§E6.42超限 dévissage

証明.§E1.20 定理 2.1 (2)と§E1.16 定理 3.1により、$M$の元を$(x_\alpha)_{\alpha<\theta}$と整列する。$L$が$M$の純部分加群で$x\in M\setminus L$ならば、§E6.15 命題 5.1 (2)により$M/L$は左平坦である。§E6.41 定理 4.2を環$R^{\mathrm{op}}$に適用すると、$x+L$を含む$M/L$の純部分加群$N(L,x)$で、左平坦かつ濃度が高々$\kappa$であるものが存在する。§E1.20 定理 2.1 (1)により、すべての組$(L,x)$について、そのような$N(L,x)$を一つずつ選ぶ。

§E1.17 系 2.4によって、$\alpha\le\theta$に対する部分加群$M_\alpha$を定める。$M_0=0$とする。$M_\alpha$が定まったとき、$x_\alpha\in M_\alpha$ならば$M_{\alpha+1}=M_\alpha$とし、$x_\alpha\notin M_\alpha$ならば商写像$p_\alpha\colon M\to M/M_\alpha$によって

と置く。極限順序数$\lambda\le\theta$では$M_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}M_\alpha$と置く。

$M_0=0$は$M$の純部分加群であり、左平坦である。$M_\alpha$が$M$の純部分加群であるとする。$x_\alpha\notin M_\alpha$の場合、商写像が$M_{\alpha+1}/M_\alpha$を$N(M_\alpha,x_\alpha)$と同一視するので、§E6.41 補題 2.2により$M_{\alpha+1}$は$M$の純部分加群である。また、後続商は左平坦で濃度が高々$\kappa$であり、§E6.15 命題 5.1 (2)により$M_{\alpha+1}$も左平坦である。$x_\alpha\in M_\alpha$の場合は後続商が零であり、同じ結論が成り立つ。

$\lambda\le\theta$を極限順序数とし、各$\alpha<\lambda$について$M_\alpha$が$M$の純部分加群かつ左平坦であるとする。§E6.41 補題 2.3により、$M_\lambda$は$M$の純部分加群である。包含写像による図式$(M_\alpha)_{\alpha<\lambda}$の余錐$(f_\alpha\colon M_\alpha\to X)_{\alpha<\lambda}$は、各$M_\alpha$上で$f_\alpha$に一致する線形写像$M_\lambda\to X$をただ一つ定める。実際、二つの段階の元とその線形結合は、それらの段階以上の一つの段階に属し、余錐の整合性によって写像の値は一致する。したがって、余極限の普遍性により

である。順序集合$\{\alpha\mid\alpha<\lambda\}$は空でなく、任意の二元の上界をもつのでフィルター圏である。§E6.15 命題 9.1により$M_\lambda$は左平坦である。

§E1.17 定理 1.1 (1)により、各段階で純性と平坦性が成り立つ。任意の$\alpha<\theta$について$x_\alpha\in M_{\alpha+1}\subseteq M_\theta$であるので、$M_\theta=M$である。したがって$\sigma=\theta$とすれば、求めるフィルトレーションを得る。▨

証明.$\beta\le\sigma$に対する等式$M_\beta=\bigoplus_{\alpha<\beta}C_\alpha$に§E1.17 定理 1.1 (1)を適用する。$\beta=0$では両辺は零である。$M_\beta=\bigoplus_{\alpha<\beta}C_\alpha$ならば、仮定の分裂によって

である。

$\lambda\le\sigma$を極限順序数とし、各$\beta<\lambda$で帰納法の主張が成り立つとする。連続性により、$M_\lambda$の任意の元はある$M_\beta$に属し、$\alpha<\beta$に対する$C_\alpha$の元の有限和である。したがって$M_\lambda=\sum_{\alpha<\lambda}C_\alpha$である。この有限和表示が二つ与えられたとき、両方の表示に現れる有限個の添字$\alpha$のすべてに対して$\alpha<\beta$となる$\beta<\lambda$を取る。両表示は$M_\beta$における表示であり、帰納法の仮定によって一致する。§E6.2 命題 6.8 (2)により、$M_\lambda=\bigoplus_{\alpha<\lambda}C_\alpha$である。

$\beta=\sigma$に対する等式が求める直和表示である。各商写像の$C_\alpha$への制限は$C_\alpha\cong M_{\alpha+1}/M_\alpha$を与える。▨

証明.$\pi$に関して閉な部分集合の族$(S_i)_{i\in I}$を取る。$F_{\bigcup_iS_i}=\sum_iF_{S_i}$であるので、

であり、主張 (1)が成り立つ。

$A\subseteq B$に対して、$A_0=A$とし、$n\in\N$について

と置く。ここで$\supp\pi(b)$は、$\pi(b)$の基底$B$に関する非零座標の添字の有限集合である。$b\in S$ならば、$b\in A_n$を満たす$n\in\N$が存在し、$\pi(b)\in F_{A_{n+1}}\subseteq F_S$である。$S$は$F_S$を生成するので$\pi(F_S)\subseteq F_S$である。$A$が高々可算ならば、有限な台の和集合も§E1.18 定理 6.3 (2)により高々可算である。したがって各$A_n$とその和集合$S$は高々可算であり、主張 (2)が成り立つ。

$S$を閉部分集合とする。$\pi(F_S)\subseteq P\cap F_S$であるので、$r_S$は$P\cap F_S$に値をもつ。$x\in P\cap F_S$に対して

である。各$x\in P$は$x=r_S(x)+(x-r_S(x))$と分解され、第二項は$\ker r_S$に属する。また、$P\cap F_S$と$\ker r_S$の共通部分は零である。よって$P=(P\cap F_S)\oplus\ker r_S$である。$\pi|_{F_S}$も冪等であり、像が$P\cap F_S$、核が$Q\cap F_S$であるので、同じ分解によって$F_S=(P\cap F_S)\oplus(Q\cap F_S)$を得る。したがって主張 (3)が成り立つ。

$S\subseteq T$を閉部分集合とする。$\pi$は$F_S$と$F_T$を保つので、$F_T/F_S$に冪等自己準同型$\bar\pi$を誘導する。主張 (3)により$\pi(F_T)=P\cap F_T$であり、§E6.17 補題 6.1によって

である。基底の分割によって$F_T=F_S\oplus F_{T\setminus S}$であり、$F_T/F_S\cong F_{T\setminus S}$は自由である。冪等性によって$F_T/F_S=\im\bar\pi\oplus\ker\bar\pi$となるので、§E6.14 命題 1.3 (3)により$\im\bar\pi$は射影的である。$T\setminus S$が高々可算ならば、$\im\bar\pi$は高々可算個の元$\bar\pi(b+F_S)$($b\in T\setminus S$) によって生成される。したがって主張 (4)が成り立つ。▨

証明.§E1.20 定理 2.1 (2)と§E1.16 定理 3.1により、$B$を$(b_\alpha)_{\alpha<\sigma}$と整列する。各$b\in B$について、補題 3.2 (2)による$\{b\}$を含む高々可算な閉部分集合$T_b$を選ぶ。§E1.17 系 2.4により

と定める。補題 3.2 (1)により各$S_\alpha$は閉であり、$S_{\alpha+1}\setminus S_\alpha\subseteq T_{b_\alpha}$は高々可算である。各$\alpha<\sigma$について$b_\alpha\in S_{\alpha+1}$であるので、$S_\sigma=B$である。▨

証明.§E6.14 命題 1.3 (3)により、自由左$R$-加群$F$と直和分解$F=P\oplus Q$を取り、$\pi\colon F\to F$を像が$P$、核が$Q$である射影とする。$F$の基底を$B$とし、補題 3.3により閉部分集合の列$(S_\alpha)_{\alpha\le\sigma}$を取る。$F_{S_\alpha}=\bigoplus_{b\in S_\alpha}Rb$および$P_\alpha=P\cap F_{S_\alpha}$と置く。

$P_0=0$、$P_\sigma=P$であり、$(P_\alpha)_\alpha$は増大する。極限順序数$\lambda\le\sigma$について、$F_{S_\lambda}$の各元は有限個の基底元の線形結合である。その有限個の基底元は、ある$\alpha<\lambda$に対する$S_\alpha$にすべて属するので、

である。したがって$(P_\alpha)_{\alpha\le\sigma}$は連続な超限フィルトレーションである。

各$\alpha<\sigma$について、補題 3.2 (3)のレトラクション$r_{S_\alpha}\colon P\to P_\alpha$を$P_{\alpha+1}$に制限する。その核を$C_\alpha$と置くと、

である。$S_{\alpha+1}\setminus S_\alpha$は高々可算であるので、補題 3.2 (4)により$C_\alpha$は可算生成射影加群である。命題 2.1により$P=\bigoplus_{\alpha<\sigma}C_\alpha$を得る。▨