群環の表現と正則表現 | 位相群論 I

定義 1.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $H$ を複素 Hilbert 空間とし、内積は第1変数について線形とする。群環 $L^1(G)$ の $H$ 上の有界対合表現 (bounded star representation) とは、有界線形写像 $\Pi\colon L^1(G)\to B(H)$ であって、任意の $f,g\in L^1(G)$ に対して

\Pi(f*g)=\Pi(f)\Pi(g),\qquad \Pi(f^*)=\Pi(f)^*

を満たすものをいう。対合は $f^*(x)=\Delta(x)^{-1}\overline{f(x^{-1})}$ であり、 $\Delta$ は $\mu(Ea)=\Delta(a)\mu(E)$ で定まるモジュラー関数である。さらに

\overline{\operatorname{span}\{\Pi(f)v:f\in L^1(G),\ v\in H\}}=H

を満たすとき、 $\Pi$ は非退化 (nondegenerate) であるという。

定理 1.2. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $H$ を複素 Hilbert 空間とし、 $\pi\colon G\to \Uni(H)$ を強連続ユニタリ表現とする。このとき、次が成り立つ。

各 $f\in L^1(G)$ と $v\in H$ に対して、ベクトル値関数 $x\mapsto f(x)\pi(x)v$ は Bochner 可積分であり、 $\pi(f)v=\int_G f(x)\pi(x)v\,dx$ は有界作用素 $\pi(f)\in B(H)$ を定める。
写像 $f\mapsto\pi(f)$ は非退化な有界対合表現である。
各 $f\in L^1(G)$ に対して $\|\pi(f)\|\leq\|f\|_1$ である。
各 $f\in L^1(G)$ と $v,w\in H$ に対して $\langle\pi(f)v,w\rangle =\int_G f(x)\langle\pi(x)v,w\rangle\,dx$ である。
任意の $a\in G$ と $f\in L^1(G)$ に対して $\pi(a)\pi(f)=\pi(L_af)$ である。

この対合表現 $f\mapsto\pi(f)$ を $\pi$ の積分形 (integrated form) という。

証明. $f\in C_c(G)$ と $v\in H$ を取る。写像 $x\mapsto f(x)\pi(x)v$ は連続であり、 $\supp f$ の外で零である。その像はコンパクトな距離空間と一点集合の和なので可分である。像を半径 $1/n$ の有限個の球で覆い、それらの逆像を互いに交わらない Borel 集合へ分けると、写像を一様に近似する可測単関数列を得る。したがって、この写像は強可測である。さらに

\int_G\|f(x)\pi(x)v\|\,dx=\|f\|_1\|v\|

なので、§E10.18 定理 2.4により Bochner 可積分である。積分の線形性と§E10.18 命題 4.3のノルム評価から、 $\pi(f)$ は線形作用素で $\|\pi(f)\|\leq\|f\|_1$ を満たす。

一般の $f\in L^1(G)$ に対し、§E10.35 補題 4.1によって $f_n\in C_c(G)$ を $L^1$ で $f$ へ収束するように取る。部分列を選べば $f_n\to f$ がほとんど至る所成り立つ。したがって $f_n(x)\pi(x)v$ の極限 $f(x)\pi(x)v$ は強可測であり、そのノルム積分は $\|f\|_1\|v\|$ である。可積分性判定とノルム評価から、その積分は $\pi(f_n)v$ の極限に一致する。また $\|\pi(f_n)-\pi(f_m)\|\leq\|f_n-f_m\|_1$ なので、 $\pi(f_n)$ は作用素ノルムでも収束する。この極限が $\pi(f)$ であり、近似列に依存しない。有界線形汎関数 $z\mapsto\langle z,w\rangle$ と積分を§E10.18 命題 5.2によって交換すると、係数積分の式を得る。

$f,g\in C_c(G)$ と $v,w\in H$ を取る。 $G\times G$ 上の核

(x,y)\longmapsto f(x)g(y)\langle\pi(xy)v,w\rangle

は連続でコンパクトな台をもつ。§E10.36 定理 1.2による反復積分の交換と、左不変性による変数変換 $z=xy$ によって

\begin{aligned} \langle\pi(f)\pi(g)v,w\rangle &=\int_G\int_G f(x)g(y)\langle\pi(xy)v,w\rangle\,dy\,dx\\ &=\int_G\left(\int_G f(x)g(x^{-1}z)\,dx\right) \langle\pi(z)v,w\rangle\,dz\\ &=\langle\pi(f*g)v,w\rangle \end{aligned}

となる。変数変換後の核も、台が $\supp f\times(\supp f)(\supp g)$ に含まれる連続関数なので、同じ結果を適用することができる。

$f\in C_c(G)$ に対して、§E14.5 定理 3.1の反転積分公式とユニタリ性から

\begin{aligned} \langle\pi(f^*)v,w\rangle &=\int_G\overline{f(y)}\langle\pi(y^{-1})v,w\rangle\,dy\\ &=\int_G\overline{f(y)}\langle v,\pi(y)w\rangle\,dy =\langle v,\pi(f)w\rangle. \end{aligned}

したがって $\pi(f^*)=\pi(f)^*$ である。§E14.7 定理 2.3による積と対合の連続性、および $\|\pi(f)\|\leq\|f\|_1$ により、積と対合を保つ等式はすべての $f,g\in L^1(G)$ へ延長される。 $f\in C_c(G)$ について、 $x=ay$ と変数変換して積分すると $\pi(a)\pi(f)=\pi(L_af)$ を得る。左移動の $L^1$ 等長性によって、この等式も一般の $f$ へ延長される。

§E14.7 定理 4.3の近似単位 $(u_U)$ を取る。任意の $v\in H$ に対して

\|\pi(u_U)v-v\| \leq\int_Gu_U(x)\|\pi(x)v-v\|\,dx \leq\sup_{x\in U}\|\pi(x)v-v\|\longrightarrow0

である。最後の収束は強連続性による。各 $\pi(u_U)v$ は $\pi(L^1(G))H$ の線形包に属するので、その線形包は稠密である。▨

補題 2.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。このとき、任意の $a\in G$ と $f,g\in L^1(G)$ に対して

(L_af)^* * (L_ag)=f^* * g

である。

証明. $f,g\in C_c(G)$ とする。モジュラー関数の乗法性によって $(L_af)^*(y)=\Delta(a)f^*(ya)$ である。§E14.5 定理 3.1の右移動公式を用い、 $z=ya$ と変数変換すると

\begin{aligned} \bigl((L_af)^* * (L_ag)\bigr)(x) &=\int_G\Delta(a)f^*(ya)g(a^{-1}y^{-1}x)\,dy\\ &=\int_G f^*(z)g(z^{-1}x)\,dz =(f^* * g)(x). \end{aligned}

§E14.7 定理 2.3による積と対合の連続性、および左移動の等長性から、等式は任意の $f,g\in L^1(G)$ に成り立つ。▨

定理 2.2. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $H$ を複素 Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

$L^1(G)$ の任意の非退化な有界対合表現 $\Pi\colon L^1(G)\to B(H)$ に対して、積分形が $\Pi$ に等しい強連続ユニタリ表現 $\pi\colon G\to \Uni(H)$ がただ一つ存在する。
強連続ユニタリ表現とその積分形との対応は、同じ空間 $H$ 上の表現の間の一対一対応である。
$L^1(G)$ の非退化な有界対合表現 $\Pi$ と、積分形が $\Pi$ に等しい強連続ユニタリ表現 $\pi$ は $\pi(a)\Pi(f)v=\Pi(L_af)v \qquad(a\in G,\ f\in L^1(G),\ v\in H)$ を満たす。
$L^1(G)$ の任意の非退化な有界対合表現 $\Pi$ と $f\in L^1(G)$ に対して $\|\Pi(f)\|\leq\|f\|_1$ である。

証明. 稠密な線形部分空間

D=\operatorname{span}\{\Pi(f)v:f\in L^1(G),\ v\in H\}

を取る。 $a\in G$ を固定し、有限和 $\xi=\sum_i\Pi(f_i)v_i$ に対して

T_a\xi=\sum_i\Pi(L_af_i)v_i

と置く。任意の有限和 $\eta=\sum_j\Pi(g_j)w_j$ に対して、対合保存性と補題 2.1から

\begin{aligned} \langle T_a\xi,T_a\eta\rangle &=\sum_{i,j}\langle v_i, \Pi((L_af_i)^* * (L_ag_j))w_j\rangle\\ &=\sum_{i,j}\langle v_i,\Pi(f_i^* * g_j)w_j\rangle =\langle\xi,\eta\rangle. \end{aligned}

特に、零を表す和の像のノルムは零である。したがって $T_a$ は表示に依存しない線形等長写像 $D\to D$ を定める。 $L_aL_b=L_{ab}$ から $T_aT_b=T_{ab}$ であり、 $T_e=I_D$ 、 $T_{a^{-1}}=T_a^{-1}$ である。等長写像を $H$ へ連続延長して $\pi(a)$ とおくと、逆写像も延長されるので $\pi(a)$ はユニタリであり、 $\pi(a)\pi(b)=\pi(ab)$ である。

$M=\|\Pi\|$ とおく。 $\xi=\sum_i\Pi(f_i)v_i\in D$ に対して

\|\pi(a)\xi-\xi\| \leq M\sum_i\|L_af_i-f_i\|_1\|v_i\|\longrightarrow0 \qquad(a\to e)

である。ここでは§E14.7 定理 1.2を用いた。任意の $v\in H$ と $\xi\in D$ に対して

\|\pi(a)v-v\|\leq2\|v-\xi\|+\|\pi(a)\xi-\xi\|

なので、 $D$ の稠密性から任意の軌道は $e$ で連続である。群準同型性とユニタリ性により、任意の点でも連続である。

$\widetilde\pi$ を、定理 1.2による $\pi$ の積分形とする。 $f,g\in L^1(G)$ と $v\in H$ に対して、 $\pi(a)$ の構成から $\pi(a)\Pi(g)v=\Pi(L_ag)v$ であり、これと§E14.7 定理 2.2の $L^1$ 値の積分表示から

\begin{aligned} \widetilde\pi(f)\Pi(g)v &=\int_Gf(a)\Pi(L_ag)v\,da\\ &=\Pi\left(\int_G f(a)L_ag\,da\right)v =\Pi(f*g)v=\Pi(f)\Pi(g)v. \end{aligned}

積分と有界線形写像 $h\mapsto\Pi(h)v$ の交換には§E10.18 命題 5.2を用いた。したがって、有界作用素 $\widetilde\pi(f)$ と $\Pi(f)$ は $D$ 上で一致する。 $D$ は稠密なので、両作用素は $H$ 上で一致する。積分形のノルム評価によって $\|\Pi(f)\|\leq\|f\|_1$ も従う。

$\sigma$ を積分形が $\Pi$ に等しい別の強連続ユニタリ表現とする。定理 1.2 (5)から

\sigma(a)\Pi(g)v=\Pi(L_ag)v=\pi(a)\Pi(g)v \qquad(g\in L^1(G),\ v\in H)

である。したがって $\sigma(a)$ と $\pi(a)$ は $D$ 上で一致し、稠密性と有界性から $H$ 上でも一致する。よって復元は一意である。ユニタリ表現から出発して復元した場合も、元の表現が同じ積分形をもつので、一意性によって元の表現に戻る。▨

例 2.3. 一点群 $G=\{e\}$ の Haar 測度を $\mu(\{e\})=1$ と正規化すると、 $L^1(G)=\C$ である。 $H$ を複素 Hilbert 空間、 $P$ を $H$ 上の直交射影とすると、 $\Pi(z)=zP$ は有界対合表現である。その像が生成する閉部分空間は $PH$ なので、 $P\ne I_H$ ならば $\Pi$ は非退化ではない。一方、一点群のユニタリ表現は必ず $\pi(e)=I_H$ を満たし、その積分形は $z\mapsto zI_H$ である。したがって $P\ne I_H$ の場合には、 $\Pi$ を積分形にもつユニタリ表現は存在しない。

定理 3.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $\Delta$ を $\mu(Ea)=\Delta(a)\mu(E)$ で定まるモジュラー関数とする。 $a\in G$ に対して、 $\lambda(a)$ 、 $\rho(a)$ を

(\lambda(a)\xi)(x)=\xi(a^{-1}x),\qquad (\rho(a)\xi)(x)=\Delta(a)^{1/2}\xi(xa)

で定める。このとき、次が成り立つ。

$\lambda(a)$ 、 $\rho(a)$ は、右辺で $\xi$ の可測代表元を取って得られる同値類として、 $L^2(G)$ 上の作用素を定める。
$\lambda$ と $\rho$ はともに強連続ユニタリ表現である。
任意の $a,b\in G$ に対して $\lambda(a)\rho(b)=\rho(b)\lambda(a)$ である。
$f\in L^1(G)$ 、 $\xi\in L^2(G)$ に対して、積分形は $\lambda(f)\xi=f*\xi,\qquad \rho(f)\xi=\int_G f(a)\Delta(a)^{1/2}R_a\xi\,da$ を満たす有界作用素である。
各 $f\in L^1(G)$ に対して、 $\lambda(f)$ と $\rho(f)$ の作用素ノルムはともに $\|f\|_1$ 以下である。
各 $f\in L^1(G)$ と $a\in G$ に対して、 $\lambda(f)$ は $\rho(a)$ と可換である。

$\lambda$ を左正則表現 (left regular representation)、 $\rho$ を右正則表現 (right regular representation)、 $f\in L^1(G)$ に対する $\lambda(f)$ を左畳み込み作用素という。

証明.§E14.5 定理 3.1により、表示された式は同値類上に定まる。§E14.7 定理 1.2とモジュラー関数の連続性により、

\|\lambda(a)\xi\|_2=\|\xi\|_2,\qquad \|\rho(a)\xi\|_2 =\Delta(a)^{1/2}\Delta(a)^{-1/2}\|\xi\|_2 =\|\xi\|_2

であり、各軌道は連続である。左移動と右移動の合成則、および $\Delta(ab)=\Delta(a)\Delta(b)$ により、両写像は群準同型であり、それぞれ逆元の作用素が逆写像となる。したがって両者はユニタリ表現である。

任意の $\xi\in L^2(G)$ の可測代表元 $\xi^\sharp$ を取る。任意の $a,b,x\in G$ に対して、二つの順序で移動した代表元はともに $\Delta(b)^{1/2}\xi^\sharp(a^{-1}xb)$ である。したがって両表現は可換である。定理 1.2によって両積分形とノルム評価を得る。 $\lambda(f)\xi=f*\xi$ は§E14.7 定理 2.2の $p=2$ の積分表示である。また、 $\rho(a)$ は有界線形作用素なので、§E10.18 命題 5.2によって

\rho(a)\lambda(f)\xi =\int_Gf(b)\rho(a)\lambda(b)\xi\,db =\int_Gf(b)\lambda(b)\rho(a)\xi\,db =\lambda(f)\rho(a)\xi

となる。▨

例 3.2. 離散加法群 $\Z$ に数え上げ測度を入れ、 $\delta_n$ を点 $n$ の指示関数とする。このとき、左右の正則表現は

\lambda(k)\delta_n=\delta_{n+k},\qquad \rho(k)\delta_n=\delta_{n-k}

を満たす。実際、 $\delta_n(j-k)$ が $1$ となるのは $j=n+k$ のときであり、 $\delta_n(j+k)$ が $1$ となるのは $j=n-k$ のときである。有限台の関数 $f\colon\Z\to\C$ について、積分形は有限和

\lambda(f)\delta_n=\sum_{k\in\Z}f(k)\delta_{n+k}

となる。特に $f=\delta_0+\delta_1$ ならば $\lambda(f)=I+\lambda(1)$ であり、

f*f=\delta_0+2\delta_1+\delta_2,\qquad \lambda(f)^2=I+2\lambda(1)+\lambda(2)=\lambda(f*f)

である。各式の和は有限なので、表示は任意の $\ell^2(\Z)$ の元にも成分ごとに適用することができる。

定理 3.3. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。このとき、左正則表現

\lambda\colon G\longrightarrow \Uni(L^2(G))

は、ユニタリ群に強作用素位相を入れたとき、位相的埋込みである。

証明. $W$ を $e$ の任意の開近傍とする。積と逆元の連続性により、 $e$ の開近傍 $V$ を $VV^{-1}\subseteq W$ となるように取る。§E14.7 定理 4.3の構成により、台が $V$ に含まれる零でない $h\in C_c(G)$ が存在する。この関数は $h\geq0$ 、 $\int_G h=1$ となるように取ることができる。 $h$ は有界で有限測度の台をもつので、その同値類 $[h]$ は $L^2(G)$ に属する。積分が $1$ であるため、 $\|[h]\|_2>0$ である。

$K=\supp h$ とする。 $a\notin W$ ならば $aK\cap K=\emptyset$ である。もし $ak_1=k_2$ となる $k_1,k_2\in K$ があれば、 $a=k_2k_1^{-1}\in VV^{-1}\subseteq W$ となるからである。したがって $[h]$ と $\lambda(a)[h]$ は直交し、

\|\lambda(a)[h]-[h]\|_2^2=2\|[h]\|_2^2 \qquad(a\notin W)

を得る。強作用素開近傍

\mathcal N_W=\{T\in \Uni(L^2(G)):\|T[h]-[h]\|_2<\|[h]\|_2\}

は $I$ を含み、 $\lambda^{-1}(\mathcal N_W)\subseteq W$ を満たす。

$a\ne e$ に対して $a\notin W$ となる開近傍 $W$ を取ると、 $\|\lambda(a)[h]-[h]\|_2^2=2\|[h]\|_2^2>0$ なので $\lambda(a)\ne I$ である。群準同型性によって $\lambda$ は単射である。また、任意の $W$ について得た $\mathcal N_W$ は、像上の逆写像が単位元で連続であることを示す。§E14.8 定理 1.2によりユニタリ群は位相群であり、群の平行移動は同相写像なので、逆写像は像のすべての点で連続である。 $\lambda$ 自身の連続性は定理 3.1によるので、 $\lambda$ は位相的埋込みである。▨

§E14.10群環の表現と正則表現

1 ユニタリ表現の積分形

2 群環の表現からの復元

3 左右正則表現と畳み込み作用素

前提記事