§E14.13指標と双対群

証明.§E2.55 定理 4.2により、コンパクト開位相はコンパクト集合上の一様収束の位相である。有限個のコンパクト集合の合併はコンパクトであるから、表示した集合が近傍基をなす。$z,w,z',w'\in\mathbb T$について

なので、積と逆元はこの位相について連続である。異なる二つの指標はある点$x\in G$で値が異なり、$K=\{x\}$による近傍で分離されるので、$\widehat G$は Hausdorff である。▨

証明.$\omega\in\widehat{G\times H}$について$\omega(x,y)=\omega(x,e_H)\omega(e_G,y)$であるから、表示した写像は群同型であり、逆写像は二つの因子への制限である。コンパクト集合$K\subseteq G\times H$の射影像を$K_G,K_H$とすると、$K\subseteq K_G\times K_H$である。積の差の評価を$K$上で用いると、表示した写像の連続性を得る。$G$のコンパクト集合$C$に対して$C\times\{e_H\}$はコンパクトであるから、第一因子への制限は連続である。第二因子への制限も同じ理由で連続である。▨

証明.§E14.7 定理 2.3によって$L^1(G)$は Banach 環である。$G$の可換性と§E14.5 命題 4.3および§E14.5 命題 4.2の反転不変性による変数変換$y=xz^{-1}$から、$C_c(G)$上で$f*g=g*f$であり、積の連続性と§E10.34 定理 1.2によって$L^1(G)$上でも積は可換である。

$\chi\in\widehat G$とする。積分の評価から$J(\chi)$は有界線形汎関数であり、$\|J(\chi)\|\leq1$である。$f,g\in C_c(G)$に対し、Fubini の定理と変数変換$x=yz$によって

である。§E14.7 定理 2.3の積の連続性と§E10.34 定理 1.2の稠密性によって、この等式は$f,g\in L^1(G)$に対しても成り立つ。コンパクトな閉包をもつ空でない開集合$V$を取る。§E14.4 命題 1.3により$0<\mu(V)<\infty$であり、$h=\chi\mathbf1_V$に対して$J(\chi)(h)=\mu(V)>0$である。したがって$J(\chi)$は環の指標である。

$J(\chi)=J(\psi)$ならば、§E14.7 命題 5.1によって$\overline\chi=\overline\psi$が局所的にほとんど至るところ成り立つ。$\chi-\psi$がある点で零でなければ、連続性により絶対値が正の定数以上である空でない開集合が存在する。その開集合に含まれる、コンパクトな閉包をもつ空でない開集合の測度は§E14.4 命題 1.3により正であるから、局所的なほとんど至るところの一致に反する。よって$\chi=\psi$であり、$J$は単射である。

$\Phi\in\Delta(L^1(G))$を取る。§E12.47 命題 4.5 (1)により$\|\Phi\|\leq1$である。稠密性によって$\Phi(f_0)\ne0$を満たす$f_0\in C_c(G)$を取り、

とおく。$f,g\in L^1(G)$について

が成り立つ。実際、$C_c(G)$上では左不変性と$G$の可換性による変数変換で得られ、一般の場合は積の連続性と稠密性による。この等式に$\Phi$を適用し、$g=f_0$とすると

となる。特に$L_{ab}=L_aL_b$により$m(ab)=m(a)m(b)$であり、$m(e)=1$である。§E14.7 定理 1.2により$m$は連続であり、

は$a$によらない評価である。$m(a)m(a^{-1})=1$と$m(a^n)=m(a)^n$を正負の整数$n$に対して用いると、$|m(a)|=1$を得る。したがって$\chi=\overline m$は$G$の指標である。

§E14.7 命題 5.1により、$\Phi(h)=\int_Gh(x)F(x)\,dx$を満たす$F\in L^\infty(G)$を取る。$g\in C_c(G)$に対し、$g$と$f_0$の台の積はコンパクトであるから、Fubini の定理によって

絶対積分は$\|F\|_\infty\|g\|_1\|f_0\|_1$以下である。左辺は$\Phi(g)\Phi(f_0)$なので、$\Phi(f_0)\ne0$で割ると$\Phi(g)=J(\chi)(g)$となる。両汎関数は連続であるから、稠密性によって$\Phi=J(\chi)$である。

$\chi\in\widehat G$に対し、$\overline\chi$は一次元ユニタリ表現の単位ベクトルの係数であるから、正規化された正定値関数である。その積分汎関数は

である。したがって、$\widehat G$の任意のネット$(\chi_i)$と$\chi\in\widehat G$について、§E14.12 定理 3.3により

である。複素共役は絶対値の差を保つので、右辺は$\chi_i\to\chi$のコンパクト一様収束に等しい。命題 1.2とネットによる連続性の特徴づけから、全単射$J$は同相である。▨

証明.§E12.52 補題 1.3と定理 2.1によって$\widehat G$は局所コンパクトであり、命題 1.2によって Hausdorff 位相群である。▨

証明.§E14.12 定理 4.1により$x,y$を分離する既約連続ユニタリ表現が存在する。§E14.8 系 4.9により、その表現はある指標$\chi$による一次元表現であり、$\chi(x)\ne\chi(y)$である。▨

証明. 積の式主張 (1)とノルム評価主張 (4)は定理 2.1の指標$J(\chi)$の乗法性とノルム評価による。§E14.5 命題 4.3および§E14.5 命題 4.2によってモジュラー関数は$1$であり、Haar 測度は反転不変である。したがって

左不変性による変数変換$x=ay$によって

を得る。▨

証明.定理 2.1の同相の下で、$\hat f$は$L^1(G)$の元$f$の Gelfand 変換に一致する。§E12.52 補題 1.3により、その Gelfand 変換は無限遠で消える連続関数である。▨

証明.$z=e^{i\theta}\in S\setminus\{1\}$、$0<|\theta|\leq\pi$と仮定する。$n=\lceil\pi/(2|\theta|)\rceil$とすると、$\pi/2\leq n|\theta|<3\pi/2$である。したがって$\Re(z^n)\leq0$であり、$z^n\in S$と仮定$\Re(z^n)>0$に反する。▨

証明.主張 (1)を示す。$G$がコンパクトならば、命題 1.2により

は自明指標の開近傍である。$\chi\in U$ならば、$\chi(G)$は$\{z\in\mathbb T:\Re z>0\}$に含まれる部分群なので、補題 4.1により$\chi(G)=\{1\}$である。よって$U=\{1\}$であり、平行移動によってすべての一点集合が開となる。

主張 (2)を示す。$G$が離散ならば、任意の写像$G\to\mathbb T$は連続である。したがって

である。積位相について各評価写像は連続なので、右辺は$\mathbb T^G$の閉集合である。§E2.19 定理 8.2により$\mathbb T^G$はコンパクトである。また、離散空間のコンパクト部分集合は有限であるから、$\widehat G$のコンパクト開位相は有限個の点での値による位相であり、積位相から受ける部分空間位相に一致する。よって$\widehat G$はコンパクトである。▨

証明.(1)を示す。$\chi\colon\R\to\mathbb T$を指標とする。$\chi(0)=1$と連続性により、ある$\delta>0$と連続関数$\theta\colon(-\delta,\delta)\to(-1/6,1/6)$が存在し、$\theta(0)=0$、$\chi(x)=e^{2\pi i\theta(x)}$となる。$x,y,x+y\in(-\delta,\delta)$ならば、$\theta(x+y)-\theta(x)-\theta(y)$は絶対値が$1/2$未満の整数なので零である。

$x\in\R$に対して、$|x|/n<\delta$となる正整数$n$を用い、$A(x)=n\theta(x/n)$と定める。別の正整数$m$も$|x|/m<\delta$を満たすならば、局所的な加法性を細分された区間内で反復して

を得る。したがって$A(x)$は$n$によらない。$x,y,x+y$に共通の十分大きい$n$を用いると、$A(x+y)=A(x)+A(y)$である。$|x|<\delta$ならば$A(x)=\theta(x)$であるから、$A$は零で連続である。$t=A(1)$とすると、加法性から有理数$q$について$A(q)=tq$であり、連続性によって任意の実数$x$について$A(x)=tx$となる。$\chi(x)=\chi(x/n)^n=e^{2\pi iA(x)}$であるから、$\chi=\chi_t$である。$\chi_t=\chi_s$ならば$(t-s)x\in\Z$がすべての実数$x$で成り立つので$t=s$である。

$|x|\leq M$における評価$|\chi_t(x)-\chi_s(x)|\leq2\pi M|t-s|$により、$t\mapsto\chi_t$は連続である。逆に、$M>0$とし、$\sup_{|x|\leq M}|\chi_t(x)-1|<1$と仮定する。$|t|M\geq1/6$ならば、$x=1/(6|t|)$における絶対値が$1$となるので、$|t|<1/(6M)$である。$M$を大きく取ると、逆写像が零で連続であることを得る。群準同型なので逆写像はすべての点で連続である。

(2)を示す。$\chi\in\widehat{\mathbb T}$を写像$x\mapsto e^{2\pi ix}$と合成すると、実数群の結果によって$\chi(e^{2\pi ix})=e^{2\pi itx}$を満たす$t\in\R$が存在する。$x=1$とすると$t\in\Z$であり、指数写像の全射性から$\chi(z)=z^t$である。$\mathbb T$はコンパクトなので、命題 4.2 (1)により双対群は離散である。

(3)を示す。$\Z$の指標は$1$における値$z$によって$n\mapsto z^n$と一意に定まる。離散群$\Z$のコンパクト部分集合は有限なので、$z\mapsto(n\mapsto z^n)$はコンパクト開位相について連続である。逆写像は$1$における評価写像であり、連続である。

(4)を示す。巡回群$\Z/m\Z$の指標は$1+m\Z$の像によって定まり、その像は$m$乗根である。したがって

は$\Z/m\Z$とその双対の群同型である。有限集合上のコンパクト開位相は、有限個の評価写像による位相であり、異なる有限個の指標を分離することができるので離散である。§E7.19 定理 6.3の巡回分解と補題 1.3によって任意の有限可換群について同型を得る。

(5)を示す。§E7.31 定義 4.1の逆極限表示において、第$n$射影の核を$N_n$と書く。整合条件から$N_n$は零の開近傍基をなし、各射影は§E7.31 例 4.2によって全射である。$\chi\in\widehat{\Z_p}$の連続性により、ある$n$について$\chi(N_n)\subseteq\{z:\Re z>0\}$となる。$N_n$は部分群なので、補題 4.1によって$\chi(N_n)=\{1\}$である。よって$\chi$は$\Z/p^n\Z$の指標を通じて因子化し、表示した式を得る。

$\Z/p^{n+1}\Z\to\Z/p^n\Z$による指標の引戻しは、$k/p^n+\Z=pk/p^{n+1}+\Z$に対応する。したがって$\Z[1/p]/\Z$から$\widehat{\Z_p}$への写像は群準同型であり、先の因子化によって全射である。各射影の全射性と有限巡回群の計算から、この写像は単射でもある。$\Z_p$はコンパクトなので、命題 4.2 (1)により$\widehat{\Z_p}$は離散である。▨