§E14.24閉部分群と双対性

証明.$K_A$は閉集合$\{k:a(k)=a(e)\}$の共通部分であり、$e\in K_A$である。$a\in A$、$x\in G$、$k\in K_A$を取る。$L_{x^{-1}}a\in A$であるから

したがって各$a$は右$K_A$不変である。$k,l\in K_A$ならば$a(kl)=a(k)=a(e)$がすべての$a\in A$について成り立つので$kl\in K_A$である。また$a(e)=a(k^{-1}k)=a(k^{-1})$であるから$k^{-1}\in K_A$である。

すべての$a\in A$について$a(x)=a(y)$と仮定する。任意の$b\in A$に対して$a=L_xb$を代入すると$b(e)=b(x^{-1}y)$となる。ゆえに$x^{-1}y\in K_A$であり、$xK_A=yK_A$である。逆に$y=xk$、$k\in K_A$ならば、右不変性から$a(y)=a(x)$が従う。▨

証明. 閉部分群$K$に対して、$C(G)^K$は定数関数を含み、和・積・複素共役・一様極限について閉じている。左右移動は可換であるから、この環は左移動不変である。$G/K$はコンパクト Hausdorff 空間である§E14.2 定理 3.1。商写像の普遍性§E2.12 定理 8.10と$q$の全射性により、$F\mapsto F\circ q$は主張 (3)の等長な＊同型である。

$A\subseteq C(G)$を左移動不変な単位的 C＊部分環とし、$K=K_A$とおく。補題 1.2により$A\subseteq C(G)^K$であり、$A$に属する関数は$G/K$の相異なる点を分離する。したがって、$A$を$C(G/K)$の部分環とみなして§E2.32 系 3.5を適用すると、その像は一様稠密である。$A$はノルム閉であり合成写像は等長なので、$A=C(G)^K$となる。

閉部分群$K$と$x\notin K$を取る。§E2.24 命題 2.4により、$F(K)=1$、$F(xK)=0$を満たす$F\in C(G/K)$が存在する。$F\circ q\in C(G)^K$であるから$x\notin K_{C(G)^K}$である。一方、右$K$不変性から$K\subseteq K_{C(G)^K}$である。よって$K_{C(G)^K}=K$となり、二つの対応は互いに逆である。$K\subseteq H$ならば$C(G)^H\subseteq C(G)^K$であり、$A\subseteq B$ならば$K_B\subseteq K_A$である。▨

証明.$\varphi*f$の有界連続性は§E14.7 定理 5.2による。主張 (1)を示す。$g\in L^1(G)$が$M$を零化すると仮定する。§E14.7 補題 5.3と§E10.18 命題 5.2により

最後の等号は$L_yf\in M$による。§E12.28 系 3.1 (3)と$M$の＊弱閉性から$\varphi*f\in M$である。

主張 (2)を示す。§E14.5 定理 3.1による変数変換を畳み込みの核に適用すると、任意の$h,x\in G$について

を得る。実際、核の式で$w=zh$と置けば、$dz=\Delta(h)^{-1}dw$と$\Delta(z)^{-1}=\Delta(h)\Delta(w)^{-1}$が相殺される。$R_hf=f$ならば左辺は$(\varphi*f)(x)$なので、連続代表はすべての$x$で右$h$不変である。

近似単位による収束と評価は§E14.7 定理 5.4であり、$f\in M$に主張 (1)を適用すると最後の稠密性を得る。▨

証明.$\Omega=\Delta(A)$とおき、評価写像$q:G\to\Omega$を$q(x)(a)=a(x)$で定める。各評価は単位元で値$1$を取る有界な指標であり、Gelfand 位相の定義から$q$は連続である。§E12.47 定理 5.5により$\Omega$はコンパクト Hausdorff 空間であり、§E12.53 定理 1.3により$\Gamma:A\to C(\Omega)$は等長な＊同型である。

補題 1.2により、$q(x)=q(y)$であることは$xK=yK$と同値である。したがって$u|_L$は$q|_L$の各ファイバーで一定である。写像$q|_L:L\to q(L)$は連続な閉全射である§E2.20 命題 1.2 (4)。閉全射は商写像なので、§E2.12 定理 8.10により、$u|_L=b\circ q|_L$を満たす$b\in C(q(L))$が存在する。

$L=\varnothing$または$u=0$ならば$a=0$としてよい。その他の場合、$q(L)$は$\Omega$の閉集合であり、$\Omega$は正規である§E2.19 定理 6.11。§E2.18 定理 4.1を$b$の実部と虚部へ適用し、それぞれ絶対値が$\|u\|_\infty$以下の連続な延長を取る。その複素結合$B\in C(\Omega)$は$B|_{q(L)}=b$と$\|B\|_\infty\leq2\|u\|_\infty$を満たす。$a=\Gamma^{-1}(B)$とおくと$a(x)=B(q(x))$であり、所要の補間と評価を得る。▨

証明.$u\in C_b(G)^K$と$\varepsilon>0$を取る。$C_c(G)$の$L^1(G)$における稠密性§E10.35 補題 4.1により、$\int_{G\setminus L}|g|<\varepsilon$となるコンパクト集合$L$が存在する。補題 4.1により$L$上で$u$に一致し$\|a\|_\infty\leq2\|u\|_\infty$となる$a\in A$を取ると、

$\varepsilon$は任意であるから$\int_Ggu=0$である。▨

証明. 任意の$h\in G$に対して、§E14.5 定理 3.1により

が成り立つ。したがって$R_h$は$L^1(G)$上の有界作用素$g\mapsto\Delta(h)^{-1}R_{h^{-1}}g$の共役であり、＊弱連続である§E12.27 命題 7.2 (2)。よって$L^\infty(G)^H=\bigcap_{h\in H}\ker(R_h-I)$は＊弱閉である。各$R_h$は単位的＊自己同型であり左右移動は可換なので、この固定部分空間は左移動不変な単位的＊部分環である。

$M$を主張の仮定を満たす部分環とし、$A=M\cap C_b(G)$、$K=K_A$とおく。Haar 測度は空でない開集合で正である§E14.4 命題 1.3。したがって有界連続関数はその同値類から一意に定まり、その一様ノルムは本質的上限ノルムに等しい。$M$の＊弱閉性はノルム閉性を含むので、$A$は左移動不変な単位的 C＊部分環である。補題 1.2により$K$は閉部分群であり$A\subseteq L^\infty(G)^K$である。補題 3.1によって$A$は$M$で＊弱稠密なので、固定環の＊弱閉性から

を得る。

$f\in L^\infty(G)^K$とし、$g\in L^1(G)$が$M$を零化すると仮定する。$g$は$A$も零化するので、系 4.2により$C_b(G)^K$を零化する。補題 3.1 (2)から$u_U*f\in C_b(G)^K$であり、$\int_Gg(u_U*f)=0$である。＊弱近似によって$\int_Ggf=0$となる。§E12.28 系 3.1 (3)と$M$の＊弱閉性から$f\in M$である。ゆえに$M=L^\infty(G)^K$となる。

閉部分群$H$に対し$x\notin H$とする。$G/H$は局所コンパクト Hausdorff 空間である§E14.2 定理 3.1。§E2.24 命題 2.4により$F(H)=1$、$F(xH)=0$となる$F\in C_c(G/H)$が存在する。$a(y)=F(yH)$は$L^\infty(G)^H\cap C_b(G)$に属するので、$x\notin K_{L^\infty(G)^H}$である。逆の包含は右不変性から従い、$K_{L^\infty(G)^H}=H$となる。

$M=L^\infty(G)^{K_M}$により、$x\in K_M$ならば$R_xf=f$がすべての$f\in M$について成り立つ。逆にこの等式が成り立てば、$a\in M\cap C_b(G)$について連続代表の一意性から$a(x)=a(e)$となるので、$x\in K_M$である。最後に、固定する部分群を大きくすると固定環は小さくなり、評価に使う環を大きくすると$K_M$は小さくなる。これで包含を逆にすることも従う。▨

証明. 任意の$s\in G$に対して

である。実際、$h\in H$ならば$(R_sf)(xshs^{-1})=f(xsh)=f(xs)$であり、逆の包含は$s^{-1}$による移動で従う。したがって$H$が正規ならば環は右移動不変である。逆に環が右移動不変ならば、$s$と$s^{-1}$の両方を使うことで表示された二つの環は$L^\infty(G)^H$に等しくなる。定理 5.1の単射性により$sHs^{-1}=H$である。連続関数に対しても同じ移動の等式が成り立ち、コンパクト群では定理 2.1の単射性を適用する。▨

証明.$L^1(\mu_{\mathrm{loc}})$との対による＊弱位相の基本近傍は、有限個の$g_j\in L^1(\mu_{\mathrm{loc}})$に対する積分$\int(f-v)g_j\,d\mu_{\mathrm{loc}}$の絶対値を指定された正数より小さくする条件で与えられる。§E10.35 命題 4.2により、任意の$f\in L^\infty(\mu_{\mathrm{loc}})$の任意の基本近傍は$C_c(X)$の関数の類を含む。したがって所要の稠密性が成り立つ。▨

証明.$g\in C_c(G)$に対して$T_\rho g=T(g/\rho)$と書くと、§E14.6 命題 1.1と§E14.6 定理 3.2により

したがって$\|T_\rho g\|_1\leq\|g\|_1$である。§E10.35 補題 4.1により$C_c(G)$は$L^1(G)$で稠密なので、$T_\rho$は縮小写像として一意に延びる。また、$F\in C_c(X)$に対して$Tf=F$となる$f\in C_c(G)$を取り$g=\rho f$とすれば$T_\rho g=F$となる。したがって値域は$C_c(X)$を含み、同じ稠密性の定理によって$L^1(X,\nu_\rho)$で稠密である。

$\nu_\rho$の完備化の局所化は§E10.35 定理 6.1と§E10.29 命題 2.4 (2)により局所化可能なので、§E10.30 定理 3.1によって$L^\infty(X,\nu_\rho)=L^1(X,\nu_\rho)^*$である。ゆえに$P=T_\rho^*$は縮小写像であり、＊弱連続である§E12.27 命題 7.2 (2)。値域の稠密性と§E12.27 命題 7.2 (3)により$P$は単射である。

$F\in C_b(X)$、$g\in C_c(G)$に対して、部分群上の積分の加群性から

$C_c(G)$の稠密性により、この等式は$g\in L^1(G)$に延びる。したがって$P(F)=F\circ q$であり、特に$P(1)=1$である。

$L^\infty$における固定した元との積は＊弱連続であり、複素共役も＊弱連続である。後者は$\int g\overline f=\overline{\int\overline g f}$による。$F,B\in C_c(X)$について$P(FB)=P(F)P(B)$、$P(\overline F)=\overline{P(F)}$が成り立つ。系 6.1を用い、乗法の等式では$B$を固定して$F$の＊弱極限を取り、次に$F$を固定して$B$の＊弱極限を取る。共役の等式でも同じ稠密性を用いると、$P$は$L^\infty(X,\nu_\rho)$全体で＊準同型となる。また$P(C_c(X))\subseteq L^\infty(G)^H$であり、固定環は＊弱閉であるから、$P$の＊弱連続性と稠密性によって

となる。

$f\in L^\infty(G)^H$を取る。補題 3.1により$u_U*f$は至る所で右$H$不変な有界連続関数である。商写像の普遍性により

と書くことができる。したがって$(F_U)$の同値類は$L^\infty(X,\nu_\rho)$の固定された閉球に属する。§E12.29 系 4.3により、ある部分ネットが$F\in L^\infty(X,\nu_\rho)$に＊弱収束する。この部分ネットに沿って、$P$の＊弱連続性と$P(F_U)=u_U*f\to f$から$P(F)=f$を得る。よって像は固定環全体に等しい。▨

証明.$K$の Haar 測度$dk$を全測度が$1$となるように正規化し、

とおく。コンパクト集合上の積分により$E_Kf$は連続であり、$\|E_Kf\|_\infty\leq\|f\|_\infty$である。$K$上の左不変性により$E_Kf\in C(G)^K$、$P_Kv$は$K$不変であり、不変な関数とベクトルにはそれぞれ恒等的に作用する。また

したがって$E_K$は$\mathcal R(G)$を、主張された行列要素が張る空間へ写す。$r\in\mathcal R(G)\cap C(G)^K$ならば$E_Kr=r$であるから、その空間との等号を得る。

$f\in C(G)^K$と$\varepsilon>0$を取る。§E14.18 定理 3.1 (3)により$\|r-f\|_\infty<\varepsilon$を満たす$r\in\mathcal R(G)$が存在する。$E_Kf=f$なので$\|E_Kr-f\|_\infty<\varepsilon$であり、一様稠密性が従う。▨