§E14.15反転公式と Plancherel の定理

証明.§E10.26 定理 4.1により、$\alpha$の実部と虚部をそれぞれ正負の部分へ分解する。四つの正測度は$|\alpha|$に支配されるので、§E10.34 補題 3.2によって有限 Radon 測度である。各成分の変換は§E14.14 定理 2.1により連続であり、積分評価から$|\check\alpha(x)|\leq|\alpha|(\widehat G)$である。各成分に§E14.14 補題 1.2を適用し、線形に結合すると積分の等式を得る。▨

証明. 差を取ることにより、$\check\alpha=0$の場合に帰着する。共役測度$\overline\alpha$について

なので、$\Re\alpha=(\alpha+\overline\alpha)/2$と$\Im\alpha=(\alpha-\overline\alpha)/(2i)$の変換も零である。実部を$\alpha_+-\alpha_-$と Jordan 分解すると、$\check\alpha_+=\check\alpha_-$である。両成分は有限正 Radon 測度なので、§E14.14 定理 2.1の単射性から$\alpha_+=\alpha_-$を得る。したがって$\Re\alpha=0$である。虚部にも同じ議論を適用すると$\Im\alpha=0$となり、$\alpha=0$を得る。▨

証明.$Q(w)(x)=\langle\pi(x)w,w\rangle$とおくと、偏極の等式

が成り立つ。§E14.11 定理 2.2により各$Q(w)$は連続な正定値関数であり、逆に連続な正定値関数は係数関数である。したがって二つの線形包は等しい。

§E14.14 定理 2.1により正定値関数は有限正 Radon 測度の変換なので、$B(G)$の元は有限複素 Radon 測度の変換である。逆に有限複素 Radon 測度を四つの有限正 Radon 測度の線形結合に分解し、それぞれに同定理を適用すると、その変換は$B(G)$に属する。表現測度の一意性は補題 1.3による。正定値性と表現測度の正値性の同値は、Bochner の定理とこの一意性から従う。▨

証明. Cauchy–Schwarz の不等式と左不変性により積分は絶対収束し、絶対値は$\|h\|_2\|k\|_2$以下である。§E14.10 定理 3.1により$\lambda$は強連続ユニタリ表現である。共役 Hilbert 空間上の共役表現$\overline\lambda$を用いると

なので、この関数は$B(G)$に属する。$h=k$の場合の正定値性は§E14.11 定理 2.2による。

$h,k\in L^1\cap L^2$とする。§E14.5 命題 4.3により$k^*(y)=\overline{k(y^{-1})}$である。$h,k$を$C_c(G)$の関数で$L^1$と$L^2$の両ノルムに関して近似する。近似は、有限測度部分での有界単関数への切断と、§E10.34 定理 1.2の証明にある指示関数の連続近似から得られる。近似した畳み込みは Cauchy–Schwarz の評価によって上の連続関数へ一様収束し、§E14.7 定理 2.2によって$L^1$の畳み込みへ$L^1$収束する。ほとんど至る所収束する部分列を取ると、両者は同じ同値類を表す。Fourier 変換の等式は§E14.13 命題 3.2による。▨

証明.§E14.7 定理 4.3によって$0\leq w\in C_c(G)$、$\int_Gw\,dx=1$を満たす関数を取る。各$\xi\in K$に対して$u_\xi(x)=\xi(x)w(x)$とおくと、$\hat u_\xi(\xi)=1$である。§E14.13 定理 3.3により$\hat u_\xi$は連続なので、$|\hat u_\xi|>0$となる開集合は$K$を覆う。有限部分被覆に対応する関数を$u_1,\ldots,u_m$とする。命題 1.6によって、和$f$は正定値で$B^1(G)$に属し、表示された Fourier 変換をもつ。空集合$K$には$f=0$を取ってよい。▨

証明.$x\in G$を固定し、$h(y)=g(xy^{-1})$とおく。Haar 測度の反転不変性から$h\in L^1(G)$であり、変数変換$z=xy^{-1}$によって

となる。補題 1.2を$h$と$\mu_f$に適用すると

を得る。右辺は$g$の有界性と$f$の可積分性によって絶対収束する。変数変換$z=xy^{-1}$と可換性により、右辺は$\int_Gf(xz^{-1})g(z)\,dz$に等しい。したがって$\hat g\,\mu_f$と$\hat f\,\mu_g$の Fourier–Stieltjes 変換は一致する。両者は有界連続関数を有限 Radon 測度に掛けた有限複素 Radon 測度なので、補題 1.3により一致する。▨

証明.$\psi\in C_c(\widehat G,\R)$とする。補題 2.1により$\supp\psi$上で$\hat f>0$となる正定値な$f\in B^1(G)$を取り、

とおく。商は$\hat f>0$となる開集合で定め、その外で零とする。この商はコンパクトな台をもつ連続関数である。別の正の核$g$も$\supp\psi$上で$\hat g>0$を満たすならば、補題 2.2により

したがって$I$は核の選択によらない。有限個の試験関数の台の合併に共通の核を取れば、$I$は実線形である。$\mu_f\geq0$なので$I$は正である。§E14.13 系 2.2と§E10.33 定理 2.1により、一意な Radon 測度$\nu$が存在し、$I(\psi)=\int\psi\,d\nu$となる。この等式は複素試験関数へ線形に延びる。

$g\in B^1(G)$とし、$\psi\in C_c(\widehat G)$の台上で$\hat f>0$となる正の核を取る。比較の等式から

を得る。コンパクト集合の近傍では両辺が有限測度であるため、§E10.32 系 4.2を実部と虚部の正負の部分へ適用すると、局所的に$\mu_g=\hat g\nu$である。特に、任意のコンパクト集合$K$について

$\nu$の内正則性により、非負連続関数の積分はコンパクト集合上の積分の上限である。したがって$\hat g\in L^1(\nu)$である。測度$|\hat g|\nu$は有限 Radon 測度であり、再び試験関数による一意性を用いると、全体で$\mu_g=\hat g\nu$を得る。$g=\check\mu_g$に代入すれば反転公式となる。

$\eta\in\widehat G$とし、$T_\eta(\chi)=\eta\chi$とおく。正の核$f=\sum u_j*u_j^*$に対して

である。最初の二式は積分の定義から従い、最後の式は両辺の Fourier–Stieltjes 変換を取って補題 1.3を適用した結果である。$\supp\psi$に対する核$f$を取り、$\psi\circ T_\eta^{-1}$に対して核$\eta f$を用いると

試験関数による一意性から$\nu$は平行移動不変である。零でない$u\in C_c(G)$に対し、§E14.4 命題 1.3によって$q=u*u^*$は$q(e)=\|u\|_2^2>0$を満たす。$\mu_q=\hat q\nu$と$\mu_q(\widehat G)=q(e)$から$\nu\ne0$であり、$\nu$は Haar 測度である。

別の Radon 測度$\nu'$も定理の反転公式と可積分性を満たすとする。補題 1.3により、すべての$f\in B^1(G)$について$\hat f\nu'=\mu_f=\hat f\nu$である。任意の$\psi\in C_c(\widehat G)$に対して、その台上で正となる核の変換$\hat f$で割れば$\int\psi\,d\nu'=\int\psi\,d\nu$となる。§E10.32 系 4.2により$\nu'=\nu$である。

$g\in B^1(G)$が正定値ならば$\mu_g=\hat g\nu$は正測度である。$\hat g$は連続であり、Haar 測度は空でない開集合上で正である。したがって$\hat g$の虚部が零でない点や実部が負となる点は存在せず、$\hat g\geq0$である。▨

証明.$f\in L^1(G)\cap L^2(G)$とする。命題 1.6により$q=f*f^*$は正定値な$B^1(G)$の元であり、$\hat q=|\hat f|^2$、$q(e)=\|f\|_2^2$である。定理 2.3を$q$と$e$に適用すると

を得る。$C_c(G)\subseteq L^1(G)\cap L^2(G)$は§E10.35 補題 4.1によって$L^2(G)$で稠密なので、§E10.4 系 2.2により一意な線形等長拡張$\mathcal F$を得る。その像は完備であり、したがって閉じている。

$\psi\in L^2(\widehat G,\nu)$が$\mathcal F$の像に直交するとする。任意の$u\in C_c(G)$と$x\in G$に対して、§E14.13 命題 3.2から

である。等長性と Cauchy–Schwarz の不等式から、$\hat u\overline\psi\in L^1(\nu)$である。$\nu$は Radon 測度なので、$\hat u\overline\psi\,d\nu$は有限複素 Radon 測度である。上の等式で$x$を$x^{-1}$に替えると、この測度の Fourier–Stieltjes 変換は零である。補題 1.3により、$\hat u\overline\psi=0$がほとんど至る所成り立つ。

任意のコンパクト集合$K\subseteq\widehat G$に対して、補題 2.1の$u_1,\ldots,u_m$を取る。各等式$\hat u_j\overline\psi=0$の零測度の例外集合の有限和を除けば、$\sum_j|\hat u_j|^2>0$なので$\psi=0$が$K$上で成り立つ。さらに§E10.35 補題 4.1の有限指数の同一視と§E10.34 定理 1.2によって、$\psi$を$C_c(\widehat G)$の列$\psi_n$で$L^2$近似する。各$\supp\psi_n$上で$\psi=0$なので$\langle\psi,\psi_n\rangle=0$であり、極限を取ると$\|\psi\|_2^2=0$となる。したがって像の直交補空間は$\{0\}$である。§E10.3 命題 2.3と像の閉性から、$\mathcal F$は全射である。線形等長性から偏極により内積も保存するので、$\mathcal F$はユニタリ同型である。▨

証明.$u\in C_c(G)$とする。§E14.7 定理 2.2により$f*u\in L^1(G)\cap L^2(G)$であり、§E14.13 命題 3.2によって$\widehat{f*u}=\hat f\hat u=0$である。定理 4.1の等長性から$f*u=0$である。§E14.7 定理 4.3の近似単位$u_U$を用いると、$f*u_U=0$と$\|f*u_U-f\|_1\to0$から$f=0$を得る。▨