§E14.2局所コンパクト群

例 4.1. 任意の$n\in\NN$に対して、加法群$\R^n$は§E14.1 例 6.1により位相群であり、§E2.24 例 5.1 (3)により局所コンパクト Hausdorff である。したがって$\R^n$は局所コンパクト群である。

$\mathbb F=\R$または$\C$とする。このとき、行列空間$M_n(\mathbb F)$は有限次元実 Euclid 空間であり、$\GL_n(\mathbb F)$は連続関数$\det$の零点集合の補集合なので開集合である。§E2.24 系 1.8により$\GL_n(\mathbb F)$は局所コンパクト Hausdorff である。§E14.1 命題 6.4により$\GL_n(\mathbb F)$は位相群であるから、局所コンパクト群である。

例 4.2. 任意の離散群$D$は局所コンパクト群である。離散空間は Hausdorff であり、各一点集合がコンパクトな開近傍だからである。離散空間のコンパクト部分集合は有限集合に限る。実際、一点集合による被覆が有限部分被覆をもつならば、その部分集合は有限である。

したがって、非可算な離散群は局所コンパクトであるが、σ-コンパクトではない。実際、σ-コンパクトならば有限集合の可算合併となり、台集合は高々可算となる。たとえば、実数の加法群に離散位相を入れた群は、非可算な離散群である。一方、任意の離散群において$K=\{e\}$とすれば、命題 2.1の開部分群は$G_K=\{e\}$である。

例 4.3. コンパクト Hausdorff な位相群は局所コンパクト群である。空間全体が各点のコンパクト近傍だからである。

たとえば、乗法群$\mathbb T=\{z\in\C\mid |z|=1\}$は$\R^2$の閉有界部分集合であるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。また、$\mathbb T$は Euclid 空間の部分空間として Hausdorff である。§E14.1 例 6.1により$\mathbb T$は位相群であるから、局所コンパクト群である。

$n\in\NN$とし、行列$A$の$(i,j)$成分を$A_{ij}$と書く。このとき、§E14.1 命題 6.4の直交群$\Orth(n)$、ユニタリ群$\Uni(n)$、特殊直交群$\SO(n)$および特殊ユニタリ群$\SU(n)$は、コンパクト Hausdorff な位相群であり、したがって局所コンパクト群である。実際、$A\in\Uni(n)$ならば、各$j=1,\ldots,n$について$A^*A=I_n$の$(j,j)$成分を比べると$\sum_{i=1}^n|A_{ij}|^2=1$であるから、すべての$i,j$について$|A_{ij}|\le1$である。$A\in\Orth(n)$についても、$A^{\mathsf T}A=I_n$から同じ評価を得る。よって、$\Orth(n)$と$\SO(n)$は有限次元実 Euclid 空間$M_n(\R)$の有界部分集合であり、$\Uni(n)$と$\SU(n)$は$M_n(\C)$の有界部分集合である。§E14.1 命題 6.4により四つの群は行列空間の閉部分集合でもあるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。また、同じ命題により四つの群は位相群であり、Euclid 空間の部分空間として Hausdorff である。

§E7.31 命題 1.2により、有限群の逆系の逆極限はコンパクトな Hausdorff 位相群であり、完全不連結である。副有限群は、ある有限群の逆系の逆極限と位相群として同型である。位相群としての同型は同相写像であるから、副有限群はコンパクトな Hausdorff 位相群であり、完全不連結である。したがって、副有限群は完全不連結な局所コンパクト群である。たとえば、任意の素数$p$に対して、§E14.1 例 6.5の$p$進整数の加法群$\Z_p$は副有限群である。

例 4.5. 乗法群$\mathbb T$の 1 の冪根全体

は$\mathbb T$の部分群であり、相対位相に関して Hausdorff な位相群であるが、局所コンパクトではない。

$z,w\in\mu_\infty$が$z^m=1$、$w^n=1$を満たすならば、$(zw^{-1})^{mn}=1$である。$1\in\mu_\infty$でもあるから、$\mu_\infty$は$\mathbb T$の部分群である。§E14.1 命題 3.1により$\mu_\infty$は位相群であり、Hausdorff 空間$\mathbb T$の部分空間として Hausdorff である。

$\mu_\infty$は$\mathbb T$で稠密である。実際、写像$f\colon\R\to\mathbb T$を$f(t)=e^{2\pi it}$で定めると、$f$は連続な全射であり、$f(\Q)\subseteq\mu_\infty$である。$\mathbb T$の任意の空でない開集合$U$に対して、$f^{-1}(U)$は$\R$の空でない開集合であり、§D1.4 系 2.2による有理数の稠密性から有理数を含む。したがって$U$は$\mu_\infty$と交わる。一方、$e^{2\pi i\sqrt{2}}\notin\mu_\infty$である。実際、$(e^{2\pi i\sqrt{2}})^n=1$ならば$n\sqrt{2}\in\Z$となり、$\sqrt{2}$が無理数であることに反する。よって$\mu_\infty$は$\mathbb T$の真の稠密部分群であり、閉集合ではない。命題 3.2により、$\mu_\infty$は局所コンパクトではない。

$\mathbb T$は例 4.3により局所コンパクト群である。したがって、定理 3.1の結論のうち部分群が局所コンパクト群であることは、部分群が閉であるという仮定を外すと成り立たない。

例 4.6. 積位相をもつ加法群$P=\R^{\NN}$は Hausdorff な位相群であるが、局所コンパクトではない。位相群であることは§E14.1 命題 3.1による。異なる二点には異なる座標があるので、その座標で互いに交わらない実数の開近傍を取ると、逆像は$P$における互いに交わらない開近傍となる。したがって$P$は Hausdorff である。

$\Z^{\NN}$は$P$の閉部分群である。実際、$\Z$は$\R$で閉じているので

は閉集合である。また、$\Z$の相対位相は離散位相であり、積の開基を制限すると$\Z^{\NN}$の相対位相は離散群$\Z$の積位相と一致する。もし$P$が局所コンパクトならば、定理 3.1により$\Z^{\NN}$も局所コンパクトとなる。これは§E14.1 例 6.2に反する。