§E12.12非有界作用素

証明. 演習とする（問題 7.1）。▨

証明.$x\in D(T)$が$Tx=0$を満たすならば$c\|x\|\le0$であるから、$T$は単射である。$(x_n)$を$D(T)$の点列とし、$Tx_n$が$Y$のノルムについて$y\in Y$に収束するとする。$\|x_n-x_m\|\le c^{-1}\|Tx_n-Tx_m\|$であるから$(x_n)$は$X$の Cauchy 列であり、$X$の完備性によりある$x\in X$に収束する。補題 1.3 (1)により$x\in D(T)$かつ$Tx=y$であるから、$y\in\im T$である。したがって$\im T$は閉集合である。$\im T=Y$ならば、$T^{-1}\colon Y\to X$は線形であり、$y\in Y$について$\|T^{-1}y\|\le c^{-1}\|TT^{-1}y\|=c^{-1}\|y\|$であるから、$T^{-1}\in B(Y,X)$かつ$\|T^{-1}\|\le c^{-1}$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$R=R(\lambda,T)$とおく。$R$は全単射$\lambda I-T\colon D(T)\to X$の逆写像であるから、$\im R=D(T)$であり、すべての$y\in X$について$(\lambda I-T)Ry=y$、すなわち$TRy=\lambda Ry-y$である。したがって$TR=\lambda R-I\in B(X)$である。$x\in D(T)$について$R(\lambda I-T)x=x$であるから、$RTx=\lambda Rx-x=TRx$である。

主張 (2)を示す。$\lambda\in\rho(T)$をとり、$R=R(\lambda,T)$とおく。$(x_n)$を$D(T)$の点列とし、$x_n\to x$、$Tx_n\to y$とする。$(\lambda I-T)x_n\to\lambda x-y$であり、$R$は連続であるから、$x_n=R(\lambda I-T)x_n\to R(\lambda x-y)$である。極限の一意性により$x=R(\lambda x-y)\in D(T)$であり、$(\lambda I-T)x=\lambda x-y$から$Tx=y$を得る。補題 1.3 (1)により$T$は閉作用素である。

主張 (3)を示す。$\|-hR_0\|<1$であるから、§E12.1 補題 3.1により$W=\sum_{n=0}^\infty(-h)^nR_0^{\,n}$は作用素ノルムについて収束し、$W(I+hR_0)=(I+hR_0)W=I$を満たす。部分和は$R_0$と可換であり、§E10.2 命題 2.4により左右からの$R_0$の積は作用素ノルムについて連続であるから、$WR_0=R_0W=\sum_{n=0}^\infty(-h)^nR_0^{\,n+1}$である。$V=R_0W$とおく。主張 (1)により$z\in X$について$R_0z\in D(T)$かつ$\bigl((\lambda_0+h)I-T\bigr)R_0z=(\lambda_0I-T)R_0z+hR_0z=(I+hR_0)z$であるから、$y\in X$について$Vy\in D(T)$かつ

である。$x\in D(T)$について$\bigl((\lambda_0+h)I-T\bigr)x=(\lambda_0I-T)x+hR_0(\lambda_0I-T)x=(I+hR_0)(\lambda_0I-T)x$であるから

である。したがって$(\lambda_0+h)I-T\colon D(T)\to X$は全単射であり、その逆写像$V$は$B(X)$に属するから、$\lambda_0+h\in\rho(T)$かつ$R(\lambda_0+h,T)=V$である。$\lambda_0$を中心とする$\{\lambda_0+h:|h|\,\|R_0\|<1\}$は$\mathbb K$における$\lambda_0$の開近傍であるから、$\rho(T)$は開集合である。

主張 (4)を示す。$y\in X$とする。$R(\mu,T)y\in D(T)$であり、$R(\lambda,T)(\lambda I-T)R(\mu,T)y=R(\mu,T)y$と$(\mu I-T)R(\mu,T)y=y$が成り立つから

である。$\lambda$と$\mu$を入れ替えると$R(\mu,T)-R(\lambda,T)=(\lambda-\mu)R(\mu,T)R(\lambda,T)$であり、二式から$\lambda\ne\mu$のとき$R(\lambda,T)R(\mu,T)=R(\mu,T)R(\lambda,T)$を得る。$\lambda=\mu$のとき、二つの積は同じ作用素である。

主張 (5)を示す。$R(\lambda,T)$は単射であり$X\ne\{0\}$であるから、$\|R(\lambda,T)\|>0$である。主張 (3)を$\lambda_0=\lambda$に適用すると、$|\mu-\lambda|<\|R(\lambda,T)\|^{-1}$を満たすすべての$\mu\in\mathbb K$が$\rho(T)$に属する。したがってすべての$\mu\in\sigma(T)$について$|\mu-\lambda|\ge\|R(\lambda,T)\|^{-1}$であり、$\sigma(T)\ne\emptyset$ならば$\operatorname{dist}(\lambda,\sigma(T))\ge\|R(\lambda,T)\|^{-1}$である。

主張 (6)を示す。$\lambda\in\rho(T)$とし、$R=R(\lambda,T)$とおく。$h\in\mathbb K$が$0<|h|\,\|R\|<1$を満たすとき、主張 (3)と§E10.2 命題 2.4により

であり、右辺は$h\to0$のとき$0$に収束する。したがって$\lambda\mapsto R(\lambda,T)$は$\lambda$で連続である。$\mathbb K=\C$とする。主張 (4)により$R(\lambda+h,T)-R=-hR(\lambda+h,T)R$であるから

であり、右辺は$h\to0$のとき$0$に収束する。▨

証明.主張 (1)を示す。$y\in D(T^*)$ならば、§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により$|\langle Tx,y\rangle|=|\langle x,T^*y\rangle|\le\|T^*y\|\,\|x\|$である。逆に、$c\ge0$がすべての$x\in D(T)$について$|\langle Tx,y\rangle|\le c\|x\|$を満たすとする。線形汎関数$\varphi\colon D(T)\to\mathbb K$、$\varphi(x)=\langle Tx,y\rangle$は有界であり、$D(T)$は$H$で稠密であるから、§E10.4 系 2.2により$\varphi$は$\widetilde\varphi\in H^*$へ延長される。§E10.5 定理 1.1によりすべての$x\in H$について$\widetilde\varphi(x)=\langle x,z\rangle$を満たす$z\in H$が存在するので、$y\in D(T^*)$である。

主張 (2)を示す。$(y,z)\in K\times H$とする。$x\in D(T)$について$\langle(y,z),J(x,Tx)\rangle=-\langle y,Tx\rangle+\langle z,x\rangle$である。したがって$(y,z)\in(JG(T))^\perp$であることは、すべての$x\in D(T)$について$\langle z,x\rangle=\langle y,Tx\rangle$、すなわち複素共役をとって$\langle Tx,y\rangle=\langle x,z\rangle$が成り立つことと同値であり、これは$y\in D(T^*)$かつ$T^*y=z$であることと同値である。§E10.3 補題 1.2による内積の連続性により、直交補空間$(JG(T))^\perp$は連続な線形汎関数$w\mapsto\langle w,v\rangle$（$v\in JG(T)$）の核の共通部分として閉集合である。したがって$T^*$は閉作用素である。

主張 (3)を示す。$y\in D(T^*)$とする。すべての$x\in D(S)$について$\langle Sx,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$であるから、$y\in D(S^*)$かつ$S^*y=T^*y$である。

主張 (4)を示す。$y\in\ker T^*$ならば、すべての$x\in D(T)$について$\langle Tx,y\rangle=\langle x,0\rangle=0$であるから、$y\in(\im T)^\perp$である。逆に$y\in(\im T)^\perp$ならば、すべての$x\in D(T)$について$\langle Tx,y\rangle=0=\langle x,0\rangle$であるから、$y\in D(T^*)$かつ$T^*y=0$である。

主張 (5)を示す。$J'\colon K\times H\to H\times K$を$J'(y,z)=(-z,y)$により定める。$J$と$J'$は内積を保つ線形な全単射であり、$J'J=-I$である。内積を保つ線形な全単射$U$と線形部分空間$M$について、$U(M^\perp)=(UM)^\perp$と$U(\tpcl M)=\tpcl{UM}$が成り立つ。前者は$\langle Uw,Um\rangle=\langle w,m\rangle$から、後者は$U$と$U^{-1}$が等長であることから従う。

$D(T^*)$が稠密であるとする。主張 (2)を$K$から$H$への稠密に定義された線形作用素$T^*$に適用すると、$G(T^{**})=(J'G(T^*))^\perp$である。主張 (2)と$J'JG(T)=-G(T)=G(T)$により

であり、§E10.3 命題 2.3を Hilbert 空間$H\times K$に適用すると、右辺は$\tpcl{G(T)}$に等しい。したがって$\tpcl{G(T)}$は線形作用素$T^{**}$のグラフであり、$T$は可閉で$\overline T=T^{**}$である。

$T$が可閉であるとし、$z\in K$が$D(T^*)$のすべての元と直交するとする。すべての$y\in D(T^*)$について$\langle(z,0),(y,T^*y)\rangle=\langle z,y\rangle=0$であるから、主張 (2)と§E10.3 命題 2.3により

である。$(z,0)=J(x,\overline Tx)=(-\overline Tx,x)$を満たす$x\in D(\overline T)$をとると、$x=0$であり、$z=-\overline T0=0$である。したがって$D(T^*)$は稠密である。

$T$が可閉であるとき、$D(T)\subseteq D(\overline T)$により$\overline T$は稠密に定義されている。内積の連続性により線形部分空間$M$について$(\tpcl M)^\perp=M^\perp$であるから、主張 (2)により

であり、$(\overline T)^*=T^*$である。$T$が閉作用素ならば$T$は可閉で$\overline T=T$であるから、$D(T^*)$は稠密であり$T^{**}=T$である。

主張 (6)を示す。$D(T+B)=D(T)$であるから$T+B$は稠密に定義されている。$y\in D(T^*)$ならば、すべての$x\in D(T)$について$\langle(T+B)x,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle+\langle x,B^*y\rangle$であるから、$y\in D((T+B)^*)$かつ$(T+B)^*y=T^*y+B^*y$である。逆に$y\in D((T+B)^*)$ならば、すべての$x\in D(T)$について$\langle Tx,y\rangle=\langle(T+B)x,y\rangle-\langle Bx,y\rangle=\langle x,(T+B)^*y-B^*y\rangle$であるから、$y\in D(T^*)$である。$H=K$とし、$B=-\lambda I$とおくと、§E12.1 命題 1.3 (2)と§E12.1 命題 1.3 (5)により$B^*=-\overline\lambda I$であるから、$(T-\lambda I)^*=T^*-\overline\lambda I$である。主張 (4)を$T-\lambda I$に適用すると、$\ker(T^*-\overline\lambda I)=(\im(T-\lambda I))^\perp$を得る。▨

証明.補題 1.4により、$T$は単射であり、$\im T$は$K$の閉集合である。命題 2.2 (4)により$(\im T)^\perp=\ker T^*=\{0\}$であるから、§E10.3 命題 2.3により$\im T=\tpcl{\im T}=\{0\}^\perp=K$である。補題 1.4により$T^{-1}\in B(K,H)$かつ$\|T^{-1}\|\le c^{-1}$である。▨