§E6.49単項 Artin 局所環上の加群

証明.§E6.48 系 1.5を$J(B)=(\pi)$に適用すると、$\pi$の冪零指数$n$が存在する。$j<n$に対して$(\pi^j)=(\pi^{j+1})$ならば、ある$b\in B$が存在して$\pi^j=b\pi^{j+1}$となる。$1-b\pi$は局所環$B$の単元なので、$(1-b\pi)\pi^j=0$から$\pi^j=0$となり、$n$の最小性に反する。

任意の非零元$a\in B$に対して、$a\in(\pi^j)$となる最大の$j$を取る。$a=u\pi^j$と書くと、$u\in(\pi)$ならば$a\in(\pi^{j+1})$となるので、$u$は単元である。非零イデアル$I$に含まれる非零元のうち、この指数が最小である元$u\pi^j$を取る。$u$は単元なので$(\pi^j)\subseteq I$であり、指数の最小性から$I\subseteq(\pi^j)$でもある。したがって$I=(\pi^j)$である。零イデアルは$(\pi^n)$である。

乗法写像$B\to(\pi^j)/(\pi^{j+1})$は全射であり、$(\pi)$を零へ送るので、主張の写像を誘導する。単元$u$が核に属するならば$\pi^j\in(\pi^{j+1})$となり、真の包含に反する。したがって誘導された写像は単射である。

非零元$a=u\pi^q$に対して、$a\pi^j=0$は$q+j\ge n$と同値である。これより零化イデアルの式を得る。表示したイデアル列の各隣接商は単純加群$\kappa$なので、$(\pi^j)$と$B/(\pi^j)$の組成列の因子数はそれぞれ$n-j$と$j$である。▨

証明.$B/(\pi^m)$のイデアルは、商写像による逆像を取ると$(\pi^m)$を含む$B$のイデアルに対応する。命題 1.2により、そのイデアルは$(\pi^j)$（$0\le j\le m$）に尽きる。したがって$C$は Artin 局所環であり、その極大イデアルは$(\bar\pi)$である。$\pi^{m-1}\notin(\pi^m)$より$\bar\pi$の冪零指数は$m$である。同じ命題を$C$に適用すると$\ell_C C=m$を得る。$C$の$B$部分加群と$C$部分加群は一致するので、$\ell_B C=\ell_C C$である。任意の真のイデアルは$(\pi^m)$（$1\le m\le n$）であるから、任意の非零商環もこの形である。▨

証明. 任意の単純$B$加群は$B/(\pi)$と同型なので、$B$の単純部分加群は$(\pi)$で零化される。一方、$(\pi)$で零化される元が生成する非零巡回加群は、剰余体上一次元なので単純である。したがって

であり、最後の等式と$\kappa$との同型は命題 1.2による。§E6.48 命題 4.4より$B$は自己入射的である。可換性により左右の正則加群の入射性は一致する。

任意の非零商環$C$は系 1.3により単項 Artin 局所環である。$C$に同じ socle の計算と判定定理を適用すると、$C$は$C$加群として入射的である。▨

証明.§E6.48 系 3.3により$M$は有限長である。$\ell_B M$に関する帰納法を用いる。$M=0$では空直和を取る。

$M\ne0$とし、$\pi^mM=0$となる最小の正整数$m$を取る。$\pi^n=0$より$m\le n$であり、$\pi^{m-1}M\ne0$なので$\pi^{m-1}x\ne0$を満たす$x\in M$を取ることができる。命題 1.2により$\operatorname{Ann}_B(x)=(\pi^q)$となる$q$が存在する。$\pi^mx=0$より$q\le m$であり、$\pi^{m-1}x\ne0$より$q\ge m$である。したがって$q=m$であり、$b\mapsto bx$は同型$B/(\pi^m)\cong Bx$を誘導する。

$C=B/(\pi^m)$と置く。$\pi^mM=0$なので$M$は$C$加群であり、$Bx\cong C$も$C$加群の同型である。命題 2.1により$C$は$C$加群として入射的なので、§E6.16 命題 1.2 条件 (d)を包含$Bx\subseteq M$に適用すると、ある$C$部分加群$N$に対して$M=Bx\oplus N$となる。$N$は$B$部分加群でもあり、$M$から$N$への射影の像なので有限生成である。§E6.17 定理 5.1により

である。帰納法の仮定を$N$に適用し、その分解に$Bx\cong B/(\pi^m)$を加える。▨

証明. 巡回分解に$\pi^j$を作用させ、その像を$\pi^{j+1}$の像で割ると

を得る。系 1.3と命題 1.2により、右辺の第$i$成分の$\kappa$次元は$j<m_i$の場合に$1$、$j\ge m_i$の場合に$0$である。したがって

である。$B$加群の同型は各$\pi^jM$を保つので、$d_j(M)$は同型不変量である。逆に二つの加群の$d_j$が一致すれば、巡回因子の重複度が一致するので、定理 3.1の直和表示から両加群は同型となる。

各根基層は$\kappa$の$d_j(M)$個の直和であり、その$B$加群としての長さも$d_j(M)$である。§E6.17 定理 5.1を列$M\supseteq\pi M\supseteq\cdots\supseteq\pi^nM=0$に繰り返し適用すると、長さの最初の等式を得る。巡回分解と同じ長さの加法性から、最後の等式を得る。▨