§E6.29自己入射 Artin 環

例 4.1.$k$を体、$n\ge2$を整数とし、$A:=k[t]/(t^n)$と置く。$\lambda\colon A\to k$を$t^{n-1}$の係数を取る写像とする。このとき、§E6.28 問題 4.2により$a\mapsto(b\mapsto\lambda(ba))$は同型$A\cong D(A_A)$を与える。$A$は可換であるから$B_\lambda$は両変数について非退化であり、命題 3.2により$A$は左右自己入射である。

$A$の非零イデアル$I$に属する元の最小次数の最小値を$j$とする。最小次数が$j$の元は$t^ju$と表され、$u$の定数項は零でない。$u=c(1+v)$、$c\in k\setminus\{0\}$、$v\in(t)$と書くと$v^n=0$であるので、有限等比和から$u$は単元である。したがって$(t^j)\subseteq I$であり、$j$の最小性から逆包含も成り立つ。よって左右の正則加群の部分加群は

に尽き、包含関係によって全順序になる。

例 4.2.$k$を体、$A:=T_2(k)$を$2\times2$上三角行列の代数とし、$e_{ij}$を行列単位とする。このとき、左正則加群の分解と各因子の部分加群は

で与えられる。最後の列は$Ae_{22}$の部分加群をすべて含む。実際、$u=be_{12}+ce_{22}$で$c\ne0$ならば、$e_{22}u=ce_{22}$と$e_{12}u=ce_{12}$から$Au=Ae_{22}$である。$ke_{12}$と$ke_{11}$はともに単純左加群であり、$e_{11}\mapsto e_{12}$は同型$Ae_{11}\cong ke_{12}$を与える。したがって$Ae_{11}$は$Ae_{22}$の真の本質的部分加群と同型であり、§E6.16 命題 8.1により入射的でない。§E6.16 命題 1.3 (2)により$A$は左自己入射でない。

右正則加群については

が各因子の部分加群をすべて与える。実際、$u=ae_{11}+be_{12}$で$a\ne0$ならば、$ue_{11}=ae_{11}$と$ue_{12}=ae_{12}$から$uA=e_{11}A$である。右加群の同型$e_{22}A\cong ke_{12}$、$e_{22}\mapsto e_{12}$により、$e_{22}A$は真の本質拡大をもつ。したがって$A$は右自己入射でもない。各因子の部分加群は全順序になる一方で、$A$は左右とも自己入射でない。

例 4.3.$k$を体とし、$A:=k[x,y]/(x^2,y^2)$と置く。$\lambda\colon A\to k$を$xy$の係数を取る写像とする。このとき、基底$(1,x,y,xy)$に関する$B_\lambda$の行列は

であり、可逆である。命題 3.2により$A$は左右自己入射である。

$J:=(x,y)$と置くと$J^2=kxy$、$J^3=0$であり、$A/J\cong k$である。$J$の外の元は非零の定数項と冪零元の和であり、有限等比和により単元である。したがって$J$は唯一の極大イデアルである。$\dim_k J/J^2=2$であり、$x+J^2$と$y+J^2$は独立である。イデアル$(x)=kx\oplus kxy$と$(y)=ky\oplus kxy$は包含関係をもたないので、左右の正則加群の部分加群は全順序でない。また、局所環$A$の冪等元は$0,1$のみである。実際、冪等元$e$について$e\notin J$ならば$e$は単元なので$e=1$であり、$e\in J$ならば$e=e^3\in J^3=0$である。正則加群の直和分解に付随する射影は$1$の像が冪等元となるので、左右の正則加群は直既約である。したがって、自己入射な直既約正則加群でも部分加群の全順序性は成り立つとは限らない。