§E6.43Mittag–Leffler 加群

証明.§E6.9 定理 2.2によって$P=R^n/K$という表示を取り、$K$の有限生成元を$r_a=(r_{a1},\ldots,r_{an})$、$1\le a\le m$とする。右$R$-加群$A$に対し、アーベル群の準同型

を取る。§E6.15 補題 7.1により、$A\otimes_R P\cong A^n/\im d_A$であり、この同型は$A$について自然である。

$A=\prod_iN_i$と置く。$m,n$は有限なので、$A^m\cong\prod_iN_i^m$および$A^n\cong\prod_iN_i^n$の下で$d_A=\prod_i d_{N_i}$となる。各成分で原像を取ることにより、

である。したがって成分ごとの商写像は全射であり、その核は$\im d_A$に等しい。よって

を得る。商のテンソル表示の自然性により、この同型は$\rho_{P,(N_i)}$である。▨

証明.命題 1.2により、任意の右加群の族に対する比較写像は同型であり、特に単射である。▨

証明.$g$が$f$を支配すると仮定し、押出し$Q=B\amalg_A C$と標準写像$\beta\colon B\to Q$、$\gamma\colon C\to Q$を取る。§E6.3 命題 3.2 (4)の商表示において、$\gamma(c)=0$は$(0,c)=(f(a),-g(a))$となる$a\in A$の存在と同値である。したがって$\ker\gamma=g(\ker f)$である。

任意の右$R$-加群$N$を取る。§E6.12 定理 17.1により、$N\otimes_R Q$は$1_N\otimes f$と$1_N\otimes g$のアーベル群としての押出しである。押出しの商表示から、

を得る。よって$\gamma$は普遍単射である。さらに商表示から

である。余核は有限表示なので、§E6.15 系 7.3により、$r\gamma=1_C$を満たす線形写像$r\colon Q\to C$が存在する。$h=r\beta$と置くと、$hf=r\beta f=r\gamma g=g$である。

逆に$g=hf$とすると、任意の右加群$N$に対し$1_N\otimes g=(1_N\otimes h)(1_N\otimes f)$である。したがって$\ker(1_N\otimes f)\subseteq\ker(1_N\otimes g)$となる。▨

証明.条件 (a)を仮定し、対象$j$を固定する。条件 (b)を満たす射が存在しないと仮定する。$j$を始点とする射全体の集合を$U_j$とする。各$u\colon j\to k$に対し、右加群$N_u$と元

を取る。$A=\prod_{u\in U_j}N_u$と置くと、命題 1.2により、$\rho_{M_j,(N_u)}(z)=(z_u)_u$を満たす元$z\in A\otimes_R M_j$が存在する。比較写像の自然性から、$(1_A\otimes f_j)(z)$の各成分は零である。$M$は Mittag–Leffler 加群なので、$(1_A\otimes f_j)(z)=0$である。

§E6.12 定理 17.1と§E6.9 定理 8.4 (3)により、ある射$u_0\colon j\to k_0$で$(1_A\otimes f_{u_0})(z)=0$となる。座標射影$A\to N_{u_0}$をテンソルすると、

を得る。これは$z_{u_0}\notin\ker(1_{N_{u_0}}\otimes f_{u_0})$に矛盾する。したがって条件 (b)が成り立つ。

条件 (b)を仮定し、右加群の族$(N_i)_{i\in I}$と$z\in\ker\rho_{M,(N_i)}$を取る。$A=\prod_iN_i$と置く。§E6.12 定理 17.1と§E6.9 定理 8.4 (1)により、ある対象$j$と元$z_j\in A\otimes_R M_j$が存在して$z=(1_A\otimes f_j)(z_j)$となる。対象$j$に対し、条件 (b)の射$u\colon j\to k$を取る。

$z_j$の第$i$成分は$N_i\otimes_R M$で零になるので、核の等式によって$N_i\otimes_R M_k$でも零になる。命題 1.2を$M_k$に適用すると、$(1_A\otimes f_u)(z_j)=0$である。よって$z=0$であり、条件 (a)が成り立つ。

条件 (b)の射$u\colon j\to k$を取る。任意の射$v\colon k\to l$と右加群$N$に対して

であるから、両端の等号によって条件 (c)が成り立つ。

条件 (c)を仮定し、対象$j$に対応する射$u\colon j\to k$を取る。右加群$N$と$x\in\ker(1_N\otimes f_j)$を取る。§E6.12 定理 17.1と§E6.9 定理 8.4 (3)により、ある射$w\colon j\to t$に対して$(1_N\otimes f_w)(x)=0$である。§E6.9 補題 8.3を射$u,w$に適用すると、射$v\colon k\to l$と$a\colon t\to l$で$vu=aw$となるものが存在する。したがって$(1_N\otimes f_{vu})(x)=0$である。核の安定性から$(1_N\otimes f_u)(x)=0$となる。逆包含は$f_j=f_kf_u$から従うので、条件 (b)が成り立つ。

射$u\colon j\to k$と$v\colon k\to l$を取る。$M_j$は有限生成なので、その像$f_{vu}(M_j)$も有限生成である。$M_l$は有限表示であるから、§E6.9 定理 4.3 (1)により$\coker f_{vu}=M_l/f_{vu}(M_j)$は有限表示である。

$f_{vu}=f_vf_u$から$\ker(1_N\otimes f_u)\subseteq\ker(1_N\otimes f_{vu})$は常に成り立つ。逆包含がすべての右加群$N$について成り立つことは、$f_u$が$f_{vu}$を支配することである。補題 2.2により、この支配は$f_u=h f_{vu}$となる$h\colon M_l\to M_k$の存在と同値である。よって(c)$\Leftrightarrow$(d)が成り立つ。

条件 (d)を仮定し、対応する射$u\colon j\to k$、任意の射$v\colon k\to l$、および$f_u=h f_{vu}$を満たす$h$を取る。任意の左$R$-加群$L$と線形写像$\psi\colon M_k\to L$に対して$\psi f_u=(\psi h)f_{vu}$であるから、$f_u$による前合成の像は$f_{vu}$による前合成の像に含まれる。逆包含は$f_{vu}=f_vf_u$から従う。よって条件 (e)が成り立つ。

条件 (e)を仮定し、対応する射$u\colon j\to k$と任意の射$v\colon k\to l$を取る。$L=M_k$と置くと、$1_{M_k}f_u$は$f_u$による前合成の像に属する。像の等式から$h f_{vu}=f_u$を満たす$h\colon M_l\to M_k$が存在する。したがって条件 (d)が成り立つ。▨

証明. Mittag–Leffler 左$R$-加群の族$(M_b)_{b\in B}$と右$R$-加群の族$(N_i)_{i\in I}$を取る。$A=\prod_iN_i$と置く。§E6.12 命題 18.1の同型の下で、直和$\bigoplus_b M_b$の比較写像は

となる。最初の写像は各成分が単射なので単射である。最後の写像によって零へ送られる元は、各$(i,b)$成分が零であり、もとの直和の各$b$成分も零である。したがって最後の写像も単射であり、主張 (1)が成り立つ。

$M=P\oplus Q$が Mittag–Leffler 加群であるとする。§E6.12 命題 18.1と二項の直和の座標分解により、$\rho_{M,(N_i)}$は$\rho_{P,(N_i)}\oplus\rho_{Q,(N_i)}$と同一視される。前者の単射性から$\rho_{P,(N_i)}$も単射である。よって主張 (2)が成り立つ。▨

証明.§E6.14 命題 1.3 (3)により、射影加群$P$はある自由加群$R^{(B)}$の直和因子である。${}_RR$は有限表示なので、系 1.3と命題 4.1により$R^{(B)}$とその直和因子$P$は Mittag–Leffler 加群である。▨