§E6.41小さい純部分加群

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平坦加群の中に、濃度の小さい部分加群をどのように取り出すかは、無限生成の加群を扱う議論の出発点になる。取り出した部分加群とその商がともに平坦であれば、もとの加群の性質を小さな部分から調べることができる。この条件を満たす部分加群を与えるのが純部分加群であり、部分加群に定数をもつ有限連立方程式の可解性によって判定される。環の濃度以上の任意の無限基数について、濃度がその基数以下の部分集合を含み、濃度がその基数以下の純部分加群が存在する。この存在定理は、加群のクラスに対する Kaplansky 条件という性質を平坦加群のクラスが満たすことを導く。たとえばZ\Z-加群Q\Qの元11が生成する部分加群Z\Zは、方程式x⋅2=1x\cdot2=1がQ\Qで解けてZ\Zで解けないので、純部分加群ではない。本記事では、純部分加群の基本的な性質と、小さい純部分加群の存在について解説する。

1 規約と方程式系

注意 1.1.RRを単位的結合環とし、加群は右RR-加群、部分加群は右部分加群とする。左RR-加群は右RopR^{\mathrm{op}}-加群と同一視する。§E6.15 定義 1.4により、左加群の純部分加群はRopR^{\mathrm{op}}上の右加群としての純部分加群と一致する。§E6.15 命題 1.2により、左平坦性はRopR^{\mathrm{op}}上の右平坦性と一致する。さらに#(Rop)=#(R)\#(R^{\mathrm{op}})=\#(R)であるので、右加群について証明する主張は左加群についても成り立つ。

定義 1.2.AAを右RR-加群CCの部分加群とする。非負整数m,nm,n、元rji∈Rr_{ji}\in R(1≤j≤n1\le j\le n,1≤i≤m1\le i\le m)、元a1,…,am∈Aa_1,\ldots,a_m\in Aからなる組

σ=(m,n,(rji)j,i,(ai)i)\sigma=\bigl(m,n,(r_{ji})_{j,i},(a_i)_i\bigr)

を、AAに定数をもつ有限連立方程式系 (finite system of equations) という。部分加群DDがA⊆D⊆CA\subseteq D\subseteq Cを満たすとき、元x1,…,xn∈Dx_1,\ldots,x_n\in Dがσ\sigmaのDDにおける解 (solution) であるとは、

∑j=1nxjrji=ai(1≤i≤m)\sum_{j=1}^nx_jr_{ji}=a_i\qquad(1\le i\le m)

が成り立つことをいう。σ\sigmaがDDに解をもつとき、σ\sigmaはDDで解けるという。

補題 1.3.RRを単位的結合環、AAを右RR-加群CCの部分加群とする。このとき、AAがCCの純部分加群であることは、AAに定数をもつ任意の有限連立方程式系がCCで解けるならばAAで解けるための必要十分条件である。

証明. 右RR-加群の短完全列0→A→C→C/A→00\to A\to C\to C/A\to0に§E6.15 定理 7.2 (3)を適用する。▨

2 純部分加群の推移性と鎖

補題 2.1.RRを単位的結合環、A⊆B⊆CA\subseteq B\subseteq Cを右RR-加群の包含列とする。このとき、AAがBBの純部分加群であり、BBがCCの純部分加群ならば、AAはCCの純部分加群である。

証明.AAに定数をもつ有限連立方程式系σ\sigmaがCCで解けるとする。A⊆BA\subseteq Bであるので、σ\sigmaはBBに定数をもつ系でもある。BBはCCの純部分加群であるので、補題 1.3によりσ\sigmaはBBで解ける。AAはBBの純部分加群であるので、補題 1.3によりσ\sigmaはAAで解ける。したがって、補題 1.3によりAAはCCの純部分加群である。▨

補題 2.2.RRを単位的結合環、A⊆B⊆CA\subseteq B\subseteq Cを右RR-加群の包含列とする。このとき、AAがCCの純部分加群であり、B/AB/AがC/AC/Aの純部分加群ならば、BBはCCの純部分加群である。

証明.BBに定数b1,…,bm∈Bb_1,\ldots,b_m\in Bをもつ有限連立方程式系σ=(m,n,(rji),(bi))\sigma=(m,n,(r_{ji}),(b_i))が、CCの解c1,…,cnc_1,\ldots,c_nをもつとする。商写像C→C/AC\to C/Aによる像を ˉ\bar{\ }で表すと、

∑j=1ncˉjrji=bˉi(1≤i≤m)\sum_{j=1}^n\bar c_jr_{ji}=\bar b_i\qquad(1\le i\le m)

が成り立つ。bˉi∈B/A\bar b_i\in B/Aであり、B/AB/AはC/AC/Aの純部分加群であるので、補題 1.3により、この系はB/AB/Aに解bˉ1′,…,bˉn′\bar b'_1,\ldots,\bar b'_nをもつ。代表元bj′∈Bb'_j\in Bを取る。このときbi−∑jbj′rjib_i-\sum_jb'_jr_{ji}のC/AC/Aにおける像は零であるので、

ai:=bi−∑j=1nbj′rji∈A(1≤i≤m)a_i:=b_i-\sum_{j=1}^nb'_jr_{ji}\in A\qquad(1\le i\le m)

が成り立つ。bj′∈B⊆Cb'_j\in B\subseteq Cであるので、

∑j=1n(cj−bj′)rji=bi−∑j=1nbj′rji=ai\sum_{j=1}^n(c_j-b'_j)r_{ji}=b_i-\sum_{j=1}^nb'_jr_{ji}=a_i

であり、AAに定数aia_iをもつ系はCCに解cj−bj′c_j-b'_jをもつ。AAはCCの純部分加群であるので、補題 1.3により、この系はAAに解a1′,…,an′a'_1,\ldots,a'_nをもつ。このときxj:=bj′+aj′∈Bx_j:=b'_j+a'_j\in Bは

∑j=1nxjrji=∑j=1nbj′rji+ai=bi\sum_{j=1}^nx_jr_{ji}=\sum_{j=1}^nb'_jr_{ji}+a_i=b_i

を満たす。したがって、σ\sigmaはBBで解け、補題 1.3によりBBはCCの純部分加群である。▨

補題 2.3.RRを単位的結合環、MMを右RR-加群とする。(Nλ)λ∈Λ(N_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をMMの純部分加群の族とし、Λ\Lambdaは空でなく、任意のλ,μ∈Λ\lambda,\mu\in\Lambdaに対してNλ⊆NμN_\lambda\subseteq N_\muまたはNμ⊆NλN_\mu\subseteq N_\lambdaが成り立つとする。このとき、和集合⋃λ∈ΛNλ\bigcup_{\lambda\in\Lambda}N_\lambdaはMMの純部分加群である。

証明.N:=⋃λ∈ΛNλN:=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}N_\lambdaと置き、P:={Nλ∣λ∈Λ}P:=\{N_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\}を包含関係で順序づける。族は包含関係について全順序であるので、NNはMMの部分加群であり、PPは空でない全順序集合である。したがってPPは有向集合であり、§E6.9 例 8.2によりフィルター圏である。PP上の図式AA,BBをAL:=LA_L:=L,BL:=MB_L:=Mと置き、L⊆L′L\subseteq L'に対する射をそれぞれ包含L→L′L\to L'と恒等写像M→MM\to Mとする。包含fL ⁣:L→Mf_L\colon L\to Mは図式の射f ⁣:A→Bf\colon A\to Bを与える。各L∈PL\in PはMMの純部分加群であるので、§E6.15 定義 1.4により各fLf_Lは普遍単射である。§E6.15 命題 9.2により、誘導写像lim→⁡f ⁣:lim→⁡PAL→lim→⁡PBL\varinjlim f\colon\varinjlim_PA_L\to\varinjlim_PB_Lは普遍単射である。

包含L→ML\to Mの族はAAからの余錐であるので、§E6.3 定義 2.3により、構造写像qLq_Lとの合成が包含L→ML\to Mになる線形写像ψ ⁣:lim→⁡PAL→M\psi\colon\varinjlim_PA_L\to Mがただ一つ存在する。§E6.9 定理 8.4 (1)により、lim→⁡PAL\varinjlim_PA_Lの任意の元はqL(x)q_L(x)(L∈PL\in P,x∈Lx\in L) の形であり、ψ(qL(x))=x\psi(q_L(x))=xである。よってψ\psiの像はNNである。ψ(qL(x))=0\psi(q_L(x))=0ならばx=0x=0であるのでqL(x)=0q_L(x)=0であり、ψ\psiは単射である。したがってψ\psiは同型ψ′ ⁣:lim→⁡PAL→N\psi'\colon\varinjlim_PA_L\to Nを定める。

恒等写像の族がBBからの余錐であることから、§E6.3 定義 2.3により線形写像φ ⁣:lim→⁡PBL→M\varphi\colon\varinjlim_PB_L\to Mであって各構造写像との合成が1M1_Mになるものが存在する。§E6.9 定理 8.4 (1)によりφ\varphiは全射である。BBの射はすべて恒等写像であるので、§E6.9 定理 8.4 (3)により、構造写像によるy∈My\in Mの像が00であることはy=0y=0と同値であり、φ\varphiは単射である。したがってφ\varphiは同型である。

φ∘lim→⁡f\varphi\circ\varinjlim fは各qLq_Lとの合成が包含L→ML\to Mになるので、§E6.3 定義 2.3の一意性によりφ∘lim→⁡f=ψ\varphi\circ\varinjlim f=\psiである。包含をι ⁣:N→M\iota\colon N\to Mと置くと、ι∘ψ′=ψ\iota\circ\psi'=\psiであるので、ι=φ∘(lim→⁡f)∘ψ′−1\iota=\varphi\circ(\varinjlim f)\circ\psi'^{-1}である。任意の左RR-加群FFについて、§E6.12 命題 12.1によりι⊗1F=(φ⊗1F)∘((lim→⁡f)⊗1F)∘(ψ′−1⊗1F)\iota\otimes1_F=(\varphi\otimes1_F)\circ((\varinjlim f)\otimes1_F)\circ(\psi'^{-1}\otimes1_F)である。両端は同型であり、中央は単射であるので、ι⊗1F\iota\otimes1_Fは単射である。したがって、§E6.15 定義 1.4によりNNはMMの純部分加群である。▨

例 2.4.Z\Z-加群Q\Qの純部分加群は00とQ\Qだけである。実際、N≠0N\ne0をQ\Qの純部分加群とし、0≠a∈N0\ne a\in Nを取る。各整数n≥1n\ge1について、方程式x⋅n=ax\cdot n=aはQ\Qに解a/na/nをもつので、補題 1.3によりNNに解をもち、a/n∈Na/n\in Nである。任意のq∈Qq\in\Qは、整数kkとn≥1n\ge1によってq=k⋅(a/n)q=k\cdot(a/n)と表されるので、q∈Nq\in Nである。

したがって、部分集合X={1}X=\{1\}が生成する部分加群Z⊆Q\Z\subseteq\Qは、方程式x⋅2=1x\cdot2=1がQ\Qで解けてZ\Zで解けないので、純部分加群ではない。11を含むQ\Qの純部分加群はQ\Qだけである。

3 濃度の評価

補題 3.1.κ\kappaを無限基数とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 集合A1,…,AkA_1,\ldots,A_k(k≥1k\ge1) が#(At)≤κ\#(A_t)\le\kappa(1≤t≤k1\le t\le k) を満たすならば、#(A1×⋯×Ak)≤κ\#(A_1\times\cdots\times A_k)\le\kappaである。
  2. 集合IIと集合の族(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}が#(I)≤κ\#(I)\le\kappaおよび#(Ai)≤κ\#(A_i)\le\kappa(i∈Ii\in I) を満たすならば、#(⋃i∈IAi)≤κ\#\bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\bigr)\le\kappaである。
  3. 単位的結合環RRが#(R)≤κ\#(R)\le\kappaを満たし、YYを右RR-加群MMの部分集合で#(Y)≤κ\#(Y)\le\kappaを満たすものとするならば、#(⟨Y⟩)≤κ\#(\langle Y\rangle)\le\kappaである。

証明.§E1.23 系 3.3をκ=λ\kappa=\lambdaに適用して、全単射φ ⁣:κ×κ→κ\varphi\colon\kappa\times\kappa\to\kappaを取る。

主張 (1).k=1k=1のとき主張は仮定である。k≥1k\ge1についてA1×⋯×AkA_1\times\cdots\times A_kからκ\kappaへの単射ι\iotaがあるとし、Ak+1A_{k+1}からκ\kappaへの単射ι′\iota'を取る。このとき(a,b)↦φ(ι(a),ι′(b))(a,b)\mapsto\varphi(\iota(a),\iota'(b))は(A1×⋯×Ak)×Ak+1(A_1\times\cdots\times A_k)\times A_{k+1}からκ\kappaへの単射である。

主張 (2). 各i∈Ii\in Iについて単射ιi ⁣:Ai→κ\iota_i\colon A_i\to\kappaを選び、各元a∈⋃iAia\in\bigcup_iA_iについてa∈Aj(a)a\in A_{j(a)}を満たすj(a)∈Ij(a)\in Iを選ぶ。IIからκ\kappaへの単射ιI\iota_Iを取る。このときa↦φ(ιI(j(a)),ιj(a)(a))a\mapsto\varphi(\iota_I(j(a)),\iota_{j(a)}(a))は単射である。実際、二つの元a,a′a,a'の像が等しければ、φ\varphiが単射であるのでιI(j(a))=ιI(j(a′))\iota_I(j(a))=\iota_I(j(a'))となり、j(a)=j(a′)=:ij(a)=j(a')=:iおよびιi(a)=ιi(a′)\iota_i(a)=\iota_i(a')を得てa=a′a=a'である。

主張 (3).§E6.3 命題 5.2により、⟨Y⟩\langle Y\rangleは有限個の元y1,…,yn∈Yy_1,\ldots,y_n\in Yとr1,…,rn∈Rr_1,\ldots,r_n\in Rによる∑t=1nytrt\sum_{t=1}^ny_tr_tの全体である。n≥1n\ge1について、このような元の全体SnS_nはYn×RnY^n\times R^nの像であり、主張 (1)により#(Yn×Rn)≤κ\#(Y^n\times R^n)\le\kappaであるので、#(Sn)≤κ\#(S_n)\le\kappaである。S0={0}S_0=\{0\}である。#(N≥0)=ℵ0≤κ\#(\N)=\aleph_0\le\kappaであるので、主張 (2)により#(⟨Y⟩)=#(⋃n∈N≥0Sn)≤κ\#(\langle Y\rangle)=\#\bigl(\bigcup_{n\in\N}S_n\bigr)\le\kappaである。▨

4 小さい純部分加群の存在

補題 4.1.RRを単位的結合環、κ\kappaを#(R)≤κ\#(R)\le\kappaを満たす無限基数、MMを右RR-加群、L⊆ML\subseteq Mを#(L)≤κ\#(L)\le\kappaを満たす部分加群とする。このとき、L⊆L′⊆ML\subseteq L'\subseteq Mおよび#(L′)≤κ\#(L')\le\kappaを満たす部分加群L′L'であって、LLに定数をもつ有限連立方程式系がMMで解けるならばL′L'で解けるものが存在する。

証明.LLに定数をもつ有限連立方程式系でMMで解けるものの全体をΣ\Sigmaとし、各σ∈Σ\sigma\in\SigmaについてMMにおける解x1(σ),…,xn(σ)(σ)x_1(\sigma),\ldots,x_{n(\sigma)}(\sigma)を一組選ぶ。非負整数m,nm,nを固定すると、LLに定数をもつ系で添字が(m,n)(m,n)のものの全体はRnm×LmR^{nm}\times L^mと全単射で対応する。この集合は、nm+m≥1nm+m\ge1のとき補題 3.1 (1)により濃度が高々κ\kappaであり、nm+m=0nm+m=0のとき一点集合である。#(N≥0×N≥0)=ℵ0≤κ\#(\N\times\N)=\aleph_0\le\kappaであるので、補題 3.1 (2)により#(Σ)≤κ\#(\Sigma)\le\kappaである。

Z:=⋃σ∈Σ{x1(σ),…,xn(σ)(σ)}Z:=\bigcup_{\sigma\in\Sigma}\{x_1(\sigma),\ldots,x_{n(\sigma)}(\sigma)\}と置く。各集合{x1(σ),…,xn(σ)(σ)}\{x_1(\sigma),\ldots,x_{n(\sigma)}(\sigma)\}は有限であるので、補題 3.1 (2)により#(Z)≤κ\#(Z)\le\kappaである。同じ補題を二元の添字集合に適用して#(L∪Z)≤κ\#(L\cup Z)\le\kappaを得る。L′:=⟨L∪Z⟩L':=\langle L\cup Z\rangleと置く。補題 3.1 (3)により#(L′)≤κ\#(L')\le\kappaであり、L⊆L′L\subseteq L'である。LLに定数をもつ系σ∈Σ\sigma\in\Sigmaの解xj(σ)x_j(\sigma)はZ⊆L′Z\subseteq L'に属するので、σ\sigmaはL′L'で解ける。▨

定理 4.2.RRを単位的結合環、κ\kappaを#(R)≤κ\#(R)\le\kappaを満たす無限基数、MMを右RR-加群、X⊆MX\subseteq Mを#(X)≤κ\#(X)\le\kappaを満たす部分集合とする。このとき、X⊆NX\subseteq Nおよび#(N)≤κ\#(N)\le\kappaを満たすMMの純部分加群NNが存在する。さらにMMが右平坦ならば、NNとM/NM/Nは右平坦である。

証明.N0:=⟨X⟩N_0:=\langle X\rangleと置く。補題 3.1 (3)により#(N0)≤κ\#(N_0)\le\kappaである。部分加群NiN_i(i∈N≥0i\in\N) で#(Ni)≤κ\#(N_i)\le\kappaを満たすものが定まったとき、補題 4.1をL=NiL=N_iに適用して得られる部分加群L′L'をNi+1N_{i+1}とする。こうして部分加群の増大列N0⊆N1⊆⋯⊆MN_0\subseteq N_1\subseteq\cdots\subseteq Mを定め、N:=⋃i∈N≥0NiN:=\bigcup_{i\in\N}N_iと置く。増大列の和集合であるのでNNは部分加群であり、X⊆N0⊆NX\subseteq N_0\subseteq Nである。#(N≥0)=ℵ0≤κ\#(\N)=\aleph_0\le\kappaであるので、補題 3.1 (2)により#(N)≤κ\#(N)\le\kappaである。

NNに定数a1,…,am∈Na_1,\ldots,a_m\in Nをもつ有限連立方程式系σ\sigmaがMMで解けるとする。列(Ni)i(N_i)_iは増大するので、すべてのaia_iを含むNiN_iが存在する。補題 4.1の性質によりσ\sigmaはNi+1N_{i+1}で解け、Ni+1⊆NN_{i+1}\subseteq Nであるのでσ\sigmaはNNで解ける。したがって、補題 1.3によりNNはMMの純部分加群である。

MMが右平坦であるとする。右RR-加群の短完全列0→N→M→M/N→00\to N\to M\to M/N\to0において、包含N→MN\to Mは普遍単射である。したがって、§E6.15 命題 5.1 (2)によりNNとM/NM/Nは右平坦である。▨

例 4.3.RRを無限環とし、M=RRM=R_R、X={1}X=\{1\}とする。11を含む部分加群NNは、任意のr∈Rr\in Rについてr=1⋅r∈Nr=1\cdot r\in Nを満たすので、N=RN=Rである。したがってκ\kappaをκ<#(R)\kappa<\#(R)を満たす無限基数とすると、#(X)≤κ\#(X)\le\kappaであるが、XXを含み濃度が高々κ\kappaの部分加群は存在しない。定理 4.2の仮定#(R)≤κ\#(R)\le\kappaは、この例で必要である。RRR_Rは右平坦であるので、平坦性の結論もこの仮定なしには濃度の制御を与えない。

5 Kaplansky 条件

定義 5.1. 右RR-加群のクラスC\mathcal CがKaplansky 条件 (Kaplansky condition) を満たす（Kaplansky class である）とは、ある基数κ\kappaが存在して、任意のM∈CM\in\mathcal Cと任意のx∈Mx\in Mに対し、x∈Nx\in N、#(N)≤κ\#(N)\le\kappa、N∈CN\in\mathcal C、M/N∈CM/N\in\mathcal Cを満たすMMの部分加群NNが存在することをいう。

定理 5.2.RRを単位的結合環とする。このとき、右平坦RR-加群のクラスは、κ=max⁡(#(R),ℵ0)\kappa=\max(\#(R),\aleph_0)について Kaplansky 条件を満たす。

証明.MMを右平坦RR-加群、x∈Mx\in Mとする。κ\kappaは#(R)≤κ\#(R)\le\kappaを満たす無限基数であり、X={x}X=\{x\}は#(X)=1≤κ\#(X)=1\le\kappaを満たす。したがって、定理 4.2により、x∈Nx\in N、#(N)≤κ\#(N)\le\kappaを満たす部分加群NNで、NNとM/NM/Nが右平坦であるものが存在する。▨

6 演習

問題 6.1. 次の各問に答えよ。

  1. A1⊆B1A_1\subseteq B_1とA2⊆B2A_2\subseteq B_2を右RR-加群の純部分加群とする。このとき、A1⊕A2A_1\oplus A_2がB1⊕B2B_1\oplus B_2の純部分加群であることを示せ。
  2. Z\Z-加群BBの純部分加群AAと整数n≥1n\ge1について、A∩Bn=AnA\cap Bn=Anが成り立つことを示せ。
  3. 補題 2.3の仮定を、「任意のλ,μ∈Λ\lambda,\mu\in\Lambdaに対して、Nλ∪Nμ⊆NνN_\lambda\cup N_\mu\subseteq N_\nuを満たすν∈Λ\nu\in\Lambdaが存在する」に弱めても、結論が成り立つことを示せ。
解答.
  1. A1⊕A2A_1\oplus A_2に定数(ai,ai′)(a_i,a'_i)(1≤i≤m1\le i\le m) をもつ系σ\sigmaが、B1⊕B2B_1\oplus B_2の解(xj,xj′)(x_j,x'_j)(1≤j≤n1\le j\le n) をもつとする。このとき∑jxjrji=ai\sum_jx_jr_{ji}=a_iおよび∑jxj′rji=ai′\sum_jx'_jr_{ji}=a'_iが成り立つ。A1A_1はB1B_1の純部分加群であり、A2A_2はB2B_2の純部分加群であるので、補題 1.3により、第一の系はA1A_1に解yjy_jをもち、第二の系はA2A_2に解yj′y'_jをもつ。このとき(yj,yj′)∈A1⊕A2(y_j,y'_j)\in A_1\oplus A_2はσ\sigmaの解である。したがって、補題 1.3により主張が成り立つ。
  2. An⊆A∩BnAn\subseteq A\cap Bnは明らかである。a∈A∩Bna\in A\cap Bnとし、a=bna=bnを満たすb∈Bb\in Bを取る。m=n=1m=n=1、r11=nr_{11}=nとした系x⋅n=ax\cdot n=aはAAに定数をもち、BBに解bbをもつ。AAは純部分加群であるので、補題 1.3により、この系はAAに解a′a'をもつ。このときa=a′n∈Ana=a'n\in Anである。
  3. N:=⋃λNλN:=\bigcup_\lambda N_\lambdaは、有向性によりMMの部分加群である。NNに定数a1,…,ama_1,\ldots,a_mをもつ系σ\sigmaがMMで解けるとする。各aia_iを含むNλiN_{\lambda_i}を取る。有向性をmmに関する帰納法で用いると、Nλ1,…,NλmN_{\lambda_1},\ldots,N_{\lambda_m}のすべてを含むNνN_\nuが存在する。m=0m=0のときは任意のν∈Λ\nu\in\Lambdaを取る。NνN_\nuはMMの純部分加群であるので、補題 1.3によりσ\sigmaはNνN_\nuで解け、Nν⊆NN_\nu\subseteq Nであるのでσ\sigmaはNNで解ける。したがって、補題 1.3によりNNはMMの純部分加群である。

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参考文献

  1. T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1999.純部分加群と平坦加群の関係、および左右の加群の対応を参考にした。
  2. The Stacks Project Authors, The Stacks Project.加群の濃度を制御する部分加群の構成の書き方を参考にした。

前提記事