Jordan 標準形の存在再訪 | 環論入門

1 作用素と多項式加群

定義 1.1. $K$ を体、 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間、 $T\colon V\to V$ を $K$ 線形写像とする。 $V$ の加法群に

p\cdot v=p(T)v\qquad(p\in K[x],\ v\in V)

で作用を定めた $K[x]$ 加群を $V_T$ と書く。§E3.18 定理 1.2により、この作用は加群の公理を満たす。定数多項式 $a\in K$ の作用は元のスカラー倍 $v\mapsto av$ である。公理の確認は問題 6.1 (1)の演習とする。

注意 1.2. 零空間 $V=0$ 上の作用素では、すべての多項式が $V$ を零化するので、零化イデアルは $(1)$ 、最小多項式は $m_T=1$ である。零次行列の行列式を $1$ とし、特性多項式も $\chi_T=1$ とする。単因子、初等因子、有理標準形のブロックおよび Jordan ブロックは空族とする。

命題 1.3. 体 $K$ 上の有限次元線形空間 $V$ と自己準同型 $T$ に対し、 $V_T$ は有限生成ねじれ $K[x]$ 加群であり、その零化イデアルは $(m_T)$ である。

証明. $V$ の有限基底を取ると、定数多項式による一次結合だけで $V_T$ を生成する。§E3.22 命題 1.2により、 $p(T)=0$ と $m_T\mid p$ は同値である。したがって零化イデアルは $(m_T)$ であり、非零多項式 $m_T$ がすべての元を零化する。零空間では空基底と $m_T=1$ によって同じ結論を得る。▨

命題 1.4. $K$ を体、 $V,W$ を有限次元 $K$ 線形空間、 $T\in\End_K(V)$ 、 $S\in\End_K(W)$ とする。このとき、次の条件は同値である。

$FT=SF$ を満たす $K$ 線形同型 $F\colon V\to W$ が存在する。
$K[x]$ 加群の同型 $V_T\cong W_S$ が存在する。

証明は問題 6.1 (3)の演習とする。

2 既約因子成分と巡回分解

補題 2.1. $K$ を体、 $V\ne0$ を有限次元 $K$ 線形空間、 $T\in\End_K(V)$ とする。最小多項式の相異なるモニック既約因子による分解を

m_T=\prod_{i=1}^r p_i^{n_i},\qquad n_i\ge1

とする。このとき、中国剰余同型

A:=K[x]/(m_T)\cong\prod_{i=1}^r K[x]/(p_i^{n_i})

の第 $i$ 座標の単位元に対応する $e_i\in A$ に対して

V_T=\bigoplus_{i=1}^r V_i,\qquad V_i=e_iV_T=\ker p_i(T)^{n_i}

である。さらに $V_i$ は、ある正整数 $a$ に対して $p_i(T)^av=0$ を満たす元 $v$ 全体に等しい。

証明.§E6.46 定理 5.1を $m_T$ に適用して、表示した既約冪分解を取る。相異なる既約因子の冪は互いに素なので、§E6.46 命題 3.1の Bézout の等式より、イデアル $(p_i^{n_i})$ は二つずつ互いに素である。§E6.7 補題 3.2と§E6.7 定理 3.1により、表示した環同型を得る。

命題 1.3により、 $V_T$ の作用は $A$ を経由する。直積の座標から得られる $e_i$ は完全直交冪等元なので、§E6.48 命題 3.1より $V_T=\bigoplus_i e_iV_T$ である。第 $i$ 座標では $p_i^{n_i}=0$ なので、 $p_i^{n_i}e_iV_T=0$ である。 $j\ne i$ の場合、Bézout の等式により $p_i$ は $K[x]/(p_j^{n_j})$ の単元となる。したがって $p_i^a$ は、どの $a\ge1$ に対しても $e_jV_T$ 上で可逆に作用する。 $p_i^av=0$ なら $v$ の第 $j$ 成分はすべて零となり、 $v\in e_iV_T$ を得る。逆に $e_iV_T$ のすべての元は $p_i^{n_i}$ で零化される。▨

補題 2.2. $K$ を体、 $p\in K[x]$ をモニック既約多項式、 $n\ge1$ を整数とする。有限次元 $K$ 線形空間である $K[x]$ 加群 $M$ が $p^nM=0$ を満たすとする。このとき、 $M$ は単項 Artin 局所環 $B=K[x]/(p^n)$ 上有限生成であり、

M\cong\bigoplus_{j=1}^t K[x]/(p^{a_j}),\qquad 1\le a_j\le n

と表示することができる。指数の多重集合は $M$ の $K[x]$ 加群としての同型類から一意に定まる。 $M=0$ では空直和とする。

証明. $p^nM=0$ により $M$ を $B$ 加群とみなす。 $M$ の有限な $K$ 基底は $B$ 生成系でもある。§E6.49 例 4.1により、 $B$ は極大イデアル $(\pi)$ 、剰余体 $\kappa=K[x]/(p)$ 、冪零指数 $n$ をもつ単項 Artin 局所環である。ただし $\pi$ は $p$ の像である。

§E6.49 定理 3.1により $M$ は $B/(\pi^{a_j})$ の有限直和となる。 $1\le a_j\le n$ なので、自然な商写像は $B/(\pi^{a_j})\cong K[x]/(p^{a_j})$ を誘導する。 $K[x]$ 加群の同型は $B$ 加群の同型でもあり、§E6.49 定理 3.2により、指数 $a$ の重複度は

\dim_\kappa(p^{a-1}M/p^aM)-\dim_\kappa(p^aM/p^{a+1}M)

で定まる。 $a=n$ では後半の商は零である。▨

補題 2.3. $K$ を体とし、相異なるモニック既約多項式 $p_1,\ldots,p_r$ に対する正整数の列

a_{i,1}\le\cdots\le a_{i,t_i}\qquad(1\le i\le r)

を取る。ただし $r\ge1$ 、 $t_i\ge1$ とする。 $s=\max_i t_i$ とし、各列の左に $s-t_i$ 個の零を補って得られる列を $b_{i,1},\ldots,b_{i,s}$ とする。このとき

f_j=\prod_{i=1}^r p_i^{b_{i,j}}\qquad(1\le j\le s)

は正次数モニック多項式の整除列 $f_1\mid\cdots\mid f_s$ であり、

\bigoplus_{i=1}^r\bigoplus_{k=1}^{t_i}K[x]/(p_i^{a_{i,k}}) \cong\bigoplus_{j=1}^sK[x]/(f_j)

となる。同じ加群を正次数モニック多項式の整除列 $g_1\mid\cdots\mid g_u$ で表示した場合、 $u=s$ かつ $g_j=f_j$ である。空な既約冪の族に対応する整除列も空である。

証明. 各指数列に零を補い、主張の式で $f_j$ を定める。各 $i$ について $b_{i,j}\le b_{i,j+1}$ なので $f_j\mid f_{j+1}$ である。 $t_i=s$ となる $i$ が存在し、その行の全指数は正なので、すべての $f_j$ は正次数である。各列に中国剰余定理§E6.7 定理 3.1と§E6.7 補題 3.2を適用すると

K[x]/(f_j)\cong\bigoplus_{i:b_{i,j}>0}K[x]/(p_i^{b_{i,j}})

となる。これらの有限直和を取って存在を得る。

別の整除列 $g_1\mid\cdots\mid g_u$ による表示を取る。 $g_j$ の既約因子に中国剰余定理を適用すると、各モニック既約多項式 $p$ に対して、 $p$ のある冪で零化される部分加群は

\bigoplus_{j:v_p(g_j)>0}K[x]/(p^{v_p(g_j)})

である。ここで $v_p(g)$ は $g$ の既約分解に現れる $p$ の指数である。実際、他の既約因子の冪による商では $p$ が可逆である。この部分加群は加群の同型によって保存されるので、補題 2.2の一意性から、 $p=p_i$ の正指数の多重集合は $(a_{i,k})_k$ に等しく、他の $p$ は現れない。

$g_1$ は正次数なので、その既約因子 $p_i$ を一つ取る。整除性により $p_i$ はすべての $g_j$ を割るので、この $i$ について $t_i=u$ である。他の $i$ については $t_i\le u$ であり、 $s=u$ を得る。整除性から各列 $v_{p_i}(g_1),\ldots,v_{p_i}(g_s)$ は昇順である。正指数が既知であるため、残りの零は左端に置かれ、その列は $(b_{i,j})_j$ と一致する。モニック既約分解の一意性により $g_j=f_j$ である。空族の直和は零であり、正次数の巡回商は非零なので、零加群の整除列は空に限る。▨

定理 2.4. $K$ を体、 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間、 $T\in\End_K(V)$ とする。このとき、正次数モニック多項式の整除列 $f_1\mid\cdots\mid f_s$ で

V_T\cong\bigoplus_{j=1}^sK[x]/(f_j)

を満たすものが一意に存在する。この列の各多項式を $T$ の単因子 (invariant factor) または不変因子 (invariant factor) という。 $V=0$ の場合は $s=0$ とする。

証明. $V\ne0$ の場合、補題 2.1によって $V_T$ を既約因子成分へ分解する。各成分に補題 2.2を適用し、零成分を除く。 $V\ne0$ なので少なくとも一つの巡回因子が存在し、補題 2.3によって整除列へ組み直すことができる。同補題の一意性は、任意の別の整除列にも適用される。 $V=0$ の場合も同補題の空族についての結論を用いる。▨

定義 2.5. 体 $K$ 上の有限次元作用素 $T$ の各不変因子をモニック既約多項式の冪の積へ分解し、正指数の冪を重複付きで集めたものを $T$ の初等因子 (elementary divisor) という。零空間の初等因子は空族である。

定理 2.6. $K$ を体、 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間、 $T\in\End_K(V)$ とする。 $T$ の初等因子を重複込みで $(p_i^{a_{i,k}})_{i,k}$ と書く。このとき

V_T\cong\bigoplus_{i,k}K[x]/(p_i^{a_{i,k}})

である。初等因子の多重集合は $V_T$ の同型類から一意に定まり、この多重集合は $V_T$ の同型類と $T$ の相似類を決定する。

証明.定理 2.4の各巡回商に中国剰余定理を適用する。この分解に現れる正指数の既約冪は、補題 2.3によって最初の既約因子成分の巡回分解と一致する。その指数は補題 2.2により一意である。同じ初等因子をもつ二つの加群は表示した直和を通じて同型となり、命題 1.4により作用素は相似である。▨

3 同伴行列と有理標準形

定義 3.1. $K$ を体、 $f=x^d+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots+c_0\in K[x]$ を次数 $d\ge1$ のモニック多項式とする。 $d$ 次行列 $C(f)$ の第 $j$ 列を $j<d$ では標準基底の第 $j+1$ ベクトル、最終列を $(-c_0,\ldots,-c_{d-1})^{\mathsf t}$ と定める。この $C(f)$ を $f$ の同伴行列 (companion matrix) という。 $d=1$ では $C(x+c_0)=(-c_0)$ である。

命題 3.2. 体 $K$ 上の正次数モニック多項式 $f$ の次数を $d$ とする。このとき、 $K[x]/(f)$ の剰余類 $1,x,\ldots,x^{d-1}$ は $K$ 基底であり、この基底に関する $x$ 倍写像の行列は $C(f)$ である。証明は問題 6.1 (4)の演習とする。

注意 3.3. 同伴行列を $C(f)^{\mathsf t}$ とする規約では、 $1$ は超対角、係数の負値は最終行に置かれる。巡回商の昇冪基底を用い、座標を列ベクトルで表す場合には、命題 3.2の $C(f)$ が作用行列である。

定義 3.4. 体 $K$ 上の正次数モニック多項式の整除列 $f_1\mid\cdots\mid f_s$ に対し、

C(f_1)\oplus\cdots\oplus C(f_s)

を有理標準形 (rational canonical form) という。空列に対応する有理標準形は零次行列である。

定理 3.5. 任意の体 $K$ 上の有限次元作用素 $T$ は有理標準形をもつ。その整除順の同伴行列の列は一意であり、対応する多項式は $T$ の不変因子である。

証明.定理 2.4の加群同型に沿って、各巡回商の昇冪基底を $V$ に移す。命題 3.2より、得られた基底で $T$ の行列は不変因子に対応する有理標準形となる。逆に有理標準形の各ブロックは同じ命題によって巡回商を表すので、ブロック列の一意性は不変因子の一意性から従う。▨

注意 3.6. 線形代数における巡回基底 $v,Tv,\ldots,T^{d-1}v$ は、巡回商の基底 $1,x,\ldots,x^{d-1}$ の像である。巡回ベクトルの関係式 $f(T)v=0$ によって生じる同伴行列は、命題 3.2の行列と一致する。

命題 3.7. 体 $K$ 上の正次数モニック多項式 $f$ に対して、 $K[x]/(f)$ の $x$ 倍写像および同伴行列 $C(f)$ の最小多項式と特性多項式は、ともに $f$ である。証明は問題 6.1 (4)の演習とする。

命題 3.8. 体 $K$ 上の非零有限次元線形空間の自己準同型 $T$ が不変因子 $f_1\mid\cdots\mid f_s$ をもつとする。このとき

\chi_T=\prod_{j=1}^s f_j,\qquad m_T=f_s

である。零空間では $\chi_T=m_T=1$ であり、最大の不変因子 $f_s$ は存在しない。

証明.定理 3.5によるブロック対角行列の特性多項式を取る。行列式は各ブロックの行列式の積なので、命題 3.7から $\chi_T=\prod_jf_j$ を得る。多項式 $h$ が全直和を零化する条件は、すべての $j$ について $f_j\mid h$ となることである。整除列ではこの条件は $f_s\mid h$ と同値なので $m_T=f_s$ である。零空間には注意 1.2を適用する。▨

4 分裂条件と Jordan 標準形

命題 4.1. 体 $K$ 上の有限次元作用素 $T$ について、次の四条件は同値である。定数多項式 $1$ は一次因子の空積とみなし、零空間でもすべての条件が成り立つ。

$m_T$ が $K$ 上の一次因子の積に分解する。
すべての不変因子が $K$ 上の一次因子の積に分解する。
すべての初等因子が $(x-\lambda)^e$ （ $\lambda\in K$ 、 $e\ge1$ ）の形である。
$\chi_T$ が $K$ 上の一次因子の積に分解する。

証明は問題 6.1 (6)の演習とする。

定義 4.2. $K$ を体、 $\lambda\in K$ 、 $e\ge1$ を整数とする。対角成分が $\lambda$ 、超対角成分が $1$ 、それ以外が $0$ の $e$ 次行列をJordan ブロック (Jordan block) といい、 $J_e(\lambda)$ と書く。 $J_1(\lambda)=(\lambda)$ である。Jordan ブロックの有限直和をJordan 標準形 (Jordan normal form) という。空直和は零次行列である。

命題 4.3. 体 $K$ の元 $\lambda$ と整数 $e\ge1$ に対し、 $y=x-\lambda$ と置く。このとき、 $K[x]/(y^e)$ の剰余類 $y^{e-1},y^{e-2},\ldots,1$ は基底であり、この基底に関する $x$ 倍写像の行列は $J_e(\lambda)$ である。証明は問題 6.1 (7)の演習とする。

注意 4.4. 逆順基底を $b_j=y^{e-j}$ （ $1\le j\le e$ ）とすると、 $yb_1=0$ 、 $yb_j=b_{j-1}$ （ $j>1$ ）である。したがって列座標では $x$ 倍写像の $1$ は超対角に現れ、線形代数で用いる Jordan 鎖の行列表示と一致する。

定理 4.5. 体 $K$ 上の有限次元作用素 $T$ に対して、 $m_T$ が $K$ 上の一次因子の積に分解することは、 $T$ が $K$ 上で Jordan 標準形をもつための必要十分条件である。 $m_T$ の代わりに $\chi_T$ の一次因子への分解を用いても、Jordan 標準形の存在を特徴づけることができる。

証明. $m_T$ が一次因子へ分解すると仮定する。命題 4.1により初等因子はすべて一次式の冪である。定理 2.6の各巡回商に命題 4.3の基底を選ぶと、 $T$ の Jordan 標準形を得る。逆に $T$ が Jordan 標準形をもつ場合、各ブロックの特性多項式は三角行列の行列式から $(x-\lambda)^e$ である。したがって $\chi_T$ は一次因子へ分解し、命題 4.1により $m_T$ も分解する。零空間では空基底と空積を用いる。▨

定理 4.6. 体 $K$ 上の有限次元作用素 $T$ の最小多項式が $K$ 上で一次因子へ分解するとする。このとき、Jordan 標準形に現れる固有値とブロックサイズの対 $(\lambda,e)$ の多重集合は $T$ から一意に定まる。ブロックを並べる順序は任意である。

証明. 任意の Jordan 標準形の各ブロックを、命題 4.3によって $K[x]/((x-\lambda)^e)$ と同定する。定理 2.6により、これらの一次式冪の多重集合は一意である。モニック既約分解の一意性から $(x-\lambda)^e$ は $\lambda$ と $e$ を決定する。有限直和の順序の交換は基底の並べ替えによって実現される。▨

注意 4.7. Jordan–Hölder の一意性が記録するのは単純組成因子であり、半単純加群の分解の一意性が記録するのは単純直和因子である。Krull–Schmidt の一意性は直既約因子の同型類を記録する。これらの一意性の主張だけでは、作用素の因子を固有値とブロックサイズの対で記述することはできない。Jordan データは相似類を決定するが、Jordan 基底や変換行列を一意には定めない。例えば二次元の零作用素では、すべての基底が同じ Jordan 行列を与える。最小多項式が分裂しない作用素にも有理標準形は存在するが、係数体上の Jordan 標準形は存在しない。

注意 4.8. 線形代数における固有値 $\lambda$ の Jordan 鎖は、 $K[x]/((x-\lambda)^e)$ の逆順基底の像である。鎖の長さ $e$ は初等因子の指数に等しい。Jordan 標準形の存在条件とブロックの一意性は、それぞれ初等因子が一次式冪であることと、初等因子の多重集合が一意であることに対応する。

命題 4.9. $K$ を体、 $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in K$ を相異なる元、 $e_1,\ldots,e_r\ge1$ とし、 $f=\prod_{j=1}^r(x-\lambda_j)^{e_j}$ と置く。このとき

K[x]/(f)\cong\bigoplus_{j=1}^r K[x]/((x-\lambda_j)^{e_j})

であり、 $C(f)$ の Jordan 標準形は $\bigoplus_{j=1}^rJ_{e_j}(\lambda_j)$ である。

証明. 相異なる一次因子の冪に§E6.7 定理 3.1と§E6.7 補題 3.2を適用して巡回商の同型を得る。命題 3.2と命題 4.3により、両辺の $x$ 倍写像はそれぞれ表示した行列を与える。▨

5 標準形の例

例 5.1. 実行列

A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=C(x^2+1)

では、命題 3.7により $\chi_A=m_A=x^2+1$ である。 $x^2+1$ は実根をもたない二次式なので、因数定理§E6.46 定理 4.2により $\R$ 上既約である。したがって $A$ 自身が有理標準形であるが、定理 4.5により実数上の Jordan 標準形は存在しない。

例 5.2. 任意の体 $K$ で $f_1=x-1$ 、 $f_2=(x-1)^2(x-2)$ とし、 $C(f_1)\oplus C(f_2)$ を考える。このとき、 $K$ では $2-1=1\ne0$ なので、標数によらず $x-1$ と $x-2$ は相異なる。初等因子は $x-1,(x-1)^2,x-2$ であり、Jordan 標準形は

J_1(1)\oplus J_2(1)\oplus J_1(2)

である。命題 3.8により

\chi=(x-1)^3(x-2),\qquad m=(x-1)^2(x-2)

となる。二つの不変因子に対して、Jordan ブロックは三つ存在する。

例 5.3. 体 $K$ 上の加群 $K[x]/(x^2)\oplus K[x]/(x^3)$ の $x$ 倍写像を $N$ とする。このとき、不変因子は $x^2\mid x^3$ 、初等因子は $x^2,x^3$ である。したがって Jordan 標準形は $J_2(0)\oplus J_3(0)$ であり、 $\chi_N=x^5$ 、 $m_N=x^3$ である。第二因子の $1$ の像に対して $N^2(1)=x^2\ne0$ なので、 $N^3=0$ かつ $N^2\ne0$ である。

例 5.4. 任意の体 $K$ 上の零空間の作用素は、空基底に関して零次行列で表される。有理標準形と Jordan 標準形はいずれも空直和で、不変因子と初等因子は空族、 $\chi_T=m_T=1$ である。定数 $1$ は空積であるから、命題 4.1の四条件はすべて成立する。

注意 5.5. 固定した体 $K$ 上で、モニック既約多項式 $p$ の次数が $2$ 以上なら、 $C(p)$ は有理標準形であるが $K$ 上の Jordan 標準形をもたない。実際、その最小多項式は $p$ であり、一次因子の積ではない。したがって有理標準形と Jordan 標準形の存在範囲は、係数体上の既約多項式の次数によって異なる。

6 演習

問題 6.1. $K$ を体、 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間、 $T\in\End_K(V)$ とする。

$p\cdot v=p(T)v$ が加群の全公理を満たすことを確認せよ。 $K$ 基底が $K[x]$ 生成系であることと、 $m_T$ が全元を零化することを示せ。
正次数モニック多項式の整除列 $g_1\mid\cdots\mid g_u$ と整数 $a\ge0$ に対し、 $V_T\cong K[x]^a\oplus\bigoplus_{j=1}^uK[x]/(g_j)$ が与えられたとする。ねじれ性から $a=0$ を示し、 $g_j$ が $T$ の不変因子であることを示せ。
命題 1.4を証明せよ。
正次数モニック多項式 $f$ の巡回商の昇冪基底で、 $x$ 倍写像の全列を計算せよ。命題 3.2と命題 3.7を証明せよ。
不変因子表示から $\chi_T=\prod_jf_j$ と $m_T=f_s$ を求め、零空間の場合の解釈を述べよ。
命題 4.1の四条件の同値を証明せよ。
命題 4.3の逆順基底における全列を計算せよ。その結果と初等因子分解から、Jordan 標準形の存在条件とブロックの一意性を導け。
不変因子が $x-1,(x-1)^2(x-2)$ の作用素について、初等因子、Jordan ブロック、最小多項式および特性多項式を求めよ。一つの不変因子が一つの Jordan ブロックに対応するとは限らないことを説明せよ。実回転行列と零空間についても Jordan 標準形の存在条件を確認せよ。

解答.

$V$ の加法はもとの線形空間のアーベル群の加法である。 $p(T)$ の線形性から $p\cdot(v+w)=p\cdot v+p\cdot w$ である。§E3.18 定理 1.2により、 $(p+q)\cdot v=p\cdot v+q\cdot v$ 、 $(pq)\cdot v=p\cdot(q\cdot v)$ 、 $1\cdot v=v$ が成り立つ。よって全公理を満たす。定数多項式の作用は $K$ スカラー倍なので、有限な $K$ 基底は $K[x]$ 生成系である。最小多項式の定義により $m_T(T)v=0$ がすべての $v$ に対して成り立つ。零空間では空基底を用いる。
$a>0$ と仮定し、自由因子の第一標準基底ベクトル $e$ を取る。 $V_T$ はねじれ加群なので、ある非零多項式 $h$ が $he=0$ を満たす。しかし $he$ の第一座標は $h\ne0$ であり、矛盾する。よって $a=0$ である。残る表示は正次数モニック多項式の整除列による表示なので、定理 2.4の一意性により $(g_j)_j$ は不変因子列に等しい。
$K$ 線形同型 $F$ が $FT=SF$ を満たすとする。帰納法により $FT^j=S^jF$ であり、係数との線形結合を取ると $Fp(T)=p(S)F$ となる。したがって $F$ は $K[x]$ 線形である。逆に $K[x]$ 加群同型 $F$ は定数の作用を保つので $K$ 線形であり、 $x$ の作用を保つので $FT=SF$ を満たす。
$d=\deg f$ とする。除法の定理§E6.46 定理 2.1により、各剰余類は次数が $d$ 未満の多項式で一意に表されるので、 $1,x,\ldots,x^{d-1}$ は基底である。第 $j$ 基底ベクトルを $b_j=x^{j-1}$ とすると、 $j<d$ では $xb_j=b_{j+1}$ 、最後は $xb_d=-\sum_{k=0}^{d-1}c_kb_{k+1}$ となる。したがって全列は $C(f)$ の定義と一致する。多項式 $h$ が $x$ 倍写像を零化するなら、 $h\cdot1=0$ なので $h\in(f)$ である。逆に $h\in(f)$ なら巡回商全体を零化する。よって最小多項式は $f$ である。§E3.22 系 1.3により $f\mid\chi_{C(f)}$ であり、両者は次数 $d$ のモニック多項式なので一致する。
各巡回商の特性多項式は命題 3.7により $f_j$ である。直和のブロック対角行列の行列式を取ると $\chi_T=\prod_jf_j$ となる。 $h$ が全成分を零化することは、すべての $f_j$ が $h$ を割ることと同値である。整除列では $f_s\mid h$ だけで十分なので $m_T=f_s$ となる。零空間では積は空積 $1$ であり、最小多項式も $1$ である。空列に最大項はない。
$V\ne0$ とする。命題 3.8より $m_T=f_s$ であり、すべての $f_j$ は $f_s$ を割る。モニック既約分解の一意性により、 $f_s$ が一次因子の積であることと、すべての $f_j$ が一次因子の積であることは同値である。また、全 $f_j$ の既約分解に現れる正指数の冪が初等因子なので、全 $f_j$ の分裂と、全初等因子が一次式冪であることは同値である。最後に $\chi_T=\prod_jf_j$ なので、既約分解の一意性により $\chi_T$ の分裂と全 $f_j$ の分裂は同値である。 $V=0$ では $m_T=\chi_T=1$ であり、残る二条件は空族に対する条件なので成立する。
$y=x-\lambda$ とし、 $b_j=y^{e-j}$ （ $1\le j\le e$ ）と置く。変数変換 $x=y+\lambda$ と除法の定理により、 $b_1,\ldots,b_e$ は基底である。 $xb_1=\lambda b_1$ 、 $xb_j=\lambda b_j+b_{j-1}$ （ $j>1$ ）なので、第一列は $\lambda$ 倍の第一標準基底ベクトル、第 $j$ 列は第 $j-1$ 標準基底ベクトルと $\lambda$ 倍の第 $j$ 標準基底ベクトルの和である。この行列は $J_e(\lambda)$ である。最小多項式が分裂すれば、全初等因子は一次式冪なので各巡回商へこの基底を選ぶことができる。逆に Jordan 行列の特性多項式は一次式冪の積なので、四条件の同値から最小多項式も分裂する。任意の Jordan 表示は一次式冪の巡回商表示を与え、初等因子の一意性が $(\lambda,e)$ の多重集合を一意に定める。
$1\ne2$ なので初等因子は $x-1,(x-1)^2,x-2$ である。対応するブロックは $J_1(1),J_2(1),J_1(2)$ 、特性多項式は $(x-1)^3(x-2)$ 、最小多項式は $(x-1)^2(x-2)$ となる。第二不変因子が二つの Jordan ブロックに分かれるため、一不変因子一ブロックという対応は成立しない。実回転行列 $C(x^2+1)$ の最小多項式は実数上分裂しないので実 Jordan 標準形は存在しない。零空間では $m_T=1$ が空積として分裂し、空の Jordan 標準形が存在する。

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問題 6.2. 任意の体 $K$ 上の次元 $10$ の線形空間に冪零作用素 $N$ があり、

\dim\ker N=4,\qquad\dim\ker N^2=7,\qquad \dim\ker N^3=9,\qquad N^4=0

を満たすとする。Jordan ブロックの各サイズの個数、不変因子、最小多項式および特性多項式を求めよ。サイズ $e$ のブロックが $\dim\ker N^r$ に寄与する量と、核次元の隣接差の意味を示し、求めた形が与えられた条件を満たすことを確認せよ。

解答.

$N^4=0$ により $m_N\mid x^4$ なので、定理 4.5により $N$ は $J_e(0)$ （ $1\le e\le4$ ）の直和である。サイズ $e$ の鎖 $b_1,\ldots,b_e$ では、 $N^rb_j=0$ となるのは $j\le r$ の場合であり、 $j>r$ の像は相異なる基底ベクトル $b_{j-r}$ である。したがってこのブロックの核次元は $\min(r,e)$ である。

$d_r=\dim\ker N^r$ と置き、 $d_0=0$ 、 $d_4=d_5=10$ とする。サイズ $e$ のブロックが $d_r-d_{r-1}$ に寄与する量は、 $e\ge r$ のとき $1$ 、 $e<r$ のとき $0$ である。よってサイズが $r$ 以上のブロック数は $d_r-d_{r-1}$ 、サイズがちょうど $r$ のブロック数は $(d_r-d_{r-1})-(d_{r+1}-d_r)$ である。与えられた値から隣接差は $4,3,2,1,0$ となるので、サイズ $1,2,3,4$ のブロックはそれぞれ一つである。

したがって Jordan 標準形は $J_1(0)\oplus J_2(0)\oplus J_3(0)\oplus J_4(0)$ 、不変因子は $x\mid x^2\mid x^3\mid x^4$ 、 $m_N=x^4$ 、 $\chi_N=x^{10}$ である。この形の次元は $1+2+3+4=10$ 、核次元は順に $1+1+1+1=4$ 、 $1+2+2+2=7$ 、 $1+2+3+3=9$ であり、各ブロックの四乗は零である。よって元の条件をすべて満たす。▨

§E6.50Jordan 標準形の存在再訪