§E6.20加群の根基と socle

最終更新

加群が単純部分加群の直和に分解しない場合にも、単純部分加群や単純商加群を通して加群を調べることができる。例えば、体kkと整数m≥1m\geq1に対して、環k[t]/(tm)k[t]/(t^m)をそれ自身の上の加群とみなすと、ttの冪が生成するイデアルが、根基から下降する列と socle から上昇する列を与える。この例では二つの列が有限回で終わるのに対して、形式的冪級数環k[[t]]k[[t]]の根基列は有限回では零にならない。根基と socle は、単純加群との関係を各段で捉え、加群の構造を列によって調べるための概念である。本記事では、加群の根基と socle を環の Jacobson 根基と比較し、それらの反復による列を調べる。

1 加群根基と socle

空の共通部分と空の和の値を定めておくことは、極大部分加群も単純部分加群ももたない加群を扱うために必要である。

定義 1.1. 左RR加群MMの極大部分加群全体の共通部分をMMの加群根基 (module radical) といい、

rad⁡R(M)\operatorname{rad}_R(M)

と書く。MMが極大部分加群をもたない場合には、空の共通部分をMMと定め、

rad⁡R(M):=M\operatorname{rad}_R(M):=M

とする。

定義 1.2. 左RR加群MMの単純部分加群全体の和をMMのsocle（ソークル） (socle) といい、

soc⁡R(M)\operatorname{soc}_R(M)

と書く。MMが単純部分加群をもたない場合には、空の和を零部分加群と定め、

soc⁡R(M):=0\operatorname{soc}_R(M):=0

とする。

単純加群SSについては、唯一の極大部分加群が00であり、唯一の非零単純部分加群がSSである。したがって

rad⁡R(S)=0,soc⁡R(S)=S\operatorname{rad}_R(S)=0, \qquad \operatorname{soc}_R(S)=S

である。零加群については二つの空族の規約から、根基も socle も零加群になる。

例 1.3.Q\QをZ\Z加群とみなすと、

rad⁡Z(Q)=Q,soc⁡Z(Q)=0\operatorname{rad}_{\Z}(\Q)=\Q, \qquad \operatorname{soc}_{\Z}(\Q)=0

である。

実際、非零単純Z\Z加群SSと0≠s∈S0\neq s\in Sに対し、準同型Z→S\Z\to S、n↦nsn\mapsto nsは全射であり、その核はZ\Zの極大イデアルである。したがってSSはある素数ppに対するZ/pZ\Z/p\Zと同型である。ここでQ/N\Q/Nが非零単純になる部分群NNが存在すると仮定する。Q/N\Q/Nは可除群であり、可除群の商も可除群であるが、Z/pZ\Z/p\Zは可除群でない。したがってQ\Qは極大部分加群をもたない。

また、Q\Qの非零部分群SSと0≠x∈S0\neq x\in Sを取る。部分群Zx\Z xはSSの非零部分加群である。x/2∈Sx/2\in SならばZx\Z xはSSの真の部分加群であり、x/2∉Sx/2\notin Sならば2S2SはSSの非零真の部分加群である。後者で2S=S2S=Sならばx=2yx=2yとなるy∈Sy\in Sが存在してx/2=y∈Sx/2=y\in Sとなるため、実際に2S≠S2S\neq Sである。よって非零部分群SSは単純でなく、Q\Qは単純部分加群をもたない。

2 単純商と最大半単純部分加群

定理 2.1. 左RR加群MMに対して

rad⁡R(M)=⋂S は単純左 R 加群f∈Hom⁡R(M,S)ker⁡f\operatorname{rad}_R(M) = \bigcap_{\substack{S\text{ は単純左 }R\text{ 加群}\\ f\in\operatorname{Hom}_R(M,S)}} \ker f

である。該当する単純加群への非零写像が存在しない場合、右辺はMMである。

証明.LLをMMの極大部分加群とする。商加群M/LM/Lは単純であり、自然な全射

qL ⁣:M⟶M/Lq_L\colon M\longrightarrow M/L

の核はLLである。したがって、右辺に現れる核の族はすべての極大部分加群を含む。

逆に、単純加群SSへの非零写像f ⁣:M→Sf\colon M\to Sを取る。像はSSの非零部分加群であるからSSに等しく、ffは全射である。第一同型定理によりM/ker⁡f≅SM/\ker f\cong Sなので、ker⁡f\ker fは極大部分加群である。零写像の核はMMであり、共通部分を変えない。よって両辺で交わしている真の部分加群の族は一致する。極大部分加群が存在しない場合には非零写像も存在せず、両辺はそれぞれの空族の規約によってMMになる。▨

定理 2.2. 左RR加群MMに対してsoc⁡R(M)\operatorname{soc}_R(M)は半単純部分加群である。さらに、N⊆MN\subseteq Mが半単純部分加群ならば

N⊆soc⁡R(M)N\subseteq\operatorname{soc}_R(M)

である。したがってsoc⁡R(M)\operatorname{soc}_R(M)はMMの最大の半単純部分加群である。

証明.soc⁡R(M)\operatorname{soc}_R(M)はMMの単純部分加群全体の和である。単純加群は半単純であり、半単純部分加群の任意の和は§E6.19 命題 3.2によって半単純である。よってsoc⁡R(M)\operatorname{soc}_R(M)は半単純である。

N⊆MN\subseteq Mが半単純ならば、§E6.19 定理 2.3によりNNは自身の単純部分加群の和である。それらはすべてMMの単純部分加群でもあるため、定義からN⊆soc⁡R(M)N\subseteq\operatorname{soc}_R(M)となる。▨

命題 2.3.RRを単位元をもつ結合環、MMを左RR加群とする。このとき

soc⁡R(M)=⋂N⊆MN は本質的部分加群N\operatorname{soc}_R(M) = \bigcap_{\substack{N\subseteq M\\ N\text{ は本質的部分加群}}}N

である。

証明.S⊆MS\subseteq Mを単純部分加群、N⊆MN\subseteq Mを本質的部分加群とする。本質性からS∩N≠0S\cap N\neq0であり、SSの単純性からS∩N=SS\cap N=Sとなる。したがってS⊆NS\subseteq Nである。すべての単純部分加群SSの和と、すべての本質的部分加群NNの共通部分を取ると、

soc⁡R(M)⊆⋂N⊆MN は本質的部分加群N\operatorname{soc}_R(M) \subseteq \bigcap_{\substack{N\subseteq M\\ N\text{ は本質的部分加群}}}N

を得る。

本質的部分加群全体の共通部分をLLと置き、A⊆LA\subseteq Lを任意の部分加群とする。§E6.16 補題 7.5により、A∩C=0A\cap C=0であり、A⊕CA\oplus CがMMの本質的部分加群となる部分加群C⊆MC\subseteq Mが存在する。LLの定義からL⊆A⊕CL\subseteq A\oplus Cである。任意のx∈Lx\in Lをx=a+cx=a+c、a∈Aa\in A、c∈Cc\in Cと書くと、A⊆LA\subseteq Lなのでc=x−a∈C∩Lc=x-a\in C\cap Lである。したがって

L=A⊕(C∩L)L=A\oplus(C\cap L)

となる。AAは任意であったから、§E6.19 定理 2.3 (3)によりLLは半単純である。定理 2.2によって

L⊆soc⁡R(M)L\subseteq\operatorname{soc}_R(M)

であり、逆の包含も得られる。▨

3 写像、商および直和

命題 3.1. 左RR線形写像f ⁣:M→Nf\colon M\to Nに対して

f(soc⁡R(M))⊆soc⁡R(N),f(rad⁡R(M))⊆rad⁡R(N)f\bigl(\operatorname{soc}_R(M)\bigr) \subseteq\operatorname{soc}_R(N), \qquad f\bigl(\operatorname{rad}_R(M)\bigr) \subseteq\operatorname{rad}_R(N)

である。

証明.S⊆MS\subseteq Mを単純部分加群とする。制限f∣Sf|_Sの像は零であるか、単純加群SSの非零準同型像として単純である。したがってf(S)⊆soc⁡R(N)f(S)\subseteq\operatorname{soc}_R(N)であり、すべてのSSの和を取れば第一の包含を得る。

任意の単純加群TTと写像g ⁣:N→Tg\colon N\to Tに対して、g∘f ⁣:M→Tg\circ f\colon M\to Tも左RR線形である。定理 2.1によりrad⁡R(M)⊆ker⁡(gf)\operatorname{rad}_R(M)\subseteq\ker(gf)である。したがって

g(f(rad⁡R(M)))=0g\bigl(f(\operatorname{rad}_R(M))\bigr)=0

となる。再び定理 2.1をNNへ適用すると第二の包含を得る。▨

命題 3.2.N⊆MN\subseteq Mを部分加群とする。このとき

rad⁡R(M/N)=⋂L は M の極大部分加群N⊆LLN\operatorname{rad}_R(M/N) = \frac{\displaystyle \bigcap_{\substack{L\text{ は }M\text{ の極大部分加群}\\N\subseteq L}}L}{N}

であり、該当するLLが存在しない場合には分子をMMとする。特に

rad⁡R(M)+NN⊆rad⁡R(M/N).\frac{\operatorname{rad}_R(M)+N}{N} \subseteq\operatorname{rad}_R(M/N).

N⊆rad⁡R(M)N\subseteq\operatorname{rad}_R(M)ならば

rad⁡R(M/N)=rad⁡R(M)/N\operatorname{rad}_R(M/N) =\operatorname{rad}_R(M)/N

である。また、常に

soc⁡R(M)+NN⊆soc⁡R(M/N)\frac{\operatorname{soc}_R(M)+N}{N} \subseteq\operatorname{soc}_R(M/N)

である。

証明.M/NM/Nの部分加群とNNを含むMMの部分加群の対応は包含関係を保つため、M/NM/Nの極大部分加群はちょうどL/NL/Nの形である。ただしLLはNNを含むMMの極大部分加群を動く。したがって最初の等式を得る。

rad⁡R(M)\operatorname{rad}_R(M)はすべての極大部分加群に含まれるため、NNを含む極大部分加群の共通部分にも含まれる。これにNNを加えて商を取ると最初の包含を得る。N⊆rad⁡R(M)N\subseteq\operatorname{rad}_R(M)ならばMMのすべての極大部分加群がNNを含むため、共通部分の族はrad⁡R(M)\operatorname{rad}_R(M)を定める族全体になり、等号が成り立つ。

自然な全射q ⁣:M→M/Nq\colon M\to M/Nに命題 3.1の socle に関する主張を適用すると

q(soc⁡R(M))=soc⁡R(M)+NN⊆soc⁡R(M/N)q(\operatorname{soc}_R(M)) =\frac{\operatorname{soc}_R(M)+N}{N} \subseteq\operatorname{soc}_R(M/N)

を得る。▨

二つの商に関する包含は一般には等号でない。例えば素数ppに対してM=ZM=\Z、N=p2ZN=p^2\Zと置くと、rad⁡Z(Z)=0\operatorname{rad}_{\Z}(\Z)=0である一方、Z/p2Z\Z/p^2\Zの唯一の極大部分加群はpZ/p2Zp\Z/p^2\Zである。またM=ZM=\Z、N=pZN=p\Zと置くとsoc⁡Z(Z)=0\operatorname{soc}_{\Z}(\Z)=0である一方、Z/pZ\Z/p\Zは単純である。

定理 3.3. 左RR加群の族(Mi)i∈I(M_i)_{i\in I}に対して

rad⁡R(⨁i∈IMi)=⨁i∈Irad⁡R(Mi)\operatorname{rad}_R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i\right) =\bigoplus_{i\in I}\operatorname{rad}_R(M_i)

および

soc⁡R(⨁i∈IMi)=⨁i∈Isoc⁡R(Mi)\operatorname{soc}_R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i\right) =\bigoplus_{i\in I}\operatorname{soc}_R(M_i)

が成り立つ。

証明.M:=⨁i∈IMiM:=\bigoplus_{i\in I}M_iと置き、標準包含をιi ⁣:Mi→M\iota_i\colon M_i\to M、成分射影をpi ⁣:M→Mip_i\colon M\to M_iとする。Φ\Phiをrad⁡R\operatorname{rad}_Rとsoc⁡R\operatorname{soc}_Rのいずれかとする。命題 3.1をιi\iota_iへ適用するとιi(Φ(Mi))⊆Φ(M)\iota_i(\Phi(M_i))\subseteq\Phi(M)である。⨁iΦ(Mi)\bigoplus_i\Phi(M_i)は部分加群ιi(Φ(Mi))\iota_i(\Phi(M_i))全体の和であるから

⨁i∈IΦ(Mi)⊆Φ(M)\bigoplus_{i\in I}\Phi(M_i)\subseteq\Phi(M)

である。同じ命題をpip_iへ適用すると、x∈Φ(M)x\in\Phi(M)の第ii成分pi(x)p_i(x)はΦ(Mi)\Phi(M_i)に属する。xxの台は有限であるからx∈⨁iΦ(Mi)x\in\bigoplus_i\Phi(M_i)であり、逆の包含を得る。▨

命題 3.4. 左RR加群の族(Mi)i∈I(M_i)_{i\in I}の直積をP=∏i∈IMiP=\prod_{i\in I}M_iとし、直和⨁i∈IMi\bigoplus_{i\in I}M_iを有限台の元からなるPPの部分加群とみなす。このとき

rad⁡R(P)⊆∏i∈Irad⁡R(Mi),⨁i∈Isoc⁡R(Mi)⊆soc⁡R(P)⊆∏i∈Isoc⁡R(Mi)\operatorname{rad}_R(P)\subseteq\prod_{i\in I}\operatorname{rad}_R(M_i), \qquad \bigoplus_{i\in I}\operatorname{soc}_R(M_i) \subseteq\operatorname{soc}_R(P) \subseteq\prod_{i\in I}\operatorname{soc}_R(M_i)

である。

証明. 演習とする（問題 8.1 (4)）。▨

4 Jacobson 根基との関係

J:=J(R)J:=J(R)と置く。§E6.6 系 4.5によりJJは両側イデアルであるから、左加群MMに対して

JM:={∑k=1nakxk|n≥0, ak∈J, xk∈M}JM:=\left\{\sum_{k=1}^n a_kx_k\mathrel{\middle|}n\geq0,\ a_k\in J,\ x_k\in M\right\}

は部分加群である。

定理 4.1. 任意の左RR加群MMに対して

J(R)M⊆rad⁡R(M)J(R)M\subseteq\operatorname{rad}_R(M)

である。

証明. 単純左RR加群SSと写像f ⁣:M→Sf\colon M\to Sを取る。単純左加群による Jacobson 根基の特徴づけ§E6.6 定理 4.4によりJS=0JS=0である。したがって

f(JM)=Jf(M)⊆JS=0f(JM)=Jf(M)\subseteq JS=0

となる。したがってJM⊆ker⁡fJM\subseteq\ker fである。すべてのSSとffについて核を交わし、定理 2.1を用いると主張を得る。▨

例 4.2. 素数ppを固定し、R=ZR=\Z、M=Z/p2ZM=\Z/p^2\Zとする。このとき、MMは巡回加群なので有限生成である。整数環の極大イデアル全体の共通部分は零であるから

J(Z)=0,J(Z)M=0J(\Z)=0, \qquad J(\Z)M=0

である。一方、MMの唯一の極大部分加群はpMpMなので

rad⁡Z(M)=pM≠0.\operatorname{rad}_{\Z}(M)=pM\neq0.

したがって、一般の有限生成加群に対するJ(R)M=rad⁡R(M)J(R)M=\operatorname{rad}_R(M)という主張は成り立たない。

定理 4.3.PPを射影左RR加群とする。このとき

rad⁡R(P)=J(R)P\operatorname{rad}_R(P)=J(R)P

である。

証明. 左正則加群RR{}_RRの極大部分加群はRRの極大左イデアルであるから、二つの定義より

rad⁡R(RR)=J\operatorname{rad}_R({}_RR)=J

である。

左RR加群の族(Mλ)λ∈Λ(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}について

J(⨁λ∈ΛMλ)=⨁λ∈ΛJMλJ\Bigl(\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda\Bigr)=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}JM_\lambda

である。実際、a∈Ja\in Jとx=(xλ)λ∈Λx=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}についてax=(axλ)λ∈Λax=(ax_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}の各成分はJMλJM_\lambdaに属するから、左辺は右辺に含まれる。逆に右辺の元(yλ)λ∈Λ(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}は有限台をもち、各yλy_\lambdaはa∈Ja\in Jとx∈Mλx\in M_\lambdaによるaxaxの形の元の有限和であるから、標準包含で送ると左辺の元の有限和になり、左辺に属する。

§E6.14 命題 1.3 (3)により、ある集合II、左RR加群QQおよび左RR加群の同型φ ⁣:R(I)→P⊕Q\varphi\colon R^{(I)}\to P\oplus Qが存在する。F:=R(I)F:=R^{(I)}と置く。定理 3.3と上の等式をΛ=I\Lambda=I、Mi=RRM_i={}_RRとして適用すると、JR=JJR=Jであるから

rad⁡R(F)=⨁i∈IJ=JF\operatorname{rad}_R(F)=\bigoplus_{i\in I}J=JF

である。

命題 3.1をφ\varphiとφ−1\varphi^{-1}へ適用するとφ(rad⁡R(F))=rad⁡R(P⊕Q)\varphi(\operatorname{rad}_R(F))=\operatorname{rad}_R(P\oplus Q)であり、φ\varphiのRR線形性からφ(JF)=J(P⊕Q)\varphi(JF)=J(P\oplus Q)である。定理 3.3と上の等式から

rad⁡R(P)⊕rad⁡R(Q)=rad⁡R(P⊕Q)=J(P⊕Q)=JP⊕JQ\operatorname{rad}_R(P)\oplus\operatorname{rad}_R(Q) =\operatorname{rad}_R(P\oplus Q) =J(P\oplus Q) =JP\oplus JQ

である。直和分解の第一成分を比較すると

rad⁡R(P)=JP\operatorname{rad}_R(P)=JP

を得る。▨

定理 4.4.R/J(R)R/J(R)が左半単純環ならば、任意の左RR加群MMに対して

rad⁡R(M)=J(R)M\operatorname{rad}_R(M)=J(R)M

である。

証明.M‾:=M/JM\overline M:=M/JMと置く。JM‾=0J\overline M=0であるから、§E6.19 系 5.1によりM‾\overline Mは左R/JR/J加群である。§E6.19 定理 6.2によりM‾\overline Mは半単純R/JR/J加群であり、§E6.19 系 5.1により半単純RR加群でもある。

半単純加群は単純加群の直和である。非零元を取れば、ある単純直和因子への射影がその元を零でない元へ写す。定理 2.1により

rad⁡R(M‾)=0\operatorname{rad}_R(\overline M)=0

である。商加群に関する包含命題 3.2をN=JMN=JMへ適用すると

rad⁡R(M)+JMJM⊆rad⁡R(M‾)=0\frac{\operatorname{rad}_R(M)+JM}{JM} \subseteq\operatorname{rad}_R(\overline M)=0

となるため、rad⁡R(M)⊆JM\operatorname{rad}_R(M)\subseteq JMである。逆の包含は定理 4.1で証明済みである。▨

5 高階の根基列と socle 列

根基を繰り返して得る列は包含について減少するのに対して、socle を商で繰り返して得る列は包含について増加する。

定義 5.1. 左RR加群MMに対し、根基列 (radical series) を

rad⁡R0(M):=M,rad⁡Rn+1(M):=rad⁡R(rad⁡Rn(M))\operatorname{rad}_R^0(M):=M, \qquad \operatorname{rad}_R^{n+1}(M) :=\operatorname{rad}_R\bigl(\operatorname{rad}_R^n(M)\bigr)

によって帰納的に定める。

また、socle 列 (socle series) を

soc⁡R,0(M):=0\operatorname{soc}_{R,0}(M):=0

から始め、自然な射影

qn ⁣:M⟶M/soc⁡R,n(M)q_n\colon M\longrightarrow M/\operatorname{soc}_{R,n}(M)

に対して

soc⁡R,n+1(M):=qn−1(soc⁡R(M/soc⁡R,n(M)))\operatorname{soc}_{R,n+1}(M) :=q_n^{-1}\left( \operatorname{soc}_R\bigl(M/\operatorname{soc}_{R,n}(M)\bigr) \right)

と定める。

あるd≥0d\geq0についてrad⁡Rd(M)=0\operatorname{rad}_R^d(M)=0となるとき、そのような最小のddを下 Loewy 長 (lower Loewy length) という。あるd≥0d\geq0についてsoc⁡R,d(M)=M\operatorname{soc}_{R,d}(M)=Mとなるとき、そのような最小のddを上 Loewy 長 (upper Loewy length) という。

添字nnを明示している間は、soc⁡R,n(M)\operatorname{soc}_{R,n}(M)を単にsoc⁡n(M)\operatorname{soc}_n(M)と書く。

命題 5.2. 任意のn≥0n\geq0に対して

soc⁡n+1(M)/soc⁡n(M)=soc⁡R(M/soc⁡n(M))\operatorname{soc}_{n+1}(M)/\operatorname{soc}_n(M) = \operatorname{soc}_R\bigl(M/\operatorname{soc}_n(M)\bigr)

であり、この商加群は半単純である。さらに、soc⁡n+1(M)/soc⁡n(M)\operatorname{soc}_{n+1}(M)/\operatorname{soc}_n(M)はM/soc⁡n(M)M/\operatorname{soc}_n(M)の最大の半単純部分加群である。

証明. 最初の等式は逆像による定義と部分加群の対応から従う。右辺は定理 2.2により半単純であり、定理 2.2により商加群の最大の半単純部分加群である。▨

ただし Noether 性は根基列が有限回で零になることを意味せず、Artin 性は socle 列が有限回で全体になることを意味しない。

定理 5.3.MMを Noether 左RR加群とする。このとき、rad⁡Rn(M)≠0\operatorname{rad}_R^n(M)\neq0ならば

rad⁡Rn+1(M)⊊rad⁡Rn(M)\operatorname{rad}_R^{n+1}(M) \subsetneq\operatorname{rad}_R^n(M)

である。

証明.N:=rad⁡Rn(M)N:=\operatorname{rad}_R^n(M)と置く。Noether 加群の部分加群NNも Noether である。したがって§E6.17 命題 1.2により有限生成である。N≠0N\neq0なので、§E6.9 命題 1.9によりNNは極大部分加群LLをもつ。定義から

rad⁡R(N)⊆L⊊N\operatorname{rad}_R(N)\subseteq L\subsetneq N

である。rad⁡R(N)=rad⁡Rn+1(M)\operatorname{rad}_R(N)=\operatorname{rad}_R^{n+1}(M)なので主張を得る。▨

例 5.4. 体kk上の一変数形式的冪級数環R=k[[t]]R=k[[t]]を左正則加群とみなす。このとき、非零イデアルIIの元のtt次数の最小値をddとすると、次数ddの元はtdt^dと単元の積である。したがってI=(td)I=(t^d)であり、RRは Noether 環である。

RRの元は定数項が非零であることと単元であることが同値なので、(t)(t)は唯一の極大イデアルであり、

rad⁡R(R)=J(R)=(t)\operatorname{rad}_R(R)=J(R)=(t)

である。乗法写像R→(tn)R\to(t^n)、a↦atna\mapsto at^nは加群同型であるため、任意のn≥0n\geq0について

rad⁡Rn(R)=(tn)\operatorname{rad}_R^n(R)=(t^n)

となる。よって根基列は各段で真に減少するが、有限回では零にならない。

定理 5.5.MMを Artin 左RR加群とする。このとき、soc⁡n(M)≠M\operatorname{soc}_n(M)\neq Mならば

soc⁡n(M)⊊soc⁡n+1(M)\operatorname{soc}_n(M) \subsetneq\operatorname{soc}_{n+1}(M)

である。

証明.Q:=M/soc⁡n(M)Q:=M/\operatorname{soc}_n(M)と置く。QQはMMの商加群なので、Artin 性の短完全列に沿った遺伝§E6.17 命題 3.3により Artin である。仮定からQ≠0Q\neq0である。非零 Artin 加群QQの非零部分加群全体へ Artin 性の極小元による特徴づけ§E6.17 命題 2.2を適用し、極小元SSを取る。このとき、SSは単純部分加群なので

0≠S⊆soc⁡R(Q)0\neq S\subseteq\operatorname{soc}_R(Q)

である。命題 5.2により

soc⁡n+1(M)/soc⁡n(M)=soc⁡R(Q)≠0,\operatorname{soc}_{n+1}(M)/\operatorname{soc}_n(M) =\operatorname{soc}_R(Q)\neq0,

したがって包含は真である。▨

例 5.6.ppを素数とし、§E6.17 例 8.2の Prüfer 群P=Z[1/p]/ZP=\Z[1/p]/\Zと、その部分加群Pn=(p−nZ)/ZP_n=(p^{-n}\Z)/\Z（n≥0n\geq0）を取る。このとき、すべてのn≥0n\geq0について

soc⁡Z,n(P)=Pn\operatorname{soc}_{\Z,n}(P)=P_n

である。したがって、ArtinZ\Z加群PPの socle 列は各段で真に増大し、どの段でもPPに達しない。

証明.§E6.17 例 8.2により、PPの部分加群はPkP_k（k≥0k\geq0）とPPだけであり、

0=P0⊊P1⊊P2⊊⋯⊊P0=P_0\subsetneq P_1\subsetneq P_2\subsetneq\cdots\subsetneq P

と並ぶ。P1P_1の部分加群はP0P_0とP1P_1だけであるから、P1P_1は単純である。k≥2k\geq2のときPkP_kは非零真部分加群P1P_1をもち、PPも非零真部分加群P1P_1をもつから、PkP_kとPPは単純でない。したがってPPの単純部分加群はP1P_1だけであり、soc⁡Z(P)=P1\operatorname{soc}_{\Z}(P)=P_1である。

n=0n=0ではsoc⁡Z,0(P)=0=P0\operatorname{soc}_{\Z,0}(P)=0=P_0である。あるn≥0n\geq0についてsoc⁡Z,n(P)=Pn\operatorname{soc}_{\Z,n}(P)=P_nが成り立つと仮定する。写像μ ⁣:P→P\mu\colon P\to P、x↦pnxx\mapsto p^nxはZ\Z線形である。PPの元c+Zc+\Z（c∈Z[1/p]c\in\Z[1/p]）はμ(c/pn+Z)\mu(c/p^n+\Z)に等しいから、μ\muは全射である。c∈Z[1/p]c\in\Z[1/p]について、pnc∈Zp^nc\in\Zであることとc∈p−nZc\in p^{-n}\Zであることは同値であるから、ker⁡μ=Pn\ker\mu=P_nである。§E6.2 定理 5.1により、μ\muは同型μˉ ⁣:P/Pn→P\bar\mu\colon P/P_n\to Pを誘導する。命題 3.1をμˉ\bar\muとμˉ−1\bar\mu^{-1}へ適用すると

μˉ(soc⁡Z(P/Pn))=soc⁡Z(P)=P1\bar\mu\bigl(\operatorname{soc}_{\Z}(P/P_n)\bigr)=\operatorname{soc}_{\Z}(P)=P_1

である。c∈Z[1/p]c\in\Z[1/p]について、pnc∈p−1Zp^nc\in p^{-1}\Zであることとc∈p−(n+1)Zc\in p^{-(n+1)}\Zであることは同値であるから、μ−1(P1)=Pn+1\mu^{-1}(P_1)=P_{n+1}である。したがって

soc⁡Z(P/Pn)=μˉ−1(P1)=Pn+1/Pn\operatorname{soc}_{\Z}(P/P_n)=\bar\mu^{-1}(P_1)=P_{n+1}/P_n

であり、socle 列の定義と帰納法の仮定からsoc⁡Z,n+1(P)=Pn+1\operatorname{soc}_{\Z,n+1}(P)=P_{n+1}を得る。よって帰納法により、すべてのn≥0n\geq0についてsoc⁡Z,n(P)=Pn\operatorname{soc}_{\Z,n}(P)=P_nである。§E6.17 例 8.2の真の包含Pn⊊Pn+1⊊PP_n\subsetneq P_{n+1}\subsetneq Pから残りの主張が従う。▨

6 Jacobson 根基の冪と socle 列

IIをRRの両側イデアル、MMを左RR加群とするとき

Ann⁡M(I):={x∈M∣Ix=0}\operatorname{Ann}_M(I) :=\{x\in M\mid Ix=0\}

と書く。IIの両側イデアル性から、Ann⁡M(I)\operatorname{Ann}_M(I)はMMの部分加群である。J=J(R)J=J(R)の冪についてJ0:=RJ^0:=Rと定めるので、単位的加群についてAnn⁡M(J0)=0\operatorname{Ann}_M(J^0)=0である。

定理 6.1.J:=J(R)J:=J(R)と置き、R/JR/Jが左半単純環であるとする。このとき、任意の左RR加群MMと任意のn≥0n\geq0に対して

soc⁡R,n(M)=Ann⁡M(Jn)={x∈M∣Jnx=0}\operatorname{soc}_{R,n}(M) =\operatorname{Ann}_M(J^n) =\{x\in M\mid J^nx=0\}

である。

証明. 左RR加群NNと単純部分加群S⊆NS\subseteq Nを取ると、§E6.6 定理 4.4によりJS=0JS=0である。したがって

soc⁡R(N)⊆Ann⁡N(J)\operatorname{soc}_R(N)\subseteq\operatorname{Ann}_N(J)

である。逆にJAnn⁡N(J)=0J\operatorname{Ann}_N(J)=0であるから、§E6.19 系 5.1によりAnn⁡N(J)\operatorname{Ann}_N(J)は左R/JR/J加群である。仮定と§E6.19 定理 6.2によりAnn⁡N(J)\operatorname{Ann}_N(J)は半単純R/JR/J加群であり、§E6.19 系 5.1により半単純RR加群でもある。socle の最大半単純性定理 2.2から

Ann⁡N(J)⊆soc⁡R(N)\operatorname{Ann}_N(J)\subseteq\operatorname{soc}_R(N)

を得る。よって任意の左RR加群NNについてsoc⁡R(N)=Ann⁡N(J)\operatorname{soc}_R(N)=\operatorname{Ann}_N(J)である。

n=0n=0では

soc⁡R,0(M)=0=Ann⁡M(R)=Ann⁡M(J0)\operatorname{soc}_{R,0}(M)=0 =\operatorname{Ann}_M(R) =\operatorname{Ann}_M(J^0)

である。あるn≥0n\geq0について

soc⁡R,n(M)=Ann⁡M(Jn)\operatorname{soc}_{R,n}(M)=\operatorname{Ann}_M(J^n)

が成り立つと仮定する。x∈Mx\in Mに対し、前段の等式をN=M/soc⁡R,n(M)N=M/\operatorname{soc}_{R,n}(M)へ適用すると、socle 列の定義から

x∈soc⁡R,n+1(M)  ⟺  J(x+soc⁡R,n(M))=0  ⟺  Jx⊆soc⁡R,n(M)  ⟺  Jn(Jx)=0  ⟺  Jn+1x=0\begin{aligned} x\in\operatorname{soc}_{R,n+1}(M) &\iff J\bigl(x+\operatorname{soc}_{R,n}(M)\bigr)=0\\ &\iff Jx\subseteq\operatorname{soc}_{R,n}(M)\\ &\iff J^n(Jx)=0\\ &\iff J^{n+1}x=0 \end{aligned}

となる。したがって帰納法により、すべてのnnについて等式が成り立つ。▨

例 6.2. 体kk、整数m≥1m\geq1に対して

A:=k[t]/(tm),J:=(t‾)A:=k[t]/(t^m), \qquad J:=(\overline t)

と置く。AAは有限次元kk代数なので左 Artin 環である。JJに属さない元は定数項が非零であり、有限幾何級数によって逆元をもつ。JJの元は冪零であるから単元でない。したがってJJはAAの唯一の極大イデアルであり、J=J(A)J=J(A)である。また、A/J≅kA/J\cong kであり、§E6.19 例 6.4のn=1n=1の場合によりA/JA/Jは左半単純環である。定理 4.4により各n≥0n\geq0についてrad⁡A(Jn)=Jn+1\operatorname{rad}_A(J^n)=J^{n+1}であるから、左正則加群AA{}_AAについて

rad⁡An(A)=Jn=(t‾n)(0≤n≤m)\operatorname{rad}_A^n(A)=J^n=(\overline t^n) \qquad(0\leq n\leq m)

である。また定理 6.1により

soc⁡A,n(A)=Ann⁡A(Jn)=(t‾m−n)(0≤n≤m).\operatorname{soc}_{A,n}(A) =\operatorname{Ann}_A(J^n) =(\overline t^{m-n}) \qquad(0\leq n\leq m).

二つ目の等号は次による。t‾ j\overline t^{\,j}（0≤j<m0\leq j<m）はAAのkk基底であり、JnJ^nはt‾ n\overline t^{\,n}で生成される。∑j<mcjt‾ j\sum_{j<m}c_j\overline t^{\,j}にt‾ n\overline t^{\,n}を掛けると∑j<m−ncjt‾ j+n\sum_{j<m-n}c_j\overline t^{\,j+n}となるから、これが零であることはj<m−nj<m-nについてcj=0c_j=0であることと同値である。rad⁡Am−1(A)=(t‾ m−1)≠0\operatorname{rad}_A^{m-1}(A)=(\overline t^{\,m-1})\neq0かつrad⁡Am(A)=0\operatorname{rad}_A^m(A)=0であるから下 Loewy 長はmmであり、soc⁡A,m−1(A)=(t‾)≠A\operatorname{soc}_{A,m-1}(A)=(\overline t)\neq Aかつsoc⁡A,m(A)=A\operatorname{soc}_{A,m}(A)=Aであるから上 Loewy 長もmmである。

7 右加群と反対環

右RR加群は左RopR^{\mathrm{op}}加群とみなす。右部分加群と左RopR^{\mathrm{op}}部分加群、単純性、半単純性および鎖条件はこの読み替えで変わらない。

命題 7.1. 右RR加群MMについて、極大右部分加群の共通部分をrad⁡(M)\operatorname{rad}(M)、単純右部分加群の和をsoc⁡(M)\operatorname{soc}(M)と定めると、左加群について本記事で証明した核による特徴づけ、最大半単純性、商および任意直和の公式がすべて成り立つ。さらに次が成り立つ。

  1. 任意の右RR加群MMに対してMJ(R)⊆rad⁡(M)MJ(R)\subseteq\operatorname{rad}(M)である。
  2. 射影右RR加群PPに対してrad⁡(P)=PJ(R)\operatorname{rad}(P)=PJ(R)である。
  3. R/J(R)R/J(R)が右半単純ならば、任意の右RR加群MMに対してrad⁡(M)=MJ(R)\operatorname{rad}(M)=MJ(R)である。
  4. R/J(R)R/J(R)が右半単純ならば、任意の右RR加群MMとn≥0n\geq0に対して soc⁡n(M)={x∈M∣xJ(R)n=0}\operatorname{soc}_n(M) =\{x\in M\mid xJ(R)^n=0\} である。

証明.§E6.1 定義 4.1により、右RR加群は左RopR^{\mathrm{op}}加群である。極大部分加群、単純部分加群、商および直和は集合と加法群を変えないため、一般の公式はRopR^{\mathrm{op}}上の結果をそのまま読み替えればよい。

極大右イデアルによる Jacobson 根基の特徴づけ§E6.6 定理 5.1により

J(Rop)=J(R)J(R^{\mathrm{op}})=J(R)

が集合として成り立つ。また、恒等写像が環同型

Rop/J(Rop)≅(R/J(R))opR^{\mathrm{op}}/J(R^{\mathrm{op}}) \cong(R/J(R))^{\mathrm{op}}

を誘導する。したがってR/J(R)R/J(R)が右半単純であることは、左辺が左半単純であるための必要十分条件である。左RopR^{\mathrm{op}}加群に対する積J(Rop)MJ(R^{\mathrm{op}})Mは右RR加群の記法ではMJ(R)MJ(R)である。RopR^{\mathrm{op}}の積で作った冪J(Rop)nJ(R^{\mathrm{op}})^nは、J(R)J(R)のnn個の元の積の因子の順序を反転した元全体で生成されるから、集合としてJ(R)nJ(R)^nに等しい。したがってx∈Mx\in Mについて、左RopR^{\mathrm{op}}加群としてのJ(Rop)nx=0J(R^{\mathrm{op}})^nx=0はxJ(R)n=0xJ(R)^n=0と同値である。射影性も反対環への読み替えで対応する。したがって定理 4.1、定理 4.3、定理 4.4および定理 6.1をRopR^{\mathrm{op}}へ適用すると四つの主張を得る。▨

8 演習

問題 8.1.

  1. Q\QをZ\Z加群とみなし、極大部分加群と単純部分加群が存在しないことをそれぞれ示せ。二つの空族の規約から根基と socle を求めよ。
  2. 素数ppに対し、Z/pmZ\Z/p^m\Zの根基と socle を求めよ。m=2m=2を用いて、J(R)M=rad⁡R(M)J(R)M=\operatorname{rad}_R(M)が有限生成性だけからは従わないことを説明せよ。
  3. 商加群に関する二つの包含が真になりうる例をそれぞれ与えよ。またN⊆rad⁡R(M)N\subseteq\operatorname{rad}_R(M)のときの根基の等式を証明せよ。
  4. 命題 3.4を証明せよ。さらに、素数全体を添字とするZ\Z加群P=∏pZ/pZP=\prod_p\Z/p\Zについてsoc⁡Z(P)=⨁pZ/pZ\operatorname{soc}_{\Z}(P)=\bigoplus_p\Z/p\Zを示し、soc⁡Z(P)≠∏psoc⁡Z(Z/pZ)\operatorname{soc}_{\Z}(P)\neq\prod_p\operatorname{soc}_{\Z}(\Z/p\Z)であることを確かめよ。
  5. Noether 加群の根基列と Artin 加群の socle 列について、各段が非終端ならば次の包含が真になることを証明せよ。この主張だけでは列が有限回で終端するとは限らない理由も述べよ。
  6. 素数ppとR=Z(p)R=\Z_{(p)}について、§E6.6 例 5.3のJ(R)=pZ(p)J(R)=p\Z_{(p)}とR/J(R)R/J(R)が体であることから、定理 6.1を用いて、すべてのn≥0n\geq0についてsoc⁡R,n(R)=0\operatorname{soc}_{R,n}(R)=0を示せ。また、RR加群M=Q/Z(p)M=\Q/\Z_{(p)}についてsoc⁡R,n(M)=(p−nZ(p))/Z(p)\operatorname{soc}_{R,n}(M)=(p^{-n}\Z_{(p)})/\Z_{(p)}を示し、socle 列がMMに達しないことを確かめよ。
解答 (演習の解答).

  1. 例 1.3を適用する。Q\Qの商は可除群なので非零単純Z\Z加群Z/pZ\Z/p\Zにならず、極大部分加群は存在しない。非零部分群SSと0≠x∈S0\neq x\in Sに対して、x/2∈Sx/2\in SならばZx\Z x、x/2∉Sx/2\notin Sならば2S2Sが非零真の部分加群になるので、単純部分加群も存在しない。したがって空族の規約によりrad⁡Z(Q)=Q\operatorname{rad}_{\Z}(\Q)=\Q、soc⁡Z(Q)=0\operatorname{soc}_{\Z}(\Q)=0である。

  2. m≥1m\geq1について唯一の極大部分加群はp(Z/pmZ)p(\Z/p^m\Z)なので根基はこれに等しい。位数ppの唯一の部分加群pm−1(Z/pmZ)p^{m-1}(\Z/p^m\Z)が socle である。m=2m=2ではJ(Z)=0J(\Z)=0だが加群根基は非零のpMpMである。

  3. 根基にはM=ZM=\Z、N=p2ZN=p^2\Zを取ると、左辺は零だが商の根基はpZ/p2Zp\Z/p^2\Zである。socle にはM=ZM=\Z、N=pZN=p\Zを取ると、左辺は零だが商は単純である。N⊆rad⁡R(M)N\subseteq\operatorname{rad}_R(M)ならばすべての極大部分加群がNNを含むので、部分加群対応で得る共通部分の族が変わらない。

  4. 成分射影πi ⁣:P→Mi\pi_i\colon P\to M_iに命題 3.1を適用するとπi(rad⁡R(P))⊆rad⁡R(Mi)\pi_i(\operatorname{rad}_R(P))\subseteq\operatorname{rad}_R(M_i)とπi(soc⁡R(P))⊆soc⁡R(Mi)\pi_i(\operatorname{soc}_R(P))\subseteq\operatorname{soc}_R(M_i)が成り立つ。すべてのiiについてこれを並べるとrad⁡R(P)⊆∏irad⁡R(Mi)\operatorname{rad}_R(P)\subseteq\prod_i\operatorname{rad}_R(M_i)とsoc⁡R(P)⊆∏isoc⁡R(Mi)\operatorname{soc}_R(P)\subseteq\prod_i\operatorname{soc}_R(M_i)を得る。標準包含ιi ⁣:Mi→P\iota_i\colon M_i\to Pについても同じ命題からιi(soc⁡R(Mi))⊆soc⁡R(P)\iota_i(\operatorname{soc}_R(M_i))\subseteq\operatorname{soc}_R(P)であり、⨁isoc⁡R(Mi)\bigoplus_i\operatorname{soc}_R(M_i)はこれらの和であるからsoc⁡R(P)\operatorname{soc}_R(P)に含まれる。

    P=∏pZ/pZP=\prod_p\Z/p\Zとする。S⊆PS\subseteq Pを単純部分加群とし、0≠x∈S0\neq x\in SをとるとS=ZxS=\Z xである。Z\Zは2Z2\Zを真の非零部分加群にもつから単純でなく、S≅Z/(n)S\cong\Z/(n)となるn≥2n\geq2が存在し、Z/(n)\Z/(n)が単純であることからnnは素数qqである（n=abn=ab、1<a<n1<a<nならばaZ/(n)a\Z/(n)が真の非零部分加群になる）。qx=0qx=0であるから、p≠qp\neq qについてqxp=0qx_p=0であり、qqはZ/pZ\Z/p\Zで可逆であるからxp=0x_p=0である。したがってSSは第qq成分に含まれ、soc⁡Z(P)⊆⨁pZ/pZ\operatorname{soc}_{\Z}(P)\subseteq\bigoplus_p\Z/p\Zである。前段の包含と合わせて等号が成り立つ。各Z/pZ\Z/p\Zは単純であるから∏psoc⁡Z(Z/pZ)=P\prod_p\operatorname{soc}_{\Z}(\Z/p\Z)=Pであり、すべての成分が11である元は有限台をもたないからsoc⁡Z(P)\operatorname{soc}_{\Z}(P)に属さない。よってsoc⁡Z(P)≠∏psoc⁡Z(Z/pZ)\operatorname{soc}_{\Z}(P)\neq\prod_p\operatorname{soc}_{\Z}(\Z/p\Z)である。

  5. 定理 5.3を各非零項に、定理 5.5を各真部分加群である項に適用すると、指定された真の包含を得る。Noether 性は根基列が有限回で零になることを導かない。実際、例 5.4のk[[t]]k[[t]]の根基列は(tn)(t^n)であり、有限回では零にならない。一方、Artin 性は socle 列が有限回で全体に達することを導かない。実際、例 5.6の Prüfer 群PPは ArtinZ\Z加群であり、その socle 列(Pn)n≥0(P_n)_{n\geq0}は各段で真に増大してPPに達しない。

  6. J:=J(R)=pZ(p)J:=J(R)=p\Z_{(p)}と置く。JJはRRの極大イデアルであるからR/JR/Jは体であり、§E6.19 例 6.4のn=1n=1の場合により左半単純環である。RRは可換であるから、n≥0n\geq0についてJn=pnRJ^n=p^nRである。定理 6.1により、任意のRR加群NNとn≥0n\geq0に対して

    soc⁡R,n(N)={x∈N∣Jnx=0}={x∈N∣pnx=0}\operatorname{soc}_{R,n}(N)=\{x\in N\mid J^nx=0\}=\{x\in N\mid p^nx=0\}

    である。

    RRはQ\Qの部分環であるから整域であり、a∈Ra\in Rがpna=0p^na=0を満たせばa=0a=0である。したがって、すべてのn≥0n\geq0についてsoc⁡R,n(R)=0\operatorname{soc}_{R,n}(R)=0である。

    M=Q/Z(p)M=\Q/\Z_{(p)}の元c+Z(p)c+\Z_{(p)}（c∈Qc\in\Q）について、pn(c+Z(p))=0p^n(c+\Z_{(p)})=0はpnc∈Z(p)p^nc\in\Z_{(p)}、すなわちc∈p−nZ(p)c\in p^{-n}\Z_{(p)}と同値である。したがって

    soc⁡R,n(M)=(p−nZ(p))/Z(p)\operatorname{soc}_{R,n}(M)=(p^{-n}\Z_{(p)})/\Z_{(p)}

    である。p−(n+1)∈p−nZ(p)p^{-(n+1)}\in p^{-n}\Z_{(p)}ならばp−1∈Z(p)p^{-1}\in\Z_{(p)}であり、p−1=a/sp^{-1}=a/s（a,s∈Za,s\in\Z、p∤sp\nmid s）からs=pas=paとなってp∤sp\nmid sに反する。したがってp−(n+1)+Z(p)p^{-(n+1)}+\Z_{(p)}はsoc⁡R,n(M)\operatorname{soc}_{R,n}(M)に属さず、すべてのn≥0n\geq0についてsoc⁡R,n(M)≠M\operatorname{soc}_{R,n}(M)\neq Mである。

▨

参考文献

  1. T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1999.加群根基、socle、Loewy 列および Jacobson 根基との関係の標準的な定式化を参考にした。
  2. Frank W. Anderson and Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1992.根基と socle の商・直和に関する性質、および Artin 環上の socle 列を参考にした。

前提記事