可換 Artin 環とその加群 | 環論入門

1 素イデアルと極大イデアル

注意 1.1. 零環は Artin 環であり、真のイデアルをもたないので、素イデアルと極大イデアルの族は空である。空なイデアル族の共通部分と積は環全体とし、単位的可換環の空直積は零環とする。この規約で $J(0)=0$ である。零環上の単位的加群 $M$ は、任意の $x\in M$ に対して $x=1x=0x=0$ を満たすので零加群であり、その分解は空直和である。

補題 1.2. 非零可換 Artin 整域 $R$ は体である。

証明. $0\ne a\in R$ を取る。降鎖 $(a)\supseteq(a^2)\supseteq\cdots$ は停止するので、ある $n\ge1$ と $b\in R$ に対して $a^n=a^{n+1}b$ である。整域で $a^n\ne0$ なので $1=ab$ となる。▨

命題 1.3. 非零可換 Artin 環 $R$ の任意の素イデアルは極大イデアルである。

証明. 素イデアル $\mathfrak p$ を取る。商環 $R/\mathfrak p$ のイデアルの降鎖は逆像によって $R$ のイデアルの降鎖になるので停止する。したがって $R/\mathfrak p$ は非零 Artin 整域であり、補題 1.2により体である。よって $\mathfrak p$ は極大である。▨

命題 1.4. 非零可換 Artin 環 $R$ の極大イデアルは有限個である。

証明. 有限個の極大イデアルの共通部分全体からなる族は空でない。Artin 条件によって、この族の極小元 $I=\mathfrak m_1\cap\cdots\cap\mathfrak m_s$ を取ることができる。ここで極大イデアルの存在により $s\ge1$ としてよい。任意の極大イデアル $\mathfrak m$ に対して $I\cap\mathfrak m$ も同じ族に属するので $I\cap\mathfrak m=I$ であり、 $I\subseteq\mathfrak m$ となる。よって $\mathfrak m_1\cdots\mathfrak m_s\subseteq\mathfrak m$ である。 $\mathfrak m$ は素イデアルなので、ある $i$ について $\mathfrak m_i\subseteq\mathfrak m$ となり、極大性から $\mathfrak m_i=\mathfrak m$ である。▨

系 1.5. 可換 Artin 環 $R$ の Jacobson 根基 $J=J(R)$ に対して、ある整数 $N\ge1$ が存在して $J^N=0$ となる。

証明.§E6.21 系 3.1を可換環 $R$ に適用する。▨

2 有限局所直積分解

補題 2.1. 可換環 $R$ の相異なる極大イデアル $\mathfrak m,\mathfrak n$ と整数 $N\ge1$ に対して、 $\mathfrak m^N+\mathfrak n^N=R$ である。

証明. 極大性から $\mathfrak m+\mathfrak n=R$ なので、 $u\in\mathfrak m$ と $v\in\mathfrak n$ で $u+v=1$ を満たすものを取る。 $(u+v)^{2N-1}$ の二項展開の各項は、 $u$ の指数が $N$ 以上であるか、 $v$ の指数が $N$ 以上である。したがって $1\in\mathfrak m^N+\mathfrak n^N$ である。▨

定理 2.2. 非零可換 Artin 環 $R$ の全極大イデアルを $\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_s$ とし、 $J(R)^N=0$ となる整数 $N\ge1$ を取る。このとき、

\bigcap_{i=1}^s\mathfrak m_i^N =\prod_{i=1}^s\mathfrak m_i^N =J(R)^N=0

であり、中国剰余写像は環同型

R\longrightarrow\prod_{i=1}^sR/\mathfrak m_i^N, \qquad r\longmapsto(r+\mathfrak m_i^N)_i

である。各 $R/\mathfrak m_i^N$ は非零 Artin 局所環であり、その唯一の極大イデアルは $\mathfrak m_i/\mathfrak m_i^N$ である。零環は空直積として同じ分解に含まれる。

証明.命題 1.4により極大イデアルの列は有限である。§E6.7 補題 3.2により $J(R)=\bigcap_i\mathfrak m_i=\prod_i\mathfrak m_i$ である。補題 2.1と同じ補題から

\bigcap_i\mathfrak m_i^N=\prod_i\mathfrak m_i^N =\left(\prod_i\mathfrak m_i\right)^N=J(R)^N=0

を得る。§E6.7 定理 3.1によって表示した写像は同型である。

商環 $R/\mathfrak m_i^N$ は Artin であり、 $\mathfrak m_i^N\subseteq\mathfrak m_i\ne R$ なので非零である。 $\mathfrak m_i^N$ を含む極大イデアル $\mathfrak n$ は素なので $\mathfrak m_i\subseteq\mathfrak n$ を満たし、極大性から $\mathfrak n=\mathfrak m_i$ となる。商環の極大イデアルとその逆像との対応によって局所性を得る。零環については注意 1.1の規約を用いる。▨

系 2.3.定理 2.2の同型で各座標の単位元を引き戻した元を $e_1,\ldots,e_s\in R$ とする。このとき、 $e_i^2=e_i$ 、 $i\ne j$ ならば $e_ie_j=0$ 、 $\sum_i e_i=1$ である。 $e_iR$ は単位元 $e_i$ をもつ環であり、座標写像の制限は環同型 $e_iR\cong R/\mathfrak m_i^N$ を与える。また $R\cong\prod_i e_iR$ である。

証明. 直積環の座標単位元は、冪等性、直交性および総和が単位元であることを満たす。環同型の逆写像はこれらの等式を保ち、座標単位元が生成するイデアルを $e_iR$ へ写す。各座標イデアルからその座標への射影は、単位元を保つ環同型である。▨

3 加群の局所成分と長さ

命題 3.1. 可換環 $R$ の冪等元 $e_1,\ldots,e_s$ が互いに直交し、 $\sum_i e_i=1$ を満たすとする。このとき、任意の $R$ 加群 $M$ に対して

M=\bigoplus_{i=1}^s e_iM

という内部直和分解が成り立つ。各 $e_iM$ は $e_iR$ 上の単位的加群である。零環については空直和で同じ主張が成り立つ。

証明. $R$ -線形写像

M\longrightarrow\bigoplus_i e_iM,\quad x\longmapsto(e_ix)_i, \qquad \bigoplus_i e_iM\longrightarrow M,\quad(x_i)_i\longmapsto\sum_i x_i

を取る。前者に続けて後者を適用すると $\sum_i e_ix=x$ となる。逆の順に適用すると、 $e_ix_j=0$ （ $i\ne j$ ）と $e_ix_i=x_i$ によって $(x_i)_i$ を得る。各 $e_iM$ 上で $e_i$ は恒等的に作用する。▨

系 3.2. 可換 Artin 環 $R$ の正則加群は有限長であり、 $R$ は Noether 環である。

証明.§E6.21 定理 2.1を $R$ に適用する。▨

系 3.3. 可換 Artin 環 $R$ 上の有限生成加群 $M$ は有限長であり、Noether かつ Artin である。局所直積分解に付随する冪等元 $e_i$ に対して、 $e_iM$ は $e_iR$ 上有限生成かつ有限長であり、 $\ell_R(e_iM)=\ell_{e_iR}(e_iM)$ である。

証明.§E6.21 系 5.1により $M$ は有限長である。 $M$ の生成元を $x_1,\ldots,x_t$ とすると、 $e_iM$ は $e_ix_1,\ldots,e_ix_t$ によって $e_iR$ 上生成される。 $e_iR$ は Artin 環なので同じ結果を適用することができる。作用は全射 $R\to e_iR$ 、 $r\mapsto e_ir$ を経由するので、 $R$ 部分加群と $e_iR$ 部分加群は一致する。したがって組成列と長さも一致する。▨

4 入射包絡と自己入射性

補題 4.1. 非零可換 Artin 局所環 $(R,\mathfrak m,\kappa)$ の剰余体 $\kappa=R/\mathfrak m$ の入射包絡を $E=E_R(\kappa)$ とする。このとき、任意の有限長 $R$ 加群 $M$ に対して $\Hom_R(M,E)$ は有限長であり、

\ell_R\Hom_R(M,E)=\ell_R M

である。ここで $\Hom_R(M,E)$ の $R$ 作用は $(rf)(x)=rf(x)$ とする。

証明.§E6.28 定理 1.2 (2)により $\operatorname{soc}_R E=\kappa$ と同一視する。 $\mathfrak m$ で零化される元は剰余体上の高々一次元の部分加群を生成するので、その全体は $\operatorname{soc}_R E$ に等しい。したがって $f\mapsto f(1+\mathfrak m)$ は $\Hom_R(\kappa,E)\cong\operatorname{soc}_R E=\kappa$ を与え、左辺の長さは $1$ である。

任意の単純 $R$ 加群 $S$ は、非零元による全射 $R\to S$ の核が極大イデアルであることから $\kappa$ と同型である。有限長 $M\ne0$ の組成列から短完全列 $0\to M'\to M\to\kappa\to0$ を取る。§E6.16 命題 1.2 条件 (b)により

0\to\Hom_R(\kappa,E)\to\Hom_R(M,E)\to\Hom_R(M',E)\to0

は完全である。 $R$ の可換性により各射は表示した $R$ 作用について線形である。 $M=0$ から始める長さに関する帰納法と§E6.17 定理 5.1により、中央項は有限長であり、その長さは $1+\ell_R M'=\ell_R M$ である。▨

系 4.2. 非零可換 Artin 局所環 $(R,\mathfrak m,\kappa)$ に対して、 $\ell_R E_R(\kappa)=\ell_R R$ である。

証明.系 3.2により $R$ は有限長である。評価写像 $\Hom_R(R,E_R(\kappa))\to E_R(\kappa)$ 、 $f\mapsto f(1)$ は、逆写像 $y\mapsto(r\mapsto ry)$ をもつ $R$ -線形同型なので、補題 4.1を $M=R$ に適用する。▨

定理 4.3. 可換 Artin 環 $R$ 上の任意の直既約入射加群は、ある極大イデアル $\mathfrak m$ に対する $E_R(R/\mathfrak m)$ と同型であり、有限長、したがって有限生成である。

証明. 直既約入射加群 $E$ を取る。§E6.28 定理 1.2 (1)により $E$ は単純加群 $S=\operatorname{soc}_R E$ の入射包絡である。 $S$ の非零元による全射 $R\to S$ の核は極大イデアル $\mathfrak m_i$ なので、 $S\cong R/\mathfrak m_i$ である。

命題 3.1により $E=\bigoplus_j e_jE$ である。直既約性によって非零成分は一つである。 $e_i$ は $S$ 上で恒等的に作用するので、その成分は $e_iE=E$ である。 $A=e_iR$ と置くと、 $E$ の作用は $R\to A$ を経由する。 $A$ 加群間の $R$ -線形写像と $A$ -線形写像は一致する。任意の $A$ 加群の単射に沿う $A$ -線形写像 $U\to E$ は、 $R$ 上で延長した後も $A$ -線形である。よって $E$ は $A$ 上入射的である。部分加群も一致するので $S\subseteq E$ の本質性は $A$ 上でも成り立ち、 $E$ は局所環 $A$ の剰余体 $S$ の入射包絡である。

系 4.2により $E$ は $A$ 上有限長である。部分加群の一致によって $R$ 上でも有限長である。組成列の各単純商は巡回であり、その生成元の持上げを有限個取ると $E$ の生成系を得る。零環上には非零加群が存在しないので直既約入射加群も存在しない。▨

命題 4.4. 非零可換 Artin 局所環 $(R,\mathfrak m,\kappa)$ に対して、次の条件は同値である。

$R$ は自己入射環、すなわち正則加群 $R$ は入射的である。
$\dim_\kappa\operatorname{soc}_R R=1$ である。

証明.(a) $\Rightarrow$ (b)を示す。 $R$ の直和分解に付随する射影は $r\mapsto re$ という形であり、 $e^2=e$ を満たす。局所環では $e$ と $1-e$ の少なくとも一方が単元であるので、 $e=1$ または $e=0$ である。したがって正則加群 $R$ は直既約である。 $R$ が入射的ならば§E6.28 定理 1.2 (1)により $\operatorname{soc}_R R$ は単純であり、唯一の単純加群 $\kappa$ と同型である。

(b) $\Rightarrow$ (a)を示す。 $\operatorname{soc}_R R\cong\kappa$ という同型と包含 $\kappa\to E_R(\kappa)$ の合成を、入射性によって $f\colon R\to E_R(\kappa)$ へ延長する。 $f$ は socle 上単射であり、§E6.28 命題 1.1による本質性から $\ker f=0$ である。系 4.2と§E6.17 定理 5.1により $\ell_R\operatorname{coker}f=0$ なので、 $f$ は同型である。したがって $R$ は入射的である。▨

5 例と仮定の境界

例 5.1. 体 $k$ の極大イデアルと Jacobson 根基は $0$ であり、 $\ell_k k=1$ である。局所直積分解は恒等写像である。

体 $k$ と整数 $n\ge1$ に対して $A=k[x]/(x^n)$ とし、 $x$ の像も $x$ と書く。このとき、 $A$ は基底 $1,x,\ldots,x^{n-1}$ をもち、§E6.21 例 3.2により Artin 局所環である。唯一の極大イデアルと Jacobson 根基は $J=(x)$ であり、 $J^n=0$ 、 $n\ge2$ ならば $J\ne0$ である。 $0\le q<n$ に対して $J^q/J^{q+1}$ は $x^q$ の像を基底とする一次元 $k$ 空間なので、 $0\subsetneq J^{n-1}\subsetneq\cdots\subsetneq J\subsetneq A$ は組成列であり、 $\ell_A A=n$ である。局所分解の因子は $A$ 自身である。

例 5.2. $R=\Z/(12)$ の極大イデアルは $(2),(3)$ である。 $J=(2)\cap(3)=(6)$ であり、 $J^2=(36)=0$ である。 $(2)^2=(4)$ 、 $(3)^2=(9)=(3)$ なので、中国剰余写像は

R\cong\Z/(4)\times\Z/(3)

を与える。 $9\equiv1\pmod4$ 、 $9\equiv0\pmod3$ と $4\equiv0\pmod4$ 、 $4\equiv1\pmod3$ から、対応する冪等元は $9$ と $4$ である。実際、 $9^2=9$ 、 $4^2=4$ 、 $9\cdot4=0$ 、 $9+4=1$ が $R$ で成り立つ。

例 5.3. 体 $k_1,\ldots,k_s$ の有限直積 $R=\prod_i k_i$ の任意のイデアル $I$ は、座標単位元によって $I=\prod_i e_iI$ と分解し、各 $e_iI$ は $0$ または $k_i$ である。したがってイデアルは有限個であり、 $R$ は Artin 環である。極大イデアルは各座標射影の核であり、その共通部分は $J(R)=0$ である。局所分解は元の体の直積であり、 $\ell_R R=s$ である。 $s=0$ の場合は零環であり、長さは $0$ 、極大イデアルと冪等元の族は空である。

例 5.4. 体 $k$ 上の加群 $V=\bigoplus_{j\ge1}ke_j$ は有限生成でない。実際、有限個の元の台の合併は有限であり、その外の $e_j$ を生成することができない。部分空間

V_n=\bigoplus_{1\le j\le n}ke_j, \qquad W_n=\bigoplus_{j\ge n}ke_j

は真の昇鎖 $V_1\subsetneq V_2\subsetneq\cdots$ と真の降鎖 $W_1\supsetneq W_2\supsetneq\cdots$ を与える。したがって、Artin 環上でも有限生成性を外すと Noether 性、Artin 性および有限長性は失敗する。

注意 5.5. 非可換環では、Artin 条件の対象となる片側イデアルと、中国剰余定理の対象となる両側イデアルは異なる。したがって、可換環の素イデアルと極大イデアルに関する議論を非可換環へそのまま適用することはできない。

6 演習

問題 6.1.

Artin 整域の主イデアルの降鎖から逆元を構成し、素イデアルの極大性を導け。零環に真のイデアルがないことも示せ。
有限個の極大イデアルの共通部分全体の極小元を用いて、可換 Artin 環の極大イデアルの有限性を示せ。
体 $k$ に対して $R=k[x,y]/(x^2,xy,y^2)$ の基底、極大イデアル、Jacobson 根基および長さを求めよ。 $\mathfrak m=(x,y)$ 内の任意の $k$ 部分空間はイデアルであることと、 $\mathfrak m$ は単項でないことを示せ。
相異なる極大イデアルの $N$ 乗が互いに素であることを二項展開から示し、根基の冪零性から有限局所直積分解を導け。
直交冪等元による任意加群の分解を互いに逆な写像で示し、有限生成加群の局所成分が有限長であることを示せ。
体、 $k[x]/(x^n)$ 、 $\Z/(12)$ および体の有限直積の極大イデアル、Jacobson 根基と局所分解を求めよ。空直積と空共通部分も扱え。
可算無限次元 $k$ 空間の真の昇鎖と降鎖を構成し、Artin 環上の加群の有限長性に有限生成の仮定が必要であることを示せ。

解答.

非零元 $a$ に対して $(a^n)=(a^{n+1})$ となる $n\ge1$ を取り、 $a^n=a^{n+1}b$ と書く。整域なので $a^n$ を消去して $ab=1$ を得る。素イデアル $\mathfrak p$ による商は非零 Artin 整域なので体となり、 $\mathfrak p$ は極大である。零環の唯一のイデアルは環全体なので真のイデアルはない。
非零環の場合、有限個の極大イデアルの共通部分の族から極小元 $I=\bigcap_{i=1}^s\mathfrak m_i$ を取る。任意の極大イデアル $\mathfrak m$ に対して $I\cap\mathfrak m=I$ なので $\prod_i\mathfrak m_i\subseteq I\subseteq\mathfrak m$ である。 $\mathfrak m$ の素性からある $i$ について $\mathfrak m_i\subseteq\mathfrak m$ となり、極大性から一致する。零環の場合、極大イデアルの集合は空である。
剰余類 $1,x,y$ は $R$ の基底であり、 $\dim_kR=3$ である。したがってイデアルの降鎖は次元の降下によって停止し、 $R$ は Artin 環である。 $\mathfrak m=kx\oplus ky$ は $\mathfrak m^2=0$ を満たす。 $a\in k\setminus\{0\}$ と $n\in\mathfrak m$ に対して $(a+n)^{-1}=a^{-1}-a^{-2}n$ であるから、 $\mathfrak m$ の外の元はすべて単元であり、 $\mathfrak m$ は唯一の極大イデアルで $J(R)=\mathfrak m$ である。 $U\subseteq\mathfrak m$ が $k$ 部分空間ならば $(a+n)U=aU\subseteq U$ なので $U$ はイデアルである。 $u\in\mathfrak m$ に対して $Ru=ku$ は高々一次元なので、二次元の $\mathfrak m$ は単項でない。列 $0\subsetneq kx\subsetneq\mathfrak m\subsetneq R$ の各商は一次元の剰余体加群であり、長さは $3$ である。
相異なる極大イデアル $\mathfrak m_i,\mathfrak m_j$ に対して $u\in\mathfrak m_i,v\in\mathfrak m_j,u+v=1$ を取る。 $(u+v)^{2N-1}$ の各項は $\mathfrak m_i^N$ または $\mathfrak m_j^N$ に属するので、両イデアルの和は $R$ である。§E6.7 補題 3.2により $\bigcap_i\mathfrak m_i^N=\prod_i\mathfrak m_i^N=(\prod_i\mathfrak m_i)^N=J(R)^N=0$ となり、§E6.7 定理 3.1が直積同型を与える。 $\mathfrak m_i^N$ を含む極大イデアルは素性によって $\mathfrak m_i$ を含むので、 $\mathfrak m_i$ に等しい。したがって各商は局所環である。
$x\mapsto(e_ix)_i$ と $(x_i)_i\mapsto\sum_i x_i$ を取る。一方の合成は $\sum_i e_i=1$ によって恒等写像であり、他方も $e_ix_j=0$ （ $i\ne j$ ）と $e_ix_i=x_i$ によって恒等写像である。 $x_1,\ldots,x_t$ が $M$ を生成すれば、 $e_ix_1,\ldots,e_ix_t$ は $e_iR$ 上 $e_iM$ を生成する。Artin 環 $e_iR$ 上の有限生成加群なので、§E6.21 系 5.1により有限長である。
体では極大イデアルと根基は $0$ であり、局所分解は恒等写像である。 $k[x]/(x^n)$ では非零定数項をもつ元が単元であるので、唯一の極大イデアルと根基は $(x)$ であり、 $(x)^n=0$ である。環自体が局所因子である。 $\Z/(12)$ では極大イデアルは $(2),(3)$ 、根基は $(6)$ で、 $(6)^2=0$ である。 $(2)^2=(4)$ と $(3)^2=(9)=(3)$ から局所分解は $\Z/(4)\times\Z/(3)$ であり、冪等元は $9,4$ である。体の有限直積では各イデアルは各座標で $0$ または体を選んだ直積であり、極大イデアルは座標射影の核、根基は $0$ 、局所因子は各体である。空直積は零環であり、空共通部分は零環全体、すなわち $0$ なので $J(0)=0$ である。
$V=\bigoplus_{j\ge1}ke_j$ において、 $\bigoplus_{j=1}^nke_j$ は $n$ とともに真に増大し、 $\bigoplus_{j\ge n}ke_j$ は真に減少する。前者は Noether 性を、後者は Artin 性を否定する。§E6.17 定理 4.3により $V$ は有限長でもない。有限個の元の台の合併は有限なので、 $V$ は有限生成でない。

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問題 6.2. 体 $k$ に対して $k[x]$ の $(0)$ は素イデアルだが極大イデアルではないことを示せ。また、 $k[x]$ が Artin 環でなく、Artin 局所環の有限直積とも同型でないことを示せ。

解答.

非零多項式の積の次数は次数の和なので、 $k[x]$ は整域であり $(0)$ は素である。 $x$ は単元でないので $k[x]$ は体でなく、 $(0)$ は極大でない。降鎖 $(x)\supsetneq(x^2)\supsetneq\cdots$ は、 $x^n$ が $(x^{n+1})$ に属さないことから真であり、Artin 条件は成り立たない。有限個の Artin 環 $A_i$ の直積を正則加群と見ると、座標イデアルの有限直和に分解する。各座標イデアルの部分加群は $A_i$ のイデアルに一致するので Artin であり、§E6.17 命題 3.3を有限回適用すると有限直和も Artin である。したがって非空な有限直積が $k[x]$ と同型ならば $k[x]$ は Artin となり、表示した降鎖に反する。空直積は零環であり、非零環 $k[x]$ とは同型でない。▨

§E6.48可換 Artin 環とその加群