§E14.27Čech 完備群

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位相群の完備性は、群演算から定まる一様構造によって調べることができる。一方、位相空間としての完備性を群の一様構造と結び付けるには、可算性条件の役割も明らかにする必要がある。Čech 完備群は、位相空間としての完備性と群の一様構造に関する完備性を比較するための基本的な対象である。本記事では、Čech 完備群の基本的な性質と代表的な例を解説する。

1 定義

定義 1.1. Hausdorff 位相群GGが、位相空間として Čech 完備であるとき、GGを Čech 完備群 (Čech-complete group) という。

定義 1.2. 位相群GGが、位相空間として§E2.27 定義 1.1のポーランド空間であるとき、GGを ポーランド群 (Polish group) という。

補題 1.3.GGを Čech 完備群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. GGの任意の閉部分群HHは、部分空間位相に関して Čech 完備群である。
  2. GGの任意のコンパクト部分群KKに対して、左剰余類の空間G/KG/Kは商位相に関して Čech 完備である。さらにKKが正規部分群ならば、G/KG/Kは Čech 完備群である。

証明.主張 (1)を示す。HHは Hausdorff 位相群であり、§E2.26 系 2.9 (1)により Čech 完備である。

主張 (2)を示す。KKはコンパクトであるから、§E14.1 系 4.3 (3)により商写像q ⁣:G→G/Kq\colon G\to G/Kは完全である。GGは Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4によりKKは閉集合であり、§E14.3 系 2.9 (3)によりG/KG/Kは T3½ 空間である。GGも§E14.3 系 1.3により T3½ 空間である。

完全写像qqの定義域と終域はともに T3½ 空間なので、§E2.26 定理 2.8 (2)によりG/KG/Kは Čech 完備である。KKが正規ならば、§E14.1 系 4.4によりG/KG/Kは商群として Hausdorff 位相群でもあるから、Čech 完備群である。▨

2 可算型性と Raikov 完備性

補題 2.1.GGを Raikov 完備な Hausdorff 位相群、KKをGGのコンパクト部分群とし、(Vn)n∈N≥1(V_n)_{n\in\NN}をGGの開集合からなるKKの可算近傍基とする。このとき

Un={xVn∩Vny∣x,y∈G}\mathcal U_n=\{xV_n\cap V_ny\mid x,y\in G\}

はGGの完全な開被覆列である。

証明. 各VnV_nはKKを含む開集合であり、e∈Ke\in Kなので、任意のz∈Gz\in Gに対してz∈zVn∩Vnzz\in zV_n\cap V_nzである。したがって各Un\mathcal U_nは開被覆である。

有限交差性をもつGGの部分集合族A\mathcal Aが、各Un\mathcal U_nの少なくとも一つの元を含むとする。A\mathcal Aの元の空でない有限族の共通部分はフィルター基をなす。§E2.50 命題 1.3により、この基が生成するフィルターF\mathfrak Fを取り、さらに§E2.50 定理 2.4により、F\mathfrak Fを含む超フィルターP\mathfrak Pを取る。単位元の任意の近傍UUに対して、§E14.1 系 2.2を反復して、W=W−1W=W^{-1}かつW4⊆UW^4\subseteq Uを満たす単位元の開近傍WWを取る。

KW∩WKKW\cap WKはKKを含む開集合なので、Vn⊆KW∩WKV_n\subseteq KW\cap WKを満たすnnが存在する。このnnに対して

A=xVn∩Vny∈FA=xV_n\cap V_ny\in\mathfrak F

となるx,y∈Gx,y\in Gを取る。KKのコンパクト性により、有限個の元k1,…,krk_1,\ldots,k_rとℓ1,…,ℓs\ell_1,\ldots,\ell_sをKKから取り、

K⊆⋃i=1rkiW,K⊆⋃j=1sWℓjK\subseteq\bigcup_{i=1}^r k_iW,\qquad K\subseteq\bigcup_{j=1}^s W\ell_j

とすることができる。したがって

A⊆xKW∩WKy⊆⋃1≤i≤r1≤j≤s(xkiW2∩W2ℓjy).A\subseteq xKW\cap WKy \subseteq\bigcup_{\substack{1\le i\le r\\1\le j\le s}} \left(xk_iW^2\cap W^2\ell_jy\right).

§E2.50 補題 2.2 (2)により、B=xkiW2∩W2ℓjy∈PB=xk_iW^2\cap W^2\ell_jy\in\mathfrak Pを満たす添字i,ji,jが存在する。実際、どの集合も属さなければ、すべての補集合とA∈PA\in\mathfrak Pとの共通部分が空集合となり、フィルターの公理に反する。a,b∈Ba,b\in Bに対して

a−1b∈(W2)−1W2=W4⊆U,ba−1∈W2(W2)−1=W4⊆Ua^{-1}b\in(W^2)^{-1}W^2=W^4\subseteq U,\qquad ba^{-1}\in W^2(W^2)^{-1}=W^4\subseteq U

である。よって、§E14.25 補題 2.2 (3)によりP\mathfrak Pは両側 Cauchy フィルターである。

GGの Raikov 完備性により、P\mathfrak Pはあるg∈Gg\in Gに収束する。ggの任意の近傍OOと任意のF∈FF\in\mathfrak FはともにP\mathfrak Pに属するので、O∩F≠∅O\cap F\ne\varnothingである。A⊆F\mathcal A\subseteq\mathfrak Fなので、g∈⋂A∈Acl⁡G(A)g\in\bigcap_{A\in\mathcal A}\tpcl[G]{A}である。したがって(Un)n∈N≥1(\mathcal U_n)_{n\in\NN}は§E2.26 定義 2.5の意味で完全である。▨

定理 2.2.GGを Hausdorff 位相群とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. GGは Čech 完備である。
  2. GGは可算型群であり、Raikov 完備である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。§E2.29 系 4.5と§E14.26 定理 2.3によりGGは可算型群である。

§E14.25 定理 3.1により、GGをその Raikov 完備化ϱG\varrho Gの稠密部分群と同一視する。Hausdorff 位相群ϱG\varrho Gは§E14.3 系 1.3により T3½ 空間なので、§E2.26 定理 2.10 (1)により

G=⋂n∈N≥1OnG=\bigcap_{n\in\NN}O_n

を満たすϱG\varrho Gの開集合の列(On)n∈N≥1(O_n)_{n\in\NN}が存在する。

a∈ϱGa\in\varrho Gを任意に取る。各OnO_nは稠密部分群GGを含むので稠密であり、左平行移動による像aOnaO_nもϱG\varrho Gで稠密な開集合である。したがってG∩aOnG\cap aO_nはGGで稠密な開集合である。実際、ϱG\varrho Gの開集合VVがV∩G≠∅V\cap G\ne\varnothingを満たすならば、V∩aOnV\cap aO_nは空でない開集合であり、稠密集合GGと交わる。

§E2.28 定理 4.1によりGGは Baire 空間なので、

G∩aG=⋂n∈N≥1(G∩aOn)G\cap aG=\bigcap_{n\in\NN}(G\cap aO_n)

はGGで稠密であり、特に空でない。b∈G∩aGb\in G\cap aGを取ると、あるc∈Gc\in Gに対してb=acb=acであるからa=bc−1∈Ga=bc^{-1}\in Gとなる。任意のa∈ϱGa\in\varrho GがGGに属するのでG=ϱGG=\varrho Gであり、GGは Raikov 完備である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。§E14.26 定理 2.3と§E14.26 定理 1.1により、可算近傍基をもつコンパクト部分群K⊆GK\subseteq Gが存在する。§E2.29 補題 1.3により、KKの可算近傍基はGGの開集合からなるものに取ることができる。GGは Raikov 完備なので、補題 2.1により完全な開被覆列をもつ。さらに§E14.3 系 1.3によりGGは T3½ 空間であるから、§E2.26 補題 2.6により Čech 完備である。▨

注意 2.3. Čech 完備群はパラコンパクトである。実際、定理 2.2により Čech 完備群は可算型群であり、§E14.26 系 1.5によりパラコンパクトである。

3 例

例 3.1. 任意の局所コンパクト Hausdorff 位相群は、§E2.26 補題 2.2 (3)により Čech 完備である。したがって定理 2.2により、可算型群であり、Raikov 完備である。

例 3.2. Hausdorff 位相群GGの位相と両立する完備距離が存在するならば、§E2.26 系 3.3によりGGは Čech 完備である。

逆に、GGが距離化可能な Čech 完備群ならば、§E2.26 系 3.3により、GGの位相と両立する完備距離が存在する。したがって、距離化可能な Hausdorff 位相群では、Čech 完備性、完備距離化可能性、および Raikov 完備性が同値である。Raikov 完備性との同値は次による。§E2.13 命題 4.2によりGGは第一可算であるから、§E14.3 定理 4.2 (2)により、距離一様構造が左一様構造に等しい左不変距離が存在する。したがって、GGが Raikov 完備ならば、§E14.25 命題 1.8 (3)によりGGは完備距離化可能である。逆に、GGが Čech 完備ならば、定理 2.2によりGGは Raikov 完備である。

例 3.3. 通常の相対位相をもつ有理数加法群Q\Qは、距離化可能なので、§E14.26 例 3.1により可算型群である。一方、§E2.28 系 5.2によりQ\Qは Čech 完備でない。したがって、可算型という条件だけでは Čech 完備性は従わない。また、定理 2.2によりQ\Qは Raikov 完備でない。

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