§E14.35Pontryagin–van Kampen の構造定理

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実数の加法群は連結で非コンパクトであり、pp進数体の加法群は完全不連結でコンパクト開部分群をもつ。局所コンパクト可換群にはこのように異なる位相の群が含まれるが、コンパクト集合で代数的に生成されることを仮定せずに単位元の近くの構造を共通に記述することが問題となる。Pontryagin–van Kampen の構造定理は、局所コンパクト可換群の局所的な構造を調べるための基本定理である。連結な群には真の開部分群が存在しないため、開部分群の構造がそのまま群全体の構造となる。本記事では、この構造定理の意味と代表的な例について解説する。

1 開部分群の構造

定理 1.1.GGを Hausdorff な局所コンパクト可換群とする。このとき、非負整数nn、コンパクト Hausdorff 可換群KK、およびGGの開部分群HHが存在して、位相群としての同型

H≅Rn×KH\cong\R^n\times K

が成り立つ。

証明.§E14.2 命題 2.1により、零の対称コンパクト近傍が生成する開部分群L⊆GL\subseteq Gを取る。LLはコンパクト集合で代数的に生成される局所コンパクト可換群なので、§E14.34 定理 6.1により

L≅Rn×Zm×KL\cong\R^n\times\Z^m\times K

となる。右辺のRn×{0}×K\R^n\times\{0\}\times Kは開部分群である。その逆像HHはLLで開いており、LLはGGで開いているので、HHはGGの開部分群である。▨

例 1.2. 素数ppに対する加法群Qp\Q_pは、§E14.32 命題 3.4によりコンパクト開部分群Zp\Z_pをもつ。したがって、定理 1.1の開部分群をH=ZpH=\Z_p、実因子の次元をn=0n=0と取ることができる。

しかし、Qp\Q_p全体は、コンパクト群KKと離散群DDの直積K×DK\times Dと位相群として同型ではない。実際、任意のx≠0x\ne0に対して、非零元の列pjxp^jxはpp進位相で零に収束する。xxを含む部分群にはこの列が含まれるので、Qp\Q_pの離散部分群は零群だけである。したがって、仮にQp≅K×D\Q_p\cong K\times Dならば、離散部分群{0}×D\{0\}\times Dの像は零群となり、D={0}D=\{0\}である。一方、Qp\Q_pはコンパクトでない。§E14.32 命題 3.4によれば、コンパクトならばあるr≥0r\geq0についてQp⊆p−rZp\Q_p\subseteq p^{-r}\Z_pとなるが、p−r−1p^{-r-1}は右辺に属さない。よってQp≅K\Q_p\cong Kも成立しない。

さらにQp\Q_pは完全不連結なので、群全体をRn×K×D\R^n\times K\times Dとする表示も存在しない。そのような表示では連結な部分群Rn×{0}×{0}\R^n\times\{0\}\times\{0\}が一点でなければならず、n=0n=0となるからである。

2 連結群と実次元

系 2.1.GGを連結な Hausdorff 局所コンパクト可換群とする。このとき、非負整数nnと連結コンパクト Hausdorff 可換群KKが存在して

G≅Rn×K,G^≅Rn×K^G\cong\R^n\times K,\qquad \widehat G\cong\R^n\times\widehat K

が位相群として成り立つ。K^\widehat Kは離散群である。

証明.定理 1.1の開部分群HHを取る。開部分群の補集合は他の剰余類の和集合なので開いており、HHは閉集合でもある。GGの連結性からH=GH=Gである。射影Rn×K→K\R^n\times K\to Kは連続な全射なので、KKは連結である。

§E14.13 例 4.3 (1)と§E14.13 補題 1.3を分解に適用して、G^≅Rn×K^\widehat G\cong\R^n\times\widehat Kを得る。KKはコンパクトなので、§E14.16 命題 4.1によりK^\widehat Kは離散である。▨

命題 2.2.GGを Hausdorff な局所コンパクト可換群とし、H1,H2H_1,H_2をその開部分群とする。このとき、コンパクト Hausdorff 可換群K1,K2K_1,K_2と非負整数n1,n2n_1,n_2に対して

H1≅Rn1×K1,H2≅Rn2×K2H_1\cong\R^{n_1}\times K_1,\qquad H_2\cong\R^{n_2}\times K_2

が位相群として成り立つならば、n1=n2n_1=n_2である。

証明.U=H1∩H2U=H_1\cap H_2とおく。UUは各HiH_iの開かつ閉な部分群である。HiH_iを表示された直積と同一視すると、連結な部分群Rni×{0}\R^{n_i}\times\{0\}はUUに含まれる。実際、この部分群とUUとの交わりは、零を含む開かつ閉な部分集合だからである。

Ki′={k∈Ki:(0,k)∈U}K_i'=\{k\in K_i:(0,k)\in U\}とおく。UUが実因子全体を含むことから

U=Rni×Ki′U=\R^{n_i}\times K_i'

である。Ki′K_i'はKiK_iの開かつ閉な部分群なのでコンパクトである。また、[−1,1]ni×Ki′[-1,1]^{n_i}\times K_i'がUUを代数的に生成するので、UUはコンパクト集合で代数的に生成される。§E14.34 定理 6.1の一意性をUUの二つの表示に適用すると、n1=n2n_1=n_2を得る。▨

系 2.3.GGを Hausdorff な局所コンパクト可換群、G0G_0を零の連結成分とする。H⊆GH\subseteq Gが開部分群であり、位相群としての同型H≅Rn×KH\cong\R^n\times Kが与えられているとする。ただしKKはコンパクト Hausdorff 可換群であり、K0K_0はその零の連結成分である。このとき、次が成り立つ。

  1. G0≅Rn×K0G_0\cong\R^n\times K_0である。
  2. G/G0G/G_0は Hausdorff な完全不連結群である。
  3. G/G0G/G_0は、K/K0K/K_0と位相群として同型なコンパクト開部分群を含む。

証明.HHはGGで開かつ閉であり零を含むので、G0⊆HG_0\subseteq Hである。したがってG0=H0G_0=H_0である。積Rn×K0\R^n\times K_0は連結であり、H0H_0のKKへの射影は零を含む連結集合なのでK0K_0に含まれる。よってH0=Rn×K0H_0=\R^n\times K_0である。

§E14.32 命題 1.1により、G/G0G/G_0は Hausdorff かつ完全不連結である。§E14.1 系 4.3により商写像q ⁣:G→G/G0q\colon G\to G/G_0は開写像なので、q(H)q(H)は開部分群である。写像K→G/G0K\to G/G_0、k↦q(0,k)k\mapsto q(0,k)の核はK0K_0であり、その像はq(H)q(H)である。誘導される連続全単射K/K0→q(H)K/K_0\to q(H)は、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので同相写像である。▨

3 非可換群と局所的な構造

例 3.1. 通常の行列位相をもつG=SL⁡2(R)G=\SL_2(\R)は連結な局所コンパクト群であるが、Rn×K\R^n\times Kと位相群として同型な開部分群をもたない。ここではKKをコンパクト群とし、可換性を仮定しなくてもよい。

§E14.5 例 5.1によりGGは局所コンパクトであるがコンパクトでない。g∈Gg\in Gの第一列をvv、その Euclid ノルムをr>0r>0とする。第一列がv/rv/rである回転行列k∈SO⁡(2)k\in\SO(2)を取ると、あるs∈Rs\in\Rに対して

k−1g=(rs0r−1)k^{-1}g=\begin{pmatrix}r&s\\0&r^{-1}\end{pmatrix}

となる。したがって、連結空間SO⁡(2)×R>0×R\SO(2)\times\R_{>0}\times\RからGGへの連続な全射があり、GGは連結である。

GGの中心の元は、diag⁡(2,1/2)\operatorname{diag}(2,1/2)と可換なので対角行列である。さらに(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}と可換なので、二つの対角成分は等しい。行列式が11であることから、中心は{I,−I}\{I,-I\}である。

GGは連結なので、開部分群はGG自身だけである。仮にG≅Rn×KG\cong\R^n\times Kならば、Rn×{eK}\R^n\times\{e_K\}は中心に含まれる。中心が有限であることからn=0n=0であり、G≅KG\cong Kはコンパクトとなる。これは上の非コンパクト性に反する。

例 3.2. 二つの生成元をもつ自由群F2F_2に離散位相を入れると、F2F_2は非可換な局所コンパクト群である。自明な部分群{e}\{e\}はコンパクトかつ開なので、F2F_2は定理 1.1の結論を満たす。

一方、F2F_2全体は、コンパクト群KKを用いたRn×K\R^n\times Kと位相群として同型ではない。そのような表示があれば、離散性からn=0n=0であり、KKはコンパクトかつ離散なので有限である。しかし自由生成元の整数冪はすべて異なり、F2F_2は無限群である。この議論は任意の無限離散群に適用される。

参考文献

  1. Sidney A. Morris, Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series 29, Cambridge University Press, Cambridge, 2008, originally published 1977.局所コンパクト可換群の開部分群の構造と連結な場合の分解を参考にした。

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