§E6.21Artin 環

$J^q$は左イデアルであるため、Artin 性からある$n\geq1$で$J^n=J^{n+1}$となる。定理 1.4により

である。${}_AA$は Artin 加群であり、その socle 列は全体へ達するまで真に増大する。したがって隣り合う二項の等号から$\operatorname{soc}_n(A)=A$が従う。さらに$\operatorname{Ann}_A(J^n)=A$であるから$1_A\in\operatorname{Ann}_A(J^n)$であり、$J^n=J^n1_A=0$となる。この第一の証明は有限長性、有限生成性および中山の補題を用いない。

$A$は$k$上三次元であるから左右の Artin 環である。§E6.6 例 5.3により$J=kE_{12}$であり、$J^2=0$である。$a=\left(\begin{smallmatrix}x&y\\0&z\end{smallmatrix}\right)$について$E_{12}a=zE_{12}$、$aE_{12}=xE_{12}$である。定理 1.4により

であり、同じ定理を左 Artin 環$A^{\mathrm{op}}$に適用すると、右加群の socle は

である。$E_{11}$は前者に属し後者に属さないから、二つの socle は異なる。

$J^2=0$から$\operatorname{soc}_2({}_AA)=\operatorname{Ann}_A(J^2)=A$である。$E_{11}$が張る部分空間は$aE_{11}=xE_{11}$から左イデアルであり、一次元であるから単純である。

の各商は一次元の左$A$加群であり、部分加群は部分空間でもあるから単純である。したがってこれは組成列であり、${}_AA$の長さは$3$である。

$J:=J(A)$と置き、$M$を任意の左$A$加群として$JM=M$と仮定する。各$q\geq1$について$J^qM=M$を帰納法で示す。$q=1$のときは仮定である。$J^qM=M$ならば、$J^{q+1}$の生成元$ab$（$a\in J$、$b\in J^q$）について$(ab)x=a(bx)$であるから$J^{q+1}M=J(J^qM)=JM=M$である。定理 2.1により$J^N=0$を満たす$N\geq1$が存在するから、$M=J^NM=0$である。一方、§E6.6 例 5.3により$J(\Z_{(p)})=p\Z_{(p)}$である。$\Q$の任意の元$c$は$c=p\cdot(c/p)$と書かれるから$p\Z_{(p)}\Q=\Q$であり、$\Q\neq0$である。$\Z_{(p)}$は Artin 環でない。実際、$\Z_{(p)}\supsetneq p\Z_{(p)}\supsetneq p^2\Z_{(p)}\supsetneq\cdots$は停止しない降鎖であり、$p^q\notin p^{q+1}\Z_{(p)}$は$p^q=p^{q+1}(a/s)$（$p\nmid s$）から$s=pa$となる矛盾から従う。

$A$を左 Artin 環、$M$を有限生成左$A$加群とする。有限生成性の定義§E6.9 定義 1.1により、ある整数$r\geq0$と全射$\pi\colon A^r\twoheadrightarrow M$が存在する。定理 2.1により${}_AA$は有限長である。$0\leq s<r$について短完全列

へ§E6.17 定理 5.1を$s=0$から順に適用すると、$A^0=0$から始めて$A^r$も有限長である。短完全列$0\to\ker\pi\to A^r\xrightarrow{\pi}M\to0$へ同じ定理を適用すると、$M$は有限長である。§E6.17 定理 4.3により$M$は Noether 加群かつ Artin 加群である。有限生成の仮定を外すと、§E6.19 例 3.3の可算無限直和$\bigoplus_{i\geq1}k$が、Artin 環である体$k$上の有限長でない加群を与える。

各$q\geq1$について$(2^{q+1})$は$(2^q)$の真の部分イデアルであるため、表示した降鎖は停止せず、$\Z$は Artin 環ではない。一方、どの非零整数もそれを割らない素数が生成する極大イデアルには属さないため、すべての極大イデアルの共通部分は零であり、$J(\Z)=0$である。根基冪が停止する一例があっても、Noether 性だけから一般の降鎖停止は従わない。

系 7.1の証明のとおり、$A$が右 Artin 環なら$A^{\mathrm{op}}$は左 Artin 環である。左側の定理を$A^{\mathrm{op}}$へ適用し、左$A^{\mathrm{op}}$加群を右$A$加群へ戻すと、有限長性と右 Noether 性を得る。Jacobson 根基は反対環を取っても同じ部分集合であり、その冪零性も保たれる。有限生成右加群は有限生成左$A^{\mathrm{op}}$加群であるため、左側の有限生成加群に関する系から有限長性が従う。

$L$を冪零元だけからなる$A$の左イデアルとすると、§E6.6 命題 4.3により$L\subseteq J(A)$である。一方、定理 2.1により$J(A)^N=0$を満たす$N$が存在するから、$J(A)$の各元$x$は$x^N\in J(A)^N=0$を満たし冪零である。$J(A)$は左イデアルであるから、冪零元だけからなる左イデアルのうちで最大のものである。

$A=M_2(k)$とする。§E6.4 定理 6.3により$A$は単純環であり、$J(A)$は両側イデアルで$1_A\notin J(A)$であるから$J(A)=0$である。$E_{12}^2=0$と$E_{21}^2=0$から$E_{12},E_{21}$は零でない冪零元である。一方$(E_{12}+E_{21})^2=E_{11}+E_{22}=I_2$であるから、$E_{12}+E_{21}$のすべての冪は$I_2$または$E_{12}+E_{21}$に等しく、零にならない。したがって冪零元全体は加法について閉じていない。