§E6.31Skolem–Noether の定理

証明. 共役写像は加法、乗法および単位元を保つ。$c\in K$と$a\in A$に対して$c1_A\in Z(A)$であるから

となり、$K$線形でもある。$u^{-1}$による共役との二つの合成は恒等写像である。また

であるため、合成の式も従う。▨

証明.$A$は有限次元$K$-線形空間であるため、左イデアルの任意の降鎖は$K$-部分空間の次元が減少する回数を超えて真に減少しない。よって$A$は左 Artin 環である。$A$は単純環でもあるから、単純 Artin 環の特徴づけ§E6.22 定理 8.2により、ある斜体$D$と$n\geq1$に対する環同型

が存在する。

$X=(x_{ij})\in Z(M_n(D))$を取る。$X$がすべての行列単位$E_{kk}$と可換すると、$X$の非対角成分はすべて零になる。$X=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)$と書くと、$i\neq j$に対する$XE_{ij}=E_{ij}X$から$d_i=d_j$を得る。$n=1$の場合も含めて、$X=dI_n$となる$d\in D$が存在する。さらに、任意の$c\in D$に対して$X(cE_{11})=(cE_{11})X$であるから、$dc=cd$である。逆に$d\in Z(D)$ならば$dI_n$はすべての行列と可換する。したがって

である。

環同型$\theta$は中心を中心へ写す。$Z(A)=K1_A$であるため、各$c\in K$に対して

となる一意な$\lambda_c\in Z(D)$が存在する。写像$c\mapsto\lambda_c$は体同型$K\cong Z(D)$である。実際、環準同型性は$\theta$から従い、単射性は体$K$と$1_A\neq0$から従い、全射性は$\theta$が二つの中心の間の全射を与えることから従う。この同型によって$K$を$Z(D)$と同一視し、$D$を中心$K$-斜体とみなす。このとき

であるから、$\theta$は$K$線形である。$A$の有限次元性と

により$D$も有限次元である。

$V=D^n$を列ベクトルからなる右$D$加群とする。各行列は左乗法によって右$D$線形自己準同型を定める。逆に$F\in\operatorname{End}_D(V_D)$は標準基底ベクトル$e_j$の像によって一意に決まり、$F(e_j)$を第$j$列とする行列の左乗法に等しい。この対応は加法、合成および単位元を保つ。$K\subseteq Z(D)$であるため$K$線形でもあり、所要の$K$-代数同型を得る。▨

証明. 非零元$z\in A\otimes_KB$に対して、$z$を純テンソルの和で表すために必要な項数の最小値を$\ell(z)$と書く。$I$の非零元のうち$\ell(z)$が最小であるものを取り、$r:=\ell(z)$と置いて

と表す。$a_i$または$b_i$の間に一次従属関係があれば、一つの係数を残りの線形結合に置き換えることによって項数を減らすことができる。したがって、それぞれの族は一次独立であり、特に$a_1\neq0$である。

$A$の単純性から、$a_1$が生成する両側イデアルは$A$全体である。よって、有限個の$u_j,v_j\in A$が存在して$\sum_ju_ja_1v_j=1_A$となる。両側イデアル$I$は

を含み、$c_1=1_A$である。一次独立な族$(b_i)$を$B$の$K$基底へ延長し、その座標写像を$f_i\colon B\to K$とする。すると$(\operatorname{id}_A\otimes f_1)(w)=1_A\neq0$であるから、$w\neq0$である。

任意の$x\in A$に対して、交換子

は$I$に属する。非零ならば必要な項数が$r-1$以下となり、$r$の最小性に反する。したがって交換子は零であり、$\operatorname{id}_A\otimes f_i$を適用すると$xc_i=c_ix$を得る。よって各$c_i$は$Z(A)=K1_A$に属する。

$c_i=\lambda_i1_A$と書くと、$\lambda_1=1$であるため、一次独立性から$b:=\sum_i\lambda_ib_i\neq0$である。以上より$w=1_A\otimes b$は$I$に属する非零純テンソルである。▨

証明.$I\subseteq B\otimes_KC$を非零両側イデアルとする。因子交換の代数同型§E6.26 命題 5.4は$I$を$C\otimes_KB$の非零両側イデアルへ移す。補題補題 3.1を適用し、因子を戻すと、ある$0\neq b\in B$に対して$b\otimes1_C\in I$を得る。

$B$の単純性から、有限個の$a_k,d_k\in B$が存在して$\sum_ka_kbd_k=1_B$となる。したがって

である。よって$I=B\otimes_KC$である。また、非零$K$-線形空間$B,C$のテンソル積は非零であるため、$B\otimes_KC$は単純である。▨

証明.$c\in K$に対して$\varphi(cb)=c\varphi(b)$であり、$K=Z(D)$であるから

となる。したがって表示した双線型写像は$K$上で平衡であり、$B\otimes_KD^{\mathrm{op}}$からの加法的作用を一意に定める。

$D^{\mathrm{op}}$では

である。$\varphi(b)$と$\varphi(b')$は右$D$線形であるため、純テンソルについて

となる。また$(1_B\otimes1_D^{\mathrm{op}})\mathbin{\cdot_\varphi}v=v$である。よって$V_\varphi$は左$R$加群である。

反対代数の性質§E6.26 命題 3.1により、$D^{\mathrm{op}}$は有限次元中心単純$K$-代数である。補題補題 3.2を$B$と$D^{\mathrm{op}}$へ適用すると、$R$は単純環である。また$R$は$K$上有限次元であるため、左イデアルの降鎖は$K$-部分空間の次元によって停止する。したがって$R$は単純左 Artin 環である。

$R$の構造準同型による$c\in K$の作用は

であり、$V$の通常の$K$スカラー倍と一致する。したがって$V_\varphi$の各$R$部分加群は$K$部分空間である。$V$は$K$上有限次元であるため、$R$部分加群の昇鎖と降鎖はともに停止する。有限長の特徴づけ§E6.17 定理 4.3により、$V_\varphi$は有限長である。同じ議論を$\psi$に適用すると、$V_\psi$も有限長である。

単純 Artin 環上の有限長加群の分類§E6.22 系 8.3により、単純左$R$加群$S$と非負整数$q_\varphi,q_\psi$が存在して

となる。$V\neq0$であるから$q_\varphi,q_\psi$はともに正である。これらの$R$加群同型は、$R$に含まれる$K$の作用が通常のスカラー倍に一致するため$K$線形でもある。特に$S$は$K$上有限次元であり、

となる。単純加群$S$は非零であるため$\dim_KS>0$であり、$q_\varphi=q_\psi$を得る。したがって$V_\varphi\cong V_\psi$である。▨

証明. 命題命題 2.1により、有限次元中心$K$-斜体$D$と非零有限次元右$D$加群$V$が存在して

となる。この$K$-代数同型によって両者を同一視する。

命題命題 4.1を$\varphi$と$\psi$へ適用する。左$B\otimes_KD^{\mathrm{op}}$加群同型

が存在する。$d\in D$と$v\in V$に対して、$1_B\otimes d^{\mathrm{op}}$の作用を比較すると

となる。よって$T$は右$D$線形である。$T$は全単射であり、その逆写像も右$D$線形であるため、$T$は$\operatorname{End}_D(V_D)=A$の単元である。この単元を$u$と書く。

$b\in B$と$v\in V$に対して、$b\otimes1_D^{\mathrm{op}}$の作用を比較すると

となる。したがって$u\varphi(b)=\psi(b)u$であり、$u$の可逆性から

を得る。▨

証明.$C_A(\varphi(B))$は$A$の加法、乗法および$K$スカラー倍で閉じ、$1_A$を含むため、単位的$K$-部分代数である。$c\in C_A(\varphi(B))$が$A$の単元ならば、$c\varphi(b)=\varphi(b)c$の両側から$c^{-1}$を掛けることにより$c^{-1}$も$\varphi(B)$を中心化する。したがって$C_A(\varphi(B))^\times=C_A(\varphi(B))\cap A^\times$である。

$u\in A^\times$も$\psi=\operatorname{Int}(u)\circ\varphi$を満たすとする。各$b\in B$に対して

である。この等式の左から$u_0^{-1}$、右から$u$を掛けると

を得る。よって$u_0^{-1}u\in C_A(\varphi(B))^\times$であり、$u\in u_0C_A(\varphi(B))^\times$である。逆に$c\in C_A(\varphi(B))^\times$ならば

である。したがって最初の等式が成り立つ。

$\psi(B)=u_0\varphi(B)u_0^{-1}$であるため

となる。両辺の単元群を取り、右から$u_0$を掛けると

を得る。▨

証明.$u=1u$より$u\sim u$である。$v=cu$ならば$u=c^{-1}v$であるから$v\sim u$である。さらに$w=dv$ならば$w=(dc)u$であり、$dc\in K^\times$であるから$u\sim w$となる。したがって$\sim$は同値関係である。

$u'=cu$、$v'=dv$を満たす$c,d\in K^\times$を取る。$K1_A\subseteq Z(A)$であるから

である。$cd,c^{-1}\in K^\times$より$uv\sim u'v'$および$u^{-1}\sim(u')^{-1}$が成り立つ。よって積と逆元の同値類は代表元の選び方に依存しない。

§E1.6 定理 3.2を$A^\times$の積と$\sim$に適用する。商集合上の積$[u][v]=[uv]$は結合律を満たし、$[1_A]$を単位元とする。各$[u]$は$[u^{-1}]$を逆元にもつため、商集合は群である。▨

証明. Skolem–Noether の定理定理 5.1で$B=A$、$\varphi=\operatorname{id}_A$、$\psi=\sigma$と置く。ある$u\in A^\times$が存在して

となるため、すべての単位的$K$-代数自己同型は内部的である。

命題命題 1.2により

は群準同型であり、前段落によって全射である。$u\in A^\times$が核に属することは、すべての$a\in A$に対して$uau^{-1}=a$、すなわち$ua=au$となることと同値である。$Z(A)=K1_A$であるから

である。

群準同型$\operatorname{Int}$の性質と核の計算から、

となる。したがって、商集合から自己同型群への写像は代表元によらず、単射である。$\operatorname{Int}$の全射性から、この写像も全射である。さらに、商の積$[u][v]=[uv]$と$\operatorname{Int}(uv)=\operatorname{Int}(u)\circ\operatorname{Int}(v)$により積を保つため、所要の群同型を得る。▨