§E6.11中山の補題

左右とも、有限生成であるとは有限階数自由加群からの全射が存在することである。§E6.9 命題 1.6と§E6.9 命題 1.7により、左では$M=\sum_iRx_i$、右では$M=\sum_i x_iR$と同値である。非零有限生成加群の極大部分加群の存在には§E6.9 命題 1.9を適用する。真の部分加群の非空な鎖の和が有限生成族を含むと仮定すると、鎖の一元が生成族をすべて含むため、加群全体になる。この結論は、鎖の各元が真の部分加群であることに反する。空鎖にも零部分加群という上界があるため、Zorn の補題を適用することができる。

§E6.6 定理 4.4により$J(R)$はすべての単純左加群を零化し、§E6.6 定理 5.2によりすべての単純右加群を零化する。$I\subseteq J(R)$だから、左では$IS\subseteq J(R)S=0$、右では$TI\subseteq TJ(R)=0$である。

$M\ne0$と仮定し、極大左部分加群$N$を取る。$S=M/N$は単純であり、(2)から$IS=0$である。一方、$I(M/N)=(IM+N)/N$と$IM=M$から$IS=S$を得る。よって$S=0$となり、$N$が真であることに反する。したがって$M=0$である。

$M\ne0$と仮定し、極大右部分加群$N$と単純右商$S=M/N$を取る。(2)から$SI=0$である一方、$(M/N)I=(MI+N)/N$と$MI=M$から$SI=S$となり矛盾する。$I=J(R)$とすれば$J(R)M=M$または$MJ(R)=M$から$M=0$が従う。

$I(M/N)$の元は$\sum_\ell a_\ell(m_\ell+N)=(\sum_\ell a_\ell m_\ell)+N$の形であり、逆に$(IM+N)/N$の各元もこの形である。したがって$I(M/N)=(IM+N)/N$である。右側でも積の順序を保って$(M/N)I=(MI+N)/N$を得る。$Q=M/N$は有限生成であり、仮定から左版では$IQ=Q$、右版では$QI=Q$となる。中山の補題により$Q=0$であるから$M=N$である。

左版で代表元が生成する部分加群を$N=\sum_iRx_i$とする。商での生成性は、任意の$m\in M$が$N+IM$に属することを意味する。よって$M=N+IM$であり、部分加群形から$M=N$を得る。右版では$N=\sum_i x_iR$と置いて$M=N+MI$を得る。$I=J(R)$とすれば、Jacobson 根基を法とする生成系の任意の代表元が$M$を生成する。

$M=\Z/3\Z$は$1+3\Z$で生成される。$2\cdot(2+3\Z)=1+3\Z$であるから$1+3\Z\in IM$であり、$IM=M\neq0$である。$r=2$について$1-r\cdot2=-3$は$\Z$で左逆元をもたないから、§E6.6 命題 4.2により$2\notin J(\Z)$であり、$I\not\subseteq J(\Z)$である。

§E6.6 例 5.3により$I=J(\Z_{(p)})=p\Z_{(p)}$である。$\Q$の任意の元$c$は$c=p\cdot(c/p)$と書かれるから$IM=M$であり、$M\neq0$である。$M$が$q_1,\ldots,q_t$で生成されると仮定する。各$q_i$を$q_i=a_i/(p^{e_i}s_i)$（$a_i\in\Z$、$s_i$は$p$と互いに素な正の整数、$e_i\geq0$）と書き、$e=\max_ie_i$と置く。$p^eq_i\in\Z_{(p)}$であるから、$q_i$の$\Z_{(p)}$係数の一次結合$x$はすべて$p^ex\in\Z_{(p)}$を満たす。$x=1/p^{e+1}$をとると$p^ex=1/p$であるが、$1/p=a/s$（$p\nmid s$）と書かれるなら$s=pa$となって$p\mid s$に反するから、$1/p\notin\Z_{(p)}$である。したがって$1/p^{e+1}$は$q_1,\ldots,q_t$で生成されず、$M$は有限生成でない。

空族が生成する加群は零加群であるため、生成族が空ならば結論は直ちに成立する。零環上の単位的加群では、左加群の元は$m=1_Rm=0m=0$、右加群の元は$m=m1_R=m0=0$となる。したがって加群は零加群だけであり、すべての主張が成り立つ。