§E6.7中国剰余定理

命題 1.1を$I,J$に適用すると、$\Phi_{I,J}$は単位元を保つ環準同型であり、$\ker\Phi_{I,J}=I\cap J$である。

命題 1.1の像条件$a-b\in I+J$は、代表を$a+i_0$、$b+j_0$（$i_0\in I,j_0\in J$）へ替えても、差が$i_0-j_0\in I+J$だけ変わるため不変である。条件は$a+(I+J)=b+(I+J)$と同値であるから、像は$(R/I)\times_{R/(I+J)}(R/J)$である。差写像は加法群準同型であり、その核はこの像に等しい。差写像は一般には環準同型ではない。

$1=i+j$、ただし$i\in I,j\in J$とし、$r=aj+bi$と置く。$r-a=-ai+bi\in I$および$r-b=aj-bj\in J$であるため全射である。逆に全射性から$(I,1+J)$の逆像$r$を取ると、$r\in I$、$r-1\in J$であり、$1=r-(r-1)\in I+J$となる。

定理 3.1の構成を用いる。$u_{kj}\in I_k$と$v_{kj}\in I_j$を$u_{kj}+v_{kj}=1$となるように選び、固定した順序で$e_k=\prod_{j\ne k}v_{kj}$と置くと、$e_k\equiv1\pmod{I_k}$、$e_k\in I_l$（$l\ne k$）である。したがって$r=\sum_kr_ke_k$は指定した剰余を実現する。一方、整数環の$(2),(3),(6)$の和は$\Z$である。剰余$(0,0,1)$を実現する整数は$6$の倍数でありながら法$6$で$1$となる必要があるため存在しない。

$A=(a_{pq}),B=(b_{pq})\in T$とする。$i=1,2$に対して

である。積の等式には$a_{21}=b_{21}=0$を用いた。したがって$\pi_{11},\pi_{22}$は単位元を保つ環準同型である。任意の$c\in k$に対して$\pi_{ii}(c1_T)=c$であるため、両射影は全射である。また、$a_{22}=0$と$A\in I$は同値であり、$a_{11}=0$と$A\in J$は同値である。よって$\ker\pi_{22}=I$、$\ker\pi_{11}=J$である。

例 2.1により、$I,J$は両側イデアルであり、$T/I\cong k$、$T/J\cong k$である。また、二つの順序の積、和および共通部分は

であり、中国剰余同型は$T/kE_{12}\cong T/I\times T/J\cong k\times k$である。

$x=9\cdot3+28\cdot5=167$と置けばよい。実際、$167\equiv3\pmod4$かつ$167\equiv5\pmod9$である。法$36$では$167\equiv23$であるため、逆像は$23+(36)$である。

$t=0,1$に対して$\varepsilon_t(f):=f(t)$と置く。任意の$f,g\in k[x]$に対して$(f+g)(t)=f(t)+g(t)$、$(fg)(t)=f(t)g(t)$、$1(t)=1_k$であるから、$\varepsilon_t$は単位元を保つ環準同型である。任意の$c\in k$は定数多項式$c$の像であるため、$\varepsilon_t$は全射である。

$f(x)=\sum_{m=0}^d a_mx^m$と書くと

である。したがって$f(0)=0$ならば$f\in(x)$であり、$f(1)=0$ならば$f\in(x-1)$である。逆に、それぞれの倍数は対応する点で零となるため、$\ker\varepsilon_0=(x)$、$\ker\varepsilon_1=(x-1)$である。二点評価写像$\varepsilon(f)=(f(0),f(1))$は座標ごとに単位元と演算を保ち、その核は両座標が零となる条件から$(x)\cap(x-1)$である。

例 4.2により、$\ker\varepsilon=(x(x-1))$であり、誘導同型は$\bar\varepsilon(f+(x(x-1)))=(f(0),f(1))$である。この同型の核は$\ker\bar\varepsilon=0$であり、任意の$(a,b)\in k\times k$の逆像の代表は$a(1-x)+bx$である。

整数の剰余を$\bar a=a+(d)$と書く。$A=(a_{pq}),B=(b_{pq})\in M_2(\Z)$に対して

である。また単位行列は単位行列へ移る。したがって$\rho_d(A)=(\bar a_{pq})$は単位元を保つ環準同型である。任意の剰余行列の各成分に整数代表を選ぶと逆像となるため、$\rho_d$は全射である。$\rho_d(A)=0$であることは、各$a_{pq}$が$d$で割り切れることと同値であるから、$\ker\rho_d=M_2(d\Z)$である。

例 4.3により、任意の正整数$d$に対して$M_2(d\Z)$は両側イデアルであり、$M_2(\Z)/M_2(d\Z)\cong M_2(\Z/(d))$である。また、$I=M_2(2\Z)$、$J=M_2(3\Z)$の和は$I+J=M_2(\Z)$、共通部分は$I\cap J=M_2(6\Z)$であり、中国剰余同型は$M_2(\Z)/M_2(6\Z)\cong M_2(\Z/(2))\times M_2(\Z/(3))$である。

同じ例の逆像の公式により、任意の$B\in M_2(\Z/(2))$、$C\in M_2(\Z/(3))$に対して整数代表$\widetilde B,\widetilde C$を選ぶと、$A=3\widetilde B-2\widetilde C$は$A\equiv B\pmod2$と$A\equiv C\pmod3$を成分ごとに満たす。また、同じ例で示した代表選択独立性により、$A+M_2(6\Z)$は$\widetilde B,\widetilde C$の選択によらない。