1 評価写像と Fourier 変換の像 定義 1.1 (評価写像). G G G x ∈ G x\in G x ∈ G G ^ \widehat G G
α G ( x ) ( χ ) = χ ( x ) ( χ ∈ G ^ ) \alpha_G(x)(\chi)=\chi(x)\qquad(\chi\in\widehat G) α G ( x ) ( χ ) = χ ( x ) ( χ ∈ G ) を対応させる準同型α G : G → G ^ ^ \alpha_G\colon G\to\widehat{\widehat G} α G : G → G α G ( x ) \alpha_G(x) α G ( x )
補題 1.2. G G G d x dx d x d ν d\nu d ν φ , ψ ∈ C c ( G ^ ) \varphi,\psi\in C_c(\widehat G) φ , ψ ∈ C c ( G ) h ∈ B 1 ( G ) h\in B^1(G) h ∈ B 1 ( G )
h ^ = φ ∗ ψ \hat h=\varphi*\psi h ^ = φ ∗ ψ が成り立つ。さらに、{ h ^ : h ∈ B 1 ( G ) } \{\hat h:h\in B^1(G)\} { h ^ : h ∈ B 1 ( G )} L 1 ( G ^ , ν ) L^1(\widehat G,\nu) L 1 ( G , ν )
証明. φ ∈ C c ( G ^ ) \varphi\in C_c(\widehat G) φ ∈ C c ( G )
φ ˇ ( x ) = ∫ G ^ φ ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) \check\varphi(x)=\int_{\widehat G}\varphi(\chi)\chi(x)\,d\nu(\chi) φ ˇ ( x ) = ∫ G φ ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) とおく。§E14.15 補題 1.2 により、この関数は有界連続である。u ∈ C c ( G ) u\in C_c(G) u ∈ C c ( G )
∫ G φ ˇ ( x ) u ( x ) ‾ d x = ∫ G ^ φ ( χ ) u ^ ( χ ) ‾ d ν ( χ ) \int_G\check\varphi(x)\overline{u(x)}\,dx
=\int_{\widehat G}\varphi(\chi)\overline{\hat u(\chi)}\,d\nu(\chi) ∫ G φ ˇ ( x ) u ( x ) d x = ∫ G φ ( χ ) u ^ ( χ ) d ν ( χ ) である。§E14.15 定理 4.1 によって、右辺はF − 1 φ \mathcal F^{-1}\varphi F − 1 φ u u u L 2 L^2 L 2 §E10.32 系 4.2 を適用すると、φ ˇ \check\varphi φ ˇ F − 1 φ \mathcal F^{-1}\varphi F − 1 φ
φ ˇ ∈ L 2 ( G ) , ∥ φ ˇ ∥ 2 = ∥ φ ∥ 2 . \check\varphi\in L^2(G),\qquad \|\check\varphi\|_2=\|\varphi\|_2. φ ˇ ∈ L 2 ( G ) , ∥ φ ˇ ∥ 2 = ∥ φ ∥ 2 . h = φ ˇ ψ ˇ h=\check\varphi\,\check\psi h = φ ˇ ψ ˇ h ∈ L 1 ( G ) h\in L^1(G) h ∈ L 1 ( G ) φ , ψ \varphi,\psi φ , ψ
h ( x ) = ∫ G ^ ( φ ∗ ψ ) ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) h(x)=\int_{\widehat G}(\varphi*\psi)(\chi)\chi(x)\,d\nu(\chi) h ( x ) = ∫ G ( φ ∗ ψ ) ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) である。φ ∗ ψ ∈ C c ( G ^ ) \varphi*\psi\in C_c(\widehat G) φ ∗ ψ ∈ C c ( G ) §E14.15 命題 1.5 によってh ∈ B ( G ) h\in B(G) h ∈ B ( G ) h ∈ B 1 ( G ) h\in B^1(G) h ∈ B 1 ( G ) §E14.15 定理 2.3 と§E14.15 補題 1.3 を適用すると、有限複素 Radon 測度として
h ^ d ν = ( φ ∗ ψ ) d ν \hat h\,d\nu=(\varphi*\psi)\,d\nu h ^ d ν = ( φ ∗ ψ ) d ν となる。両密度は連続であり、空でない開集合の Haar 測度は正なので、h ^ = φ ∗ ψ \hat h=\varphi*\psi h ^ = φ ∗ ψ
§E14.7 定理 4.3 をG ^ \widehat G G C c ( G ^ ) C_c(\widehat G) C c ( G ) ( v U ) (v_U) ( v U ) φ ∈ C c ( G ^ ) \varphi\in C_c(\widehat G) φ ∈ C c ( G ) φ ∗ v U → φ \varphi*v_U\to\varphi φ ∗ v U → φ L 1 L^1 L 1 φ ∗ v U \varphi*v_U φ ∗ v U B 1 ( G ) B^1(G) B 1 ( G ) §E10.34 定理 1.2 のL 1 L^1 L 1 ▨
2 Pontryagin 双対定理 定理 2.1. G G G
α G : G ⟶ G ^ ^ \alpha_G\colon G\longrightarrow\widehat{\widehat G} α G : G ⟶ G は位相群としての同型である。
証明. G G G d x dx d x d ν d\nu d ν §E14.13 系 2.3 によって、α G \alpha_G α G G G G e e e ( x , χ ) ↦ χ ( x ) (x,\chi)\mapsto\chi(x) ( x , χ ) ↦ χ ( x ) G × G ^ G\times\widehat G G × G x 0 x_0 x 0 K K K
∣ χ ( x ) − χ 0 ( x 0 ) ∣ ≤ sup y ∈ K ∣ χ ( y ) − χ 0 ( y ) ∣ + ∣ χ 0 ( x ) − χ 0 ( x 0 ) ∣ ( x ∈ K ) |\chi(x)-\chi_0(x_0)|
\leq\sup_{y\in K}|\chi(y)-\chi_0(y)|+|\chi_0(x)-\chi_0(x_0)|
\qquad(x\in K) ∣ χ ( x ) − χ 0 ( x 0 ) ∣ ≤ y ∈ K sup ∣ χ ( y ) − χ 0 ( y ) ∣ + ∣ χ 0 ( x ) − χ 0 ( x 0 ) ∣ ( x ∈ K ) であり、右辺の第一項にはコンパクト開位相を、第二項にはχ 0 \chi_0 χ 0 C ⊆ G ^ C\subseteq\widehat G C ⊆ G ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 e e e V V V
sup χ ∈ C ∣ χ ( x ) − 1 ∣ < ε ( x ∈ V ) \sup_{\chi\in C}|\chi(x)-1|<\varepsilon\qquad(x\in V) χ ∈ C sup ∣ χ ( x ) − 1∣ < ε ( x ∈ V ) となる。したがってα G \alpha_G α G
U U U e e e V V − 1 ⊆ U VV^{-1}\subseteq U V V − 1 ⊆ U e e e V V V u ∈ C c ( G ) u\in C_c(G) u ∈ C c ( G ) supp u ⊆ V \supp u\subseteq V supp u ⊆ V §E14.15 命題 1.6 によってf = u ∗ u ∗ ∈ B 1 ( G ) f=u*u^*\in B^1(G) f = u ∗ u ∗ ∈ B 1 ( G )
f ( e ) = ∥ u ∥ 2 2 > 0 , supp f ⊆ U . f(e)=\|u\|_2^2>0,\qquad \supp f\subseteq U. f ( e ) = ∥ u ∥ 2 2 > 0 , supp f ⊆ U . 反転公式によりf ^ ∈ L 1 ( G ^ ) \hat f\in L^1(\widehat G) f ^ ∈ L 1 ( G )
F ( Z ) = ∫ G ^ f ^ ( χ ) Z ( χ ) d ν ( χ ) ( Z ∈ G ^ ^ ) F(Z)=\int_{\widehat G}\hat f(\chi)Z(\chi)\,d\nu(\chi)
\qquad(Z\in\widehat{\widehat G}) F ( Z ) = ∫ G f ^ ( χ ) Z ( χ ) d ν ( χ ) ( Z ∈ G ) は連続である。実際、f ^ d ν \hat f\,d\nu f ^ d ν F ( α G ( x ) ) = f ( x ) F(\alpha_G(x))=f(x) F ( α G ( x )) = f ( x )
W = { Z : ∣ F ( Z ) − f ( e ) ∣ < f ( e ) / 2 } W=\{Z:|F(Z)-f(e)|<f(e)/2\} W = { Z : ∣ F ( Z ) − f ( e ) ∣ < f ( e ) /2 } は二重双対の単位元1 1 1 α G − 1 ( W ) ⊆ U \alpha_G^{-1}(W)\subseteq U α G − 1 ( W ) ⊆ U α G \alpha_G α G
M = α G ( G ) M=\alpha_G(G) M = α G ( G ) α G \alpha_G α G M M M §E14.2 命題 3.2 によりM M M
Z 0 ∈ G ^ ^ ∖ M Z_0\in\widehat{\widehat G}\setminus M Z 0 ∈ G ∖ M M M M Z 0 Z_0 Z 0 M M M O 0 O_0 O 0 Z 0 V V − 1 ⊆ O 0 Z_0VV^{-1}\subseteq O_0 Z 0 V V − 1 ⊆ O 0 V V V w ∈ C c ( G ^ ^ ) w\in C_c(\widehat{\widehat G}) w ∈ C c ( G ) supp w ⊆ V \supp w\subseteq V supp w ⊆ V d ν d\nu d ν
Q ( Z ) = ( w ∗ w ∗ ) ( Z 0 − 1 Z ) Q(Z)=(w*w^*)(Z_0^{-1}Z) Q ( Z ) = ( w ∗ w ∗ ) ( Z 0 − 1 Z ) とおくと、supp Q ⊆ O 0 \supp Q\subseteq O_0 supp Q ⊆ O 0 Q ( Z 0 ) = ∥ w ∥ 2 2 > 0 Q(Z_0)=\|w\|_2^2>0 Q ( Z 0 ) = ∥ w ∥ 2 2 > 0 Q = ( L Z 0 w ) ∗ w ∗ Q=(L_{Z_0}w)*w^* Q = ( L Z 0 w ) ∗ w ∗
補題 1.2 を群G ^ \widehat G G Q = h ^ Q=\hat h Q = h ^ h ∈ B 1 ( G ^ ) h\in B^1(\widehat G) h ∈ B 1 ( G ) Q Q Q M M M x ∈ G x\in G x ∈ G
0 = h ^ ( α G ( x ) ) = ∫ G ^ h ( χ ) χ ( x ) ‾ d ν ( χ ) 0=\hat h(\alpha_G(x))
=\int_{\widehat G}h(\chi)\overline{\chi(x)}\,d\nu(\chi) 0 = h ^ ( α G ( x )) = ∫ G h ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) である。x x x x − 1 x^{-1} x − 1 §E14.15 補題 1.3 をG ^ \widehat G G h d ν h\,d\nu h d ν h d ν = 0 h\,d\nu=0 h d ν = 0 h ^ = 0 \hat h=0 h ^ = 0 Q ( Z 0 ) > 0 Q(Z_0)>0 Q ( Z 0 ) > 0 M = G ^ ^ M=\widehat{\widehat G} M = G ▨
例 2.2. R ^ \widehat\R R χ t ( x ) = e 2 π i t x \chi_t(x)=e^{2\pi itx} χ t ( x ) = e 2 π i t x R \R R
α R ( x ) ( χ t ) = e 2 π i x t \alpha_\R(x)(\chi_t)=e^{2\pi ixt} α R ( x ) ( χ t ) = e 2 π i x t なので、二重双対の同一視でも評価写像はx ↦ x x\mapsto x x ↦ x f ∈ B 1 ( R ) f\in B^1(\R) f ∈ B 1 ( R ) f ^ ^ ( x ) = f ( − x ) \widehat{\hat f}(x)=f(-x) f ^ ( x ) = f ( − x )
3 零化域と部分群・商群の双対 定義 3.1 (零化域). G G G S ⊆ G S\subseteq G S ⊆ G 零化域 (annihilator )
S ⊥ = { χ ∈ G ^ : χ ( s ) = 1 がすべての s ∈ S について成り立つ } S^\perp=\{\chi\in\widehat G:\chi(s)=1\text{ がすべての }s\in S\text{ について成り立つ}\} S ⊥ = { χ ∈ G : χ ( s ) = 1 がすべての s ∈ S について成り立つ } で定める。T ⊆ G ^ T\subseteq\widehat G T ⊆ G
T ⊥ = { x ∈ G : χ ( x ) = 1 がすべての χ ∈ T について成り立つ } T^\perp=\{x\in G:\chi(x)=1\text{ がすべての }\chi\in T\text{ について成り立つ}\} T ⊥ = { x ∈ G : χ ( x ) = 1 がすべての χ ∈ T について成り立つ } と書く。後者の記法では評価写像による二重双対との同一視を用いている。零化域はいずれも閉部分群である。実際、各零化域は連続指標の核の共通部分である。
定理 3.2. G G G H H H q : G → G / H q\colon G\to G/H q : G → G / H
H ⊥ ⊥ = H H^{\perp\perp}=H H ⊥⊥ = H 引戻しq ∗ : G / H ^ → H ⊥ q^*\colon\widehat{G/H}\to H^\perp q ∗ : G / H → H ⊥ q ∗ ( η ) = η ∘ q q^*(\eta)=\eta\circ q q ∗ ( η ) = η ∘ q
制限による写像G ^ / H ⊥ → H ^ \widehat G/H^\perp\to\widehat H G / H ⊥ → H χ H ⊥ ↦ χ ∣ H \chi H^\perp\mapsto\chi|_H χ H ⊥ ↦ χ ∣ H
証明. 主張 (1) を示す。定義からH ⊆ H ⊥ ⊥ H\subseteq H^{\perp\perp} H ⊆ H ⊥⊥ x ∉ H x\notin H x ∈ / H G / H G/H G / H §E14.13 系 2.3 を適用し、η ( x H ) ≠ 1 \eta(xH)\ne1 η ( x H ) = 1 η ∈ G / H ^ \eta\in\widehat{G/H} η ∈ G / H η ∘ q ∈ H ⊥ \eta\circ q\in H^\perp η ∘ q ∈ H ⊥ x ∉ H ⊥ ⊥ x\notin H^{\perp\perp} x ∈ / H ⊥⊥
主張 (2) を示す。H H H G G G G / H G/H G / H q ∗ q^* q ∗ G G G q q q q ∗ q^* q ∗
C ⊆ G / H C\subseteq G/H C ⊆ G / H K K K G G G §E14.1 系 4.3 によってq ( int ( K ) ) q(\tpint{K}) q ( int ( K )) { q ( x int ( K ) ) : x ∈ G } \{q(x\tpint{K}):x\in G\} { q ( x int ( K )) : x ∈ G } C C C x 1 , … , x n x_1,\ldots,x_n x 1 , … , x n D = ⋃ j = 1 n x j K D=\bigcup_{j=1}^nx_jK D = ⋃ j = 1 n x j K D D D C ⊆ q ( D ) C\subseteq q(D) C ⊆ q ( D )
sup c ∈ C ∣ η ( c ) − 1 ∣ ≤ sup x ∈ D ∣ q ∗ ( η ) ( x ) − 1 ∣ . \sup_{c\in C}|\eta(c)-1|
\leq\sup_{x\in D}|q^*(\eta)(x)-1|. c ∈ C sup ∣ η ( c ) − 1∣ ≤ x ∈ D sup ∣ q ∗ ( η ) ( x ) − 1∣. この評価により( q ∗ ) − 1 (q^*)^{-1} ( q ∗ ) − 1
主張 (3) を示す。A = G ^ / H ⊥ A=\widehat G/H^\perp A = G / H ⊥ 主張 (2) をG ^ \widehat G G H ⊥ H^\perp H ⊥ 主張 (1) と定理 2.1 を用いると、位相群としての同型
j : H ⟶ A ^ , j ( h ) ( χ H ⊥ ) = χ ( h ) j\colon H\longrightarrow\widehat A,\qquad
j(h)(\chi H^\perp)=\chi(h) j : H ⟶ A , j ( h ) ( χ H ⊥ ) = χ ( h ) を得る。同型j j j j ^ : A ^ ^ → H ^ \widehat j\colon\widehat{\widehat A}\to\widehat H j : A → H j j j j − 1 j^{-1} j − 1 j ^ ∘ α A : A → H ^ \widehat j\circ\alpha_A\colon A\to\widehat H j ∘ α A : A → H
( j ^ ∘ α A ) ( χ H ⊥ ) ( h ) = j ( h ) ( χ H ⊥ ) = χ ( h ) (\widehat j\circ\alpha_A)(\chi H^\perp)(h)
=j(h)(\chi H^\perp)=\chi(h) ( j ∘ α A ) ( χ H ⊥ ) ( h ) = j ( h ) ( χ H ⊥ ) = χ ( h ) であり、主張の制限写像に一致する。▨
命題 3.3. G G G H H H
H ⊥ = ( H ‾ ) ⊥ H^\perp=(\tpcl H)^\perp H ⊥ = ( H ) ⊥ H ⊥ ⊥ = H ‾ H^{\perp\perp}=\tpcl H H ⊥⊥ = H H H H G G G H ⊥ = { 1 } H^\perp=\{1\} H ⊥ = { 1 } 系 3.4. G G G H H H η : H → T \eta\colon H\to\mathbb T η : H → T χ ∣ H = η \chi|_H=\eta χ ∣ H = η χ : G → T \chi\colon G\to\mathbb T χ : G → T χ 1 , χ 2 \chi_1,\chi_2 χ 1 , χ 2 χ 1 χ 2 − 1 \chi_1\chi_2^{-1} χ 1 χ 2 − 1 H ⊥ H^\perp H ⊥
証明. 定理 3.2 (3) の全射性によって延長が存在する。χ 1 ∣ H = χ 2 ∣ H \chi_1|_H=\chi_2|_H χ 1 ∣ H = χ 2 ∣ H ( χ 1 χ 2 − 1 ) ∣ H = 1 (\chi_1\chi_2^{-1})|_H=1 ( χ 1 χ 2 − 1 ) ∣ H = 1 ▨
例 3.5. a > 0 a>0 a > 0 G = R G=\R G = R H = a Z H=a\Z H = a Z R ^ = R \widehat\R=\R R = R t ↦ χ t t\mapsto\chi_t t ↦ χ t χ t ( x ) = e 2 π i t x \chi_t(x)=e^{2\pi itx} χ t ( x ) = e 2 π i t x
χ t ∣ a Z = 1 ⟺ a t ∈ Z , ( a Z ) ⊥ = a − 1 Z . \chi_t|_{a\Z}=1\ \Longleftrightarrow\ at\in\Z,
\qquad (a\Z)^\perp=a^{-1}\Z. χ t ∣ a Z = 1 ⟺ a t ∈ Z , ( a Z ) ⊥ = a − 1 Z . したがって、定理 3.2 により
R / a Z ^ ≅ a − 1 Z , a Z ^ ≅ R / a − 1 Z \widehat{\R/a\Z}\cong a^{-1}\Z,\qquad
\widehat{a\Z}\cong\R/a^{-1}\Z R / a Z ≅ a − 1 Z , a Z ≅ R / a − 1 Z が成り立つ。a Z a\Z a Z a n ↦ z n an\mapsto z^n an ↦ z n e 2 π i a t = z e^{2\pi iat}=z e 2 π ia t = z χ t \chi_t χ t t t t a − 1 Z a^{-1}\Z a − 1 Z
例 3.6. Q ⊆ R \Q\subseteq\R Q ⊆ R χ t ∣ Q = 1 \chi_t|_\Q=1 χ t ∣ Q = 1 t q ∈ Z tq\in\Z tq ∈ Z q ∈ Q q\in\Q q ∈ Q q = 1 / n q=1/n q = 1/ n n n n t = 0 t=0 t = 0
Q ⊥ = { 0 } , Q ⊥ ⊥ = R ≠ Q . \Q^\perp=\{0\},\qquad \Q^{\perp\perp}=\R\ne\Q. Q ⊥ = { 0 } , Q ⊥⊥ = R = Q . よって定理 3.2 (1) から閉性の仮定を除くことはできない。命題 3.3 により、閉性を仮定しない場合に二重零化域が与えるものは部分群の閉包である。
4 コンパクト性・離散性と重み 命題 4.1. G G G G G G G ^ \widehat G G G G G G ^ \widehat G G
定理 4.2. G G G w w w §E2.13 定義 5.7 の重みとする。このとき
w ( G ) = w ( G ^ ) w(G)=w(\widehat G) w ( G ) = w ( G ) が成り立つ。
証明. G G G κ = w ( G ) \kappa=w(G) κ = w ( G ) G G G μ \mu μ κ ≥ ℵ 0 \kappa\geq\aleph_0 κ ≥ ℵ 0 κ \kappa κ B \mathcal B B
B \mathcal B B Q + i Q \Q+i\Q Q + i Q D D D ∣ D ∣ ≤ κ |D|\leq\kappa ∣ D ∣ ≤ κ v ∈ C c ( G ) v\in C_c(G) v ∈ C c ( G ) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 supp v \supp v supp v O O O v ≥ 0 v\geq0 v ≥ 0 δ μ ( O ) < ε \delta\mu(O)<\varepsilon δ μ ( O ) < ε δ \delta δ n δ ≥ ∥ v ∥ ∞ n\delta\geq\|v\|_\infty n δ ≥ ∥ v ∥ ∞ n n n 1 ≤ j ≤ n 1\leq j\leq n 1 ≤ j ≤ n { v ≥ j δ } \{v\geq j\delta\} { v ≥ j δ } { v > ( j − 1 ) δ } ∩ O \{v>(j-1)\delta\}\cap O { v > ( j − 1 ) δ } ∩ O B \mathcal B B B j B_j B j B j = ∅ B_j=\varnothing B j = ∅
s = δ ∑ j = 1 n 1 B j s=\delta\sum_{j=1}^n\mathbf1_{B_j} s = δ ∑ j = 1 n 1 B j s ∈ D s\in D s ∈ D s s s O O O v ( x ) ≥ j δ v(x)\geq j\delta v ( x ) ≥ j δ x ∈ B j x\in B_j x ∈ B j x ∈ B j x\in B_j x ∈ B j v ( x ) > ( j − 1 ) δ v(x)>(j-1)\delta v ( x ) > ( j − 1 ) δ ∣ s ( x ) − v ( x ) ∣ ≤ δ |s(x)-v(x)|\leq\delta ∣ s ( x ) − v ( x ) ∣ ≤ δ ∥ s − v ∥ 1 ≤ δ μ ( O ) < ε \|s-v\|_1\leq\delta\mu(O)<\varepsilon ∥ s − v ∥ 1 ≤ δ μ ( O ) < ε C c ( G ) C_c(G) C c ( G ) L 1 L^1 L 1 D D D L 1 ( G ) L^1(G) L 1 ( G ) D D D κ \kappa κ L 1 ( G ) L^1(G) L 1 ( G )
L 1 ( G ) ∗ L^1(G)^* L 1 ( G ) ∗ D D D Φ , Ψ \Phi,\Psi Φ , Ψ f ∈ L 1 ( G ) f\in L^1(G) f ∈ L 1 ( G ) d ∈ D d\in D d ∈ D
∣ ( Φ − Ψ ) ( f ) ∣ ≤ 2 ∥ f − d ∥ 1 + ∣ ( Φ − Ψ ) ( d ) ∣ |(\Phi-\Psi)(f)|\leq2\|f-d\|_1+|(\Phi-\Psi)(d)| ∣ ( Φ − Ψ ) ( f ) ∣ ≤ 2∥ f − d ∥ 1 + ∣ ( Φ − Ψ ) ( d ) ∣ である。D D D κ \kappa κ §E14.13 定理 2.1 によりG ^ \widehat G G w ( G ^ ) ≤ w ( G ) w(\widehat G)\leq w(G) w ( G ) ≤ w ( G )
G ^ \widehat G G G ^ \widehat G G 定理 2.1 によってG G G G G G G ^ \widehat G G
w ( G ) = w ( G ^ ^ ) ≤ w ( G ^ ) ≤ w ( G ) w(G)=w(\widehat{\widehat G})\leq w(\widehat G)\leq w(G) w ( G ) = w ( G ) ≤ w ( G ) ≤ w ( G ) を得る。G G G G G G G ^ \widehat G G ▨
系 4.3. G G G G G G G ^ \widehat G G
証明. §E2.13 命題 5.8 により、位相空間が第二可算であることは、その重みがℵ 0 \aleph_0 ℵ 0 定理 4.2 によりw ( G ) = w ( G ^ ) w(G)=w(\widehat G) w ( G ) = w ( G ) ▨
5 演習 問題 5.1. 命題 3.3 を証明せよ。その稠密性の判定を用いて、無理数θ \theta θ { e 2 π i n θ : n ∈ Z } \{e^{2\pi in\theta}:n\in\Z\} { e 2 π in θ : n ∈ Z }
解答. H H H G G G H H H H ‾ \tpcl H H H ⊥ = ( H ‾ ) ⊥ H^\perp=(\tpcl H)^\perp H ⊥ = ( H ) ⊥ H ‾ \tpcl H H 定理 3.2 (1) を適用すると
H ⊥ ⊥ = ( H ‾ ) ⊥ ⊥ = H ‾ H^{\perp\perp}=(\tpcl H)^{\perp\perp}=\tpcl H H ⊥⊥ = ( H ) ⊥⊥ = H となる。H H H H ⊥ = G ⊥ = { 1 } H^\perp=G^\perp=\{1\} H ⊥ = G ⊥ = { 1 } H ⊥ = { 1 } H^\perp=\{1\} H ⊥ = { 1 }
H ‾ = H ⊥ ⊥ = { 1 } ⊥ = G \tpcl H=H^{\perp\perp}=\{1\}^\perp=G H = H ⊥⊥ = { 1 } ⊥ = G である。
円周群の指標はz ↦ z k z\mapsto z^k z ↦ z k k ∈ Z k\in\Z k ∈ Z e 2 π i k θ = 1 e^{2\pi ik\theta}=1 e 2 π ik θ = 1 k θ ∈ Z k\theta\in\Z k θ ∈ Z θ \theta θ k = 0 k=0 k = 0 ▨