（D(A)=im⁡TGD(A)=\im T_Gであり、AAはTGT_Gの逆写像である）は、非負の自己共役作用素であって、コンパクトなレゾルベントをもつ。(en)n≥1(e_n)_{n\ge1}と(n2)n≥1(n^2)_{n\ge1}の組はAAの離散固有基底であり、

D(A)={x∈L2([0,π]):∑n≥1n4∣⟨x,en⟩∣2<∞},Ax=∑n≥1n2⟨x,en⟩en(x∈D(A)),σ(A)={n2:n≥1}D(A)=\Bigl\{x\in L^2([0,\pi]):\sum_{n\ge1}n^4|\langle x,e_n\rangle|^2<\infty\Bigr\},\qquad Ax=\sum_{n\ge1}n^2\langle x,e_n\rangle e_n\quad(x\in D(A)),\qquad\sigma(A)=\{n^2:n\ge1\}

が成り立つ。すべてのg∈D(A)g\in D(A)は、u∈C1([0,π])u\in C^1([0,\pi])であってu′u'が絶対連続であり、u(0)=u(π)=0u(0)=u(\pi)=0とほとんど至る所−u′′=Ag-u''=Agを満たす代表元uuをもつ。

証明.§E12.6 例 4.4により、TGT_Gは単射なコンパクト自己共役作用素であり、すべてのn≥1n\ge1についてTGen=n−2enT_Ge_n=n^{-2}e_nであって、(en)(e_n)はL2([0,π])L^2([0,\pi])の完全正規直交系である。x∈L2([0,π])x\in L^2([0,\pi])とし、cn=⟨x,en⟩c_n=\langle x,e_n\rangle、sM=∑n≤Mcnens_M=\sum_{n\le M}c_ne_nとおく。正規直交性により⟨TGsM,sM⟩=∑n≤Mn−2∣cn∣2≥0\langle T_Gs_M,s_M\rangle=\sum_{n\le M}n^{-2}|c_n|^2\ge0である。§E10.3 定理 3.5 (3)によりsM→xs_M\to xであり、TGT_Gは連続であるからTGsM→TGxT_Gs_M\to T_Gxである。§E10.3 補題 1.2による内積の連続性により、⟨TGx,x⟩=lim⁡M⟨TGsM,sM⟩≥0\langle T_Gx,x\rangle=\lim_M\langle T_Gs_M,s_M\rangle\ge0である。したがってTGT_Gは§E12.1 定義 2.5の正作用素である。

命題 2.5により、AAは自己共役作用素であり、すべてのy∈D(A)y\in D(A)について⟨Ay,y⟩≥0\langle Ay,y\rangle\ge0であるから非負であり、コンパクトなレゾルベントをもつ。en=TG(n2en)∈im⁡TG=D(A)e_n=T_G(n^2e_n)\in\im T_G=D(A)であり、Aen=n2enAe_n=n^2e_nである。c∈Rc\in\Rについて{n≥1:n2≤c}\{n\ge1:n^2\le c\}は有限集合であるから、(en)(e_n)と(n2)(n^2)の組はAAの離散固有基底である。定理 2.3 (3)と定理 2.3 (5)をm=0m=0としてAAに適用すると、D(A)D(A)、AxAx、σ(A)\sigma(A)の表示を得る。g∈D(A)g\in D(A)とするとg=TG(Ag)g=T_G(Ag)であり、§E12.6 例 4.4によりu=uAgu=u_{Ag}はTG(Ag)T_G(Ag)の連続な代表元であって、u∈C1([0,π])u\in C^1([0,\pi])、u′u'は絶対連続、ほとんど至る所u′′=−Agu''=-Ag、u(0)=u(π)=0u(0)=u(\pi)=0を満たす。▨

例 5.3.L2(R)L^2(\R)を Lebesgue 測度に関する複素数値の二乗可積分関数の Hilbert 空間とし、a(x)=x2a(x)=x^2に対する§E12.12 例 3.7 (1)の乗算作用素をA=MaA=M_aとおく。このとき、a≥0a\ge0であるから、AAは00で下に有界な自己共役作用素である。§E12.12 例 3.7 (2)により−1∈ρ(A)-1\in\rho(A)であり、(A+I)−1=−R(−1,A)(A+I)^{-1}=-R(-1,A)は1/(1+x2)1/(1+x^2)による乗算である。AAは固有値をもたない。実際、u∈D(A)u\in D(A)とμ∈C\mu\in\CがAu=μuAu=\mu uを満たすならば、ほとんどすべてのxxについて(x2−μ)u(x)=0(x^2-\mu)u(x)=0であり、{x∈R:x2=μ}\{x\in\R:x^2=\mu\}は高々二点からなる Lebesgue 零集合であるから、u=0u=0である。

AAがコンパクトなレゾルベントをもつならば、定理 2.3 (1)によりAAの離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}が存在する。区間[0,1][0,1]の定義関数はL2(R)L^2(\R)の零でない元であるから、H=L2(R)≠{0}H=L^2(\R)\ne\{0\}であり、完全性によりN≠∅N\ne\emptysetである。e1e_1はAAの固有ベクトルとなり、AAが固有値をもたないことに反する。したがってAAはコンパクトなレゾルベントをもたず、特に(A+I)−1(A+I)^{-1}はコンパクトでない。

例 5.4.§E12.12 補題 5.1のL2([0,1])L^2([0,1])、W\mathcal Wと記号を用いる。D(S)={f∈W:f(0)=0}D(S)=\{f\in\mathcal W:f(0)=0\}とおき、f∈D(S)f\in D(S)についてSf=−if′Sf=-if'と定める。このときSSはL2([0,1])L^2([0,1])上の閉作用素であり、ρ(S)=C\rho(S)=\Cであって、すべてのμ∈C\mu\in\CについてR(μ,S)R(\mu,S)はコンパクト作用素である。特にSSはコンパクトなレゾルベントをもつ。一方、SSは対称作用素でなく、固有値をもたず、SSの離散固有基底は存在しない。したがって、定理 2.3 (1)の結論は、自己共役であることを仮定しないコンパクトなレゾルベントをもつ作用素については成り立たない。

証明.[0,1]2[0,1]^2上の関数KKを、s≤ts\le tのときK(t,s)=1K(t,s)=1、t<st<sのときK(t,s)=0K(t,s)=0と定める。集合{(t,s)∈[0,1]2:t<s}\{(t,s)\in[0,1]^2:t<s\}は可算個の可測長方形{(t,s):t<r}∩{(t,s):s>r}\{(t,s):t<r\}\cap\{(t,s):s>r\}（r∈Qr\in\Q）の和集合であるから、KKは直積 σ-加法族について可測であり、∣K∣≤1|K|\le1により∫[0,1]2∣K∣2≤1\int_{[0,1]^2}|K|^2\le1である。§E12.2 定理 2.3により、(Vg)(t)=∫01K(t,s)g(s) ds=∫0tg(s) ds(Vg)(t)=\int_0^1K(t,s)g(s)\,ds=\int_0^tg(s)\,dsで定まるVVはL2([0,1])L^2([0,1])上のコンパクト作用素である。g∈L2([0,1])g\in L^2([0,1])についてVg∈WVg\in\mathcal Wであり、§E12.12 補題 5.1 (1)により(Vg)(0)=0(Vg)(0)=0かつ(Vg)′=g(Vg)'=gである。

g∈L2([0,1])g\in L^2([0,1])について、iVg∈D(S)iVg\in D(S)かつS(iVg)=−i⋅ig=gS(iVg)=-i\cdot ig=gである。f∈D(S)f\in D(S)について、§E12.12 補題 5.1 (1)によりffの連続な代表関数はt↦f(0)+∫0tf′=∫0tf′t\mapsto f(0)+\int_0^tf'=\int_0^tf'であるから、f=Vf′=iV(−if′)=iVSff=Vf'=iV(-if')=iVSfである。したがってS ⁣:D(S)→L2([0,1])S\colon D(S)\to L^2([0,1])は全単射であり、その逆写像はiViVである。

μ∈C\mu\in\Cとする。f∈D(S)f\in D(S)についてf=iVSff=iVSfであるから

(μI−S)f=μiVSf−Sf=−(I−iμV)Sf(\mu I-S)f=\mu iVSf-Sf=-(I-i\mu V)Sf

である。h∈L2([0,1])h\in L^2([0,1])が(I−iμV)h=0(I-i\mu V)h=0を満たすとする。h=V(iμh)∈Wh=V(i\mu h)\in\mathcal Wであり、h(0)=0h(0)=0かつh′=iμhh'=i\mu hであるから、§E12.12 補題 5.1 (3)により、h=ceiμh=ce_{i\mu}を満たすc∈Cc\in\Cが存在する。c=h(0)=0c=h(0)=0であるからh=0h=0であり、I−iμVI-i\mu Vは単射である。iμVi\mu Vはコンパクト作用素であるから、§E12.4 定理 2.1 (3)をλ=1\lambda=1、K=iμVK=i\mu Vに適用すると、W(I−iμV)=(I−iμV)W=IW(I-i\mu V)=(I-i\mu V)W=Iを満たすW∈B(L2([0,1]))W\in B(L^2([0,1]))が存在する。したがってμI−S=−(I−iμV)S ⁣:D(S)→L2([0,1])\mu I-S=-(I-i\mu V)S\colon D(S)\to L^2([0,1])は全単射であり、その逆写像−iVW-iVWはB(L2([0,1]))B(L^2([0,1]))に属する。したがってμ∈ρ(S)\mu\in\rho(S)かつR(μ,S)=−iVWR(\mu,S)=-iVWであり、§E12.2 命題 1.5によりR(μ,S)R(\mu,S)はコンパクト作用素である。ρ(S)=C\rho(S)=\Cであるから、SSはコンパクトなレゾルベントをもち、補題 1.2 (2)により閉作用素である。

μ∈C\mu\in\Cについてμ∈ρ(S)\mu\in\rho(S)であるからμI−S\mu I-Sは単射であり、μ\muはSSの固有値でない。f(t)=tf(t)=tとおくと、f(t)=0+∫0t1 dsf(t)=0+\int_0^t1\,dsであるからf∈D(S)f\in D(S)かつSf=−i1Sf=-i\mathbf 1であり、

⟨Sf,f⟩=∫01(−i)t dt=−i2,⟨f,Sf⟩=∫01t (−i)‾ dt=i2\langle Sf,f\rangle=\int_0^1(-i)t\,dt=-\frac i2,\qquad\langle f,Sf\rangle=\int_0^1t\,\overline{(-i)}\,dt=\frac i2

であるから、SSは対称作用素でない。SSの離散固有基底(en)n∈N(e_n)_{n\in N}が存在するとすると、L2([0,1])≠{0}L^2([0,1])\ne\{0\}であるから完全性によりN≠∅N\ne\emptysetであり、e1e_1はSSの固有ベクトルとなって、SSが固有値をもたないことに反する。したがってSSの離散固有基底は存在しない。▨

6 演習

問題 6.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、AAをHH上の非負の自己共役作用素で(A+I)−1(A+I)^{-1}がコンパクトであるものとし、(en)n∈N(e_n)_{n\in N}をHHの完全正規直交系、(λn)n∈N(\lambda_n)_{n\in N}を実数列で、すべてのnnについてen∈D(A)e_n\in D(A)かつAen=λnenAe_n=\lambda_ne_nを満たすものとする（系 2.4 (1)によりこのような組が存在する）。

  1. (A+I)−1en=(1+λn)−1en(A+I)^{-1}e_n=(1+\lambda_n)^{-1}e_nであり、∥(A+I)−1∥HS2=∑n(1+λn)−2\|(A+I)^{-1}\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_n(1+\lambda_n)^{-2}であることを示せ。
  2. 例 5.1のDdD_dについて、dn=nd_n=nのとき(Dd+I)−1(D_d+I)^{-1}は Hilbert–Schmidt 作用素であり、dn=nd_n=\sqrt nのとき Hilbert–Schmidt 作用素でないことを示せ。
解答.

(1)を示す。AAは非負であるからλn=⟨Aen,en⟩≥0\lambda_n=\langle Ae_n,e_n\rangle\ge0であり、1+λn>01+\lambda_n>0である。(A+I)en=(1+λn)en(A+I)e_n=(1+\lambda_n)e_nであり、(A+I)−1(A+I)^{-1}はA+I ⁣:D(A)→HA+I\colon D(A)\to Hの逆写像であるから、en=(1+λn)(A+I)−1ene_n=(1+\lambda_n)(A+I)^{-1}e_nである。したがって(A+I)−1en=(1+λn)−1en(A+I)^{-1}e_n=(1+\lambda_n)^{-1}e_nである。§E12.10 定義 1.2により、完全正規直交系(en)(e_n)を用いて∥(A+I)−1∥HS2=∑n∥(A+I)−1en∥2=∑n(1+λn)−2\|(A+I)^{-1}\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_n\|(A+I)^{-1}e_n\|^2=\sum_n(1+\lambda_n)^{-2}である。

(2)を示す。dn=nd_n=nとdn=nd_n=\sqrt nのどちらの場合も、すべてのnnでdn≥0d_n\ge0でありdn→∞d_n\to\inftyである。§E12.12 例 3.7 (3)によりDdD_dは非負の自己共役作用素であり、例 5.1 (1)と補題 1.2 (1)により(Dd+I)−1=−R(−1,Dd)(D_d+I)^{-1}=-R(-1,D_d)はコンパクトである。(en)(e_n)はℓ2\ell^2の完全正規直交系であってDden=dnenD_de_n=d_ne_nを満たすから、DdD_dと(en)(e_n)、(dn)(d_n)に(1)を適用すると、∥(Dd+I)−1∥HS2=∑n≥1(1+dn)−2\|(D_d+I)^{-1}\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_{n\ge1}(1+d_n)^{-2}である。dn=nd_n=nのとき、(1+n)−2≤n−1−(n+1)−1(1+n)^{-2}\le n^{-1}-(n+1)^{-1}であるから、和は11以下であり、(Dd+I)−1(D_d+I)^{-1}は Hilbert–Schmidt 作用素である。dn=nd_n=\sqrt nのとき、(1+n)2≤4n(1+\sqrt n)^2\le4nにより(1+n)−2≥(4n)−1(1+\sqrt n)^{-2}\ge(4n)^{-1}であり、調和級数の発散により和は無限大である。したがって(Dd+I)−1(D_d+I)^{-1}は Hilbert–Schmidt 作用素でない。▨

参考文献

  1. Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised and enlarged ed., Academic Press, New York, 1980.コンパクトなレゾルベントをもつ自己共役作用素の固有ベクトルによる展開の扱いを参考にした。
  2. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1990.コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理から非有界な場合を導く扱いを参考にした。

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