§E6.27射影被覆

証明.$r\in R$に対して$\bar e(r+I)\bar e=ere+I$であるから、$R\to R/I$の$eRe$への制限は$\bar e(R/I)\bar e$への全射環準同型であり、単位元$e$を単位元$\bar e$に写す。この準同型の核は$eRe\cap I$である。$x\in eRe\cap I$ならば$x=exe\in eIe$であり、逆に$eIe\subseteq eRe\cap I$である。これで主張 (1)は示された。

$x_1,\ldots,x_n\in eIe$とする。各$x_i$は$I$に属するので$x_1\cdots x_n\in I^n=0$である。$(eIe)^n$はこのような積の有限和全体であるから、$(eIe)^n=0$である。これで主張 (2)は示された。▨

証明.$u\in R$を$u+N=\varepsilon$となる元とする。$u_0:=u$と置き、$k\ge0$に対して$u_{k+1}:=3u_k^2-2u_k^3$と定める。各$u_k$は$u$の整数係数多項式であるから、$u_0,u_1,\ldots$は互いに可換である。$x_k:=u_k^2-u_k$と置く。可換環の任意の元$t$について

が成り立つので、

である。

帰納法により、すべての$k\ge0$について$u_k+N=\varepsilon$かつ$x_k\in N^{2^k}$が成り立つ。$k=0$のとき、$u_0+N=\varepsilon$であり、$\varepsilon^2=\varepsilon$から$x_0\in N=N^{2^0}$である。$k$で成り立つと仮定する。$x_k\in N$であるから$u_{k+1}-u_k\in N$であり、$u_{k+1}+N=u_k+N=\varepsilon$である。また$x_k\in N^{2^k}$から$x_k^2\in N^{2^{k+1}}$であり、$N^{2^{k+1}}$は両側イデアルであるから$x_{k+1}=x_k^2(4x_k-3)\in N^{2^{k+1}}$である。

$2^k\ge n$を満たす$k$を取ると、$x_k\in N^{2^k}\subseteq N^n=0$である。したがって$e:=u_k$は$e^2=e$を満たし、$e+N=\varepsilon$である。▨

証明.$m$に関する帰納法を、環と冪零両側イデアルの組を動かして行う。$m=1$のとき、$\varepsilon_1=1$であるから$e_1:=1$が求める元である。

$m\ge2$とし、$m-1$の場合に主張が成り立つと仮定する。命題 1.3により、$e_1+N=\varepsilon_1$を満たす冪等元$e_1\in R$を取る。$e':=1-e_1$と置くと、$e'$は冪等元であり、$e_1e'=e'e_1=0$かつ$e'+N=\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_m$である。$B:=e'Re'$と置くと、$B$は$e'$を単位元とする環であり、補題 1.2 (2)により$N':=e'Ne'$は$N'^n=0$を満たす$B$の両側イデアルである。補題 1.2 (1)により、$x+N'\mapsto x+N$は環同型$B/N'\cong(e'+N)(R/N)(e'+N)$を与える。

$2\le j\le m$について、$\varepsilon_j$は$(e'+N)(R/N)(e'+N)$に属する。実際、$i\ne j$のとき$\varepsilon_i\varepsilon_j=0$であるから$(e'+N)\varepsilon_j=(\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_m)\varepsilon_j=\varepsilon_j$であり、同様に$\varepsilon_j(e'+N)=\varepsilon_j$である。したがって$(\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_m)$は環$(e'+N)(R/N)(e'+N)$の直交冪等元の完全系であり、上の同型によって$B/N'$の直交冪等元の完全系とみなされる。帰納法の仮定を$B$と$N'$に適用すると、$B$の直交冪等元の完全系$(e_2,\ldots,e_m)$であって、すべての$j\ge2$について$e_j+N=\varepsilon_j$を満たすものが存在する。

$e_j\in e'Re'$であるから、$j\ge2$のとき$e_1e_j=e_1e'e_j=0$であり、$e_je_1=e_je'e_1=0$である。また$e_2+\cdots+e_m=e'$であるから$e_1+\cdots+e_m=e_1+e'=1$である。よって$(e_1,\ldots,e_m)$は求める完全系である。▨

証明.$L$を$P$の部分加群とし、$K$を$JP$に含まれる部分加群とする。$K+L=P$ならば$JP+L=P$である。§E6.11 系 3.1 (1)を両側イデアル$J$と有限生成加群$P$に適用すると、$L=P$を得る。$K=JP$とすれば主張 (1)が、一般の$K$については主張 (2)が従う。▨

証明.$Q$は射影的で$\pi$は全射であるから、§E6.14 命題 1.3 (1)により、$\pi\circ g=p$を満たす左$R$加群の射$g\colon Q\to P$が存在する。$y\in P$とする。$p$は全射であるから、$\pi(y)=p(x)$となる$x\in Q$が存在する。$\pi(g(x))=p(x)=\pi(y)$であるから$y-g(x)\in\ker\pi$であり、$P=g(Q)+\ker\pi$が成り立つ。$\ker\pi$は小部分加群であるから、$g(Q)=P$である。

$g$は全射で$P$は射影的であるから、§E6.14 命題 1.3 (2)により短完全列$0\to\ker g\to Q\to P\to0$は分裂し、§E6.8 命題 3.2 (2)により$g\circ s=\operatorname{id}_P$を満たすセクション$s\colon P\to Q$が存在する。$L:=s(P)$と置くと、$x\in Q$は$x=s(g(x))+\bigl(x-s(g(x))\bigr)$と書くことができ、$g\bigl(x-s(g(x))\bigr)=0$である。$x\in\ker g\cap L$ならば、$x=s(y)$を満たす$y\in P$について$y=g(s(y))=g(x)=0$であり、$x=0$である。したがって$Q=\ker g\oplus L$である。$g|_L$の核は$\ker g\cap L=0$であり、$g(L)=g(\ker g+L)=g(Q)=P$であるから、$g|_L$は同型である。$x\in\ker g$ならば$p(x)=\pi(g(x))=0$であるから、$\ker g\subseteq\ker p$である。▨

証明.補題 2.2を$Q=P'$と$p=\pi'$に適用すると、$\pi\circ g=\pi'$を満たす全射$g\colon P'\to P$と、$P'=\ker g\oplus L$を満たす部分加群$L\subseteq P'$が存在し、$\ker g\subseteq\ker\pi'$である。$P'=\ker g+L\subseteq\ker\pi'+L$であり、$\ker\pi'$は小部分加群であるから$L=P'$である。したがって$\ker g=\ker g\cap L=0$であり、$g$は同型である。$\varphi:=g^{-1}$と置くと、$\pi'\circ\varphi=\pi\circ g\circ g^{-1}=\pi$である。▨

証明.主張 (1)の証明は演習とする（問題 6.1）。

主張 (2)を示す。$P$は有限生成であるから、命題 2.1 (2)により$\ker\pi$は$P$の小部分加群であり、$P$は射影的であるから、$\pi$は$M$の射影被覆である。▨

証明.$R\to R/I$の$Re$への制限を$\rho$と置く。$r\in R$に対して$\rho(re)=re+I=(r+I)\bar e$であるから、$\rho$は$Re$から$(R/I)\bar e$への全射な左$R$線形写像である。$x\in\ker\rho=Re\cap I$ならば$x=xe\in Ie$であり、逆に$Ie\subseteq Re\cap I$である。よって$\ker\rho=Ie$であり、準同型定理から主張が従う。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(3)を示す。$e$を原始冪等元とし、$g\in eRe$を冪等元とする。$eg=ge=g$であるから、$f:=e-g$は$f^2=f$および$fg=gf=0$を満たし、$e=g+f$である。$e$の原始性により$g=0$または$f=0$であり、後者は$g=e$を意味する。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$e\ne0$とし、$e=f+g$を直交冪等元$f,g$への分解とする。$ef=(f+g)f=f$かつ$fe=f(f+g)=f$であるから$f=efe\in eRe$であり、仮定から$f=0$または$f=e$である。$f=e$ならば$g=e-f=0$である。よって$e$は原始冪等元である。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。§E6.22 命題 2.2により、$eRe$は$\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$と環として同型であり、この同型は$e$を$\operatorname{id}_{Re}$に写す。環とその反対環の冪等元の集合は一致するので、主張 (3)は、$Re\ne0$かつ$\operatorname{End}_R(Re)$の冪等元が$0$と$\operatorname{id}_{Re}$に限ることと同値である。ここで$e\ne0$と$Re\ne0$は、$e\in Re$により同値である。

§E6.23 命題 1.2を$M=Re$に適用すると、主張 (2)と主張 (3)の同値を得る。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。これは補題 3.2から従う。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$Ae$は$e$で生成されるので有限生成であり、§E6.21 系 5.1により有限長である。§E6.23 命題 3.3により$\operatorname{End}_A(Ae)$は局所環であり、§E6.22 命題 2.2により$eAe$はその反対環と同型である。環とその反対環は単元全体と両側イデアル全体が一致するので、$eAe$は局所環である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$eAe$は$e$を単位元とする局所環であり、特に$e\ne0$である。§E6.23 補題 2.4により$eAe$の冪等元は$0$と$e$に限るので、補題 3.2 (3)が成り立ち、補題 3.2により$e$は原始冪等元である。

$f$を$A$の冪等元で$f\in J$を満たすものとする。$-f\in J$であるから、§E6.6 命題 4.6により$1-f$は単元であり、$(1-f)f=f-f^2=0$から$f=0$である。したがって$J$に属する冪等元は$0$に限る。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。$\bar e$は原始冪等元なので$\bar e\ne0$であり、$e\ne0$である。$e=f+g$を$A$の直交冪等元$f,g$への分解とする。このとき$\bar e=\bar f+\bar g$は$\bar A$の直交冪等元への分解であるから、$\bar f=0$または$\bar g=0$である。$\bar f=0$ならば$f\in J$であり、$J$に属する冪等元は$0$に限るので、$f=0$である。$\bar g=0$の場合も同様に$g=0$である。

(1)$\Rightarrow$(4)を示す。$e$は原始冪等元であるから$e\ne0$であり、$e\notin J$すなわち$\bar e\ne0$である。$\bar e=\varepsilon_1+\varepsilon_2$を$\bar A$の直交冪等元$\varepsilon_1,\varepsilon_2$への分解とする。$\bar e\varepsilon_1=\varepsilon_1\bar e=\varepsilon_1$であり、$\varepsilon_2$についても同様であるから、$\varepsilon_1,\varepsilon_2\in\bar e\bar A\bar e$である。補題 1.2 (1)により$eAe/eJe\cong\bar e\bar A\bar e$であり、$(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$はこの環の直交冪等元の完全系である。補題 1.2 (2)により$eJe$は$eAe$の冪零両側イデアルであるから、命題 1.4を環$eAe$に適用すると、$eAe$の直交冪等元の完全系$(f_1,f_2)$であって$f_i+eJe$が$\varepsilon_i$に対応するものが存在する。$f_1+f_2=e$であり$e$は原始冪等元であるから、$f_1=0$または$f_2=0$であり、したがって$\varepsilon_1=0$または$\varepsilon_2=0$である。よって$\bar e$は原始冪等元である。▨

証明.$\bar A:=A/J$と置く。§E6.6 定理 4.4により$JS=0$であるから、§E6.19 系 5.1により$S$は単純左$\bar A$加群である。§E6.6 命題 3.3により、$\bar A$の極大左イデアル$L$であって$S\cong\bar A/L$を満たすものが存在する。§E6.21 定理 1.2により$\bar A$は左半単純環であるから、§E6.19 定理 6.2 (2)により$\bar A=L\oplus L'$となる左イデアル$L'$が存在する。このとき$L'\cong\bar A/L\cong S$であるから$L'$は極小左イデアルであり、§E6.22 定理 6.3により、$\bar A$の原始冪等元$\varepsilon$であって$L'=\bar A\varepsilon$を満たすものが存在する。

§E6.21 系 3.1により$J$は冪零であるから、命題 1.3により、$A$の冪等元$e$であって$e+J=\varepsilon$を満たすものが存在する。命題 3.3 (4)から命題 3.3 (1)への含意により$e$は原始冪等元であり、補題 3.1により$Ae/Je\cong\bar A\varepsilon=L'\cong S$である。▨

証明.$\bar A:=A/J$と置く。

主張 (1)を示す。$a\in A$に対して$a=ae+a(1-e)$であり、$x\in Ae\cap A(1-e)$ならば$x=xe=b(1-e)e=0$である。よって$A=Ae\oplus A(1-e)$であり、§E6.14 系 1.2と§E6.14 命題 2.1 (2)により$Ae$は射影加群である。$Ae$は$e$で生成される。命題 3.3 (1)から命題 3.3 (2)への含意により$Ae$は直既約である。

主張 (2)を示す。命題 3.3 (1)から命題 3.3 (4)への含意により$\bar e$は$\bar A$の原始冪等元であり、§E6.21 定理 1.2により$\bar A$は左半単純環であるから、§E6.22 定理 6.3により$\bar A\bar e$は単純左$\bar A$加群である。補題 3.1により$Ae/Je\cong\bar A\bar e$であり、§E6.19 系 5.1により$Ae/Je$は単純左$A$加群である。

$X$を$Ae$の真部分加群とする。$X\not\subseteq Je$ならば、$(X+Je)/Je$は単純加群$Ae/Je$の非零部分加群であるから$X+Je=Ae$である。$J\cdot Ae=Je$であるから、§E6.11 系 3.1 (1)により$X=Ae$となり、$X$が真部分加群であることに反する。よって$X\subseteq Je$である。$Je$は真部分加群であるから、$Je$は$Ae$の唯一の極大部分加群である。

主張 (3)を示す。命題 3.3 (1)から命題 3.3 (3)への含意により$eAe$は局所環である。補題 1.2 (1)により$eAe/eJe\cong\bar e\bar A\bar e$であり、$\bar e$は原始冪等元であるから、§E6.22 系 6.4によりこれは斜体である。

主張 (4)を示す。$\varphi\colon Ae\to Af$を同型とする。$\varphi(Je)=\varphi(J\cdot Ae)=J\cdot Af=Jf$であるから、$\varphi$は同型$Ae/Je\cong Af/Jf$を誘導する。

逆に$\theta\colon Ae/Je\to Af/Jf$を同型とし、商写像を$q_e\colon Ae\to Ae/Je$および$q_f\colon Af\to Af/Jf$とする。主張 (1)により$Ae$は有限生成射影加群である。$Af$も、主張 (1)の証明の$e$を$f$に替えた議論により$A=Af\oplus A(1-f)$の直和因子であるから射影的であり、$f$で生成される。全射$\theta\circ q_e$の核は$Je=J\cdot Ae$であり、全射$q_f$の核は$Jf=J\cdot Af$であるから、命題 2.4 (2)により$\theta\circ q_e$と$q_f$はいずれも$Af/Jf$の射影被覆である。定理 2.3により、同型$Ae\cong Af$が存在する。▨

証明.$J:=J(A)$、$\bar A:=A/J$と置く。$A\ne0$であり、§E6.21 系 3.1により$J$は冪零であるから$1\notin J$であり、$\bar A\ne0$である。§E6.21 定理 1.2により$\bar A$は左半単純環であるから、§E6.19 定理 6.2 (3)により、極小左イデアル$L_1,\ldots,L_r$($r\ge1$) が存在して$\bar A=L_1\oplus\cdots\oplus L_r$となる。$\bar1=\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_r$($\varepsilon_i\in L_i$) と表す。

$x\in L_i$とする。$x=x\bar1=\sum_jx\varepsilon_j$であり、各$x\varepsilon_j$は左イデアル$L_j$に属するので、§E6.2 命題 6.8の一意表示により$x\varepsilon_i=x$かつ、$j\ne i$ならば$x\varepsilon_j=0$である。$x=\varepsilon_i$とすると、$\varepsilon_i^2=\varepsilon_i$であり、$i\ne j$ならば$\varepsilon_i\varepsilon_j=0$である。したがって$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r)$は$\bar A$の直交冪等元の完全系である。$x=x\varepsilon_i$から$L_i\subseteq\bar A\varepsilon_i$であり、$\varepsilon_i\in L_i$から$\bar A\varepsilon_i\subseteq L_i$であるので、$L_i=\bar A\varepsilon_i$である。$L_i$は極小左イデアルであるから、§E6.22 定理 6.3により$\varepsilon_i$は$\bar A$の原始冪等元である。

$J$は冪零であるから、命題 1.4により、$A$の直交冪等元の完全系$(e_1,\ldots,e_r)$であって、すべての$i$について$e_i+J=\varepsilon_i$を満たすものが存在する。命題 3.3 (4)から命題 3.3 (1)への含意により、各$e_i$は原始冪等元である。

$a\in A$に対して$a=\sum_iae_i$であるから$A=\sum_iAe_i$である。$x\in Ae_i\cap\sum_{j\ne i}Ae_j$とすると、$x=xe_i$であり、$x=\sum_{j\ne i}z_je_j$($z_j\in A$) と表すと$xe_i=\sum_{j\ne i}z_je_je_i=0$であるので、$x=0$である。§E6.2 命題 6.8により$A=Ae_1\oplus\cdots\oplus Ae_r$は内部直和である。各$Ae_i$は、定理 3.5 (1)により直既約射影左$A$加群である。▨

証明.$J:=J(A)$、$\bar A:=A/J$と置き、$q\colon M\to M/JM$を商写像とする。$J\cdot(M/JM)=0$であるから、§E6.19 系 5.1により$M/JM$は左$\bar A$加群である。§E6.21 系 5.1により$M$は有限長であり、§E6.17 定理 5.1により商$M/JM$も有限長である。§E6.21 定理 1.2により$\bar A$は左半単純環であるから、§E6.19 定理 6.2 (4)により$M/JM$は半単純左$\bar A$加群であり、§E6.19 系 5.1により半単純左$A$加群である。§E6.19 命題 4.1により、有限個（零個を許す）の単純部分加群$S_1,\ldots,S_r$によって

と表される。命題 3.4により、各$k$について原始冪等元$e_k\in A$と同型$\theta_k\colon Ae_k/Je_k\to S_k$が存在する。

$P:=\bigoplus_{k=1}^rAe_k$と置く。各$Ae_k$は定理 3.5 (1)により有限生成射影加群であるから、§E6.14 命題 2.1 (1)により$P$は有限生成射影加群である。商写像$Ae_k\to Ae_k/Je_k$と$\theta_k$の合成の直和として、全射$\sigma\colon P\to\bigoplus_kS_k=M/JM$を定める。$\sigma$の核は$\bigoplus_kJe_k=JP$である。

$P$は射影的で$q$は全射であるから、§E6.14 命題 1.3 (1)により、$q\circ\pi=\sigma$を満たす左$A$加群の射$\pi\colon P\to M$が存在する。$q(\pi(P))=\sigma(P)=M/JM$であるから$\pi(P)+JM=M$であり、§E6.11 系 3.1 (1)により$\pi(P)=M$である。$x\in\ker\pi$ならば$\sigma(x)=q(\pi(x))=0$であるから$\ker\pi\subseteq JP$である。$P$は有限生成射影加群であるから、命題 2.4 (2)により$\pi$は$M$の射影被覆である。▨

証明.§E6.21 系 3.1により$J^n=0$となる$n\ge1$が存在する。$JP=P$ならば$P=J^nP=0$となって$P\ne0$に反するので、$JP\ne P$である。

$J\cdot(P/JP)=0$であるから、§E6.19 系 5.1により$P/JP$は左$A/J$加群である。§E6.21 定理 1.2により$A/J$は左半単純環であるから、§E6.19 定理 6.2 (4)により$P/JP$は半単純左$A/J$加群であり、§E6.19 系 5.1により半単純左$A$加群である。$P/JP\ne0$であるから、§E6.19 定理 2.3 (1)により単純部分加群$T\subseteq P/JP$が存在し、§E6.19 定理 2.3 (3)により部分加群$T'$であって$P/JP=T\oplus T'$を満たすものが存在する。$T'$に沿う$T$への射影と商写像$P\to P/JP$の合成を$q\colon P\to T$と置くと、$q$は全射である。

命題 3.4により、原始冪等元$e$と同型$\theta\colon Ae/Je\to T$が存在する。商写像$Ae\to Ae/Je$と$\theta$の合成を$\pi\colon Ae\to T$と置くと、$\pi$は全射であり、$\ker\pi=Je=J\cdot Ae$である。定理 3.5 (1)により$Ae$は有限生成射影加群であるから、命題 2.4 (2)により$\pi$は$T$の射影被覆である。

補題 2.2を$\pi$と全射$q\colon P\to T$に適用すると、全射$g\colon P\to Ae$と、$P=\ker g\oplus L$かつ$L\cong Ae$を満たす部分加群$L\subseteq P$が存在する。$e\ne0$から$Ae\ne0$であるので$L\ne0$であり、$P$は直既約であるから$\ker g=0$である。よって$P=L\cong Ae$である。$Ae$は$e$で生成されるので、$P$は有限生成である。▨