§E14.23辰馬双対定理

証明.§E14.7 系 4.2により、$\varphi\in L^2(G)$と$\psi\in C_c(G)$の右畳み込み$\varphi*\psi$は、一意な$C_0(G)$の代表元をもつ。$\psi^\sharp\in C_c(G)$であり、$\varphi*\psi$の代表元は

を満たす。有限線形結合を取ることにより、$E\subseteq C_0(G)\cap L^2(G)$を得る。

$Q_s h(x)=h(xs)$と書くと、$C_c(G)$上の積分式から

である。表示$(\varphi*\psi)(x)=\langle\varphi,\lambda(x)\psi^\sharp\rangle$と Cauchy–Schwarz の不等式により、$\varphi$の$L^2$近似から畳み込みの一様近似が得られる。したがって、両等式は$\varphi\in L^2(G)$に対しても成り立つ。よって$E$は共役と右移動で閉じている。

$h\in C_c(G)$に対して、§E14.7 命題 4.1の変数変換の式から

となる。最後の極限は、$\Delta$の連続性と§E14.3 命題 3.1による。$L^2$での収束は§E14.7 定理 4.3による。$h*u_U\in E$であり、$C_c(G)$は§E12.50 定理 3.4によって$C_0(G)$で、§E10.35 補題 4.1によって$L^2(G)$で稠密なので、$E$の二つの稠密性主張 (4)が従う。▨

証明.主張 (1)を示す。$s\in G$を固定する。$A$の式と$\rho(s)h(x)=\Delta(s)^{1/2}h(xs)$から、$A$は$\rho(s)\otimes I$と可換である。この等式は$C_c(G\times G)$上で成立し、§E12.9 定理 8.2と稠密性によって Hilbert テンソル積上で成立する。したがって、$A(I\otimes R)A^{-1}=R\otimes R$の両辺を$\rho(s)\otimes I$で共役すると

となる。任意の$u\in L^2(G)$と単位ベクトル$v\in L^2(G)$に対して、両辺を$u\otimes v$に作用させ、第二因子で$Rv$との部分内積を取ると、$\rho(s)R\rho(s)^{-1}u=Ru$を得る。したがって$\rho(s)R\rho(s)^{-1}=R$である。

主張 (2)を示す。$Q_s h(x)=h(xs)$と書く。$R$は各$Q_s$とも可換なので、§E14.7 命題 4.1の Bochner 積分と§E10.18 命題 5.2により

である。よって$R(E)\subseteq E$である。$R^{-1}$も各$Q_s$と可換なので、同じ積分式から$R^{-1}(E)\subseteq E$が従う。したがって$R(E)=E$である。

主張 (3)を示す。$h\in L^2(G)$を固定し、第一因子の部分内積を取る有界作用素を

とする。そのノルムは$\|h\|_2$以下である。実際、$v\mapsto h\otimes v$のノルムは$\|h\|_2$であり、$P_h$はその随伴である。$\varphi,f,h\in C_c(G)$に対して、$A^{-1}$の式から

となる。この積分はコンパクト台の連続な核に対するものである。評価

と各因子の$C_c(G)$稠密性により、この部分内積の等式は任意の$\varphi,f,h\in L^2(G)$に延長される。

仮定の作用素等式を書き換えると

である。両辺を$\varphi\otimes f$に作用させ、$P_h(I\otimes R)=RP_h$と直前の部分内積の式を用いると

を得る。$\psi\in C_c(G)$に対して$h=\psi^\sharp$とおけば、補題 1.1 (2)の表示$(\varphi*\psi)(x)=\langle\varphi,\lambda(x)\psi^\sharp\rangle$と畳み込みとの可換性から

$E$の定義と線形性によって、主張 (3)が従う。▨

証明.$R=\lambda(a)$ならば、§E14.22 定理 1.1により Kac 方程式が成立する。

$R$が Kac 方程式を満たすとする。補題 1.2により、$g\in E$と$f\in L^2(G)$に対して

$R$は全射なので、この不等式は$Rf$を任意の$L^2(G)$の元に替えても成り立つ。$|Rg(x)|>\|g\|_\infty$となる点があれば、$Rg$の連続性により、ある$c>\|g\|_\infty$と空でない相対コンパクト開集合$V$に対して$|Rg|>c$が$V$上で成り立つ。§E14.4 命題 1.3により$0<\mu(V)<\infty$なので、上の不等式に$Rf=\mathbf1_V$を代入すると

となり、$c>\|g\|_\infty$に反する。したがって

補題 1.1 (4)の一様稠密性によって、$R|_E$は一意な縮小線形写像

へ延長される。$E$は右移動で閉じ、$R$は右移動と可換なので、$\widetilde R$も右移動と可換である。

$(u_U)$を§E14.7 定理 4.3の非負で積分が$1$の近似単位とする。$h\in C_c(G)$に対して$h_U=h*u_U\in E$とおく。補題 1.1 (5)により$h_U\to h$は一様かつ$L^2$で成り立つ。したがって$Rh_U$は$\widetilde Rh$に一様収束し、$Rh$に$L^2$収束する。各コンパクト集合上で極限を比較すると、$\widetilde Rh$は$Rh$の連続な代表元である。

$h,k\in C_c(G)$とし、$k_U=k*u_U$とおく。乗法性によって$R(hk_U)=(Rh)(Rk_U)$である。$hk_U\to hk$が$L^2$で成り立ち、$Rk_U\to\widetilde Rk$が一様に成り立つので、$L^2$極限を取ると

である。$h,k,hk\in C_c(G)$について得た代表元の一致と§E14.4 命題 1.3から

が各点で成り立つ。§E12.50 定理 3.4と一様ノルムについての積の連続性により、この等式はすべての$h,k\in C_0(G)$に延長される。

$s\in G$に対して$Q_sh(x)=h(xs)$と書く。線形汎関数$\ell\colon C_0(G)\to\C$を$\ell(h)=(\widetilde Rh)(e)$と定める。$\ell$は連続かつ乗法的である。もし$\ell=0$ならば、右移動との可換性によって、すべての$x\in G$と$h\in C_0(G)$に対して

となる。すると$\widetilde R=0$であり、$C_c(G)$上での一致と$L^2$稠密性から$R=0$となる。これは$R$のユニタリ性に反する。よって$\ell\ne0$である。

§E12.54 定理 2.4により、ある一意な$b\in G$が存在して$\ell(h)=h(b)$がすべての$h\in C_0(G)$に対して成り立つ。再び右移動との可換性から

特に$h\in C_c(G)$に対して$Rh=\lambda(b^{-1})h$であり、$L^2$稠密性から$R=\lambda(b^{-1})$である。§E14.10 定理 3.3の単射性によって、この群の元は一意である。▨

証明.$\lambda$を左正則表現とする。§E14.22 系 2.3により、ユニタリ作用素$T_\lambda$は Kac 方程式を満たす。定理 2.1により$T_\lambda=\lambda(a)$となる$a\in G$が存在する。§E14.21 定理 6.1により、$\Phi_G(a)$は§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たすユニタリ作用素場である。§E14.21 命題 8.1の正則成分への制限$\Psi(S)=S_\lambda$についての等式$\Psi\circ\Phi_G=\lambda$により

であるから、§E14.22 命題 2.4により$T=\Phi_G(a)$である。§E14.21 命題 8.1により$\Phi_G$は位相的埋込みであり、とくに単射であるから、この$a$は一意である。▨

証明.$\kappa$を$\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}$以上の無限基数とし、$T\in\mathcal T_\kappa(G)$を取る。$T$は§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たすユニタリ作用素場であるから、命題 3.1により$T=\Phi_G(a)$となる$a\in G$が存在する。よって$\Phi_G$は全射である。§E14.21 定理 6.1により、$\Phi_G$は$G$から$\mathcal T_\kappa(G)$への連続な群準同型であり、§E14.21 命題 8.1により、$\Phi_G$は位相的埋込みである。全射な位相的埋込みは同相写像であるから、群準同型$\Phi_G$は位相群としての同型である。

$\kappa'=\max\{\dim L^2(G),|G|,\aleph_0\}$とおく。§E14.21 定理 6.1を二つの無限基数$\kappa'\geq\max\{|G|,\aleph_0\}$に適用すると、制限写像

は位相群としての同型である。制限は評価による族を同じ評価による族へ送るので、$\Phi_G\colon G\to\mathcal T(G)$は、$\Phi_G\colon G\to\mathcal T_{\kappa'}(G)$と$r$の合成である。$\kappa'\geq\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}$であるから、主張の前半により$\Phi_G\colon G\to\mathcal T_{\kappa'}(G)$は位相群としての同型である。したがって$\Phi_G\colon G\to\mathcal T(G)$も位相群としての同型である。▨

証明.§E14.21 系 2.5により、$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$上の有界作用素の族が作用素場であることは、判定法の二条件を満たすことと同値である。したがって、判定法の二条件を満たす$T$はユニタリ作用素場である。

さらに$T$が§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たすならば、命題 3.1により$T=\Phi_G(a)$となる$a\in G$が一意に存在する。§E14.21 定理 6.1により$\Phi_G(a)\in\mathcal T_\kappa(G)$であるから、$T$は§E14.21 定義 2.6 条件 (b)を満たし、$\mathcal T_\kappa(G)$に属する。▨

証明.$\mathcal F$を定義 4.1の表現の集合とする。同定義により、$\mathcal F$は標準空間へ運んだテンソル積について閉じており、$\mathcal T_{\mathrm{fin}}(G)$は$\mathcal F$上の、§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たすユニタリ作用素場の全体である。

$\kappa=\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}$とおき、$\mathcal E=\operatorname{Rep}_\kappa(G)$とし、有限次元の標準空間を上と同じものに取る。すると$\mathcal F\subseteq\mathcal E$である。§E14.18 定理 5.2により、$\mathcal E$の各表現は有限次元既約部分表現の Hilbert 直和に分解される。各成分を標準空間へ移した表現は$\mathcal F$に属する。したがって、$\mathcal E$の各元は$\mathcal F$の元の Hilbert 直和にユニタリ同値であり、$\mathcal E$は$\mathcal F$から§E14.21 定理 3.1で定まる$\mathcal D$に含まれる。

$S\in\mathcal T_\kappa(G)$の$\mathcal F$への制限を$r(S)$と書く。$S$は$\mathcal E$上のユニタリ作用素場で§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たし、$\mathcal F\subseteq\mathcal E$であるから、$r(S)$は$\mathcal F$上のユニタリ作用素場で§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たし、$\mathcal T_{\mathrm{fin}}(G)$に属する。逆に、$T\in\mathcal T_{\mathrm{fin}}(G)$とする。§E14.21 定理 3.1 (1)により、$T$は$\mathcal D$上のユニタリ作用素場$\widetilde T$へ一意に延長される。$\widetilde T$の$\mathcal E$への制限を$T'$とすると、$T'$は$\mathcal E$上のユニタリ作用素場であり、§E14.21 定理 3.1 (3)により§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たす。命題 3.1をこの$\kappa$について適用すると、$T'=\Phi_G(a)$となる$a\in G$が存在する。§E14.21 定理 6.1により$T'\in\mathcal T_\kappa(G)$であり、$r(T')=T$である。したがって、制限写像

は全射である。§E14.21 定理 3.1 (2)により、$\mathcal F$への制限は、$\mathcal E$上のユニタリ作用素場の全体から$\mathcal F$上のユニタリ作用素場の全体への、各成分の強作用素位相の積から誘導される位相についての同相写像である。したがって、$r$は単射であり、同じ位相について同相写像である。有限次元空間の正規直交基底$(e_j)_{j=1}^n$に対して

なので、有限次元成分では強作用素位相と作用素ノルム位相が一致する。制限は成分ごとの積を保つので、$r$は$\mathcal T_{\mathrm{fin}}(G)$の積と位相について位相群としての同型である。

定理 3.2のこの$\kappa$に対する同型$\Phi_G\colon G\to\mathcal T_\kappa(G)$と$r$の合成は、各有限次元表現$\pi$で$\pi(a)$を取る写像である。したがって所要の評価写像は位相群としての同型である。▨