§E6.32Brauer 群の定義

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同じ体上の中心単純代数にはテンソル積を施すことができる。これらの代数を同型類によって分類すると、全行列代数の次数も区別される。Brauer 同値は、行列代数をテンソルした後の同型によって、行列次数の違いを除いて中心単純代数を比較するための概念である。たとえば、体KKとM2(K)M_2(K)は同じ Brauer 類を表す。Brauer 群は中心単純代数論の基本的な対象であり、テンソル積と反対代数を、同値類の積と逆元として扱うための群である。本記事では、Brauer 群の定義とその基本性質について解説する。

1 行列安定化と Brauer 同値

補題 1.1.KKを体とする。このとき、正の整数m,nm,nに対して、KK-代数同型

κm,n ⁣:Mm(K)⊗KMn(K)→ ≅ Mmn(K)\kappa_{m,n}\colon M_m(K)\otimes_KM_n(K) \xrightarrow{\ \cong\ } M_{mn}(K)

が存在する。第一因子と第二因子の行列単位をそれぞれEijE_{ij}とFpqF_{pq}と書くと、この同型は

Eij⊗Fpq⟼G(i−1)n+p,(j−1)n+qE_{ij}\otimes F_{pq} \longmapsto G_{(i-1)n+p,(j-1)n+q}

によって定まる。

証明.EijE_{ij}の全体とFpqF_{pq}の全体は、それぞれMm(K)M_m(K)とMn(K)M_n(K)のKK-基底である。テンソル積の基底に関する§E6.26 命題 5.5の証明により、

{Eij⊗Fpq∣1≤i,j≤m, 1≤p,q≤n}\{E_{ij}\otimes F_{pq}\mid 1\leq i,j\leq m,\ 1\leq p,q\leq n\}

は左辺のKK-基底である。右辺に現れるG(i−1)n+p,(j−1)n+qG_{(i-1)n+p,(j-1)n+q}の全体はMmn(K)M_{mn}(K)の行列単位を重複なく尽くす。したがって表示した対応は、ただ一つのKK-線形同型κm,n\kappa_{m,n}を定める。

行列単位の積を計算すると、

(Eij⊗Fpq)(Ekℓ⊗Frs)=δjkδqrEiℓ⊗Fps\begin{aligned} &(E_{ij}\otimes F_{pq})(E_{k\ell}\otimes F_{rs})\\ &\qquad =\delta_{jk}\delta_{qr} E_{i\ell}\otimes F_{ps} \end{aligned}

である。一方、対応する右辺の行列単位の積は

G(i−1)n+p,(j−1)n+qG(k−1)n+r,(ℓ−1)n+s=δjkδqrG(i−1)n+p,(ℓ−1)n+sG_{(i-1)n+p,(j-1)n+q} G_{(k-1)n+r,(\ell-1)n+s} =\delta_{jk}\delta_{qr} G_{(i-1)n+p,(\ell-1)n+s}

である。よってκm,n\kappa_{m,n}は積を保つ。また

Im⊗In=∑i=1m∑p=1nEii⊗FppI_m\otimes I_n =\sum_{i=1}^m\sum_{p=1}^nE_{ii}\otimes F_{pp}

はImnI_{mn}へ移るため、κm,n\kappa_{m,n}は単位元を保つ。したがってκm,n\kappa_{m,n}はKK-代数同型である。▨

定義 1.2.KKを体とし、A,BA,Bを中心単純KK-代数とする。正の整数m,nm,nが存在して

A⊗KMm(K)≅B⊗KMn(K)A\otimes_KM_m(K) \cong B\otimes_KM_n(K)

がKK-代数同型として成り立つとき、AAとBBはBrauer 同値 (Brauer equivalence) であるといい、

A∼BrBA\sim_{\mathrm{Br}}B

と書く。

命題 1.3.KKを体とする。このとき、中心単純KK-代数の全体において、関係∼Br\sim_{\mathrm{Br}}は反射律、対称律および推移律を満たす。

証明. 任意の中心単純KK-代数AAに対して、

A⊗KM1(K)≅AA\otimes_KM_1(K)\cong A

であるからA∼BrAA\sim_{\mathrm{Br}}Aである。したがって反射律が成り立つ。

A∼BrBA\sim_{\mathrm{Br}}Bを与えるKK-代数同型の逆写像は、B∼BrAB\sim_{\mathrm{Br}}Aを与える。したがって対称律が成り立つ。

A∼BrBA\sim_{\mathrm{Br}}BおよびB∼BrCB\sim_{\mathrm{Br}}Cとする。正の整数m,n,p,qm,n,p,qとKK-代数同型

A⊗KMm(K)≅B⊗KMn(K),B⊗KMp(K)≅C⊗KMq(K)A\otimes_KM_m(K)\cong B\otimes_KM_n(K), \qquad B\otimes_KM_p(K)\cong C\otimes_KM_q(K)

を取る。第一の同型にMp(K)M_p(K)を、第二の同型にMn(K)M_n(K)をテンソルし、結合同型と因子交換同型§E6.26 命題 5.4を用いると、

A⊗KMm(K)⊗KMp(K)≅B⊗KMn(K)⊗KMp(K)≅B⊗KMp(K)⊗KMn(K)≅C⊗KMq(K)⊗KMn(K)\begin{aligned} A\otimes_KM_m(K)\otimes_KM_p(K) &\cong B\otimes_KM_n(K)\otimes_KM_p(K)\\ &\cong B\otimes_KM_p(K)\otimes_KM_n(K)\\ &\cong C\otimes_KM_q(K)\otimes_KM_n(K) \end{aligned}

を得る。結合同型が代数同型であることは、純テンソルについて

((a⊗x)⊗y)((a′⊗x′)⊗y′)⟼aa′⊗(xx′⊗yy′)((a\otimes x)\otimes y)((a'\otimes x')\otimes y') \longmapsto aa'\otimes(xx'\otimes yy')

となることから従う。補題補題 1.1によって二つの行列因子をまとめると、

A⊗KMmp(K)≅C⊗KMqn(K)A\otimes_KM_{mp}(K) \cong C\otimes_KM_{qn}(K)

となる。よってA∼BrCA\sim_{\mathrm{Br}}Cであり、推移律が成り立つ。▨

Artin–Wedderburn の定理により、行列安定化は単純 Artin 環の分類における行列次数の違いを除く操作として解釈することができる。

命題 1.4.KKを体とする。このとき、任意の中心単純KK-代数AAに対して、ある正の整数rrと有限次元中心斜体DDが存在し、

A≅Mr(D)A\cong M_r(D)

がKK-代数同型として成り立つ。

証明.§E6.31 命題 2.1により、正の整数rrとZ(D)=K1DZ(D)=K1_Dを満たす有限次元斜体KK-代数DDが存在して、A≅Mr(D)A\cong M_r(D)がKK-代数同型として成り立つ。▨

例 1.5.KKを体、nnを正の整数とする。このとき、Mn(K)M_n(K)は§E6.26 定理 4.1により中心単純KK-代数である。Brauer 同値の定義でm=1m=1、右辺の行列次数をnnとすれば、

Mn(K)⊗KM1(K)≅K⊗KMn(K)M_n(K)\otimes_KM_1(K) \cong K\otimes_KM_n(K)

である。したがって

Mn(K)∼BrKM_n(K)\sim_{\mathrm{Br}}K

であり、すべての全行列代数はKKと同じ Brauer 類を表す。

例 1.6.C\CをR\R-代数とみなすと、C\Cは有限次元単純R\R-代数である。しかし

Z(C)=C≠R1Z(\C)=\C\neq\R1

であるため、C\Cは中心単純R\R-代数ではない。したがってC\Cは、本記事で定義するBr⁡(R)\operatorname{Br}(\R)の代表元にはならない。有限次元性と単純性だけでは Brauer 群の対象を定めるには不十分である。

2 中心単純代数のテンソル積

定義 2.1.KKを体とする。KK-線形空間V,WV,Wと非零元z∈V⊗KWz\in V\otimes_KWに対して、

z=∑i=1rvi⊗wiz=\sum_{i=1}^r v_i\otimes w_i

と表示することができる正の整数rrの最小値を、zzのテンソル長 (tensor length) という。

テンソル長が最小である表示のv1,…,vrv_1,\ldots,v_rとw1,…,wrw_1,\ldots,w_rは、それぞれ一次独立である。例えばwr=∑i<rciwiw_r=\sum_{i<r}c_iw_iならば

∑i=1rvi⊗wi=∑i<r(vi+civr)⊗wi\sum_{i=1}^rv_i\otimes w_i =\sum_{i<r}(v_i+c_iv_r)\otimes w_i

となり、より短い表示が得られるからである。viv_iの場合も同じ議論が成り立つ。

補題 2.2.KKを体とし、AAを中心単純KK-代数、BBを単位的結合的KK-代数とする。このとき、A⊗KBA\otimes_KBの任意の非零両側イデアルIIは、ある非零元b∈Bb\in Bに対する

1A⊗b1_A\otimes b

を含む。

証明.§E6.31 補題 3.1をA,B,IA,B,Iに適用すると、ある0≠b∈B0\neq b\in Bが存在して1A⊗b∈I1_A\otimes b\in Iとなる。▨

定理 2.3.KKを体とし、A,BA,Bを中心単純KK-代数とする。このときA⊗KBA\otimes_KBも中心単純KK-代数である。

証明.§E6.26 定理 5.1によりA⊗KBA\otimes_KBは単位的結合的KK-代数である。また§E6.26 命題 5.5により有限次元である。

AAは非零有限次元KK-線形空間であるから、KK-線形写像ε ⁣:A→K\varepsilon\colon A\to Kでε(1A)=1\varepsilon(1_A)=1を満たすものが存在する。テンソル積上の誘導写像§E6.12 命題 12.1によってε⊗id⁡B\varepsilon\otimes\operatorname{id}_Bが定まり、

(ε⊗id⁡B)(1A⊗b)=b(\varepsilon\otimes\operatorname{id}_B)(1_A\otimes b)=b

となる。したがって写像b↦1A⊗bb\mapsto1_A\otimes bは単射である。特に1A⊗1B≠01_A\otimes1_B\neq0であり、A⊗KBA\otimes_KBは非零である。

§E6.31 補題 3.2を有限次元単純KK-代数AAと有限次元中心単純KK-代数BBに適用すると、A⊗KBA\otimes_KBは単純である。

z∈Z(A⊗KB)z\in Z(A\otimes_KB)を取り、b1,…,brb_1,\ldots,b_rが一次独立となる表示

z=∑i=1rai⊗biz=\sum_{i=1}^ra_i\otimes b_i

を選ぶ。任意のx∈Ax\in Aに対して

0=(x⊗1B)z−z(x⊗1B)=∑i=1r(xai−aix)⊗bi0=(x\otimes1_B)z-z(x\otimes1_B) =\sum_{i=1}^r(xa_i-a_ix)\otimes b_i

である。bib_iの一次独立性からxai=aixxa_i=a_ixがすべてのiiについて成り立つ。したがってai∈Z(A)=K1Aa_i\in Z(A)=K1_Aである。よってz=1A⊗bz=1_A\otimes bを満たすb∈Bb\in Bが存在する。任意のy∈By\in Bに対して

0=(1A⊗b)(1A⊗y)−(1A⊗y)(1A⊗b)=1A⊗(by−yb)0=(1_A\otimes b)(1_A\otimes y) -(1_A\otimes y)(1_A\otimes b) =1_A\otimes(by-yb)

である。写像b↦1A⊗bb\mapsto1_A\otimes bは単射であるから、by=ybby=ybを得る。よってb∈Z(B)=K1Bb\in Z(B)=K1_Bである。したがって

Z(A⊗KB)=K(1A⊗1B)Z(A\otimes_KB)=K(1_A\otimes1_B)

となる。有限次元性、単純性および中心性をすべて得たため、A⊗KBA\otimes_KBは中心単純KK-代数である。▨

3 包絡代数と自己準同型環

反対代数により、右からの乗法を左作用として記述することができる。

定理 3.1.KKを体とし、AAを中心単純KK-代数とする。このとき、写像

ΦA ⁣:A⊗KAop⟶End⁡K(A),ΦA(a⊗bop)(x):=axb\Phi_A\colon A\otimes_KA^{\mathrm{op}} \longrightarrow\operatorname{End}_K(A), \qquad \Phi_A(a\otimes b^{\mathrm{op}})(x):=axb

はKK-代数同型である。特にd=dim⁡KAd=\dim_KAと置くと、

A⊗KAop≅Md(K)A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\cong M_d(K)

である。

証明. 写像(a,b)↦(x↦axb)(a,b)\mapsto(x\mapsto axb)はaaとbbのそれぞれについてKK線形であるため、テンソル積の普遍性によってKK-線形写像ΦA\Phi_Aを定める。AopA^{\mathrm{op}}の積では順序が逆になるので、

(a⊗bop)(c⊗dop)=ac⊗(db)op(a\otimes b^{\mathrm{op}})(c\otimes d^{\mathrm{op}}) =ac\otimes(db)^{\mathrm{op}}

である。任意のx∈Ax\in Aに対して

ΦA(ac⊗(db)op)(x)=acxdb,(ΦA(a⊗bop)∘ΦA(c⊗dop))(x)=a(cxd)b=acxdb\begin{aligned} \Phi_A(ac\otimes(db)^{\mathrm{op}})(x) &=acxdb,\\ \bigl(\Phi_A(a\otimes b^{\mathrm{op}}) \circ\Phi_A(c\otimes d^{\mathrm{op}})\bigr)(x) &=a(cxd)b=acxdb \end{aligned}

となる。さらにΦA(1A⊗1Aop)=id⁡A\Phi_A(1_A\otimes1_A^{\mathrm{op}})=\operatorname{id}_Aであるから、ΦA\Phi_Aは単位元を保つKK-代数準同型である。

§E6.26 命題 3.1によりAopA^{\mathrm{op}}は中心単純KK-代数であり、定理 2.3によりA⊗KAopA\otimes_KA^{\mathrm{op}}は単純環である。ker⁡ΦA\ker\Phi_Aはこの環の両側イデアルである。一方、ΦA(1A⊗1Aop)=id⁡A≠0\Phi_A(1_A\otimes1_A^{\mathrm{op}})=\operatorname{id}_A\neq0であるから、ΦA\Phi_Aは零写像ではなく、核は環全体ではない。単純性によりker⁡ΦA=0\ker\Phi_A=0である。よってΦA\Phi_Aは単射である。

d=dim⁡KAd=\dim_KAと置く。反対代数の次元とテンソル積の次元に関する§E6.26 命題 3.1と§E6.26 命題 5.5により、

dim⁡K(A⊗KAop)=d2\dim_K(A\otimes_KA^{\mathrm{op}})=d^2

である。一方、AAのKK-基底e1,…,ede_1,\ldots,e_dを選ぶと、KK-線形自己準同型は各eie_iの像によって一意に定まり、各像はdd個の係数をもつ。したがって

dim⁡KEnd⁡K(A)=d2\dim_K\operatorname{End}_K(A)=d^2

である。同じ有限次元をもつ線形空間の間の単射であるから、ΦA\Phi_Aは全射でもある。

選んだ基底に関する行列表示は、合成を行列積へ写すKK-代数同型

End⁡K(A)≅Md(K)\operatorname{End}_K(A)\cong M_d(K)

を与える。二つの同型を合成すると、A⊗KAop≅Md(K)A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\cong M_d(K)を得る。▨

4 Brauer 類の可換群

定理 4.1.KKを体とし、中心単純KK-代数AAの Brauer 同値類を[A][A]と書く。同値類の全体をBr⁡(K)\operatorname{Br}(K)と書く。このとき、演算

[A]⋅[B]:=[A⊗KB][A]\cdot[B]:=[A\otimes_KB]

はBr⁡(K)\operatorname{Br}(K)上で well-defined であり、Br⁡(K)\operatorname{Br}(K)を可換群にする。単位元は[K][K]であり、[A][A]の逆元は[Aop][A^{\mathrm{op}}]である。

証明. 定理定理 2.3によりA⊗KBA\otimes_KBは中心単純KK-代数であるから、表示した積は中心単純代数の Brauer 類を値としてもつ。

A∼BrA′A\sim_{\mathrm{Br}}A'およびB∼BrB′B\sim_{\mathrm{Br}}B'とする。正の整数m,m′,n,n′m,m',n,n'とKK-代数同型

A⊗KMm(K)≅A′⊗KMm′(K),A\otimes_KM_m(K)\cong A'\otimes_KM_{m'}(K),B⊗KMn(K)≅B′⊗KMn′(K)B\otimes_KM_n(K)\cong B'\otimes_KM_{n'}(K)

を取る。二つの同型をテンソルし、結合同型と因子交換同型によって因子を並べ替えると、

(A⊗KB)⊗K(Mm(K)⊗KMn(K))≅(A′⊗KB′)⊗K(Mm′(K)⊗KMn′(K))\begin{aligned} &(A\otimes_KB)\otimes_K (M_m(K)\otimes_KM_n(K))\\ &\qquad\cong (A'\otimes_KB')\otimes_K (M_{m'}(K)\otimes_KM_{n'}(K)) \end{aligned}

を得る。補題補題 1.1によって、

(A⊗KB)⊗KMmn(K)≅(A′⊗KB′)⊗KMm′n′(K)(A\otimes_KB)\otimes_KM_{mn}(K) \cong (A'\otimes_KB')\otimes_KM_{m'n'}(K)

となる。したがってA⊗KB∼BrA′⊗KB′A\otimes_KB\sim_{\mathrm{Br}}A'\otimes_KB'であり、積は代表元の選び方に依存しない。

加群のテンソル積の結合同型§E6.12 定理 14.1は、純テンソルについて

(a⊗b)⊗c⟼a⊗(b⊗c)(a\otimes b)\otimes c \longmapsto a\otimes(b\otimes c)

で与えられる。この写像が単位元を保つKK-代数同型であることは、命題 1.3の推移律の証明で確認した。したがって

([A][B])[C]=[(A⊗KB)⊗KC]=[A⊗K(B⊗KC)]=[A]([B][C])([A][B])[C] =[(A\otimes_KB)\otimes_KC] =[A\otimes_K(B\otimes_KC)] =[A]([B][C])

である。

因子交換同型§E6.26 命題 5.4により

A⊗KB≅B⊗KAA\otimes_KB\cong B\otimes_KA

であるから、

[A][B]=[B][A][A][B]=[B][A]

である。

写像

K⊗KA⟶A,c⊗a⟼caK\otimes_KA\longrightarrow A, \qquad c\otimes a\longmapsto ca

は、逆写像a↦1K⊗aa\mapsto1_K\otimes aをもつKK-代数同型である。したがって

[K][A]=[A][K][A]=[A]

である。可換律から[A][K]=[A][A][K]=[A]も成り立つ。

§E6.26 命題 3.1によりAopA^{\mathrm{op}}も中心単純KK-代数である。d=dim⁡KAd=\dim_KAとすると、定理定理 3.1により

A⊗KAop≅Md(K)A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\cong M_d(K)

である。例例 1.5によりMd(K)∼BrKM_d(K)\sim_{\mathrm{Br}}Kであるから、

[A][Aop]=[K][A][A^{\mathrm{op}}]=[K]

となる。可換律により逆向きの積も[K][K]である。したがってBr⁡(K)\operatorname{Br}(K)は、単位元[K][K]と逆元[Aop][A^{\mathrm{op}}]をもつ可換群である。▨

注意 4.2 (扱わない発展的構成). 本記事では、個々の基礎体の Brauer 群の計算、交差積代数の構成、および群コホモロジーによる Brauer 類の記述は扱わない。

5 演習

問題 5.1.KKを体、A,B,CA,B,Cを中心単純KK-代数とし、nnを正の整数とする。次の六項目に答えよ。

  1. M2(K)⊗KM3(K)≅M6(K)M_2(K)\otimes_KM_3(K)\cong M_6(K)を、行列単位の像を明示して証明せよ。
  2. A∼BrBA\sim_{\mathrm{Br}}BとB∼BrCB\sim_{\mathrm{Br}}CからA∼BrCA\sim_{\mathrm{Br}}Cを導く際に、行列次数がどのように変化するかを示せ。
  3. A,BA,Bが中心単純KK-代数であるとき、A⊗KBA\otimes_KBの非零両側イデアルが単位元を含むことを証明せよ。
  4. 標準写像ΦA ⁣:A⊗KAop→End⁡K(A)\Phi_A\colon A\otimes_KA^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_K(A)が単射であることを、両側イデアルからの純テンソルの抽出を用いて証明せよ。さらに有限次元性から全射を導け。
  5. [Mn(K)]=[K][M_n(K)]=[K]と[A]−1=[Aop][A]^{-1}=[A^{\mathrm{op}}]を証明し、C\Cを通常のR\R-代数とみなした代数がBr⁡(R)\operatorname{Br}(\R)の代表元にならない理由を述べよ。
  6. d=dim⁡KAd=\dim_KAとする。Brauer 類の積[A⊗KM2(K)] [Aop⊗KM3(K)][A\otimes_KM_2(K)]\,[A^{\mathrm{op}}\otimes_KM_3(K)]を求めよ。また、二つの代表代数のテンソル積がM6d(K)M_{6d}(K)とKK-代数として同型であることを示せ。
解答 (演習の解答).

  1. M2(K)M_2(K)の行列単位をEijE_{ij}、M3(K)M_3(K)の行列単位をFpqF_{pq}とする。写像

    Eij⊗Fpq⟼G3(i−1)+p,3(j−1)+qE_{ij}\otimes F_{pq} \longmapsto G_{3(i-1)+p,3(j-1)+q}

    は、左辺の3636個の基底元をM6(K)M_6(K)の3636個の行列単位へ全単射に写す。さらに

    (Eij⊗Fpq)(Ekℓ⊗Frs)=δjkδqrEiℓ⊗Fps(E_{ij}\otimes F_{pq})(E_{k\ell}\otimes F_{rs}) =\delta_{jk}\delta_{qr}E_{i\ell}\otimes F_{ps}

    であり、像の行列単位も同じ積を満たす。この写像は単位元も保つため、KK-代数同型である。

  2. A∼BrBA\sim_{\mathrm{Br}}BとB∼BrCB\sim_{\mathrm{Br}}Cを与える同型を

    A⊗KMm(K)≅B⊗KMn(K),B⊗KMp(K)≅C⊗KMq(K)A\otimes_KM_m(K)\cong B\otimes_KM_n(K), \qquad B\otimes_KM_p(K)\cong C\otimes_KM_q(K)

    とする。命題 1.3の推移律の証明において、第一の同型にMp(K)M_p(K)を、第二の同型にMn(K)M_n(K)をテンソルすると、両辺の行列次数はそれぞれmpmpとqnqnになる。したがって

    A⊗KMmp(K)≅C⊗KMqn(K)A\otimes_KM_{mp}(K)\cong C\otimes_KM_{qn}(K)

    であり、A∼BrCA\sim_{\mathrm{Br}}Cである。

  3. 定理 2.3によりA⊗KBA\otimes_KBは単純環である。したがって、その任意の非零両側イデアルIIはA⊗KBA\otimes_KBに等しく、単位元1A⊗1B1_A\otimes1_Bを含む。

  4. ker⁡ΦA\ker\Phi_AはA⊗KAopA\otimes_KA^{\mathrm{op}}の両側イデアルである。核が非零ならば、補題補題 2.2により、ある0≠b∈A0\neq b\in Aが存在して1A⊗bop∈ker⁡ΦA1_A\otimes b^{\mathrm{op}}\in\ker\Phi_Aとなる。しかし

    ΦA(1A⊗bop)(1A)=b≠0\Phi_A(1_A\otimes b^{\mathrm{op}})(1_A)=b\neq0

    である。これは1A⊗bop∈ker⁡ΦA1_A\otimes b^{\mathrm{op}}\in\ker\Phi_Aに反する。よってΦA\Phi_Aは単射である。d=dim⁡KAd=\dim_KAとすると、定義域の次元はd2d^2である。終域の自己準同型は基底のdd個の元の像によって定まり、各像はdd個の係数をもつため、終域の次元もd2d^2である。したがってΦA\Phi_Aは全射であり、KK-代数同型である。

  5. 例 1.5により[Mn(K)]=[K][M_n(K)]=[K]である。また定理 4.1により[A]−1=[Aop][A]^{-1}=[A^{\mathrm{op}}]である。一方、C\Cを通常のR\R-代数とみなすと、その中心はC\Cであり、R1\R1と一致しない。したがってC\Cは中心単純R\R-代数ではなく、Br⁡(R)\operatorname{Br}(\R)の代表元にはならない。

  6. §E6.26 命題 3.1によりAopA^{\mathrm{op}}は中心単純KK-代数であり、§E6.26 定理 4.1によりM2(K),M3(K)M_2(K),M_3(K)も中心単純である。したがって定理 2.3により、設問の二つの代数は Brauer 類を定める。定理 4.1と例 1.5を適用すると、

    [A⊗KM2(K)] [Aop⊗KM3(K)]=[A][K][Aop][K]=[K][A\otimes_KM_2(K)]\,[A^{\mathrm{op}}\otimes_KM_3(K)] =[A][K][A^{\mathrm{op}}][K]=[K]

    を得る。

    結合同型、および§E6.26 命題 5.4の因子交換同型によって、

    (A⊗KM2(K))⊗K(Aop⊗KM3(K))≅(A⊗KAop)⊗K(M2(K)⊗KM3(K))(A\otimes_KM_2(K))\otimes_K(A^{\mathrm{op}}\otimes_KM_3(K)) \cong (A\otimes_KA^{\mathrm{op}})\otimes_K(M_2(K)\otimes_KM_3(K))

    である。結合同型が代数同型であることは命題 1.3の証明で確認した。定理 3.1により第一因子はMd(K)M_d(K)と同型であり、補題 1.1により第二因子はM6(K)M_6(K)と同型である。同補題をさらに正の整数d,6d,6に適用すると、

    (A⊗KM2(K))⊗K(Aop⊗KM3(K))≅Md(K)⊗KM6(K)≅M6d(K)(A\otimes_KM_2(K))\otimes_K(A^{\mathrm{op}}\otimes_KM_3(K)) \cong M_d(K)\otimes_KM_6(K)\cong M_{6d}(K)

    を得る。最後の同型は、両因子の行列単位Hij,GpqH_{ij},G_{pq}に対して

    Hij⊗Gpq⟼T6(i−1)+p, 6(j−1)+qH_{ij}\otimes G_{pq}\longmapsto T_{6(i-1)+p,\,6(j-1)+q}

    で与えられる。ここでTabT_{ab}はM6d(K)M_{6d}(K)の行列単位である。

▨

参考文献

  1. Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1982.中心単純代数、包絡代数および Brauer 同値の標準的な定式化を参考にした。
  2. Philippe Gille and Tamás Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, 2nd ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.Brauer 群の積、単位元および反対代数による逆元の定式化を参考にした。
  3. T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2001.単純 Artin 環と行列環の対応、および両側イデアルを用いる議論を参考にした。

前提記事