§E14.32完全不連結群

証明.§E14.1 命題 5.1により$G_0$は閉正規部分群であり、その剰余類は連結である。§E14.1 系 4.3により、標準写像$q\colon G\to G/G_0$は開全射であり、商は Hausdorff である。

$C\subseteq G/G_0$を空でない連結部分集合とする。$q^{-1}(C)$が相対開集合$A,B$の非交和に分かれ、$A,B$がともに空でないと仮定する。各ファイバーは連結なので、各ファイバーは$A,B$の一方だけに含まれる。したがって$q(A),q(B)$は互いに素である。$A=O\cap q^{-1}(C)$となる$G$の開集合$O$を取ると、$q(A)=q(O)\cap C$であり、$q$の開性から$q(A)$は$C$で開である。$q(B)$も同様に開である。空でない二つの開集合$q(A),q(B)$が$C$を分離することは、$C$の連結性に反する。よって$q^{-1}(C)$は連結である。

$x\in q^{-1}(C)$を取ると、§E14.1 命題 5.1により$q^{-1}(C)\subseteq xG_0$である。したがって$C=\{q(x)\}$であり、$G/G_0$は完全不連結である。▨

証明.§E14.2 命題 1.2により、$O$に含まれる$e$のコンパクト近傍$K$を取る。§E2.45 系 3.3により$G$は零次元であるから、$e\in U\subseteq\tpint{K}$を満たす開かつ閉な集合$U$が存在する。$U$は$K$の閉部分集合なのでコンパクトである。

各$u\in U$に対して、積の連続性から、$e$の開近傍$V_u$と$u$の開近傍$W_u$で$V_uW_u\subseteq U$を満たすものを取る。コンパクト性から$U\subseteq W_{u_1}\cup\cdots\cup W_{u_r}$となる有限個の点を取る。$\bigcap_{j=1}^rV_{u_j}$に含まれる対称な開近傍$V$を取ると、$VU\subseteq U$である。$v\in V$ならば$vU\subseteq U$と$v^{-1}U\subseteq U$がともに成り立つので、$vU=U$である。

とおく。集合$U$の左移動による安定化部分群なので、$H$は部分群である。$V\subseteq H$であるから$H$は開である。開部分群の補集合は開剰余類の和であるから$H$は閉でもある。$e\in U$により$H\subseteq U$であり、$H$はコンパクト集合$U$の閉部分集合である。したがって$H$は求めるコンパクト開部分群である。▨

証明. 標準写像は連続準同型であり、その核は$\bigcap_iN_i=\{e\}$なので単射である。$(c_i)_{i\in I}$を逆極限の元とする。各$c_i$の逆像$F_i\subseteq G$は空でない閉剰余類である。有限個の添字$i_1,\ldots,i_r$の共通上界$j$を取ると、整合条件から$F_j\subseteq\bigcap_{k=1}^rF_{i_k}$である。したがって$(F_i)$は有限交叉性をもち、$G$のコンパクト性により$\bigcap_iF_i\ne\varnothing$である。その元は$(c_i)$の逆像であるから標準写像は全射である。各$G/N_i$は§E14.1 系 4.3により Hausdorff であり、逆極限も Hausdorff である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射は同相写像なので、主張を得る。▨

証明.$G$が完全不連結であるとする。単位元の近傍$O$に対して、定理 1.2によって$H\subseteq O$となるコンパクト開部分群を取る。$H$の左剰余類は$G$の開被覆をなすから、コンパクト性によって$[G:H]$は有限である。共役$gHg^{-1}$は$g$の左剰余類$gH$だけで定まるので、その異なるものは有限個である。したがって

は有限個の開部分群の共通部分であり、$O$に含まれる開正規部分群である。よって$\mathcal N$は近傍基である。各$G/N$は離散かつコンパクトなので有限である。有限個の開正規部分群の共通部分も開正規部分群であり、Hausdorff 性と近傍基の性質から$\bigcap_{N\in\mathcal N}N=\{e\}$である。補題 2.1により表示を得る。

逆に、有限離散群の逆極限は§E7.31 命題 1.2により完全不連結である。同相写像は連結性を保つので、$G$も完全不連結である。▨

証明.§E14.18 定理 3.1 (2)により、各$g\ne e$に対して$\pi_g(g)\ne I$となる有限次元ユニタリ表現を一つ取ることができる。その全体を$\mathcal R$とすれば集合であり、$a\ne b$には$b^{-1}a\ne e$に対する表現が適用されるので点を分離する。

各$K_F$はコンパクト群の連続像であり、ユニタリ群は Hausdorff なので$K_F$は閉部分群である。$N_F=\ker\pi_F$は閉正規部分群であり、$F\subseteq E$ならば$N_E\subseteq N_F$である。点分離性から$\bigcap_FN_F=\{e\}$である。$G/N_F\to K_F$は連続全単射であり、コンパクト性と Hausdorff 性から位相群としての同型である。この同型は遷移写像と可換であるから、補題 2.1によって求める表示を得る。▨

証明. 有限剰余環間の標準写像は環準同型なので、座標ごとの乗法は逆極限上に定まり、環の公理も各座標で成立する。積の各座標は有限離散環上の連続写像であるから、乗法は連続である。§E7.31 命題 1.2により$\Z_p$はコンパクトかつ Hausdorff である。

$x$の第$n$座標の$0$以上$p^n$未満の整数代表を$r_n$とし、$r_0=0$とおく。整合条件から$r_{n+1}-r_n=d_np^n$となる一意的な$d_n\in\{0,\ldots,p-1\}$が存在する。したがって表示した桁展開は存在して一意的である。逆に任意の桁列の有限和は整合する座標を与える。$p$倍は桁列を一桁ずらして最初に零を入れる操作であるから単射であり、最初の$n$桁が零である元の全体は$p^n\Z_p$である。

非零元$x$について、最初の非零桁の位置を$v$とすると、桁を$v$個除くことによって$x=p^vu$、$u\bmod p\ne0$と書かれる。$u$の各有限座標は$p$と互いに素なので逆元をもつ。それらの逆元は還元によって整合するから、$u$は$\Z_p$の単元である。逆に単元の$p$を法とする像は零でないので、$v$と$u$は一意的である。非零元の積は$p^{v+w}$と単元の積であり、$p$倍の単射性から零でない。したがって$\Z_p$は整域である。

射影の核の等式は桁表示から従う。射影の全射性は§E7.31 例 4.2にあるから、商は$\Z/p^n\Z$と同型である。$p^n\Z_p$は射影の核として開であり、両辺は有限離散群なので同型は位相群としての同型でもある。▨

証明.命題 3.1の非零元の表示から、局所化の非零元も一意的に$p^vu$と書かれ、その逆元は$p^{-v}u^{-1}$である。したがって$\Q_p$は体であり、$v_p$は定義される。積と和について

が成り立つ。積の等式は単元の積が単元であることから従い、和の評価は両項から共通の$p$の冪を括ることから従う。零の場合には通常の$+\infty$の規約を用いる。

部分群$p^n\Z_p$は減少列をなすので、その剰余類は加法群の位相の基をなす。和の評価から加法と反転は連続である。これらの部分群の共通部分は零だけなので位相は Hausdorff である。$x,y$を固定し、$h,k\in p^n\Z_p$とすると

の付値は$\min\{v_p(x)+n,v_p(y)+n,2n\}$以上である。$n$を大きくすることで積の連続性を得る。$x\ne0$とし、$v_p(h)>v_p(x)$ならば$v_p(x+h)=v_p(x)$である。実際、$h/x\in p\Z_p$なので$1+h/x$は単元である。したがって

であり、逆元も連続である。

$\Z_p$上で$p^n\Z_p$（$n\geq1$）は有限座標への射影の核なので、部分空間位相と逆極限位相は一致する。したがって$\Z_p$はコンパクト開部分群である。各$p^n\Z_p$も開部分群であるから閉であり、これらの剰余類は異なる二点を分離する。よって加法群は完全不連結であり、コンパクト開近傍をもつので局所コンパクトである。

増大する開集合$p^{-r}\Z_p$（$r\geq0$）は$\Q_p$を覆う。コンパクト集合$C$の有限部分被覆を取れば、$C$はそのうち最大の集合に含まれる。最後に、§E7.31 例 4.2により$\Z$は$\Z_p$で稠密である。$p^{-r}$倍は同相写像であるから$p^{-r}\Z$は$p^{-r}\Z_p$で稠密であり、$\Z[1/p]$は$\Q_p$で稠密である。▨

証明.$\{x\}_p\in\Z[1/p]\cap[0,1)$であり、$x-\{x\}_p\in\Z_p$である。$\Z[1/p]\cap\Z_p=\Z$は付値の表示から従うので、

である。したがって$\psi(x+y)=\psi(x)\psi(y)$である。$\{x\}_p\in[0,1)$より$\psi(x)=1$は$\{x\}_p=0$と同値であり、さらに$x\in\Z_p$と同値である。核$\Z_p$は開なので、$\psi$は各剰余類上で定数であり連続である。

$a\in p^{-n}\Z_p$ならば$a(p^n\Z_p)\subseteq\Z_p$なので左辺の条件を満たす。逆に条件を満たすならば$x=p^n$に対して$ap^n\in\ker\psi=\Z_p$であるから、$a\in p^{-n}\Z_p$である。▨

証明. 体の乗法の連続性と補題 4.2により、各$\Phi(a)$は連続指標であり、$\Phi$は群準同型である。$a\ne0$ならば$x=a^{-1}p^{-1}$に対して$\Phi(a)(x)=e^{2\pi i/p}\ne1$であるから、$\Phi$は単射である。

$\chi\in\widehat{\Q_p}$を取る。連続性により、ある$m\in\Z$について$\chi(p^m\Z_p)\subseteq\{z\in\mathbb T:\Re z>0\}$である。§E14.13 補題 4.1により$\chi$は$p^m\Z_p$上で自明である。$\eta(y)=\chi(p^my)$とおけば、$\eta$は$\Z_p$上で自明な連続指標である。各$n\geq1$について

となる一意的な剰余類$b_n$が存在する。実際、$\eta(p^{-n})^{p^n}=\eta(1)=1$である。等式$\eta(p^{-n-1})^p=\eta(p^{-n})$により$b_{n+1}\equiv b_n\pmod{p^n}$であり、$(b_n)$は$b\in\Z_p$を定める。

$bp^{-n}$の負の次数の桁は$b$の最初の$n$桁から定まるので、$\psi(bp^{-n})=e^{2\pi ib_n/p^n}=\eta(p^{-n})$である。加法性から$\eta(y)=\psi(by)$は$\Z[1/p]$上で成立し、命題 3.4の稠密性と両辺の連続性から$\Q_p$全体で成立する。$y=p^{-m}x$を代入すると$\chi(x)=\psi(bp^{-m}x)$である。したがって$a=bp^{-m}$により$\chi=\Phi(a)$となり、$\Phi$は全射である。

補題 4.2により

である。$p^n\Z_p$はコンパクトであり、§E14.13 補題 4.1により、その零化域はコンパクト開位相の開集合

に等しい。よって$\Phi^{-1}$は零で連続である。

双対群の近傍基§E14.13 命題 1.2により、自明指標の任意の近傍は、あるコンパクト集合$C\subseteq\Q_p$と$\varepsilon>0$による

を含む。有限個の条件がある場合はコンパクト集合の合併と$\varepsilon$の最小値を取ればよい。命題 3.4により$C\subseteq p^{-r}\Z_p$となる$r\geq0$が存在し、$\operatorname{Ann}(p^{-r}\Z_p)$は表示した近傍に含まれる。その逆像は$p^r\Z_p$なので$\Phi$は零で連続である。群準同型の零における連続性はすべての点の連続性を与えるから、$\Phi$は位相群としての同型である。▨