§E6.5積閉集合・局所化・分数体

証明.$p,q\in F(X)$の台がそれぞれ有限集合$P,Q\subseteq W(X)$に含まれるならば、$pq$の台は有限集合$\{uv\mid u\in P,\ v\in Q\}$に含まれる。したがって積は$F(X)$に値を取る。係数ごとの加法はアーベル群を定める。$p=\sum_u n_u u$、$q=\sum_v m_v v$、$r=\sum_z l_z z$に対して、$(pq)r$と$p(qr)$の語$w$における係数はともに

であり、積は結合的である。語の連結で$\varepsilon u=u\varepsilon=u$となるため、$\varepsilon$は単位元である。積の係数の式で整数の分配律を用いると、左右の分配律を得る。よって$F(X)$は環である。

§E6.1 命題 3.2の環準同型を$\chi_B\colon\Z\to B$とする。整数$n$と$b\in B$に対し、分配律と加法逆元の乗法公式から

である。したがって$\chi_B(\Z)$の各元は$B$のすべての元と可換である。

語$w=x_1\cdots x_d$に対して$f(w):=f(x_1)\cdots f(x_d)$とし、$f(\varepsilon):=1_B$と置く。写像

は係数の加法を保ち、$\widehat f(\varepsilon)=1_B$を満たす。整数係数の像の可換性と$f(uv)=f(u)f(v)$により

よって$\widehat f$は環準同型であり、$\widehat f\circ j_X=f$である。

$h\colon F(X)\to B$が環準同型で$h\circ j_X=f$を満たすならば、単位元と積の保存により$h(w)=f(w)$である。加法の保存により$h(n_w w)=\chi_B(n_w)f(w)$であるため、すべての$p\in F(X)$に対して$h(p)=\widehat f(p)$となる。▨

証明. 各$a\in R$に記号$x_a$、各$s\in S$に記号$y_s$を対応させ、二つの記号の集合を互いに素に取る。記号の集合

上の自由環$F(X)$を取る。$F(X)$の両側イデアル$J$を、次の元によって生成する。

§E6.3 命題 5.3と§E6.2 命題 9.1により商環$L:=F(X)/J$と全射な環準同型$q\colon F(X)\to L$が定まる。

$\lambda(a):=q(x_a)$と置く。最初の三種類の関係式により$\lambda\colon R\to L$は環準同型であり、残りの二種類により

となる。したがって、各$\lambda(s)$は可逆である。

$g\colon R\to B$を、すべての$s\in S$の像が可逆である環準同型とする。記号への代入

は補題 1.3により環準同型$\widehat g\colon F(X)\to B$を一意に定める。$g$が加法、乗法および単位元を保つことと、$g(s)^{-1}$が両側逆元であることから、$\widehat g$は$J$の各生成元を零へ写す。生成元$r$と$p,t\in F(X)$に対し$\widehat g(prt)=\widehat g(p)\widehat g(r)\widehat g(t)=0$であるから、$J\subseteq\ker\widehat g$となる。よって

は代表元によらず定まり、商環の演算から環準同型である。さらに$\widetilde g\circ\lambda=g$を満たす。

$h\colon L\to B$も$h\circ\lambda=g$を満たす環準同型ならば、$h(q(x_a))=g(a)$である。また$q(y_s)=\lambda(s)^{-1}$より$h(q(y_s))=g(s)^{-1}$である。したがって補題 1.3の一意性から$h\circ q=\widehat g=\widetilde g\circ q$であり、$q$の全射性から$h=\widetilde g$となる。▨

証明.$(L,\lambda)$の普遍性を$\lambda'$に適用すると、環準同型$\theta\colon L\to L'$が一意に定まる。逆に$(L',\lambda')$の普遍性を$\lambda$に適用すると、環準同型$\eta\colon L'\to L$が一意に定まる。$\eta\theta\lambda=\lambda$であるため、$(L,\lambda)$の普遍性の一意性から$\eta\theta=\id_L$となる。同じく$\theta\eta\lambda'=\lambda'$より$\theta\eta=\id_{L'}$である。したがって$\theta$は環同型である。▨

証明.$\lambda_T\circ f$は各$s\in S$を可逆元へ写すため、$(L_S(R),\lambda_S)$の普遍性から$L(f)$が一意に定まる。恒等写像は$\id_{L_S(R)}\circ\lambda_S=\lambda_S$を満たすため、一意性から$L(\id_R)=\id_{L_S(R)}$である。さらに

となるため、一意性から$L(hf)=L(h)L(f)$である。▨

証明. 任意の環準同型$g\colon R\to B$は$g\circ\id_R=g$と一意に因子化するため、$(R,\id_R)$は空集合による普遍的局所化である。$R$が零環ならば$1_{L_S(R)}=\lambda_S(1_R)=\lambda_S(0_R)=0$である。$0_R\in S$ならば$\lambda_S(0_R)=0$が可逆なので、やはり$1_{L_S(R)}=0$となる。▨

証明.$s,t\in S$に左 Ore 条件を適用すると、$u\in S$と$v\in R$が存在して$us=vt\in S$となる。したがって加法の式に必要な共通左分母が存在する。

関係$\sim$の反射性は$u=v=1$から従い、対称性は証人$u,v$を交換することから従う。推移性について、

とする。左 Ore 条件により$h\in S$と$k\in R$を$hus=kpt\in S$となるように取る。$(hv-kp)t=0$なので、左分母条件により$l\in S$を$lhv=lkp$となるように取る。このとき

となり、$(s,a)\sim(w,c)$を得る。

加法に用いる共通左分母を$d=us=vt\in S$と$d'=u's=v't\in S$の二通りに取る。左 Ore 条件により$h\in S$と$k\in R$を$hd=kd'\in S$となるように取る。等式

に左分母条件を順に適用すると、$l,m\in S$を

となるように取ることができる。$H=mlh$、$K=mlk$と置くと

である。したがって$(d,ua+vb)\sim(d',u'a+v'b)$となり、和は共通左分母の選択によらない。

$(s,a)\sim(s',a')$とし、$ps=qs'=d\in S$、$pa=qa'$を満たす$p,q\in R$を取る。$hd=kt\in S$となる$h\in S$と$k\in R$を取ると、$[s,a]+[t,b]$と$[s',a']+[t,b]$は、それぞれ

と表され、両者は等しい。和の式は二つの項の交換に対して対称なので、第2項の代表元を替えても和は変わらない。

三つの分母$s,t,w\in S$に対して、$d=us=vt\in S$、$D=hd=kw\in S$を取る。両方の括弧づけによる和は

となるため、加法は結合的である。同じ分母で分子を加える式から、交換律、零元および加法逆元の主張も従う。

$ua=vb$ならば$uar=vbr$なので、$T_r$は代表元によらず定まる。共通左分母を用いる加法の式から$T_r$は加法的であり、分子の計算から

である。

$s\in S$とする。$T_s([t,a])=0$ならば、$ut\in S$かつ$uas=0$を満たす$u\in R$が存在する。左分母条件により$v\in S$を$vua=0$となるように取ると、$vut\in S$であるため$[t,a]=0$となる。したがって$T_s$は単射である。一方、任意の$[t,a]\in Q$に対し、左 Ore 条件により$v\in S$と$b\in R$を$va=bs$となるように取ると

である。よって$T_s$は全射でもあり、可逆である。▨

証明.定理 1.4の普遍的局所化を$(L,\lambda)$とする。$us=vt=d\in S$、$ua=vb$ならば

である。したがって写像

が定まる。

補題 2.3の環準同型$R\to\End_{\Z}(Q)^{\mathrm{op}}$は$S$を可逆元へ写すため、普遍性により$L\to\End_{\Z}(Q)^{\mathrm{op}}$へ延長する。この延長による$x\in L$の作用を$q\mapsto q\cdot x$と書く。反対環の積の定義から

である。$e=[1,1]\in Q$と置く。$T_s([s,1])=[s,s]=e$なので

となる。よって$x\mapsto e\cdot x$は$\Phi$の左逆写像であり、$\Phi$は単射である。

$\Phi$の像の二元を$\alpha=\lambda(s)^{-1}\lambda(a)$、$\beta=\lambda(t)^{-1}\lambda(b)$とする。共通左分母$d=us=vt\in S$を取ると

となる。また、$w\in S$と$c\in R$を$wa=ct$となるように取ると

である。加法逆元は分子の符号を替えて得られ、$1_L=\Phi([1,1])$である。したがって像$L'\subseteq L$は部分環である。$L'$は$\lambda(R)$と各$\lambda(s)^{-1}$を含むため、普遍性から環準同型$h\colon L\to L'$が存在し、包含$j\colon L'\hookrightarrow L$に対して$jh\lambda=\lambda$を満たす。普遍性の一意性から$jh=\id_L$となり、$L'=L$である。よって$\Phi$は全単射である。

$\Phi$によって$L$の環構造を$Q$へ移す。直前の計算は主張の加法と乗法の式を与え、加法は補題 2.3の加法と一致する。さらに$\Phi([1,a])=\lambda(a)$、$\Phi([s,1])=\lambda(s)^{-1}$である。したがって$\iota$は普遍的局所化であり、$\widetilde g$の式はその普遍性から従う。▨

証明.$\iota(a)=0$は$(1,a)\sim(1,0)$と同値であり、同値関係の式では証人が$u=v\in S$、$ua=0$を満たすことと同値である。正則元の場合、この等式から$a=0$を得る。また、正則な$s$に対して$as=0$ならば$a=0$なので、左分母条件では$t=1$を取ることができる。▨

証明.$sr=rs$なので、左 Ore 条件では$t=s$、$b=r$を取ることができる。$rs=0$ならば$sr=0$なので、左分母条件も成り立つ。

$us=vt=d\in S$、$ua=vb$ならば、可換性により

となる。逆に$w(at-bs)=0$ならば、$u=wt$、$v=ws$と置くことで$us=vt=wst\in S$、$ua=vb$を得る。▨

証明.命題 2.10により、$S$は左分母集合であり、$a/s\mapsto[s,a]$は可換分数の商集合から左分数の商集合への全単射を定める。定理 2.4の環構造を、この全単射によって移す。

共通左分母の式では$u=t$、$v=s$を、乗法の式では$w=t$、$c=a$を取ると、それぞれ

を得る。加法逆元は$(-a)/s$なので、減法は

である。したがって、定義の演算はすべて代表元によらず定まる。零元と単位元はそれぞれ$0/1$と$1/1$であり、$ab=ba$、$st=ts$から乗法の可換性も従う。▨

証明.定理 2.4を可換環$A$と積閉集合$S$に適用すると、$\iota_S(a)=a/1$は単位元を保つ環準同型であり、各$s/1$の逆元は$1/s$である。核の表示は系 2.5による。▨

証明.$0\in S$ならば、命題 3.3の核の表示で$u=0$を取ると$\ker(\iota_S)=A$となり、$1/1=0/1$である。逆に$S^{-1}A$が零環ならば$1/1=0/1$であり、ある$u\in S$が$u(1_A-0)=u=0$を満たす。したがって$0\in S$である。すべてのイデアルは$0$を含み、零環には真のイデアルが存在しないため、素イデアルに関する主張も従う。▨