1 分解の長さ 定義 1.1. R R R M M M R R R M M M 射影次元 (projective dimension )pd R M \operatorname{pd}_RM pd R M
0 ⟶ P n ⟶ ⋯ ⟶ P 0 ⟶ M ⟶ 0 0\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow0 0 ⟶ P n ⟶ ⋯ ⟶ P 0 ⟶ M ⟶ 0 であって各P j P_j P j R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 n n n pd R M = ∞ \operatorname{pd}_RM=\infty pd R M = ∞ pd R M = 0 \operatorname{pd}_RM=0 pd R M = 0 M M M pd R 0 = 0 \operatorname{pd}_R0=0 pd R 0 = 0
定義 1.2. R R R N N N R R R N N N 入射次元 (injective dimension )id R N \operatorname{id}_RN id R N
0 ⟶ N ⟶ E 0 ⟶ ⋯ ⟶ E n ⟶ 0 0\longrightarrow N\longrightarrow E^0\longrightarrow\cdots\longrightarrow E^n\longrightarrow0 0 ⟶ N ⟶ E 0 ⟶ ⋯ ⟶ E n ⟶ 0 であって各E j E^j E j R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 n n n id R N = ∞ \operatorname{id}_RN=\infty id R N = ∞ id R N = 0 \operatorname{id}_RN=0 id R N = 0 N N N id R 0 = 0 \operatorname{id}_R0=0 id R 0 = 0
定義 1.3. R R R M M M R R R M M M 平坦次元 (flat dimension )fd R M \operatorname{fd}_RM fd R M
0 ⟶ F n ⟶ ⋯ ⟶ F 0 ⟶ M ⟶ 0 0\longrightarrow F_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow F_0\longrightarrow M\longrightarrow0 0 ⟶ F n ⟶ ⋯ ⟶ F 0 ⟶ M ⟶ 0 であって各F j F_j F j R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 n n n fd R M = ∞ \operatorname{fd}_RM=\infty fd R M = ∞ fd R M = 0 \operatorname{fd}_RM=0 fd R M = 0 M M M fd R 0 = 0 \operatorname{fd}_R0=0 fd R 0 = 0
命題 1.4. R R R M M M R R R fd R M ≤ pd R M \operatorname{fd}_RM\le\operatorname{pd}_RM fd R M ≤ pd R M
証明. §E6.15 補題 2.3 により、射影分解の各項は平坦である。したがって長さn n n n n n ▨
定義 1.5. R R R R R R 左大域次元 (left global dimension )
lgd R = sup { pd R M ∣ M は左 R 加群 } \operatorname{lgd}R=\sup\{\operatorname{pd}_RM\mid M\text{ は左 }R\text{ 加群}\} lgd R = sup { pd R M ∣ M は左 R 加群 } と定める。R R R 右大域次元 (right global dimension )rgd R = lgd ( R o p ) \operatorname{rgd}R=\operatorname{lgd}(R^{\mathrm{op}}) rgd R = lgd ( R op ) R R R R o p R^{\mathrm{op}} R op R R R N ≥ 0 ∪ { ∞ } \N\cup\{\infty\} N ≥ 0 ∪ { ∞ }
2 Ext と Tor の消滅判定 定理 2.1. R R R M M M R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 P ∙ → M P_\bullet\to M P ∙ → M K 0 = M K_0=M K 0 = M K 1 = ker ( P 0 → M ) K_1=\ker(P_0\to M) K 1 = ker ( P 0 → M ) K j = ker ( P j − 1 → P j − 2 ) K_j=\ker(P_{j-1}\to P_{j-2}) K j = ker ( P j − 1 → P j − 2 ) j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2
pd R M ≤ n \operatorname{pd}_RM\le n pd R M ≤ n 任意の左R R R N N N k > n k>n k > n Ext R k ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^k(M,N)=0 Ext R k ( M , N ) = 0
任意の左R R R N N N Ext R n + 1 ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^{n+1}(M,N)=0 Ext R n + 1 ( M , N ) = 0
任意の射影分解P ∙ → M P_\bullet\to M P ∙ → M K n K_n K n
証明. n = 0 n=0 n = 0 K 0 = M K_0=M K 0 = M §E6.36 定理 3.3 により同値性が従う。n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1
条件 (a) を仮定し、長さn n n §E6.36 定義 1.3 により、この分解へHom R ( − , N ) \Hom_R(-,N) Hom R ( − , N ) Ext R k ( M , N ) \operatorname{Ext}_R^k(M,N) Ext R k ( M , N ) k > n k>n k > n 条件 (b) が成り立つ。k = n + 1 k=n+1 k = n + 1 条件 (c) が従う。
条件 (c) を仮定し、任意の射影分解を短完全列0 → K j + 1 → P j → K j → 0 0\to K_{j+1}\to P_j\to K_j\to0 0 → K j + 1 → P j → K j → 0 §E6.36 系 3.2 により、すべての左R R R N N N
Ext R 1 ( K n , N ) ≅ Ext R n + 1 ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^1(K_n,N)\cong\operatorname{Ext}_R^{n+1}(M,N)=0 Ext R 1 ( K n , N ) ≅ Ext R n + 1 ( M , N ) = 0 である。§E6.36 定理 3.3 によりK n K_n K n 条件 (d) が従う。
条件 (d) を仮定する。§E6.35 定理 1.3 により射影分解を取り、その第n n n n n n
0 ⟶ K n ⟶ P n − 1 ⟶ ⋯ ⟶ P 0 ⟶ M ⟶ 0 0\longrightarrow K_n\longrightarrow P_{n-1}\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow0 0 ⟶ K n ⟶ P n − 1 ⟶ ⋯ ⟶ P 0 ⟶ M ⟶ 0 を得る。よって条件 (a) が成り立つ。▨
定理 2.2. R R R N N N R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 0 → N → E 0 → E 1 → ⋯ 0\to N\to E^0\to E^1\to\cdots 0 → N → E 0 → E 1 → ⋯ K 0 = N K^0=N K 0 = N K 1 = E 0 / N K^1=E^0/N K 1 = E 0 / N K j = coker ( E j − 2 → E j − 1 ) K^j=\coker(E^{j-2}\to E^{j-1}) K j = coker ( E j − 2 → E j − 1 ) j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2
id R N ≤ n \operatorname{id}_RN\le n id R N ≤ n 任意の左R R R M M M k > n k>n k > n Ext R k ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^k(M,N)=0 Ext R k ( M , N ) = 0
任意の左R R R M M M Ext R n + 1 ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^{n+1}(M,N)=0 Ext R n + 1 ( M , N ) = 0
任意の入射分解に対し、K n K^n K n
証明. n = 0 n=0 n = 0 K 0 = N K^0=N K 0 = N §E6.36 定理 4.1 により同値性が従う。n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1
0 ⟶ K j ⟶ E j ⟶ K j + 1 ⟶ 0 0\longrightarrow K^j\longrightarrow E^j\longrightarrow K^{j+1}\longrightarrow0 0 ⟶ K j ⟶ E j ⟶ K j + 1 ⟶ 0 に分ける。§E6.36 系 4.2 をj = n − 1 , n − 2 , … , 0 j=n-1,n-2,\ldots,0 j = n − 1 , n − 2 , … , 0 R R R M M M q ≥ 1 q\ge1 q ≥ 1
Ext R q ( M , K n ) ≅ Ext R q + n ( M , N ) \operatorname{Ext}_R^q(M,K^n)\cong\operatorname{Ext}_R^{q+n}(M,N) Ext R q ( M , K n ) ≅ Ext R q + n ( M , N ) を得る。
条件 (a) を仮定し、長さn n n K n ≅ E n K^n\cong E^n K n ≅ E n §E6.36 定理 4.1 により表示式の左辺がすべてのq ≥ 1 q\ge1 q ≥ 1 条件 (b) が従う。k = n + 1 k=n+1 k = n + 1 条件 (c) が従う。
条件 (c) を仮定すると、任意の入射分解と任意の左R R R M M M q = 1 q=1 q = 1 Ext R 1 ( M , K n ) = 0 \operatorname{Ext}_R^1(M,K^n)=0 Ext R 1 ( M , K n ) = 0 §E6.36 定理 4.1 によりK n K^n K n 条件 (d) が従う。
条件 (d) を仮定する。§E6.16 定理 5.4 を逐次適用して入射分解を取り、長さn n n
0 ⟶ N ⟶ E 0 ⟶ ⋯ ⟶ E n − 1 ⟶ K n ⟶ 0 0\longrightarrow N\longrightarrow E^0\longrightarrow\cdots\longrightarrow E^{n-1}\longrightarrow K^n\longrightarrow0 0 ⟶ N ⟶ E 0 ⟶ ⋯ ⟶ E n − 1 ⟶ K n ⟶ 0 を得る。よって条件 (a) が成り立つ。▨
定理 2.3. R R R M M M R R R n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 R R R F ∙ → M F_\bullet\to M F ∙ → M L 0 = M L_0=M L 0 = M L 1 = ker ( F 0 → M ) L_1=\ker(F_0\to M) L 1 = ker ( F 0 → M ) L j = ker ( F j − 1 → F j − 2 ) L_j=\ker(F_{j-1}\to F_{j-2}) L j = ker ( F j − 1 → F j − 2 ) j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2
fd R M ≤ n \operatorname{fd}_RM\le n fd R M ≤ n 任意の右R R R X X X k > n k>n k > n Tor k R ( X , M ) = 0 \operatorname{Tor}_k^R(X,M)=0 Tor k R ( X , M ) = 0
任意の右R R R X X X Tor n + 1 R ( X , M ) = 0 \operatorname{Tor}_{n+1}^R(X,M)=0 Tor n + 1 R ( X , M ) = 0
任意の平坦分解F ∙ → M F_\bullet\to M F ∙ → M L n L_n L n
証明. n = 0 n=0 n = 0 L 0 = M L_0=M L 0 = M §E6.38 定理 4.1 により同値性が従う。n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 0 → L j + 1 → F j → L j → 0 0\to L_{j+1}\to F_j\to L_j\to0 0 → L j + 1 → F j → L j → 0 §E6.38 命題 4.2 (2) を反復すると、任意の右R R R X X X q ≥ 1 q\ge1 q ≥ 1
Tor q + n R ( X , M ) ≅ Tor q R ( X , L n ) \operatorname{Tor}_{q+n}^R(X,M)\cong\operatorname{Tor}_q^R(X,L_n) Tor q + n R ( X , M ) ≅ Tor q R ( X , L n ) を得る。
条件 (a) を仮定し、長さn n n L n ≅ F n L_n\cong F_n L n ≅ F n §E6.38 定理 4.1 と表示式から条件 (b) が従う。k = n + 1 k=n+1 k = n + 1 条件 (c) が従う。
条件 (c) を仮定する。表示式のq = 1 q=1 q = 1 §E6.38 定理 4.1 により、任意の平坦分解のL n L_n L n 条件 (d) が成り立つ。
条件 (d) を仮定する。§E6.35 定理 1.3 による射影分解は§E6.15 補題 2.3 により平坦分解でもある。その第n n n n n n 条件 (a) が従う。▨
3 大域次元 定理 3.1. R R R R R R M , N M,N M , N
lgd R = sup M pd R M = sup N id R N = sup { k ∈ N ≥ 0 ∣ ある M , N に対して Ext R k ( M , N ) ≠ 0 } \operatorname{lgd}R
=\sup_M\operatorname{pd}_RM
=\sup_N\operatorname{id}_RN
=\sup\{k\in\N\mid\text{ある }M,N\text{ に対して }\operatorname{Ext}_R^k(M,N)\ne0\} lgd R = M sup pd R M = N sup id R N = sup { k ∈ N ≥ 0 ∣ ある M , N に対して Ext R k ( M , N ) = 0 } が成り立つ。ここでsup ∅ = 0 \sup\varnothing=0 sup ∅ = 0 n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 R R R M , N M,N M , N Ext R n + 1 ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^{n+1}(M,N)=0 Ext R n + 1 ( M , N ) = 0 lgd R ≤ n \operatorname{lgd}R\le n lgd R ≤ n
証明. 定理 2.1 と定理 2.2 を任意のn ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0 M M M pd R M ≤ n \operatorname{pd}_RM\le n pd R M ≤ n N N N id R N ≤ n \operatorname{id}_RN\le n id R N ≤ n M , N M,N M , N k > n k>n k > n Ext R k ( M , N ) = 0 \operatorname{Ext}_R^k(M,N)=0 Ext R k ( M , N ) = 0 ∞ \infty ∞ 定理 2.1 から従う。▨
系 3.2. R R R R R R lgd R = 0 \operatorname{lgd}R=0 lgd R = 0
例 3.3. 整数m ≥ 2 m\ge2 m ≥ 2 pd Z ( Z / m Z ) = 1 \operatorname{pd}_{\Z}(\Z/m\Z)=1 pd Z ( Z / m Z ) = 1 id Z Z = 1 \operatorname{id}_{\Z}\Z=1 id Z Z = 1 lgd Z = rgd Z = 1 \operatorname{lgd}\Z=\operatorname{rgd}\Z=1 lgd Z = rgd Z = 1
完全列0 → Z → × m Z → Z / m Z → 0 0\to\Z\xrightarrow{\times m}\Z\to\Z/m\Z\to0 0 → Z × m Z → Z / m Z → 0 Z / m Z \Z/m\Z Z / m Z Z \Z Z Z → Z / m Z \Z\to\Z/m\Z Z → Z / m Z §E6.14 命題 1.3 (2) によりZ / m Z \Z/m\Z Z / m Z
Q \Q Q Q / Z \Q/\Z Q / Z §E6.16 命題 3.4 により0 → Z → Q → Q / Z → 0 0\to\Z\to\Q\to\Q/\Z\to0 0 → Z → Q → Q / Z → 0 Z \Z Z
任意のアーベル群M M M F → M F\to M F → M §E6.47 定理 1.1 によりその核も自由であり、pd Z M ≤ 1 \operatorname{pd}_{\Z}M\le1 pd Z M ≤ 1 Z / m Z \Z/m\Z Z / m Z lgd Z = 1 \operatorname{lgd}\Z=1 lgd Z = 1 Z o p = Z \Z^{\mathrm{op}}=\Z Z op = Z
4 Artin 環上の極小射影分解 定義 4.1. A A A M M M A A A
⋯ ⟶ P 2 → d 2 P 1 → d 1 P 0 → ε M ⟶ 0 \cdots\longrightarrow P_2\xrightarrow{d_2}P_1\xrightarrow{d_1}P_0\xrightarrow{\varepsilon}M\longrightarrow0 ⋯ ⟶ P 2 d 2 P 1 d 1 P 0 ε M ⟶ 0 において、ε : P 0 → M \varepsilon\colon P_0\to M ε : P 0 → M j ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1 P j → im d j P_j\to\im d_j P j → im d j 極小射影分解 (minimal projective resolution )
定理 4.2. A A A M M M A A A M M M M M M M M M
証明. K 0 = M K_0=M K 0 = M §E6.27 定理 4.1 により射影被覆p 0 : P 0 → K 0 p_0\colon P_0\to K_0 p 0 : P 0 → K 0 §E6.21 系 5.1 によりP 0 P_0 P 0 K 1 = ker p 0 K_1=\ker p_0 K 1 = ker p 0 P j P_j P j p j : P j → K j p_j\colon P_j\to K_j p j : P j → K j K j + 1 = ker p j K_{j+1}=\ker p_j K j + 1 = ker p j j ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1 d j d_j d j p j p_j p j K j ↪ P j − 1 K_j\hookrightarrow P_{j-1} K j ↪ P j − 1
二つの極小分解の射影被覆をp j : P j → K j p_j\colon P_j\to K_j p j : P j → K j p j ′ : P j ′ → K j ′ p'_j\colon P'_j\to K'_j p j ′ : P j ′ → K j ′ K 0 = K 0 ′ = M K_0=K'_0=M K 0 = K 0 ′ = M f 0 = id M f_0=\id_M f 0 = id M f j : K j → K j ′ f_j\colon K_j\to K'_j f j : K j → K j ′ p j p_j p j f j − 1 p j ′ f_j^{-1}p'_j f j − 1 p j ′ K j K_j K j §E6.27 定理 2.3 により、p j ′ φ j = f j p j p'_j\varphi_j=f_jp_j p j ′ φ j = f j p j φ j : P j → P j ′ \varphi_j\colon P_j\to P'_j φ j : P j → P j ′ f j + 1 : K j + 1 → K j + 1 ′ f_{j+1}\colon K_{j+1}\to K'_{j+1} f j + 1 : K j + 1 → K j + 1 ′ φ j \varphi_j φ j ▨
命題 4.3. A A A J = J ( A ) J=J(A) J = J ( A ) M M M A A A P ∙ → ε M P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon}M P ∙ ε M
この射影分解は極小である。
すべてのj ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1 im d j ⊆ J P j − 1 \im d_j\subseteq JP_{j-1} im d j ⊆ J P j − 1
証明. 条件 (a) を仮定する。§E6.27 解答 により、各射影被覆の核はその定義域のJ J J ker ε = im d 1 \ker\varepsilon=\im d_1 ker ε = im d 1 ker d j = im d j + 1 \ker d_j=\im d_{j+1} ker d j = im d j + 1 条件 (b) が従う。
条件 (b) を仮定する。ε \varepsilon ε P j → im d j P_j\to\im d_j P j → im d j J J J §E6.27 命題 2.1 (2) により、これらの核は小部分加群である。各定義域は射影的であるので、これらの全射は射影被覆である。よって条件 (a) が成り立つ。▨
命題 4.4. A A A M M M A A A P ∙ → M P_\bullet\to M P ∙ → M n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0
pd A M ≤ n ⟺ P n + 1 = 0 \operatorname{pd}_AM\le n\quad\Longleftrightarrow\quad P_{n+1}=0 pd A M ≤ n ⟺ P n + 1 = 0 が成り立つ。したがって、M ≠ 0 M\ne0 M = 0
pd A M = sup { j ∈ N ≥ 0 ∣ P j ≠ 0 } \operatorname{pd}_AM=\sup\{j\in\N\mid P_j\ne0\} pd A M = sup { j ∈ N ≥ 0 ∣ P j = 0 } である。M = 0 M=0 M = 0 P j P_j P j pd A 0 = 0 \operatorname{pd}_A0=0 pd A 0 = 0
証明. K 0 = M K_0=M K 0 = M K 1 = ker ( P 0 → M ) K_1=\ker(P_0\to M) K 1 = ker ( P 0 → M ) K j = ker d j − 1 K_j=\ker d_{j-1} K j = ker d j − 1 j ≥ 2 j\ge2 j ≥ 2 p j : P j → K j p_j\colon P_j\to K_j p j : P j → K j pd A M ≤ n \operatorname{pd}_AM\le n pd A M ≤ n 定理 2.1 によりK n K_n K n K n → K n K_n\to K_n K n → K n §E6.27 定理 2.3 によりp n p_n p n K n + 1 = 0 K_{n+1}=0 K n + 1 = 0 p n + 1 : P n + 1 → 0 p_{n+1}\colon P_{n+1}\to0 p n + 1 : P n + 1 → 0 P n + 1 P_{n+1} P n + 1 P n + 1 + 0 = P n + 1 P_{n+1}+0=P_{n+1} P n + 1 + 0 = P n + 1 P n + 1 = 0 P_{n+1}=0 P n + 1 = 0
逆にP n + 1 = 0 P_{n+1}=0 P n + 1 = 0 ker p n = im d n + 1 = 0 \ker p_n=\im d_{n+1}=0 ker p n = im d n + 1 = 0 P n P_n P n n n n pd A M ≤ n \operatorname{pd}_AM\le n pd A M ≤ n M ≠ 0 M\ne0 M = 0 M = 0 M=0 M = 0 p 0 : P 0 → 0 p_0\colon P_0\to0 p 0 : P 0 → 0 ▨
例 4.5. k k k R = k [ t ] / ( t 2 ) R=k[t]/(t^2) R = k [ t ] / ( t 2 ) t t t ϵ \epsilon ϵ R / ( ϵ ) = k R/(\epsilon)=k R / ( ϵ ) = k R R R k k k
⋯ → × ϵ R → × ϵ R → × ϵ R ⟶ k ⟶ 0 \cdots\xrightarrow{\times\epsilon}R\xrightarrow{\times\epsilon}R\xrightarrow{\times\epsilon}R\longrightarrow k\longrightarrow0 ⋯ × ϵ R × ϵ R × ϵ R ⟶ k ⟶ 0 によって与えられ、pd R k = lgd R = ∞ \operatorname{pd}_Rk=\operatorname{lgd}R=\infty pd R k = lgd R = ∞
§E6.21 例 3.2 により、R R R J ( R ) = ( ϵ ) J(R)=(\epsilon) J ( R ) = ( ϵ ) §E6.36 例 5.1 の射影分解では、各微分の像は( ϵ ) = J ( R ) R (\epsilon)=J(R)R ( ϵ ) = J ( R ) R 命題 4.3 によりこの分解は極小である。すべての項が非零であるので、命題 4.4 により射影次元は無限であり、大域次元も無限である。
同じ例で、§E6.36 例 5.1 によりExt R q ( k , R ) = 0 \operatorname{Ext}_R^q(k,R)=0 Ext R q ( k , R ) = 0 Ext R q ( k , k ) ≅ k ≠ 0 \operatorname{Ext}_R^q(k,k)\cong k\ne0 Ext R q ( k , k ) ≅ k = 0 q ≥ 1 q\ge1 q ≥ 1 定理 2.1 の消滅条件で第二変数をR R R
5 演習 問題 5.1. k k k r ≥ 3 r\ge3 r ≥ 3 A = k [ t ] / ( t r ) A=k[t]/(t^r) A = k [ t ] / ( t r ) ϵ = t + ( t r ) \epsilon=t+(t^r) ϵ = t + ( t r ) A / ( ϵ ) = k A/(\epsilon)=k A / ( ϵ ) = k k k k A A A
解答. P j = A P_j=A P j = A j ∈ N ≥ 0 j\in\N j ∈ N ≥ 0 P 0 → k P_0\to k P 0 → k j ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1 d j d_j d j j j j ϵ \epsilon ϵ j j j ϵ r − 1 \epsilon^{r-1} ϵ r − 1 1 , ϵ , … , ϵ r − 1 1,\epsilon,\ldots,\epsilon^{r-1} 1 , ϵ , … , ϵ r − 1
ker ( × ϵ ) = ( ϵ r − 1 ) , ker ( × ϵ r − 1 ) = ( ϵ ) \ker(\times\epsilon)=(\epsilon^{r-1}),\qquad
\ker(\times\epsilon^{r-1})=(\epsilon) ker ( × ϵ ) = ( ϵ r − 1 ) , ker ( × ϵ r − 1 ) = ( ϵ ) であるので、この列は完全である。§E6.21 例 3.2 により、A A A J ( A ) = ( ϵ ) J(A)=(\epsilon) J ( A ) = ( ϵ ) J ( A ) P j − 1 J(A)P_{j-1} J ( A ) P j − 1 命題 4.3 によりこの分解は極小である。すべてのP j P_j P j 命題 4.4 によりpd A k = ∞ \operatorname{pd}_Ak=\infty pd A k = ∞ lgd A = ∞ \operatorname{lgd}A=\infty lgd A = ∞ rgd A = ∞ \operatorname{rgd}A=\infty rgd A = ∞ ▨