§E14.14Bochner の定理

証明.$|\chi(x)|=1$なので積分は有限である。任意の正整数$n$、$x_1,\ldots,x_n\in G$、$c_1,\ldots,c_n\in\C$に対して

である。したがって$\varphi_\nu$は正定値であり、$\chi(e)=1$より$\varphi_\nu(e)=\nu(\widehat G)$である。

$\varepsilon>0$とする。有限性と内正則性により、コンパクト集合$C\subseteq\widehat G$を$\nu(\widehat G\setminus C)<\varepsilon$となるように取る。評価写像の連続性§E2.30 定理 4.2と$C$のコンパクト性により、$e$のある近傍$U$が存在して

となる。実際、各$(\chi,e)$の積近傍でこの評価を満たすようにし、第一成分の近傍から$C$の有限被覆を取って第二成分の近傍の交わりを用いればよい。$x\in U$に対して

である。よって$\varphi_\nu$は$e$で連続であり、§E14.11 系 1.3により$G$上で連続である。▨

証明.$f\in C_c(G)$、$\varepsilon>0$とする。内正則性により$\nu(\widehat G\setminus C)<\varepsilon$を満たすコンパクト集合$C\subseteq\widehat G$を取り、§E10.32 補題 1.2により$0\leq h\leq1$、$h|_C=1$を満たす$h\in C_c(\widehat G,\R)$を取る。関数

は評価写像の連続性によって連続であり、台はコンパクト集合$\supp f\times\supp h$に含まれる。§E10.36 補題 1.1を実部と虚部に適用すると

となる。左辺と主張の左辺との差の絶対値、右辺と主張の右辺との差の絶対値は、それぞれ$\|f\|_1\nu(\widehat G\setminus C)\leq\varepsilon\|f\|_1$以下である。$\varepsilon\downarrow0$とすれば$C_c(G)$上の等式を得る。

一般の$f\in L^1(G)$に対しては、§E10.34 定理 1.2によって$C_c(G)$から$L^1$ノルムで近似する。$|\varphi_\nu|\leq\nu(\widehat G)$と$\|\hat f\|_\infty\leq\|f\|_1$により、両辺は$L^1(G)$上の有界線形汎関数である。したがって等式は$L^1(G)$全体で成り立つ。▨

証明. 左 Haar 測度を固定する。補題 1.1により、表示した対応は連続な正定値関数を与え、全質量の等式を満たす。

$\mathcal A=\{\hat f:f\in L^1(G)\}$とおく。§E14.13 定理 3.3と§E14.13 命題 3.2により、$\mathcal A$は複素共役について閉じた$C_0(\widehat G)$の部分代数である。§E14.13 定理 2.1の同相写像$J$は単射なので、相異なる$\chi,\psi$に対して$\hat f(\chi)\ne\hat f(\psi)$を満たす$f$が存在する。また、各$J(\chi)$は零でない汎関数なので、$\hat f(\chi)\ne0$を満たす$f$が存在する。§E2.32 定理 5.6により$\mathcal A$は$C_0(\widehat G)$で稠密である。$\chi\mapsto\overline\chi$は同相写像なので、$\{\chi\mapsto\hat f(\overline\chi):f\in L^1(G)\}$も稠密である。

有限正 Radon 測度$\nu_1,\nu_2$が$\varphi_{\nu_1}=\varphi_{\nu_2}$を満たすとする。補題 1.2により、二つの測度の積分は$\chi\mapsto\hat f(\overline\chi)$上で一致する。稠密性と有限性から$C_0(\widehat G)$上でも一致し、§E10.34 定理 3.4の一意性により$\nu_1=\nu_2$である。

$P_{\leq1}(G)$を$\varphi(e)\leq1$を満たす連続な正定値関数の凸集合とし、$\ell_\varphi(f)=\int_Gf(x)\varphi(x)\,dx$によって$L^1(G)^*$の＊弱位相を入れる。§E14.12 定理 3.2により$P_{\leq1}(G)$はコンパクトである。§E14.12 定理 2.1と§E14.8 系 4.9により、その非零の端点は指標である。

$h_f(\chi)=\hat f(\overline\chi)$とおく。端点$\eta$が指標ならば$\ell_\eta(f)=h_f(\eta)$であり、零関数ならば$\ell_\eta(f)=0$である。したがって、すべての端点について

であり、$h_f\geq0$ならば$\ell_\eta(f)\geq0$である。各$f$についてこの評価を満たす元の集合は＊弱閉かつ凸であり、$h_f\geq0$の場合に後者の不等式を満たす元の集合も＊弱閉かつ凸である。§E12.31 定理 2.3により$P_{\leq1}(G)$は端点の閉凸包なので、同じ評価と正性がすべての$\varphi\in P_{\leq1}(G)$について成り立つ。

$\varphi\in P_{\leq1}(G)$を固定する。稠密な自己共役部分代数$\mathcal A_0=\{h_f:f\in L^1(G)\}$上で

と定める。上の評価により、この値は$h_f$の表示によらず、$L_\varphi$はノルムが$1$以下の線形汎関数である。したがって、$L_\varphi$は$C_0(\widehat G)$上の有界線形汎関数へ一意に延長される。この延長も$L_\varphi$と書く。

$h\in C_0(\widehat G)$、$h\geq0$とする。$\sqrt h\in C_0(\widehat G)$なので、$\mathcal A_0$の元の列$(b_n)$で$\sqrt h$を一様近似することができる。$\mathcal A_0$は自己共役な部分代数なので$|b_n|^2\in\mathcal A_0$であり、上で示した正性により$L_\varphi(|b_n|^2)\geq0$である。$|b_n|^2\to h$は一様収束するから、$L_\varphi(h)\geq0$となる。実関数は正部分と負部分との差であるため、その像は実数である。Riesz–Markov–Kakutani の定理の$C_0$版§E10.34 命題 2.1を実関数への制限に適用すると、有限正 Radon 測度$\nu$が存在して

となる。複素関数についての等式は実部と虚部への分解による。特に、任意の$f\in L^1(G)$について

である。補題 1.2により左辺は$\ell_{\varphi_\nu}(f)$に等しく、§E14.11 定理 3.2の単射性から$\varphi=\varphi_\nu$となる。

一般の連続な正定値関数$\varphi$について、$\varphi(e)=0$ならば§E14.11 命題 1.2により$\varphi=0$であり、零測度が表現する。$s=\varphi(e)>0$ならば$\varphi/s\in P_{\leq1}(G)$である。$\varphi/s$の表現測度を$\nu$とすれば、$s\nu$が$\varphi$を表現する。▨