§E6.25Noether 環上の入射加群の分解

証明.$M$のどの部分加群も uniform でないと仮定する。$B_0:=M$と置き、$n\ge1$に対して非零部分加群$A_n,B_n\subseteq M$を帰納的に取る。非零部分加群$B_{n-1}$は uniform でないので、$A_n\cap B_n=0$を満たす非零部分加群$A_n,B_n\subseteq B_{n-1}$が存在する。

$n=1$のときは$A_1\cap B_1=0$である。$n\ge2$とし、$(A_1+\cdots+A_{n-1})\cap B_{n-1}=0$が成り立つとする。$a_k\in A_k$（$1\le k\le n$）と$b\in B_n$が$a_1+\cdots+a_n=b$を満たすとする。$a_n\in A_n\subseteq B_{n-1}$かつ$b\in B_n\subseteq B_{n-1}$であるので、$a_1+\cdots+a_{n-1}=b-a_n\in(A_1+\cdots+A_{n-1})\cap B_{n-1}=0$であり、$a_n=b\in A_n\cap B_n=0$である。したがって$(A_1+\cdots+A_n)\cap B_n=0$であり、$n$に関する帰納法により、各$n\ge1$について$(A_1+\cdots+A_n)\cap B_n=0$が成り立つ。

$n\ge2$について、$A_n\subseteq B_{n-1}$であるので$(A_1+\cdots+A_{n-1})\cap A_n\subseteq(A_1+\cdots+A_{n-1})\cap B_{n-1}=0$であり、$A_n\ne0$であるので$A_1+\cdots+A_{n-1}\subsetneq A_1+\cdots+A_n$である。したがって

は停止しない部分加群の昇鎖であり、$M$が Noether 加群であることに反する。よって$M$は uniform な部分加群を含む。▨

証明.$x\in E\setminus\{0\}$を取る。$Rx$は左 Noether 環$R$上の有限生成左加群であるので、§E6.18 命題 5.1により Noether 加群である。$Rx\ne0$であるので、補題 1.1により$Rx$は uniform な部分加群$U$を含む。§E6.16 補題 9.3を入射加群$E$とその部分加群$U$に適用すると、$E=E_U\oplus C$を満たし、包含写像$U\to E_U$が$U$の入射包絡であるような部分加群$E_U,C\subseteq E$が存在し、$E_U$は入射加群である。$U$は uniform であるので、§E6.24 命題 2.1により$E_U$は直既約である。したがって$E_1:=E_U$と$C$が求めるものである。▨

証明.$E$の直既約入射部分加群からなる集合$\mathcal S$であって、和$\sum_{S\in\mathcal S}S$が族$(S)_{S\in\mathcal S}$の内部直和であるもの全体を$\mathfrak F$と置き、$\mathfrak F$に包含関係で順序を入れる。$\varnothing\in\mathfrak F$であるので$\mathfrak F$は空でない。$\mathfrak C\subseteq\mathfrak F$を空でない鎖とし、$\mathcal U:=\bigcup_{\mathcal S\in\mathfrak C}\mathcal S$と置く。$S\in\mathcal U$と$x\in S\cap\sum_{T\in\mathcal U\setminus\{S\}}T$を取ると、$x=x_1+\cdots+x_n$（$x_k\in T_k$、$T_1,\ldots,T_n\in\mathcal U\setminus\{S\}$）と書くことができる。$S,T_1,\ldots,T_n$はそれぞれ$\mathfrak C$のある元に属し、$\mathfrak C$は鎖であるので、これらすべてを含む$\mathcal S_0\in\mathfrak C$が存在する。$\mathcal S_0$の和は内部直和であるので、§E6.2 命題 6.8 (3)により$x\in S\cap\sum_{T\in\mathcal S_0\setminus\{S\}}T=0$である。したがって$\mathcal U$の和は内部直和であり、$\mathcal U\in\mathfrak F$は$\mathfrak C$の上界である。空の鎖は$\varnothing$を上界にもつ。Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により、$\mathfrak F$は極大元$\mathcal M$をもつ。

$N:=\sum_{S\in\mathcal M}S$と置く。§E6.2 命題 6.8 (1)により$N$は$\bigoplus_{S\in\mathcal M}S$と同型である。各$S\in\mathcal M$は入射加群であり、$R$は左 Noether 環であるので、Bass–Papp の定理§E6.18 定理 8.1により$\bigoplus_{S\in\mathcal M}S$は入射加群であり、したがって$N$は入射加群である。§E6.16 命題 1.2 条件 (d)により、$E=N\oplus C$を満たす部分加群$C\subseteq E$が存在する。$C$は入射加群$E$の直和因子であるので、§E6.16 命題 1.3 (2)により入射加群である。

$C\ne0$と仮定する。命題 2.1により、$C=C_1\oplus C'$を満たし$C_1$が直既約入射加群であるような部分加群$C_1,C'\subseteq C$が存在する。$C_1\subseteq C$かつ$N\cap C=0$であるので$C_1\cap N=0$である。$S\in\mathcal M$と$x\in S\cap\bigl(\sum_{T\in\mathcal M\setminus\{S\}}T+C_1\bigr)$を取り、$x=y+c$（$y\in\sum_{T\in\mathcal M\setminus\{S\}}T$、$c\in C_1$）と書くと、$c=x-y\in N\cap C_1=0$であり、$x=y\in S\cap\sum_{T\in\mathcal M\setminus\{S\}}T=0$である。したがって§E6.2 命題 6.8 (3)により$\mathcal M\cup\{C_1\}$の和は内部直和であり、$\mathcal M\cup\{C_1\}\in\mathfrak F$である。$C_1\ne0$かつ$C_1\cap N=0$であるので$C_1\notin\mathcal M$であり、$\mathcal M\cup\{C_1\}$は$\mathcal M$を真に含む。これは$\mathcal M$の極大性に反する。よって$C=0$であり、$E=N$である。$I:=\mathcal M$、$E_S:=S$（$S\in\mathcal M$）と置けば、$(E_S)_{S\in I}$が求める族である。$E=0$ならば$E$は非零部分加群をもたないので$\mathcal M=\varnothing$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$E$は直既約入射加群であるので、§E6.24 定理 3.2により$E$は uniform であり、$J$は核が零でない自己準同型全体に一致する。$E\ne0$であるので零写像の核$E$は非零であり、$0\in K_E(M)$である。$f,g\in K_E(M)$を取る。$\ker f$と$\ker g$は$E$の非零部分加群であるので、$E$の uniform 性により$\ker f\cap\ker g\ne0$であり、$\ker f\cap\ker g\subseteq\ker(f+g)$であるので$f+g\in K_E(M)$である。$\ker(-f)=\ker f$であるので$-f\in K_E(M)$である。$f\in\Hom_R(E,M)$と$a\in J$を取ると、$\ker a\ne0$かつ$\ker a\subseteq\ker(f\circ a)$であるので$f\circ a\in K_E(M)$である。これは$\Hom_R(E,M)\,J\subseteq K_E(M)$を与える。$f\in K_E(M)$と$a\in A\setminus J$を取ると、$a$は$E$の自己同型であり、$\ker(f\circ a)=a^{-1}(\ker f)\ne0$であるので$f\circ a\in K_E(M)$である。したがって$K_E(M)$は右$A$-部分加群である。

主張 (2)を示す。主張 (1)により商$H_E(M)=\Hom_R(E,M)/K_E(M)$は右$A$-加群であり、$\Hom_R(E,M)\,J\subseteq K_E(M)$により$J$の元は$H_E(M)$に零として作用する。したがって$a+J=a'+J$ならば$f\circ a+K_E(M)=f\circ a'+K_E(M)$であり、$(f+K_E(M))(a+J):=f\circ a+K_E(M)$は代表の取り方によらず定まる。右$D$-加群の公理は、右$A$-加群$H_E(M)$の公理から従う。

主張 (3)を示す。$f\in K_E(M)$ならば$\ker f\subseteq\ker(\varphi\circ f)$であるので$\varphi\circ f\in K_E(M')$であり、$H_E(\varphi)$は代表の取り方によらず定まる。合成の加法性により$H_E(\varphi)$は加法的であり、合成の結合律により

である。$H_E(1_M)=1_{H_E(M)}$と$H_E(\psi\circ\varphi)=H_E(\psi)\circ H_E(\varphi)$は定義から従う。$\varphi$が同型ならば、$H_E(\varphi^{-1})\circ H_E(\varphi)=H_E(1_M)=1_{H_E(M)}$かつ$H_E(\varphi)\circ H_E(\varphi^{-1})=1_{H_E(M')}$であるので、$H_E(\varphi)$は同型である。▨

証明.$f\in\Hom_R(E,M)$を取る。$E\ne0$であるので$x\in E\setminus\{0\}$を取る。$p_i\colon M\to M_i$を座標射影とし、$F:=\{i\in I:p_i(f(x))\ne0\}$と置く。$f(x)\in\bigoplus_{i\in I}M_i$であるので$F$は有限集合であり、$f(x)=\sum_{i\in F}\iota_i(p_i(f(x)))$である。$g:=\sum_{i\in F}\iota_i\circ p_i\circ f\in\Hom_R(E,M)$と置くと、$(f-g)(x)=f(x)-\sum_{i\in F}\iota_i(p_i(f(x)))=0$であるので、$x\in\ker(f-g)\setminus\{0\}$であり、$f-g\in K_E(M)$である。したがって$H_E(M)$において

であり、右辺は、$i\in F$で成分$p_i\circ f+K_E(M_i)$をもち$i\notin F$で成分$0$をもつ$\bigoplus_{i\in I}H_E(M_i)$の元の$\Phi$による像である。したがって$\Phi$は全射である。

$\xi=(\xi_i)_{i\in I}\in\bigoplus_{i\in I}H_E(M_i)$が$\Phi(\xi)=0$を満たすとする。$F:=\{i\in I:\xi_i\ne0\}$は有限集合である。各$i\in F$について$\xi_i=f_i+K_E(M_i)$を満たす$f_i\in\Hom_R(E,M_i)$を取り、$g:=\sum_{i\in F}\iota_i\circ f_i\in\Hom_R(E,M)$と置くと、$\Phi(\xi)=g+K_E(M)$である。$\Phi(\xi)=0$であるので$g\in K_E(M)$であり、$y\in\ker g\setminus\{0\}$が存在する。$j\in F$を取る。$p_j\circ\iota_i$は$i=j$のとき$1_{M_j}$、$i\ne j$のとき$0$であるので、$f_j(y)=p_j(g(y))=0$である。したがって$y\in\ker f_j\setminus\{0\}$であり、$f_j\in K_E(M_j)$、すなわち$\xi_j=0$である。これは$j\in F$に反する。よって$F=\varnothing$であり、$\xi=0$である。したがって$\Phi$は単射である。▨

証明.主張 (1)を示す。$E$は非零入射加群であり、$F$は直既約であるので、§E6.24 補題 3.1により単射$f\colon E\to F$は同型である。

主張 (2)を示す。$E$と$F$が同型でないとする。主張 (1)により$\Hom_R(E,F)$の元はすべて核が零でないので、$K_E(F)=\Hom_R(E,F)$であり、$H_E(F)=0$である。

主張 (3)を示す。§E6.24 定理 3.2により、$A$の非単元全体$J$は核が零でない自己準同型全体$K_E(E)$に一致する。したがって$H_E(E)=A/J=D$であり、命題 3.2 (2)の右$D$-作用$(a+J)(b+J)=a\circ b+J$は$D$の乗法に一致する。$\varphi\colon E\to F$を同型とすると、命題 3.2 (3)により$H_E(\varphi)\colon D\to H_E(F)$は右$D$-加群の同型である。右$D$-加群$D$について、一元からなる族$(1)$に対応する写像$D^{\oplus\{1\}}\to D$は同型であるので$(1)$は基底であり、§E6.19 命題 7.1 (3)により$(H_E(\varphi)(1))$は$H_E(F)$の基底である。したがって$\dim_DH_E(F)=1$である。▨

証明.$\psi\colon\bigoplus_{i\in I}E_i\to\bigoplus_{j\in J}F_j$を同型とする。

主張 (1)を示す。$E$を直既約入射左$R$-加群とし、$D$と$H_E$を命題 3.2のものとし、$I_E:=\{i\in I:E_i\cong E\}$、$J_E:=\{j\in J:F_j\cong E\}$と置く。命題 3.4 (2)により$i\in I\setminus I_E$について$H_E(E_i)=0$である。選択公理§E1.20 定理 2.1 (1)により各$i\in I_E$について同型$\varphi_i\colon E\to E_i$を取ると、命題 3.4 (3)により$H_E(\varphi_i)\colon D\to H_E(E_i)$は右$D$-加群の同型である。したがって$\bigoplus_{i\in I_E}H_E(\varphi_i)\colon D^{\oplus I_E}\to\bigoplus_{i\in I_E}H_E(E_i)$は右$D$-加群の同型であり、$i\in I\setminus I_E$について$H_E(E_i)=0$であるので、$\bigoplus_{i\in I_E}H_E(E_i)=\bigoplus_{i\in I}H_E(E_i)$である。命題 3.3の同型と合わせて、右$D$-加群の同型$\theta\colon D^{\oplus I_E}\to H_E\bigl(\bigoplus_{i\in I}E_i\bigr)$を得る。§E6.3 命題 4.7により標準基底$(\delta_i)_{i\in I_E}$は$D^{\oplus I_E}$の基底であるので、§E6.19 命題 7.1 (3)により$(\theta(\delta_i))_{i\in I_E}$は$H_E\bigl(\bigoplus_{i\in I}E_i\bigr)$の基底であり、$\dim_DH_E\bigl(\bigoplus_{i\in I}E_i\bigr)=|I_E|$である。同じ議論により$\dim_DH_E\bigl(\bigoplus_{j\in J}F_j\bigr)=|J_E|$である。命題 3.2 (3)により$H_E(\psi)$は右$D$-加群の同型であるので、§E6.19 命題 7.1 (3)と§E6.19 命題 7.1 (2)により$|I_E|=|J_E|$である。

主張 (2)を示す。$I$上の関係「$E_i\cong E_{i'}$」は同値関係であり、その商集合を$P$と置く。$C\in P$に対して、$i\in C$を一つ取って$J_C:=\{j\in J:F_j\cong E_i\}$と置くと、$C$の二元$i,i'$について$E_i\cong E_{i'}$であるので、$J_C$は$i\in C$の取り方によらない。$i\in C$について$C=\{i'\in I:E_{i'}\cong E_i\}$であるので、主張 (1)を$E=E_i$に適用すると、$C$と$J_C$は等濃である。したがって、各$C\in P$について$C$から$J_C$への全単射全体の集合$B_C$は空でなく、選択公理§E1.20 定理 2.1 (1)により、各$C\in P$に全単射$\sigma_C\in B_C$を対応させる写像$C\mapsto\sigma_C$が存在する。

$C,C'\in P$と$j\in J_C\cap J_{C'}$に対して、$i\in C$、$i'\in C'$を取ると$E_i\cong F_j\cong E_{i'}$であるので$C=C'$である。したがって$C\ne C'$ならば$J_C\cap J_{C'}=\varnothing$である。$j\in J$を取る。主張 (1)を$E=F_j$に適用すると、$\{i\in I:E_i\cong F_j\}$は$j$を元にもつ$\{j'\in J:F_{j'}\cong F_j\}$と等濃であるので空でなく、その元$i$の属する類$C\in P$について$j\in J_C$である。したがって$J=\bigcup_{C\in P}J_C$である。

$i\in I$に対して、$i$の属する類を$C_i\in P$と書き、$\sigma(i):=\sigma_{C_i}(i)$と定める。$\sigma(i)\in J_{C_i}$であるので$F_{\sigma(i)}\cong E_i$である。$i,i'\in I$が$\sigma(i)=\sigma(i')$を満たすならば、$J_{C_i}\cap J_{C_{i'}}\ne\varnothing$であるので$C_i=C_{i'}$であり、$\sigma_{C_i}$の単射性により$i=i'$である。$j\in J$に対して$j\in J_C$を満たす$C\in P$を取ると、$\sigma_C$の全射性により$j=\sigma_C(i)=\sigma(i)$を満たす$i\in C$が存在する。したがって$\sigma$は全単射である。▨

証明. 内部直和表示の存在は定理 2.2である。二つの内部直和表示に対して、§E6.2 命題 6.8 (1)により$\bigoplus_{i\in I}E_i\cong E\cong\bigoplus_{j\in J}F_j$であるので、定理 4.1 (2)により求める全単射$\sigma$が存在する。▨

証明.$j\colon N\to M$を包含写像、$p\colon M\to N$を表示$M=N\oplus L$に関する$N$への射影、$\iota_i\colon M_i\to M$を包含写像とすると、$p\circ j=1_N$である。$N\ne0$であるので$x\in N\setminus\{0\}$を取る。$F:=\{i\in I:\pi_i(x)\ne0\}$は有限集合であり、$x=\sum_{i\in F}\iota_i(\pi_i(x))$である。各$i\in F$について$e_i:=p\circ\iota_i\circ\pi_i\circ j\in\End_R(N)$と置き、$u:=1_N-\sum_{i\in F}e_i\in\End_R(N)$と置く。

であるので、$\ker u\ne0$である。$N$は直既約入射加群であるので、§E6.24 定理 3.2により$\End_R(N)$は局所環であり、核が零でない$u$は非単元である。$u+\sum_{i\in F}e_i=1_N$であるので、§E6.23 補題 2.3により$u$と$e_i$（$i\in F$）のいずれかは単元であり、$u$は非単元であるので、ある$i\in F$について$e_i=(p\circ\iota_i)\circ(\pi_i\circ j)$は単元である。$v$を$e_i$の逆元とすると$(v\circ p\circ\iota_i)\circ(\pi_i\circ j)=1_N$であるので、$\pi_i\circ j=\pi_i|_N\colon N\to M_i$は単射である。$N$と$M_i$は直既約入射加群であるので、命題 3.4 (1)により$\pi_i|_N$は同型である。

$B:=\sum_{k\in I\setminus\{i\}}M_k$と置く。$M=\bigoplus_{k\in I}M_k$は内部直和であるので、§E6.2 命題 6.8 (3)により$M_i\cap B=0$であり、$M=M_i\oplus B$である。この表示に関する$M_i$への射影は$\pi_i$である。$\pi_i|_N$は同型であるので、§E6.23 補題 4.1により$M=N\oplus B$であり、$B$は族$(M_k)_{k\in I\setminus\{i\}}$の内部直和である。▨