§E6.28Artin 環上の直既約入射加群

証明.$x\in M\setminus\{0\}$を取る。巡回部分加群$Ax$は§E6.21 系 5.1により有限長であるから、組成列の最初の非零項として単純部分加群$S$をもつ。$0\ne S\subseteq Ax\cap\operatorname{soc}_A(M)$であるから、ある$a\in A$について$0\ne ax\in\operatorname{soc}_A(M)$となる。§E6.16 命題 7.2 条件 (b)により、$\operatorname{soc}_A(M)$は$M$で本質的である。▨

証明.$E$を非零入射左$A$加群とし、直既約であると仮定する。§E6.24 定理 3.2により$E$は uniform である。命題 1.1により$\operatorname{soc}_A(E)\ne0$であり、§E6.20 定理 2.2により$\operatorname{soc}_A(E)$は半単純である。半単純加群の単純直和分解に二つ以上の非零因子があれば、それらは共通部分が零の非零部分加群となり、$E$の uniform 性に反する。したがって$\operatorname{soc}_A(E)$は単純である。逆に$\operatorname{soc}_A(E)$が単純ならば、命題 1.1により包含$\operatorname{soc}_A(E)\inj E$は入射包絡である。単純加群は uniform であるから、§E6.24 命題 2.1により$E$は直既約である。いずれの場合も包含は入射包絡であり、主張 (1)が従う。

$S$を単純左$A$加群とする。$S$は uniform であるから、§E6.24 命題 2.1により$E(S)$は直既約である。主張 (1)により$\operatorname{soc}_A(E(S))$は単純であり、単純部分加群$i(S)$を含むので$i(S)$に等しい。これで主張 (2)は示された。

§E6.16 定理 9.4により、同型な単純加群の入射包絡は同型である。$E(S)\cong E(T)$ならば、同型は socle を socle に写すので、主張 (2)により$S\cong T$である。任意の直既約入射加群$E$は主張 (1)により単純加群$\operatorname{soc}_A(E)$の入射包絡である。したがって主張 (3)が成り立つ。

$A\ne0$とする。§E6.27 補題 3.6により$1=e_1+\cdots+e_r$となる原始冪等元の直交完全系を取る。単純左加群$S$と$s\in S\setminus\{0\}$に対して、ある$i$について$e_is\ne0$である。写像$Ae_i\to S$、$ae_i\mapsto ae_is$は非零であるから全射である。§E6.27 定理 3.5 (2)により$Je_i$は$Ae_i$の唯一の極大部分加群であるので、$S\cong Ae_i/Je_i$となる。ただし$J:=J(A)$である。単純加群の同型類はこの有限個の商で尽きるので、主張 (3)により主張 (4)が従う。$A=0$の場合、非零の単位的加群は存在せず、同型類の集合は空である。▨

証明.§E6.21 定理 2.1により$A$は左 Noether 環であるから、§E6.25 定理 2.2を$E$に適用する。各直既約因子は定理 1.2 (3)により一つの$E(S_j)$と同型である。同型類ごとに因子をまとめると表示を得る。濃度の一意性は§E6.25 定理 4.1 (1)による。▨

証明. 右加群$M$に対して、§E6.2 定理 14.1を$k$-$A$双加群$M$と$k$に適用すると、定義に記した左作用を得る。右加群の射$f$と$a\in A$に対して$D(f)(a\varphi)(m)=\varphi(f(m)a)=\varphi(f(ma))=(aD(f)(\varphi))(m)$であるから、$D(f)$は左$A$線形である。§E3.5 命題 3.2により合成の順序は逆転し、恒等射は恒等射に移る。次元の等式は§E3.5 定理 1.2による。左加群の右作用は§E6.12 命題 8.1によって定まり、左加群の射についても$D(f)(\varphi a)(n)=\varphi(af(n))=\varphi(f(an))$となる。これで主張 (1)は示された。

短完全列の写像$u,v$に§E3.5 命題 3.3を適用する。$\im v=M''$から$D(v)$は単射であり、$\ker u=0$から$D(u)$は全射である。さらに$\im D(v)=(\ker v)^\circ=(\im u)^\circ=\ker D(u)$である。よって主張 (2)が成り立つ。

右加群$M$と$a\in A$について

である。左加群$N$についても$\iota_N(an)(\varphi)=\varphi(an)=(\varphi a)(n)=(a\iota_N(n))(\varphi)$である。§E3.5 命題 4.1により評価写像は線形同型であり、加群の射について自然である。したがって主張 (3)が成り立つ。

$U\subseteq M$を部分加群とする。商写像の双対と主張 (2)により$D(M/U)$の像は$U^\circ$であり、$\dim_k U^\circ=\dim_k M-\dim_k U$である。$W\subseteq D(M)$を部分加群とすると、$\iota_M^{-1}(W^\circ)$は$M$の部分加群である。評価の定義から$\iota_M(U)\subseteq(U^\circ)^\circ$であり、両辺の次元は$\dim_k U$に等しいので、等号が成り立つ。$W$にも同じ次元の計算を適用すると、二度零化空間を取る操作は恒等になる。包含関係は逆転するので、部分加群を零と全体しかもたないという条件も保存される。これで主張 (4)は示された。▨

証明. 写像$ea\otimes n\mapsto ean$は積の$A$平衡性から定まり、$en\mapsto e\otimes en$を逆写像にもつ。実際、$e\otimes en=e\otimes n$であり、$e\otimes ean=ea\otimes n$である。

§E6.12 命題 15.3を右$A$加群$eA$と加法群$k$に適用する。対応する写像$\lambda$と$f$は$\lambda(x\otimes n)=f(n)(x)$を満たす。$\lambda$が$k$線形ならば、$x$について$f(n)(x)$は$k$線形であり、$f$は$D(eA)$に値をもつ。逆に$f$が$D(eA)$に値をもつならば、$\lambda(cx\otimes n)=f(n)(cx)=c\lambda(x\otimes n)$である。したがって既出の対応は$k$線形同型$\Hom_A(N,D(eA))\cong\Hom_k(eA\otimes_A N,k)$に制限される。第一の同型と合成すると主張の第二の同型を得る。対応する写像の値は$f(en)(e)=f(n)(e)$であり、自然性は§E6.12 命題 15.3の自然性から従う。▨

証明. 任意の左$A$加群の短完全列$0\to N'\to N\to N''\to0$を取る。$N\mapsto eN$は、この列を$k$線形空間の短完全列に写す。実際、核の等式は元の列から従い、$y\in eN''$の持上げ$n\in N$に対して$en$は$y$に写る。任意次元の線形空間の短完全列は基底の延長によって線形に分裂するので、$\Hom_k(-,k)$を適用した列も短完全である。補題 3.1の自然同型により$\Hom_A(-,D(eA))$は短完全列を短完全列に写す。§E6.16 命題 1.2 条件 (b)により$D(eA)$は入射的である。

$A$の左右のイデアルは$k$部分空間であるから、有限次元性により$A$は左 Artin かつ右 Artin である。§E6.21 定理 1.4により

である。ここで、$J\varphi=0$はすべての$x\in eA$と$j\in J$について$\varphi(xj)=0$と同値であり、$eAJ=eJ$を用いた。

$e$が原始冪等元であると仮定する。§E6.27 注意 4.5による§E6.27 定理 3.5 (2)の右版から$eA/eJ$は単純である。命題 2.2 (4)により$D(eA/eJ)$も単純である。$S:=Ae/Je$は§E6.27 定理 3.5 (2)により単純である。商写像$Ae\to S$の$eAe$への制限の像は$eS$であり、核は$eAe\cap Je=eJe$であるから、$eS\cong eAe/eJe$である。§E6.27 定理 3.5 (3)によりこの商は斜体であり、零でない。したがって補題 3.1により$\Hom_A(S,D(eA))\cong\Hom_k(eS,k)\ne0$である。非零写像$S\to D(eA)$は単射であり、その像は単純な socle に一致する。よって$S\cong D(eA/eJ)$である。▨

証明.$e$を原始冪等元とする。§E6.27 定理 3.5 (1)により$Ae$は射影的であり、§E6.27 命題 2.1 (1)により$Je$は小部分加群であるから、商写像は射影被覆である。命題 3.2により$D(eA)$は入射的であり、その socle は$Ae/Je$と同型である。命題 1.1により socle は本質的であるから、§E6.16 命題 9.5 条件 (a)により包含は入射包絡である。§E6.16 定理 9.4から主張 (1)の同型を得る。

$\pi\colon P\surj M$を有限次元右加群$M$の射影被覆とする。$M$の$k$基底は右$A$加群の生成系でもある。§E6.27 注意 4.5による§E6.27 定理 4.1の右版と§E6.27 定理 2.3により、$P$は有限個の$eA$の直和と同型であり、有限次元である。命題 3.2と§E6.16 命題 1.3 (1)により$D(P)$は入射的である。

$K:=\ker\pi$と置く。小部分加群$K$は$P$の各極大部分加群$L$に含まれる。実際、$K\not\subseteq L$ならば$K+L=P$であり、小部分加群の定義から$L=P$となって$L$が真部分加群であることに反する。したがって$K\subseteq\operatorname{rad}(P)=PJ$である。最後の等式は§E6.21 系 1.3を反対環に適用して得られる。命題 2.2 (2)により、$D(\pi)$の像は$K^\circ$である。一方、§E6.21 定理 1.4により

である。$D(P)\ne0$ならば、命題 1.1により$K^\circ$は$D(P)$で本質的である。$D(P)=0$ならば$K^\circ=0$であり、$0$は$0$の本質的部分加群である。したがって$D(\pi)$は入射包絡である。左右を交換した主張は、有限次元代数$A^{\mathrm{op}}$に適用して得られる。▨

証明.定理 1.2 (1)により$E$は単純加群$S:=\operatorname{soc}_A(E)$の入射包絡である。§E6.27 命題 3.4により$S\cong Ae/Je$となる原始冪等元$e$が存在する。命題 3.3 (1)と入射包絡の一意性から$E\cong D(eA)$となる。命題 2.2 (1)により$\dim_k E=\dim_k eA<\infty$である。▨