可算生成加群の射影性 | 環論入門

補題 1.1. $R$ を単位的結合環、 $M$ を可算生成の平坦 Mittag–Leffler 左 $R$ -加群とする。このとき、有限生成自由左 $R$ -加群の列

F_1\xrightarrow{d_1}F_2\xrightarrow{d_2}F_3\longrightarrow\cdots

と線形写像 $u_n\colon F_n\to M$ が存在し、 $u_{n+1}d_n=u_n$ および

\ker(1_N\otimes u_n)=\ker(1_N\otimes d_n) \qquad(n\in\NN)

が任意の右 $R$ -加群 $N$ に対して成り立つ。さらに、 $(u_n)_n$ が誘導する写像 $\varinjlim_n F_n\to M$ は同型である。

証明. $M$ の生成系 $(x_n)_{n\in\NN}$ を取り、有限生成の場合は零元を補って列とする。§E6.9 定理 11.1により、有限表示左加群の小フィルター図式 $(M_j)_j$ と構造写像 $f_j\colon M_j\to M$ による表示 $M\cong\varinjlim_jM_j$ を取る。

$F_1=R$ 、 $u_1(r)=rx_1$ と置く。有限生成自由加群 $F_n$ と $u_n\colon F_n\to M$ が構成されたとする。 $F_n$ は有限表示なので、§E6.9 定理 12.1 (2)により、ある対象 $j$ と線形写像 $a_n\colon F_n\to M_j$ が存在して $u_n=f_ja_n$ となる。§E6.43 定理 3.2 条件 (b)により、図式のある射に対応する $f_{jk}\colon M_j\to M_k$ を、任意の右加群 $N$ に対して

\ker(1_N\otimes f_j)=\ker(1_N\otimes f_{jk})

となるように取る。

$M_k$ は有限表示で $M$ は平坦なので、§E6.15 定理 8.1 (3)により、有限生成自由左加群 $G_n$ を経由する因子化

M_k\xrightarrow{b_n}G_n\xrightarrow{v_n}M, \qquad f_k=v_nb_n

を取る。 $F_{n+1}=G_n\oplus R$ と置き、

d_n(z)=(b_nf_{jk}a_n(z),0), \qquad u_{n+1}(y,r)=v_n(y)+rx_{n+1}

と定める。このとき $u_{n+1}d_n=f_kf_{jk}a_n=u_n$ である。

任意の右加群 $N$ と $z\in\ker(1_N\otimes u_n)$ を取る。 $u_n=f_ja_n$ なので、 $(1_N\otimes a_n)(z)$ は $\ker(1_N\otimes f_j)$ に属する。核の等式から

(1_N\otimes f_{jk})(1_N\otimes a_n)(z)=0

となり、 $d_n$ の定義によって $(1_N\otimes d_n)(z)=0$ を得る。逆包含は $u_n=u_{n+1}d_n$ から従う。したがって、この構成を帰納的に繰り返すことによって、所要の核の等式を満たす列を得る。

余極限の普遍性から誘導される写像を $u\colon\varinjlim_nF_n\to M$ とする。各 $x_n$ は $u_n$ の像に属するので、 $u$ は全射である。§E6.9 定理 8.4 (1)により、 $\ker u$ の任意の元をある $z\in F_n$ の類として表す。このとき $u_n(z)=0$ である。核の等式に右正則加群 $N=R_R$ を代入すると $\ker u_n=\ker d_n$ であるから、 $d_n(z)=0$ となる。したがって $z$ の余極限における類は零であり、 $u$ は単射でもある。▨

補題 1.2. $R$ を単位的結合環、 $(F_n,d_n)_{n\in\NN}$ を有限生成自由左 $R$ -加群の列、 $M$ を左 $R$ -加群とする。線形写像 $u_n\colon F_n\to M$ は $u_{n+1}d_n=u_n$ を満たし、任意の右 $R$ -加群 $N$ と $n\in\NN$ に対して

\ker(1_N\otimes u_n)=\ker(1_N\otimes d_n)

が成り立つと仮定する。 $m>n$ に対して $d_{n,m}=d_{m-1}\cdots d_n\colon F_n\to F_m$ と置く。このとき、任意の左 $R$ -加群 $X$ と $m\ge n+1$ に対して

\im\bigl(\Hom_R(F_m,X)\xrightarrow{(-)\circ d_{n,m}}\Hom_R(F_n,X)\bigr) =\im\bigl(\Hom_R(F_{n+1},X)\xrightarrow{(-)\circ d_n}\Hom_R(F_n,X)\bigr)

が成り立つ。

証明. $m\ge n+1$ と右 $R$ -加群 $N$ を取る。 $d_{n,m}$ は $d_n$ を経由し、 $u_n=u_md_{n,m}$ なので、

\ker(1_N\otimes d_n) \subseteq\ker(1_N\otimes d_{n,m}) \subseteq\ker(1_N\otimes u_n)

である。仮定によって両端が等しいため、三つの核は等しい。

$d_{n,m}(F_n)$ は有限生成であり、 $F_m$ は有限表示である。§E6.9 定理 4.3 (1)により $\coker d_{n,m}$ は有限表示である。§E6.43 補題 2.2を $f=d_{n,m}$ 、 $g=d_n$ に適用すると、

h_{n,m}\colon F_m\to F_{n+1},\qquad d_n=h_{n,m}d_{n,m}

を満たす線形写像が存在する。したがって、任意の左加群 $X$ と $\varphi\colon F_{n+1}\to X$ に対し $\varphi d_n=(\varphi h_{n,m})d_{n,m}$ である。これは主張の右辺が左辺に含まれることを示す。逆包含は $d_{n,m}$ が $d_n$ を経由することから従う。▨

補題 2.1. $R$ を単位的結合環、 $(F_n,d_n)_{n\in\NN}$ を有限生成自由左 $R$ -加群の列とし、 $M=\varinjlim_nF_n$ の構造写像を $u_n$ とする。 $m>n$ に対して $d_{n,m}=d_{m-1}\cdots d_n$ と置く。任意の左 $R$ -加群 $X$ と $n\in\NN$ について、前合成による像

\im\bigl(\Hom_R(F_m,X)\longrightarrow\Hom_R(F_n,X)\bigr)

は $m\ge n+1$ の範囲で一定であると仮定する。

左 $R$ -加群の全射 $\pi\colon B\to C$ と線形写像 $g\colon M\to C$ に対し、

L_n=\{\ell\in\Hom_R(F_n,B)\mid\pi\ell=gu_n\}, \qquad L'_n=\{\ell d_n\mid\ell\in L_{n+1}\}

と置く。このとき、 $L'_n$ は非空であり、任意の $m\ge n+1$ について

L'_n=\{\ell d_{n,m}\mid\ell\in L_m\}

が成り立つ。さらに、前合成は全射 $L'_{n+1}\to L'_n$ を定め、 $\pi h=g$ を満たす線形写像 $h\colon M\to B$ が存在する。

証明. $K=\ker\pi$ と置き、包含 $K\hookrightarrow B$ によって $\Hom_R(F_n,K)$ を $\Hom_R(F_n,B)$ の部分アーベル群とみなす。 $F_n$ は自由なので、§E6.14 系 1.2により $L_n$ は非空である。 $\ell_n^0\in L_n$ を一つ取ると、二つの持上げの差は $K$ に値を取るから、

L_n=\ell_n^0+\Hom_R(F_n,K)

である。

前合成による写像を $r_{n,m}(\ell)=\ell d_{n,m}$ とする。 $u_md_{n,m}=u_n$ なので、 $r_{n,m}$ は $L_m$ を $L_n$ へ送る。 $X=K$ に対する仮定によって、部分群

S_n=\im\bigl(\Hom_R(F_m,K)\longrightarrow\Hom_R(F_n,K)\bigr) \qquad(m\ge n+1)

は $m$ によらない。したがって $r_{n,m}(L_m)$ は $S_n$ の非空の剰余類である。

$m\ge n+1$ に対し $r_{n,m+1}(L_{m+1})\subseteq r_{n,m}(L_m)$ である。同じ部分群の二つの剰余類は、一方が他方に含まれれば等しい。よって $r_{n,m}(L_m)=L'_n$ がすべての $m\ge n+1$ について成り立つ。

$\ell\in L'_{n+1}$ は $L_{n+2}$ の元の制限であるから、 $\ell d_n$ は $r_{n,n+2}(L_{n+2})=L'_n$ に属する。逆に $a\in L'_n$ を取ると、 $L'_n=r_{n,n+2}(L_{n+2})$ より、 $bd_{n,n+2}=a$ となる $b\in L_{n+2}$ が存在する。 $bd_{n+1}\in L'_{n+1}$ であり、 $(bd_{n+1})d_n=a$ である。したがって $L'_{n+1}\to L'_n$ は全射である。

$\ell_1\in L'_1$ を取り、各前合成写像 $L'_{n+1}\to L'_n$ の全射性によって $\ell_{n+1}d_n=\ell_n$ を満たす $\ell_{n+1}\in L'_{n+1}$ を帰納的に選ぶ。余極限の普遍性により、 $hu_n=\ell_n$ をすべての $n$ で満たす線形写像 $h\colon M\to B$ が存在する。 $\pi hu_n=\pi\ell_n=gu_n$ であるから、同じ普遍性の一意性によって $\pi h=g$ である。▨

定理 3.1. $R$ を単位的結合環、 $M$ を可算生成左 $R$ -加群とする。このとき、次の二条件は同値である。

$M$ は射影的である。
$M$ は平坦かつ Mittag–Leffler である。

証明. $M$ が射影的であると仮定する。§E6.15 補題 2.3により $M$ は平坦であり、§E6.43 系 4.2により Mittag–Leffler 加群である。

逆に $M$ は平坦かつ Mittag–Leffler であると仮定する。補題 1.1により、 $M$ を有限生成自由加群の列 $(F_n,d_n)$ の余極限として表し、任意の右加群とのテンソル後に $u_n$ と $d_n$ の核が等しくなるように取る。補題 1.2により、この列に対する $\Hom_R(F_n,X)$ の逆系の像は、任意の左加群 $X$ について一段で安定する。補題 2.1により、任意の全射 $B\to C$ と線形写像 $M\to C$ に対して持上げ $M\to B$ が存在する。したがって $M$ は射影的である。▨

定理 3.2. $R$ を単位的結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。このとき、次の二条件は同値である。

$M$ は射影的である。
$M$ は平坦かつ Mittag–Leffler であり、ある集合 $I$ と可算生成左 $R$ -加群の族 $(M_i)_{i\in I}$ によって $M\cong\bigoplus_{i\in I}M_i$ と表される。

証明. $M$ が射影的であると仮定する。§E6.15 補題 2.3と§E6.43 系 4.2により、 $M$ は平坦かつ Mittag–Leffler である。§E6.42 定理 4.1により、 $M$ は可算生成射影加群の直和である。

逆に条件 (b)を仮定し、直和分解 $M\cong\bigoplus_{i\in I}M_i$ を取る。各 $M_i$ は $M$ の直和因子である。§E6.15 命題 2.1と§E6.43 命題 4.1 (2)により、各 $M_i$ は平坦かつ Mittag–Leffler である。各 $M_i$ は可算生成なので、定理 3.1により射影的である。§E6.14 命題 2.1 (1)により、その直和 $M$ も射影的である。▨

§E6.44可算生成加群の射影性

1 有限自由加群の列による表示

2 持上げ集合の安定像

3 射影性の特徴づけ

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