§E6.30Nakayama 代数

証明.$U\subseteq M$を部分加群とする。$U$の部分加群は$M$の部分加群でもあるので、包含関係で全順序をなす。$M/U$の部分加群は$U$を含む$M$の部分加群と包含関係を保って対応するので、商も uniserial である。$M=X\oplus Y$ならば$X\subseteq Y$または$Y\subseteq X$であり、$X\cap Y=0$から一方は零である。

$M$が有限長であるとし、組成列$0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_n=M$を取る。部分加群$U\subseteq M$に対し、$i:=\ell_R(U)$と置く。$U$と$M_i$は比較可能であり、長さが等しいので、§E6.17 定理 5.1により$U=M_i$である。$1\le i\le n$では$M_i$の唯一の極大部分加群は$M_{i-1}$であり、$0\le i<n$では$M/M_i$の唯一の単純部分加群は$M_{i+1}/M_i$である。根基列と socle 列の定義から、それぞれ$M_{n-j}$と$M_i$が得られる。左 Artin 環の場合の等式は、§E6.21 系 1.3を各根基列の項へ適用して得られる。▨

証明.$A$が左 serial 環であると仮定し、${}_AA=U_1\oplus\cdots\oplus U_r$を非零 uniserial 加群への分解とする。各$U_i$は有限次元であるから有限長であり、補題 1.2により直既約である。原始冪等元$e$に対して$A=Ae\oplus A(1-e)$であり、§E6.27 定理 3.5 (1)により$Ae$は直既約である。$A(1-e)$を§E6.23 定理 4.3 (1)によって直既約分解し、§E6.23 定理 4.3 (2)を適用すると、$Ae$はある$U_i$と同型になる。したがって$Ae$は uniserial である。

逆に、すべての原始冪等元$e$について$Ae$が uniserial であると仮定する。$A\ne0$ならば、§E6.27 補題 3.6による分解$A=\bigoplus_iAe_i$が左 serial 性を与える。$A=0$ならば空直和を用いる。右加群は左$A^{\mathrm{op}}$加群であり、原始冪等元は反対環でも同じ元であるから、左の場合を$A^{\mathrm{op}}$に適用すると右の場合を得る。▨

証明. 左正則加群を$A=\bigoplus_{i=1}^rU_i$と uniserial 左加群に分解する。$I$の左作用は各$U_i$を保つので、$I=IA=\bigoplus_iIU_i$であり、

である。補題 1.2により各商は uniserial 左$A$加群である。§E6.19 系 5.1により、その部分加群は左$A/I$部分加群と一致するので、$A/I$は左 serial 環である。この議論を$A^{\mathrm{op}}$と両側イデアル$I$に適用すると、右 serial 性も従う。商環の片側イデアルの降鎖は逆像を取ると$A$の同じ側のイデアルの降鎖になるので停止する。$A$が有限次元代数ならば商も有限次元である。▨

証明.$S$を単純左$A$加群とし、§E6.27 命題 3.4によって$S\cong Ae'/Je'$となる原始冪等元$e'$を取る。§E6.28 命題 3.3 (1)により$E(S)\cong D(e'A)$である。ここで$e'A$は右$A$加群であり、$D(e'A)=\Hom_K(e'A,K)$は左$A$加群である。右 serial 性と補題 2.3により$e'A$は uniserial である。§E6.28 命題 2.2 (4)の部分加群の反順序対応から$D(e'A)$も uniserial である。$E(S)$は有限次元であり、$J^kE(S)=0$であるから、補題 1.2により$\ell_A(E(S))\le k$となる。

$P$を Loewy 長$k$の直既約射影左加群とする。§E6.27 系 4.4 (2)により$P\cong Ae$となる原始冪等元$e$が存在する。左 serial 性と補題 2.3により$P$は uniserial であり、補題 1.2により$\ell_A(P)=k$である。同じ補題により$S':=\operatorname{soc}_A(P)$は単純であり、すべての非零部分加群に含まれる。

入射包絡への包含$S'\inj E(S')$を、入射性によって$f\colon P\to E(S')$へ延長する。$\ker f\ne0$ならば$S'\subseteq\ker f$となるが、$f$の$S'$への制限は単射であるため矛盾する。したがって$f$は単射である。$f(P)$は$E(S')$の本質的部分加群$S'$を含むので、本質的である。長さの加法性§E6.17 定理 5.1と前段の評価から

となる。したがって$E(S')/f(P)$の長さは零であり、$f$は同型である。よって$P$は入射的である。▨

証明.$1=\sum_i e_i$と直交性から、$M=\bigoplus_i e_iM$は$K$線形空間の直和である。$e_iM$は一般には左$A$部分加群ではないが、

であるから、ある$i$と$x\in e_iM$について$J^{t-1}x\ne0$となる。$e_ix=x$なので、写像

は全射な左$A$線形写像である。補題 2.3と補題 1.2により$Ax$は uniserial である。$J^tAx=0$および$J^{t-1}Ax\ne0$から、同じ補題により$\ell_A(Ax)=t$となる。$Ae_i$の部分加群は根基冪で尽くされ、長さ$t$の商をもつ部分加群は$J^tAe_i$に限られるので、この全射の核は$J^tAe_i$である。

$B:=A/J^t$、$\bar e_i:=e_i+J^t$と置く。命題 2.4により$B$は Nakayama 代数である。左$B$加群${}_BB$の部分加群は左$A$部分加群と一致するので、その根基は§E6.21 系 1.3により$JB=J/J^t$である。したがって$J(B)=J/J^t$となる。$J^{t-1}=J^t$ならば$J^{t-1}M=J^tM=0$となるので、$J^{t-1}/J^t\ne0$である。よって$B$の Loewy 長は$t$である。

§E6.27 補題 3.1により$Ax\cong B\bar e_i$である。$B\bar e_i$は$B$の直和因子なので射影的であり、非零 uniserial 加群なので直既約である。その長さは$t$であるから、命題 3.1により$Ax$は左$B$加群として入射的である。$J^tM=0$であるから$M$も左$B$加群であり、§E6.16 命題 1.2 条件 (d)により$M=Ax\oplus N$となる左$B$部分加群$N$が存在する。§E6.19 系 5.1により、これは左$A$加群としても直和分解である。▨

証明.$M$は有限生成であり、$A$は有限次元なので、$M$は有限次元であり有限長である。$\ell_A(M)$に関する帰納法を用いる。長さが零ならば空直和となる。$M\ne0$ならば、§E6.27 補題 3.6の完全系を取り、補題 3.2によって$M\cong Ae/J^tAe\oplus N$と分解する。§E6.17 定理 5.1により$\ell_A(N)=\ell_A(M)-t<\ell_A(M)$である。$N$は有限次元なので有限生成でもあり、帰納法の仮定を適用することができる。これで主張 (1)は示された。

$M$が直既約ならば、$M$の$Ae/J^tAe$型の加群への直和分解では、非零因子は一つに限られる。逆に、$1\le t\le\ell_A(Ae)$に対して、補題 2.3と補題 1.2により$Ae/J^tAe$は長さ$t$の uniserial 加群であり、直既約である。その根基は$Je/J^tAe$であるから、top は$Ae/Je$と同型である。これで主張 (2)は示された。

$M/JM\cong N/JN$かつ$\ell_A(M)=\ell_A(N)=t$と仮定し、前項により$M\cong Ae/J^tAe$、$N\cong Af/J^tAf$と表す。top の同型と§E6.27 定理 3.5 (4)から$Ae\cong Af$となる。この同型は$J^tAe$を$J^tAf$に写すので、商の同型$M\cong N$を誘導する。逆に加群の同型は根基と長さを保つので、主張 (3)の逆向きも従う。▨

証明.定理 4.1 (2)により$M$は uniserial である。補題 1.2により$S:=\operatorname{soc}_A(M)$は単純であり、すべての非零部分加群に含まれる。$S\inj E(S)$を入射性によって$f\colon M\to E(S)$へ延長する。$\ker f\ne0$ならば$S\subseteq\ker f$となり、$f$の$S$への制限が単射であることに反する。よって$f$は単射である。命題 3.1により$E(S)$は有限長 uniserial 加群であるから、補題 1.2により長さ$t$の部分加群$f(M)$は$\operatorname{soc}_{A,t}(E(S))$に一致する。

逆に、有限長 uniserial 加群の部分加群列の記述から、$\operatorname{soc}_{A,t}(E(S))$は長さ$t$の非零 uniserial 加群であり、直既約である。§E6.28 定理 1.2 (2)により$E(S)$の socle は$S$と同型であり、この socle は各非零部分加群の socle に一致する。入射包絡の一意性§E6.16 定理 9.4と、同型が socle 列を保つことから、socle と長さによる一意性が従う。▨