§E6.47PID 上の自由加群の部分加群

証明.§E1.20 定理 2.1 (2)により$I$に整列順序を入れ、§E1.16 定理 3.1により順序数$\kappa$と順序同型$\theta\colon\kappa\to I$を取る。$e_{\theta(\alpha)}$を$u_\alpha$と書き、各$\alpha\leq\kappa$に対して

とおく。特に$N_0=0$、$N_\kappa=N$である。

各$\alpha<\kappa$に対し、$u_\alpha$の係数を取る$R$-線形写像を$p_\alpha\colon F_{\alpha+1}\to R$とする。$A_\alpha=p_\alpha(N_{\alpha+1})$は$R$のイデアルであり、$p_\alpha$の$N_{\alpha+1}$への制限の核は$N_\alpha$である。$S=\{\alpha<\kappa\mid A_\alpha\ne0\}$とおく。$R$は単項イデアル整域なので、各$\alpha\in S$に対して$A_\alpha=d_\alpha R$となる$d_\alpha\ne0$が存在し、$p_\alpha(x_\alpha)=d_\alpha$となる$x_\alpha\in N_{\alpha+1}$が存在する。選択公理により、そのような対$(d_\alpha,x_\alpha)$をすべての$\alpha\in S$について選ぶ。

各$\alpha\leq\kappa$に対して、族$(x_\beta)_{\beta\in S\cap\alpha}$は$N_\alpha$に値を取る。§E6.3 補題 4.5により、この族を標準基底の像とする$R$-線形写像

が一意に定まる。

$\varphi_0$は零加群から零加群への同型である。$\alpha<\kappa$とし、$\varphi_\alpha$が同型であると仮定する。$\alpha\notin S$ならば$A_\alpha=0$なので$N_{\alpha+1}=N_\alpha$であり、$S\cap(\alpha+1)=S\cap\alpha$から$\varphi_{\alpha+1}=\varphi_\alpha$である。$\alpha\in S$ならば、任意の$y\in N_{\alpha+1}$に対して$p_\alpha(y)=a d_\alpha$となる$a\in R$が存在する。$y-a x_\alpha\in N_\alpha$であるから$N_{\alpha+1}=N_\alpha+Rx_\alpha$である。また、$a x_\alpha\in N_\alpha$ならば$a d_\alpha=0$となる。$R$は整域で$d_\alpha\ne0$なので$a=0$であり、写像$R\to Rx_\alpha$,$a\mapsto a x_\alpha$は同型である。したがって

であり、$\varphi_\alpha$が同型であることと合わせて$\varphi_{\alpha+1}$も同型である。

$0<\lambda\leq\kappa$を極限順序数とし、すべての$\alpha<\lambda$で$\varphi_\alpha$が同型であると仮定する。任意の$y\in N_\lambda$は基底$(u_\beta)_{\beta<\lambda}$に関して有限台をもつ。$\lambda$は極限順序数なので、その台のすべての添字より大きい$\alpha<\lambda$を取ることができる。台が空の場合は$\alpha=0$とする。すると$y\in N_\alpha$であり、$\varphi_\alpha$の全射性から$y$は$\varphi_\lambda$の像に属する。一方、$z\in\ker\varphi_\lambda$も$S\cap\lambda$上の有限台をもつので、ある$\alpha<\lambda$に対して$z\in R^{\oplus(S\cap\alpha)}$である。$\varphi_\lambda$のこの部分加群への制限は、$\varphi_\alpha$と包含$N_\alpha\subseteq N_\lambda$の合成に等しい。$\varphi_\alpha$は単射なので$z=0$であり、$\varphi_\lambda$は同型である。

§E1.17 定理 1.1 (1)と§E1.17 定理 1.1 (3)を順序数$\kappa+1$に適用すると、すべての$\alpha\leq\kappa$に対して$\varphi_\alpha$は同型である。特に§E6.3 定義 4.6 (3)より$(x_\alpha)_{\alpha\in S}$は$N$の基底であり、$J=\theta(S)\subseteq I$とおけば$(x_{\theta^{-1}(j)})_{j\in J}$が所要の基底となる。非零可換環上の基底の濃度は§E6.10 系 2.11により不変なので、$\#J\leq\#I$が階数不等式を与える。▨

証明.$P$を射影$R$-加群とする。§E6.14 命題 1.3 (3)により、ある自由$R$-加群$F$と$R$-加群$Q$に対して$F\cong P\oplus Q$となる。この同型により$P$を$F$の部分加群と同一視すると、定理 1.1より$P$は自由である。▨

証明.$u,v\in L$に対し、交代性と双線形性から

を得る。

$a_i,b_i\in R$が$\sum_i(a_ix_i+b_iy_i)=0$を満たすとする。第二変数を$y_j$として、この等式の両辺に双線形形式を適用すると$a_j=0$を得る。第二変数を$x_j$として同じ双線形形式を適用すると$-b_j=0$を得る。したがって、$x_1,y_1,\ldots,x_m,y_m$は$H$の基底である。

表示された式で定めた$p$は$R$線形であり、各$j$について$p(x_j)=x_j$、$p(y_j)=y_j$である。よって$p|_H=\id_H$である。また、任意の$z\in L$と各$j$について

であるから、反対称性により$z-p(z)\in H^\perp$である。したがって$L=H+H^\perp$である。$z\in H^\perp$ならば$Q(z,x_i)=Q(z,y_i)=0$であり、$p(z)=0$である。$p|_H=\id_H$と合わせると$H\cap H^\perp=0$を得る。ゆえに$L=H\oplus H^\perp$であり、$p$はこの分解の$H$成分への射影である。

$R$が非零単項イデアル整域であり、$L$が階数$2m$の自由加群であるとする。定理 1.1により$H^\perp$は有限階数の自由加群である。その階数を$r$とすると、直和分解から$L$の$2m+r$個の元からなる基底を得る。§E6.10 系 2.11により$2m+r=2m$なので、$r=0$となる。したがって$H^\perp=0$である。▨

証明.$L$の階数を$n$とする。$n=0$の場合、空の基底が結論を満たす。$n>0$とし、階数が$n$より小さい自由$R$加群について主張が成り立つと仮定する。

$L$の基底の元を一つ取り、$x$とおく。§E6.3 補題 4.5により、$x$での値が$1$、他の基底の元での値が$0$である$R$線形写像$f\colon L\to R$が存在する。$\Phi_Q$は全射であるから、$\Phi_Q(y)=-f$を満たす$y\in L$が存在する。補題 3.3の反対称性により、$Q(x,y)=-Q(y,x)=f(x)=1$となる。

補題 3.3により、$H=Rx+Ry$は基底$x,y$をもつ。また、$N=H^\perp$とおくと$L=H\oplus N$である。定理 1.1により$N$は有限階数の自由加群である。その階数を$r$とすると、$H$と$N$の基底を合わせて$L$の基底を得るので、§E6.10 系 2.11により$n=2+r$である。特に$r<n$である。

$Q_N=Q|_{N\times N}$とおく。$Q_N$は交代形式である。$\Phi_{Q_N}(z)=0$となる$z\in N$を取ると、$Q(z,N)=0$である。$z\in H^\perp$から$Q(H,z)=0$である。したがって、反対称性により$Q(z,H)=0$である。$L=H\oplus N$により$\Phi_Q(z)=0$となるので、$\Phi_Q$の単射性から$z=0$を得る。

$\lambda\in\Hom_R(N,R)$を取り、直和分解の射影を$\pi_N\colon L\to N$とする。$\Phi_Q$の全射性により、$\Phi_Q(w)=\lambda\circ\pi_N$を満たす$w\in L$が存在する。任意の$h\in H$に対して$Q(w,h)=\lambda(\pi_N(h))=0$であるから、反対称性により$Q(h,w)=0$となり、$w\in H^\perp=N$である。$N$へ制限すると$\Phi_{Q_N}(w)=\lambda$を得る。よって$\Phi_{Q_N}$は同型であり、$Q_N$はユニモジュラーである。

帰納法の仮定を$(N,Q_N)$へ適用し、得られた基底に$x,y$を加える。$H$と$N$は直交する。また、補題 3.3の反対称性により逆順の対も零である。したがって、得られた基底は結論の等式を満たす。▨