§E6.18Noether 環と有限生成性

最終更新

有限個の元で生成される加群であっても、その部分加群が有限個の元で生成されるかどうかは係数環に依存する。整数環のイデアルは一つの整数で生成されるのに対して、体上の無限変数多項式環では、変数を順に加えたイデアルの昇鎖が停止しない。Noether 環という条件は、この違いを生成元と包含関係の両面から捉える。有限生成性が部分加群や多項式環の構成とどのように両立するかは、環上の加群を扱う際の基本的な問題である。本記事では、Noether 性を環の条件として定式化し、加群の有限生成性との関係を調べる。

1 左 Noether 環の特徴づけ

定義 1.1. 単位元をもつ結合環RRが左 Noether 環 (left Noetherian ring) であるとは、§E6.17 定義 1.1のとおり左正則加群RR{}_RRが Noether 加群であること、すなわち左イデアルの任意の昇鎖

I0⊆I1⊆I2⊆⋯I_0\subseteq I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots

が有限段階で停止することをいう。

定理 1.2. 単位元をもつ結合環RRに対して、次の四条件は同値である。

  1. RRの左イデアルの任意の昇鎖I0⊆I1⊆I2⊆⋯I_0\subseteq I_1\subseteq I_2\subseteq\cdotsは有限段階で停止する。
  2. 左正則加群RR{}_RRは Noether 加群である。
  3. RRの左イデアルからなる空でない任意の族は、包含関係に関する極大元をもつ。
  4. RRの任意の左イデアルIIは有限生成左RR加群である。すなわち、あるa1,…,ar∈Ia_1,\ldots,a_r\in Iによって I=Ra1+⋯+RarI=Ra_1+\cdots+Ra_r と書くことができる。零イデアルではr=0r=0を許す。

証明. 演習とする（問題 9.1 (1)）。▨

2 整数環と無限変数多項式環

例 2.1.Z\Zの任意のイデアルは、ただ一つの非負整数aaを用いて(a)(a)と書くことができる。実際、非零イデアルIIに含まれる最小の正整数をaaとする。任意のz∈Iz\in Iをz=qa+rz=qa+r、0≤r<a0\leq r<aと書くと、r=z−qa∈Ir=z-qa\in Iである。aaの最小性からr=0r=0であり、I⊆(a)I\subseteq(a)となる。逆包含はa∈Ia\in Iから従うためI=(a)I=(a)である。(a)=(b)(a)=(b)となる非負整数a,ba,bは互いに割り合うためa=ba=bである。零イデアルは(0)(0)である。

イデアルの真の包含(a)⊊(b)(a)\subsetneq(b)を考える。(a)⊆(b)(a)\subseteq(b)ならばbbはaaを割る。a=0a=0かつb>0b>0である真の包含は、零イデアルから非零イデアルへの移行であり、真の昇鎖に高々一回しか現れない。a,b>0a,b>0ならばa=bqa=bqとなる整数qqが存在し、真の包含であることからq≥2q\geq2である。したがって

a>b>0a>b>0

となる。

よってZ\Zのイデアルの真の昇鎖では、零イデアルから非零イデアルへの移行が高々一回あり、その後は正の生成元が真に減少する。正整数の真の減少列は無限に続かないため、真の昇鎖は有限である。等号を含む昇鎖が停止しないならば、真の包含が生じる添字を逐次選ぶことで停止しない真の昇鎖が得られるため、そのような昇鎖も存在しない。したがってZ\Zは Noether 環である。

例 2.2.kkを体とする。非負整数の列m=(mi)i≥1m=(m_i)_{i\geq1}であってmi≠0m_i\neq0となるiiが有限個であるもの全体をMMとし、成分ごとの和によってMMを可換な加法モノイドとみなす。単位元は零列である。§E6.1 定義 6.1のモノイド環

A:=k[M]A:=k[M]

を体kk上の可算無限変数多項式環とし、第ii成分だけが11で他の成分が00である列をeie_iとしてxi:=δeix_i:=\delta_{e_i}と置く。§E6.1 定理 6.2により、kkとMMがともに可換であるからAAは可換環である。In:=(x1,…,xn)I_n:=(x_1,\ldots,x_n)と置く。このとき

I1⊊I2⊊I3⊊⋯I_1\subsetneq I_2\subsetneq I_3\subsetneq\cdots

である。実際、xn+1∈In+1x_{n+1}\in I_{n+1}である。一方、xn+1∉Inx_{n+1}\notin I_nを示すため、一変数多項式環k[y]k[y]への写像u ⁣:M→k[y]u\colon M\to k[y]を、i≠n+1i\neq n+1かつmi>0m_i>0となるiiが存在する列mmではu(m):=0u(m):=0、それ以外の列mmではu(m):=ymn+1u(m):=y^{m_{n+1}}で定める。uuは零列をy0=1y^0=1へ送る。m,m′∈Mm,m'\in Mについて、m+m′m+m'の第n+1n+1成分以外の成分がすべて00であることはmmとm′m'の第n+1n+1成分以外の成分がすべて00であることと同値であり、そのときymn+1+mn+1′=ymn+1ymn+1′y^{m_{n+1}+m'_{n+1}}=y^{m_{n+1}}y^{m'_{n+1}}であるから、u(m+m′)=u(m)u(m′)u(m+m')=u(m)u(m')が成り立つ。k[y]k[y]は可換環であるから、uuの値は係数の包含k→k[y]k\to k[y]の像と可換である。§E6.1 定理 6.3により、係数の包含とuuから環準同型

εn ⁣:A⟶k[y]\varepsilon_n\colon A\longrightarrow k[y]

が定まり、i≠n+1i\neq n+1ならばεn(xi)=u(ei)=0\varepsilon_n(x_i)=u(e_i)=0、またεn(xn+1)=u(en+1)=y\varepsilon_n(x_{n+1})=u(e_{n+1})=yである。εn\varepsilon_nは環準同型であり、InI_nの生成元x1,…,xnx_1,\ldots,x_nを00へ送るからεn(In)=0\varepsilon_n(I_n)=0である。εn(xn+1)=y≠0\varepsilon_n(x_{n+1})=y\neq0であるため、xn+1∉Inx_{n+1}\notin I_nである。したがって表示した昇鎖は停止せず、AAは Noether 環でない。

3 部分加群、商加群および有限直和

系 3.1. 左RR加群の短完全列

0⟶L⟶M⟶N⟶00\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow0

において、MMが Noether 加群であることと、LLとNNがともに Noether 加群であることは同値である。したがって、Noether 加群MMの任意の部分加群と任意の商加群は Noether 加群である。また、Noether 左RR加群M1,…,MnM_1,\ldots,M_nの有限直和

⨁i=1nMi\bigoplus_{i=1}^nM_i

は Noether 加群である。n=0n=0の場合には、この直和を零加群とする。

証明.§E6.17 命題 3.2を適用すると、短完全列についての同値と、標準短完全列0→N→M→M/N→00\to N\to M\to M/N\to0による部分加群・商加群の保存則が従う。

零加群は Noether 加群である。各n≥1n\geq1に対して、標準包含と最終成分への射影による短完全列

0⟶⨁i=1n−1Mi⟶⨁i=1nMi⟶Mn⟶00\longrightarrow\bigoplus_{i=1}^{n-1}M_i \longrightarrow\bigoplus_{i=1}^{n}M_i \longrightarrow M_n\longrightarrow0

に§E6.17 命題 3.2を適用すると、nnに関する帰納法により有限直和の Noether 性が従う。▨

注意 3.2.RRが非零左 Noether 環であっても、左加群の可算直和M:=⨁j≥1RM:=\bigoplus_{j\geq1}Rは Noether 加群でない。標準基底をeje_jとすると、

Re1⊊Re1⊕Re2⊊⋯⊊⨁j=1nRej⊊⋯Re_1\subsetneq Re_1\oplus Re_2\subsetneq \cdots\subsetneq\bigoplus_{j=1}^nRe_j\subsetneq\cdots

は停止しない真の昇鎖である。各包含が真であることは、en+1≠0e_{n+1}\neq0が第n+1n+1成分をもたない前段の部分加群に属さないことから従う。

4 Hilbert 基底定理

不定元を中心的と仮定することにより、係数の順序を変えずに次数を移動することができる。

定理 4.1 (Hilbert 基底定理).RRを左 Noether 環とし、xxをRRのすべての元と可換な中心不定元とする。このとき通常の一変数多項式環R[x]R[x]は左 Noether 環である。

証明.I⊆R[x]I\subseteq R[x]を左イデアルとする。各整数d≥0d\geq0に対し、次数が高々ddの多項式全体をR[x]≤dR[x]_{\leq d}と書く。dd次の係数を取る左RR線形写像のI∩R[x]≤dI\cap R[x]_{\leq d}への制限の像を

Ld:={f の xd の係数∣f∈I∩R[x]≤d}L_d:=\{\text{$f$ の $x^d$ の係数}\mid f\in I\cap R[x]_{\leq d}\}

と置く。線形写像の像なのでLdL_dはRRの左イデアルである。LdL_dは、IIの次数がちょうどddの多項式の最高次係数全体に00を加えた集合に等しい。f∈I∩R[x]≤df\in I\cap R[x]_{\leq d}ならばxf∈I∩R[x]≤d+1xf\in I\cap R[x]_{\leq d+1}であり、xfxfのxd+1x^{d+1}の係数はffのxdx^dの係数に等しい。したがってLd⊆Ld+1L_d\subseteq L_{d+1}である。

RRは左 Noether 環なので、この昇鎖は停止する。Ld=LNL_d=L_Nがすべてのd≥Nd\geq Nについて成り立つN≥0N\geq0を取る。定理 1.2 (4)により、各0≤d≤N0\leq d\leq Nについて有限生成系ad,1,…,ad,nda_{d,1},\ldots,a_{d,n_d}を選ぶことができる。零イデアルでは空の生成系を用い、それ以外では零元を生成系から除く。各ad,ia_{d,i}を最高次係数にもつ次数ddの多項式fd,i∈If_{d,i}\in Iを選び、有限集合

F:={fd,i∣0≤d≤N, 1≤i≤nd}\mathcal F:=\{f_{d,i}\mid0\leq d\leq N,\ 1\leq i\leq n_d\}

が生成するR[x]R[x]の左イデアルをJJとする。F⊆I\mathcal F\subseteq IなのでJ⊆IJ\subseteq Iである。

f∈If\in Iを非零とし、m:=deg⁡fm:=\deg fと置く。次数がmmより小さいIIの多項式はすべてJJに属すると仮定する。d:=min⁡(m,N)d:=\min(m,N)と置くと、Lm=LdL_m=L_dなので、ffの最高次係数を

lc⁡(f)=∑i=1ndriad,i\operatorname{lc}(f)=\sum_{i=1}^{n_d}r_i a_{d,i}

と書くことができる。xxの中心性により、多項式

g:=∑i=1nd(rixm−d)fd,i∈Jg:=\sum_{i=1}^{n_d}(r_i x^{m-d})f_{d,i}\in J

のxmx^mの係数はlc⁡(f)\operatorname{lc}(f)に等しく、mmより高い係数は零である。したがってf−g∈If-g\in Iは零であるか、次数がmmより小さい。帰納法の仮定によりf−g∈Jf-g\in Jとなるので、f∈Jf\in Jである。非零多項式の次数に関する強帰納法によりI⊆JI\subseteq Jが従い、I=JI=Jである。I=0I=0の場合にも、空の生成系によってI=JI=Jとなる。零環では左イデアルが零イデアルだけなので、この議論はその場合も含む。

よってR[x]R[x]のすべての左イデアルは有限生成であり、定理 1.2によりR[x]R[x]は左 Noether 環である。▨

5 左 Noether 環上の有限生成左加群

命題 5.1.RRを左 Noether 環、MMを有限生成左RR加群とする。このときMMは Noether 加群であり、MMの任意の左部分加群は有限生成である。

証明.§E6.9 命題 1.6により、あるn≥0n\geq0と全射

π ⁣:Rn↠M\pi\colon R^n\twoheadrightarrow M

が存在する。左正則加群RR{}_RRは Noether 加群であり、系 3.1により有限直和RnR^nも Noether 加群である。n=0n=0の場合にはR0=0R^0=0であり、全射性からM=0M=0となるため同じ結論が成り立つ。

短完全列

0⟶ker⁡π⟶Rn→ π M⟶00\longrightarrow\ker\pi\longrightarrow R^n \xrightarrow{\ \pi\ }M\longrightarrow0

へ§E6.17 命題 3.2を適用すると、MMは Noether 加群である。さらに§E6.17 命題 1.2により、MMのすべての部分加群は有限生成である。▨

6 右 Noether 環

系 6.1.RRを単位元をもつ結合環とする。このとき、次が成り立つ。

  1. RRが右 Noether 環であることとRopR^{\mathrm{op}}が左 Noether 環であることは同値であり、このときRRのすべての右イデアルは右から有限生成である。
  2. RRが右 Noether 環で、xxが中心不定元ならば、通常の多項式環R[x]R[x]は右 Noether 環である。
  3. Noether 性の短完全列、部分加群、商加群および有限直和に関する保存則は右加群についても成り立つ。特に、右 Noether 環上の有限生成右加群は Noether 加群であり、そのすべての右部分加群は有限生成である。

証明.主張 (1)を示す。§E6.17 命題 7.1により、右RR加群RRR_Rの部分加群、昇鎖および有限生成性は、左RopR^{\mathrm{op}}加群RopR{}_{R^{\mathrm{op}}}Rのものと一致する。右部分加群は右イデアルなので、主張 (1)と右イデアルの有限生成性が従う。

主張 (2)を示す。RRが右 Noether ならばRopR^{\mathrm{op}}は左 Noether である。定理 4.1を中心不定元xxをもつRop[x]R^{\mathrm{op}}[x]へ適用すると、Rop[x]R^{\mathrm{op}}[x]は左 Noether である。係数を反対環へ移す写像は、xxの中心性によって環同型

(R[x])op≅Rop[x](R[x])^{\mathrm{op}}\cong R^{\mathrm{op}}[x]

を与える。したがって再び§E6.17 命題 7.1によりR[x]R[x]は右 Noether である。

主張 (3)を示す。右加群の部分加群、商、有限直和、短完全列、有限生成性および Noether 性は、対応する左RopR^{\mathrm{op}}加群の同じデータである。したがって系 3.1をRopR^{\mathrm{op}}へ適用すれば保存則を得る。さらに、右 Noether 環上の有限生成右加群を有限生成左RopR^{\mathrm{op}}加群とみなし、命題 5.1を適用すると、Noether 性と全部分加群の有限生成性が従う。▨

7 有限個の中心不定元と多項式環の商環

系 7.1.RRを左 Noether 環とし、n≥0n\geq0とする。環R[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]を、n=0n=0ではRRとし、n≥1n\geq1では一変数多項式環R[x1,…,xn−1][xn]R[x_1,\ldots,x_{n-1}][x_n]として帰納的に定める。このときR[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]は左 Noether 環である。さらにRRが可換環ならば、全射環準同型R[x1,…,xn]→AR[x_1,\ldots,x_n]\to Aをもつ任意の環AAは Noether 環である。

証明.n=0n=0のときR[x1,…,xn]=RR[x_1,\ldots,x_n]=Rであり、仮定から左 Noether 環である。n≥1n\geq1とし、R[x1,…,xn−1]R[x_1,\ldots,x_{n-1}]が左 Noether 環であると仮定する。xnx_nは一変数多項式環R[x1,…,xn−1][xn]R[x_1,\ldots,x_{n-1}][x_n]のすべての元と可換であるから、定理 4.1を係数環R[x1,…,xn−1]R[x_1,\ldots,x_{n-1}]へ適用して、R[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]は左 Noether 環である。

RRを可換とし、B:=R[x1,…,xn]B:=R[x_1,\ldots,x_n]と置き、全射環準同型φ ⁣:B→A\varphi\colon B\to Aを取る。§E6.1 定理 8.2により、可換環上の一変数多項式環は可換環であるから、nnに関する帰納法によりBBは可換環である。K:=ker⁡φK:=\ker\varphiと置くと、§E6.2 定理 10.3によりA≅B/KA\cong B/Kであり、AAは可換環である。BBは左 Noether 環であり、短完全列

0⟶K⟶B⟶B/K⟶00\longrightarrow K\longrightarrow B\longrightarrow B/K\longrightarrow0

へ§E6.17 命題 3.2を適用すると、B/KB/KはBB加群として Noether である。K(B/K)=0K(B/K)=0であるから、§E6.2 補題 12.3により、B/KB/KのBB部分加群と左B/KB/K加群B/KB/Kの部分加群は一致する。したがってB/KB/Kのイデアルの昇鎖は停止し、B/KB/Kは Noether 環である。同型によってAAも Noether 環である。▨

注意 7.2. 歪多項式環R[x;σ,δ]R[x;\sigma,\delta]ではxxと係数が一般には可換しないため、xxの中心性を仮定した定理 4.1を一般には適用することができない。

8 Bass–Papp の定理

定理 8.1 (Bass–Papp の定理).RRを単位元をもつ結合環とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. RRは左 Noether 環である。
  2. 任意の集合JJと入射左RR-加群の任意の族(Ej)j∈J(E_j)_{j\in J}に対して、直和⨁j∈JEj\bigoplus_{j\in J}E_jは入射加群である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。RRを左 Noether 環とし、入射左RR-加群の族(Ej)j∈J(E_j)_{j\in J}を取る。左イデアルI⊆RI\subseteq Rと左RR-加群の射

f ⁣:I⟶⨁j∈JEjf\colon I\longrightarrow\bigoplus_{j\in J}E_j

を取る。定理 1.2 (4)によりIIは有限生成であるから、§E6.9 補題 1.8により、ある有限部分集合J0⊆JJ_0\subseteq Jに対してffはf0 ⁣:I→⨁j∈J0Ejf_0\colon I\to\bigoplus_{j\in J_0}E_jを経由する。有限直和⨁j∈J0Ej\bigoplus_{j\in J_0}E_jは有限直積∏j∈J0Ej\prod_{j\in J_0}E_jと一致し、§E6.16 命題 1.3 (1)により入射加群である。したがってf0f_0は左RR-加群の射g0 ⁣:R→⨁j∈J0Ejg_0\colon R\to\bigoplus_{j\in J_0}E_jへ延長する。g0g_0と標準包含の合成はffの延長である。§E6.16 定理 2.1により⨁j∈JEj\bigoplus_{j\in J}E_jは入射加群である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。左イデアルの昇鎖

I0⊆I1⊆I2⊆⋯I_0\subseteq I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots

を取り、I:=⋃n∈N≥0InI:=\bigcup_{n\in\N}I_nと置く。(In)n∈N≥0(I_n)_{n\in\N}は昇鎖なので、IIはRRの左イデアルである。各n∈N≥0n\in\Nに対して§E6.16 定理 5.4を左RR-加群R/InR/I_nへ適用し、入射左RR-加群EnE_nと単射ιn ⁣:R/In→En\iota_n\colon R/I_n\to E_nを取る。写像

f ⁣:I⟶⨁n∈N≥0En,f(a)=(ιn(a+In))n∈N≥0f\colon I\longrightarrow\bigoplus_{n\in\N}E_n, \qquad f(a)=\bigl(\iota_n(a+I_n)\bigr)_{n\in\N}

を考える。a∈Ia\in Iに対してa∈Ima\in I_mとなるm∈N≥0m\in\Nが存在し、n≥mn\geq mならばa+In=0a+I_n=0である。したがってf(a)f(a)は有限台をもち、ffは直和へ値を取る。各成分a↦ιn(a+In)a\mapsto\iota_n(a+I_n)は左RR-線形なので、ffも左RR-加群の射である。仮定により⨁n∈N≥0En\bigoplus_{n\in\N}E_nは入射加群なので、ffの延長g ⁣:R→⨁n∈N≥0Eng\colon R\to\bigoplus_{n\in\N}E_nが存在する。

g(1)g(1)の台は有限であるから、あるN∈N≥0N\in\Nに対してn≥Nn\geq Nならばg(1)g(1)の第nn成分は零である。任意のa∈Ia\in Iに対して

f(a)=g(a)=ag(1)f(a)=g(a)=a g(1)

であるため、f(a)f(a)の第NN成分は零である。ιN\iota_Nは単射なのでa+IN=0a+I_N=0、すなわちa∈INa\in I_Nとなる。したがってI⊆INI\subseteq I_Nであり、逆包含はIIの定義から成り立つためI=INI=I_Nである。よってn≥Nn\geq NならばIn=INI_n=I_Nとなり、昇鎖は停止する。定理 1.2 (1)によりRRは左 Noether 環である。▨

9 演習

問題 9.1 (Noether 環と有限生成性の確認). 次の各問に答えよ。

  1. 定理 1.2を証明せよ。
  2. 左 Noether 環RRとRRの両側イデアルIIについて、剰余環R/IR/Iが左 Noether 環であることを示せ。また、環R1,R2R_1,R_2について、直積環R1×R2R_1\times R_2が左 Noether 環であることとR1,R2R_1,R_2がともに左 Noether 環であることが同値であることを示せ。
  3. Z[x]\Z[x]の左イデアルI=(4,2x,x2)I=(4,2x,x^2)について、定理 4.1の証明で定めた最高次係数の集合LdL_dをすべてのd≥0d\geq0について求め、昇鎖L0⊆L1⊆⋯L_0\subseteq L_1\subseteq\cdotsが停止する最小の番号NNを求めよ。また、IIが単項イデアルでないことを示せ。
  4. 左 Noether 環RRとn≥1n\geq1について、全行列環Mn(R)M_n(R)が左 Noether 環であることを示せ。
  5. 体kkについて、k[x]k[x]の部分集合B={f∈k[x]∣f の x の係数は 0}B=\{f\in k[x]\mid f\text{ の }x\text{ の係数は }0\}が部分環であり、BBが Noether 環であることを示せ。また、BBのイデアル(x2,x3)(x^2,x^3)が単項イデアルでないことを示せ。
  6. 左 Noether 環RR上の有限生成左加群MMの全射な自己準同型f ⁣:M→Mf\colon M\to Mは単射であることを示せ。
  7. 右 Noether 環の特徴づけ、右加群に関する保存則、および中心不定元をもつ右 Hilbert 基底定理を反対環から導け。さらに、Q[x]\Q[x]が Noether 環であることを確かめ、その部分環A={f∈Q[x]∣f(0)∈Z}A=\{f\in\Q[x]\mid f(0)\in\Z\}ではイデアルの列(x)⊊(x/2)⊊(x/4)⊊⋯(x)\subsetneq(x/2)\subsetneq(x/4)\subsetneq\cdotsが停止しない真の昇鎖であることを示して、Noether 性が部分環に遺伝しないことを結論せよ。
解答 (演習の解答).

  1. 左正則加群RR{}_RRの部分加群は、加法部分群I⊆RI\subseteq Rであって、任意のr∈Rr\in Rとa∈Ia\in Iに対してra∈Ira\in Iとなるものであり、この条件はIIがRRの左イデアルであることと同じである。したがってRR{}_RRの部分加群全体とRRの左イデアル全体は同じ集合であり、包含関係も一致する。よってRR{}_RRの部分加群の昇鎖はRRの左イデアルの昇鎖と同じものであり、§E6.17 定義 1.1により定理 1.2 (1)は定理 1.2 (2)と同値である。RR{}_RRの部分加群からなる空でない族はRRの左イデアルからなる空でない族であり、包含関係に関する極大元も一致する。部分加群IIがa1,…,ar∈Ia_1,\ldots,a_r\in Iで生成されることはI=Ra1+⋯+RarI=Ra_1+\cdots+Ra_rと同値である。したがって§E6.17 命題 1.2をRR{}_RRへ適用すると、定理 1.2 (2)、定理 1.2 (3)および定理 1.2 (4)は同値である。

  2. R/IR/Iは左正則加群RR{}_RRの商加群であるから、系 3.1により左RR加群として Noether 加群である。IIは両側イデアルであるから、i∈Ii\in Iとr∈Rr\in Rに対してi(r+I)=ir+I=Ii(r+I)=ir+I=Iであり、I(R/I)=0I(R/I)=0である。§E6.2 補題 12.3によりR/IR/Iに定まる左R/IR/I加群構造は(s+I)(r+I)=sr+I(s+I)(r+I)=sr+Iで与えられ、剰余環R/IR/Iの左正則加群の構造に一致する。同じ補題により、R/IR/IのRR部分加群とR/IR/Iの左イデアルは一致する。したがってR/IR/Iの左イデアルの昇鎖はRR部分加群の昇鎖として停止し、R/IR/Iは左 Noether 環である。

    S:=R1×R2S:=R_1\times R_2、e1:=(1,0)e_1:=(1,0)、e2:=(0,1)e_2:=(0,1)と置く。L1,L2L_1,L_2がそれぞれR1,R2R_1,R_2の左イデアルならば、成分ごとの演算によりL1×L2L_1\times L_2はSSの左イデアルである。逆にSSの左イデアルLLについて、L1:={a∈R1∣(a,0)∈L}L_1:=\{a\in R_1\mid(a,0)\in L\}、L2:={b∈R2∣(0,b)∈L}L_2:=\{b\in R_2\mid(0,b)\in L\}と置くと、L1,L2L_1,L_2はそれぞれR1,R2R_1,R_2の左イデアルである。(a,b)∈L(a,b)\in Lならば(a,0)=e1(a,b)∈L(a,0)=e_1(a,b)\in Lかつ(0,b)=e2(a,b)∈L(0,b)=e_2(a,b)\in LであるからL⊆L1×L2L\subseteq L_1\times L_2であり、逆包含は(a,b)=(a,0)+(0,b)(a,b)=(a,0)+(0,b)から従う。したがってSSの左イデアルはL1×L2L_1\times L_2の形にただ一通りに書かれ、L1×L2⊆L1′×L2′L_1\times L_2\subseteq L_1'\times L_2'はL1⊆L1′L_1\subseteq L_1'かつL2⊆L2′L_2\subseteq L_2'と同値である。

    R1,R2R_1,R_2がともに左 Noether 環であるとし、SSの左イデアルの昇鎖(L(j))j∈N≥0(L^{(j)})_{j\in\N}をL(j)=L1(j)×L2(j)L^{(j)}=L_1^{(j)}\times L_2^{(j)}と書く。(L1(j))j∈N≥0(L_1^{(j)})_{j\in\N}と(L2(j))j∈N≥0(L_2^{(j)})_{j\in\N}はそれぞれR1,R2R_1,R_2の左イデアルの昇鎖であり、あるN1,N2N_1,N_2以降で一定であるから、j≥max⁡(N1,N2)j\geq\max(N_1,N_2)でL(j)L^{(j)}は一定である。よってSSは左 Noether 環である。逆にSSが左 Noether 環であるとする。R1R_1の左イデアルの昇鎖(Jj)j∈N≥0(J_j)_{j\in\N}に対して(Jj×0)j∈N≥0(J_j\times0)_{j\in\N}はSSの左イデアルの昇鎖であるから停止し、Jj×0J_j\times0が一定ならばJjJ_jも一定である。よってR1R_1は左 Noether 環である。R2R_2についても、(0×Jj)j∈N≥0(0\times J_j)_{j\in\N}を用いて同じ結論を得る。

  3. f∈If\in Iをf=4a+2xb+x2cf=4a+2xb+x^2c（a,b,c∈Z[x]a,b,c\in\Z[x]）と書くと、ffの定数項は4a04a_0、xxの係数は4a1+2b04a_1+2b_0である（aj,bja_j,b_jはa,ba,bのxjx^jの係数）。次数00の元の最高次係数は定数項であるからL0⊆4ZL_0\subseteq4\Zであり、4∈I4\in Iから4∈L04\in L_0である。次数11の元の最高次係数はxxの係数であるからL1⊆2ZL_1\subseteq2\Zであり、2x∈I2x\in Iから2∈L12\in L_1である。d≥2d\geq2ではxd=xd−2⋅x2∈Ix^d=x^{d-2}\cdot x^2\in Iから1∈Ld1\in L_dである。各LdL_dはZ\Zのイデアルであるから

    L0=4Z⊊L1=2Z⊊L2=L3=⋯=ZL_0=4\Z\subsetneq L_1=2\Z\subsetneq L_2=L_3=\cdots=\Z

    であり、停止する最小の番号はN=2N=2である。I=(g)I=(g)と仮定するとg∣4g\mid4であるからggは定数でg∈{±1,±2,±4}g\in\{\pm1,\pm2,\pm4\}であり、g∣x2g\mid x^2からg=±1g=\pm1である。しかしIIの元の定数項は44の倍数であるから1∉I1\notin Iであり、矛盾する。よってIIは単項イデアルでない。

  4. r∈Rr\in RとX=(xij)∈Mn(R)X=(x_{ij})\in M_n(R)に対してr⋅X:=(rxij)r\cdot X:=(rx_{ij})と置く。成分ごとの加法とこの作用により、Mn(R)M_n(R)は左RR加群Rn2R^{n^2}と同型な左RR加群であり、(i,j)(i,j)成分だけが11で他の成分が00であるn2n^2個の行列で生成される。命題 5.1により、Mn(R)M_n(R)は左RR加群として Noether 加群である。スカラー行列rInrI_nについて(rIn)X=(rxij)=r⋅X(rI_n)X=(rx_{ij})=r\cdot Xであるから、Mn(R)M_n(R)の左イデアルLLは任意のr∈Rr\in RとX∈LX\in Lに対してr⋅X∈Lr\cdot X\in Lを満たし、RR部分加群である。したがってMn(R)M_n(R)の左イデアルの昇鎖はRR部分加群の昇鎖として停止し、Mn(R)M_n(R)は左 Noether 環である。

  5. f=∑nfnxnf=\sum_nf_nx^nとg=∑ngnxng=\sum_ng_nx^nについて、fgfgのxxの係数はf0g1+f1g0f_0g_1+f_1g_0である。f,g∈Bf,g\in Bならばf1=g1=0f_1=g_1=0であるからこの係数は00であり、fg∈Bfg\in Bである。BBは11を含み、和と加法逆元で閉じるから、k[x]k[x]の部分環であり、可換環である。

    k[x]k[x]は可換環であるから、§E6.1 定理 8.3を包含k→k[x]k\to k[x]と元x2x^2へ適用すると、s↦x2s\mapsto x^2を満たす環準同型ψ ⁣:k[s]→k[x]\psi\colon k[s]\to k[x]が得られる。同じ定理をψ\psiと元x3x^3へ適用すると、Ψ∘ι=ψ\Psi\circ\iota=\psiとt↦x3t\mapsto x^3を満たす環準同型Ψ ⁣:k[s][t]→k[x]\Psi\colon k[s][t]\to k[x]が得られる。非負整数i,ji,jについてΨ(sitj)=x2i+3j\Psi(s^it^j)=x^{2i+3j}であり、2i+3j≠12i+3j\neq1であるから、Ψ\Psiの像はBBに含まれる。逆にm≥2m\geq2について、mmが偶数ならばxm=Ψ(sm/2)x^m=\Psi(s^{m/2})、mmが奇数ならばxm=Ψ(s(m−3)/2t)x^m=\Psi(s^{(m-3)/2}t)であるから、BBの元f0+∑m≥2fmxmf_0+\sum_{m\geq2}f_mx^mはΨ\Psiの像に属する。よってΨ\Psiは全射環準同型k[s][t]→Bk[s][t]\to Bを与える。体kkの左イデアルは00とkkだけであるからkkは Noether 環であり、k[s][t]k[s][t]は、系 7.1でR=kR=k、n=2n=2として定めた環k[x1,x2]k[x_1,x_2]の変数x1,x2x_1,x_2をs,ts,tと書いたものである。系 7.1によりBBは Noether 環である。

    J:=(x2,x3)=x2B+x3BJ:=(x^2,x^3)=x^2B+x^3Bと置くと、JJの元の定数項は00である。J=gBJ=gBとなるg∈Bg\in Bが存在すると仮定する。x2∈Jx^2\in Jからg≠0g\neq0であり、x2=ghx^2=ghとx3=gh′x^3=gh'を満たすh,h′∈Bh,h'\in Bが存在する。BBの非零元の次数は11でない。deg⁡g+deg⁡h=2\deg g+\deg h=2とdeg⁡h≠1\deg h\neq1からdeg⁡g∈{0,2}\deg g\in\{0,2\}であり、deg⁡g+deg⁡h′=3\deg g+\deg h'=3とdeg⁡h′≠1\deg h'\neq1からdeg⁡g≠2\deg g\neq2である。よってggはkkの非零元であり、1=g⋅g−1∈gB=J1=g\cdot g^{-1}\in gB=Jとなる。11の定数項は00でないから、これはJJの元の定数項が00であることに反する。よってJJは単項イデアルでない。

  6. 命題 5.1によりMMは Noether 加群である。j≥1j\geq1とx∈Mx\in Mについてfj(x)=0f^j(x)=0ならばfj+1(x)=f(fj(x))=0f^{j+1}(x)=f(f^j(x))=0であるから、ker⁡f⊆ker⁡f2⊆⋯\ker f\subseteq\ker f^2\subseteq\cdotsはMMの部分加群の昇鎖であり、あるn≥1n\geq1についてker⁡fn=ker⁡fn+1\ker f^n=\ker f^{n+1}となる。ffは全射であるからfnf^nも全射である。x∈ker⁡fx\in\ker fを取り、x=fn(y)x=f^n(y)を満たすy∈My\in Mを取る。fn+1(y)=f(x)=0f^{n+1}(y)=f(x)=0であるからy∈ker⁡fn+1=ker⁡fny\in\ker f^{n+1}=\ker f^nであり、x=fn(y)=0x=f^n(y)=0である。よってker⁡f=0\ker f=0であり、ffは単射である。

  7. 系 6.1を適用する。右RR加群と左RopR^{\mathrm{op}}加群では、部分加群・昇鎖・有限生成性が一致するので、Noether 性の特徴づけと保存則が対応する。中心不定元については(R[x])op≅Rop[x](R[x])^{\mathrm{op}}\cong R^{\mathrm{op}}[x]となるので、左 Hilbert 基底定理をRopR^{\mathrm{op}}に適用して右版を得る。

    体Q\Qの左イデアルは00とQ\QだけであるからQ\Qは Noether 環であり、定理 4.1によりQ[x]\Q[x]は Noether 環である。AAは和と積で閉じ、11を含むから部分環であり、可換である。n≥0n\geq0についてx/2n∈Ax/2^n\in Aであり、x/2n=2⋅(x/2n+1)x/2^n=2\cdot(x/2^{n+1})から(x/2n)⊆(x/2n+1)(x/2^n)\subseteq(x/2^{n+1})である。AAの元g=a+xhg=a+xh（a∈Za\in\Z、h∈Q[x]h\in\Q[x]）について、g⋅x/2ng\cdot x/2^nのxxの係数はa/2na/2^nである。x/2n+1=g⋅x/2nx/2^{n+1}=g\cdot x/2^nと仮定するとxxの係数を比べてa/2n=1/2n+1a/2^n=1/2^{n+1}、すなわちa=1/2a=1/2となり、a∈Za\in\Zに反する。したがってx/2n+1∉(x/2n)x/2^{n+1}\notin(x/2^n)であり、各包含は真である。この昇鎖は停止しないから、定理 1.2によりAAは Noether 環でない。よって Noether 環Q[x]\Q[x]の部分環AAは Noether 環でなく、Noether 性は部分環に遺伝しない。一方、(5)のBBは Noether 環k[x]k[x]の部分環であって Noether 環である。

▨

参考文献

  1. T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2001.左右 Noether 環、反対環、および中心不定元をもつ多項式環の Hilbert 基底定理を参考にした。
  2. M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, CRC Press, 2018, originally published 1969.Noether 環の有限生成性による特徴づけ、Hilbert 基底定理および有限生成代数を参考にした。
  3. David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1995.最高次係数イデアルを用いる Hilbert 基底定理の証明と有限生成加群への応用を参考にした。
  4. Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, translated by Miles Reid, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press, 1986.Noether 加群の完全列に関する保存則と Noether 環上の有限生成加群を参考にした。

前提記事