§E6.40遺伝環

証明.$F$の基底を§E1.20 定理 2.1 (2)によって整列し、§E1.16 定理 3.1によって$(e_\alpha)_{\alpha<\kappa}$と添字付ける。ただし$\kappa$は順序数である。各$\alpha\le\kappa$に対して

と置く。すると$M_0=0$、$M_\kappa=M$であり、$(M_\alpha)_{\alpha\le\kappa}$は包含について増加する。

$\alpha<\kappa$に対し、$e_\alpha$の係数を取る射$F_{\alpha+1}\to R$の$M_{\alpha+1}$への制限を$p_\alpha$とする。その像$I_\alpha=p_\alpha(M_{\alpha+1})$は$R$の左イデアルであり、$\ker p_\alpha=M_\alpha$である。したがって短完全列

を得る。$I_\alpha$は射影的であるので、§E6.14 命題 1.3 (2)により$p_\alpha$は切断をもつ。§E1.20 定理 2.1 (1)によって各$\alpha<\kappa$について切断$s_\alpha\colon I_\alpha\to M_{\alpha+1}$を選び、$P_\alpha=s_\alpha(I_\alpha)$と置く。このとき

であり、$P_\alpha$は射影的である。

$0<\lambda\le\kappa$を極限順序数とする。$M_\lambda$の元は基底$(e_\beta)_{\beta<\lambda}$に関して有限台をもつ。有限台に属する添字より大きい$\alpha<\lambda$を取ることができるので、その元は$M_\alpha$に属する。よって

である。

§E1.17 定理 1.1 (1)を順序数$\kappa+1$に適用する。$M_0$は空族の内部直和である。$M_\alpha=\bigoplus_{\beta<\alpha}P_\beta$が成り立つならば、上の分裂により$M_{\alpha+1}=\bigoplus_{\beta<\alpha+1}P_\beta$である。$\lambda\le\kappa$が極限順序数で、それより前の段階で内部直和表示が成り立つとする。$M_\lambda$の任意の元はある$M_\alpha$に属するので、$P_\beta$の元の有限和として表される。また、$P_\beta$の元の間の有限関係は、関係に現れるすべての添字より大きい$\alpha<\lambda$に対して$M_\alpha$内の関係となる。$M_\alpha$の内部直和表示により、その関係の各成分は零である。したがって極限段階でも内部直和表示が成り立つ。以上から

を得る。§E6.14 命題 2.1 (1)により$M$は射影的である。▨

証明.条件 (a)を仮定し、射影左$R$加群$P$の部分加群$M$を取る。§E6.14 命題 1.3 (3)により$P$は自由左$R$加群$F$の直和因子と同型である。したがって$M$を$F$の部分加群とみなすことができ、補題 1.2により$M$は射影的である。これで(a)$\Rightarrow$(b)は示された。逆に、左正則加群$R$は自由であるので、§E6.14 系 1.2を用いて条件 (b)を$P=R$に適用すれば条件 (a)を得る。

条件 (b)を仮定し、左$R$加群$M$を取る。§E6.14 系 1.2により全射$F\to M$をもつ自由左$R$加群$F$が存在する。その核$K$は仮定により射影的である。完全列$0\to K\to F\to M\to0$は長さ一の射影分解を与えるので、$\operatorname{pd}_RM\le1$である。したがって条件 (c)が成り立つ。

§E6.39 定理 3.1を$n=1$に適用すると、(c)$\Leftrightarrow$(d)を得る。

条件 (d)を仮定し、射影左$R$加群$P$とその部分加群$K$を取る。短完全列$0\to K\to P\to P/K\to0$に§E6.36 系 3.1を適用すると、任意の左$R$加群$N$に対して

である。§E6.36 定理 3.3により$K$は射影的であり、条件 (b)を得る。

条件 (a)を仮定し、入射左$R$加群$E$と部分加群$N\subseteq E$を取る。商写像を$q\colon E\to E/N$とする。左イデアル$I\subseteq R$と$R$線形写像$f\colon I\to E/N$に対して、$I$の射影性により$qg=f$を満たす$g\colon I\to E$が存在する。$E$の入射性により$g$は$\widetilde g\colon R\to E$へ延長される。すると$q\widetilde g$は$f$の延長である。§E6.16 定理 2.1により$E/N$は入射的であり、条件 (e)が成り立つ。

条件 (e)を仮定し、任意の左$R$加群$M,N$を取る。§E6.16 定理 5.4により$N$を入射左$R$加群$E$に埋め込み、$C=E/N$と置く。仮定により$C$は入射的である。§E6.36 系 4.2と§E6.36 定理 4.1により

である。したがって条件 (d)を得る。▨

証明.条件 (a)を仮定する。$n=0$では$R^0=0$の部分加群は零加群だけであり、射影的である。$n\ge1$とし、$R^{n-1}$の任意の有限生成部分加群が射影的であると仮定する。$M\subseteq R^n$を有限生成部分加群とし、最後の座標への射影を$M$に制限した射を$p\colon M\to R$とする。像$I=p(M)$は有限生成左イデアルであるので射影的である。したがって§E6.14 命題 1.3 (2)により

は分裂する。$K$は$M$の直和因子であるので、§E6.9 命題 4.1 (2)により有限生成である。また$K\subseteq R^{n-1}\oplus0$であるので、帰納仮定により射影的である。$M\cong K\oplus I$と§E6.14 命題 2.1 (1)により$M$も射影的である。帰納法から、すべての$n\in\N$について$R^n$の任意の有限生成部分加群は射影的である。

$P$を任意の射影左$R$加群、$M\subseteq P$を有限生成部分加群とする。§E6.14 命題 1.3 (3)により$P$を自由加群$F=\bigoplus_{i\in J}Re_i$の直和因子とみなす。$M$の有限生成系の各元は$F$の基底に関して有限台をもつので、生成系の台の和集合$J_0\subseteq J$は有限である。したがって$M\subseteq\bigoplus_{i\in J_0}Re_i$である。この有限自由加群に前段の結論を適用すると$M$は射影的である。これで(a)$\Rightarrow$(c)は示された。

条件 (c)は、$P$を有限生成の場合に限れば条件 (b)を与える。条件 (b)を$P=R$に適用すると、任意の有限生成左イデアルが射影的となるので条件 (a)を得る。▨