平行移動の連続性と畳み込み | 位相群論 I

定義 1.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。 $\mu_{\mathrm{loc}}$ を $\mu$ の完備化の局所化とし、 $1\leq p\leq\infty$ に対して、複素関数の空間 $L^p(\mu_{\mathrm{loc}})$ を $L^p(G)$ と書く。積分の $dx$ は $\mu_{\mathrm{loc}}$ による積分を表す。 $a\in G$ に対して、左移動と右移動を

L_af(x)=f(a^{-1}x),\qquad R_af(x)=f(xa)

と定める。§E14.5 定理 3.1により、移動は局所可測性と零集合を保つので、これらの操作は関数の同値類上に定まる。

定理 1.2. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $\Delta$ を $\mu(Ea)=\Delta(a)\mu(E)$ で定まるモジュラー関数とし、 $1\leq p<\infty$ とする。このとき、任意の $f\in L^p(G)$ と $a\in G$ に対して

\|L_af\|_p=\|f\|_p,\qquad \|R_af\|_p=\Delta(a)^{-1/p}\|f\|_p

である。また、写像 $a\mapsto L_af$ と $a\mapsto R_af$ は $G$ から $L^p(G)$ へのノルム連続写像である。

証明.§E14.5 定理 3.1を $|f|^p$ へ適用すると、二つのノルムの等式を得る。

$v\in C_c(G)$ とし、 $K=\supp v$ とおく。単位元のコンパクトな近傍 $V$ を取り、 $a\in V$ とすると、 $L_av-v$ と $R_av-v$ の台は、それぞれコンパクト集合 $VK\cup K$ と $KV^{-1}\cup K$ に含まれる。§E14.3 命題 3.1により、両者の一様ノルムは $a\to e$ のとき零へ収束する。これらのコンパクト集合は有限測度なので、両者の $L^p$ ノルムも零へ収束する。

$f\in L^p(G)$ に対し、§E10.35 補題 4.1によって $v\in C_c(G)$ を $L^p$ ノルムで近似として取る。不等式

\begin{aligned} \|L_af-f\|_p &\leq2\|f-v\|_p+\|L_av-v\|_p,\\ \|R_af-f\|_p &\leq\bigl(\Delta(a)^{-1/p}+1\bigr)\|f-v\|_p+\|R_av-v\|_p \end{aligned}

と $\Delta(e)=1$ における連続性から、両移動は単位元で強連続である。 $L_{ab}=L_aL_b$ 、 $R_{ab}=R_aR_b$ と各移動の有界性を用いると、任意の点での連続性を得る。▨

例 1.3. 加法群 $\R$ の Lebesgue 測度について、 $F=\mathbf1_{[0,\infty)}$ とおく。このとき、任意の $a>0$ に対して $L_aF-F=-1$ が区間 $[0,a)$ 上で成り立つので、 $\|L_aF-F\|_\infty=1$ である。したがって、 $L^\infty(\R)$ 上の左移動は強連続ではない。

定義 2.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。 $f,g\in C_c(G)$ に対して、畳み込み (convolution) $f*g$ を

(f*g)(x)=\int_G f(y)g(y^{-1}x)\,dy

で定める。

定理 2.2 (Young の不等式). $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。このとき、次が成り立つ。

$f,g\in C_c(G)$ ならば $f*g\in C_c(G)$ であり、 $\supp(f*g)\subseteq(\supp f)(\supp g)$ である。
任意の $1\leq p<\infty$ に対して、畳み込みは一意に連続双線形写像 $L^1(G)\times L^p(G)\longrightarrow L^p(G)$ へ延長し、この延長は任意の $f\in L^1(G)$ 、 $g\in L^p(G)$ に対して Young の不等式 $\|f*g\|_p\leq\|f\|_1\|g\|_p$ を満たす。
任意の $1\leq p<\infty$ 、 $f\in L^1(G)$ 、 $g\in L^p(G)$ に対して、畳み込み $f*g$ は $L^p(G)$ 値の Bochner 積分によって $f*g=\int_G f(y)L_yg\,dy$ と表示される。

証明. $f,g\in C_c(G)$ とし、 $K=\supp f$ 、 $M=K(\supp g)$ とおく。関数

(y,x)\longmapsto f(y)g(y^{-1}x)

は $G\times G$ 上で連続であり、台はコンパクト集合 $K\times M$ に含まれる。§E10.36 補題 1.1を実部と虚部へ適用すると、 $f*g$ は連続で台が $M$ に含まれる。

台が $M$ に含まれる連続関数全体を一様ノルムの Banach 空間とみなす。写像 $y\mapsto f(y)L_yg$ はこの空間へ連続であり、 $K$ の外で零である。連続性は§E14.3 命題 3.1と移動の合成則から従う。その像はコンパクトな距離空間であるため可分であり、有限個の小球による近似から可測単関数列を作ることができる。したがって、この写像は強可測である。ノルムは $|f(y)|\|g\|_\infty$ 以下なので、§E10.18 定理 2.4により Bochner 可積分である。各点での評価汎関数と積分を§E10.18 命題 5.2により交換すると、その積分は $f*g$ である。

台が $M$ に含まれる連続関数の Banach 空間から $L^p(G)$ への包含は、ノルムが $\mu(M)^{1/p}$ 以下の有界線形写像である。同じ交換則と定理 1.2により、

\|f*g\|_p \leq\int_G|f(y)|\,\|L_yg\|_p\,dy =\|f\|_1\|g\|_p

を得る。ここでは Bochner 積分のノルム評価§E10.18 命題 4.3を用いた。§E10.35 補題 4.1によって、 $f\in L^1(G)$ 、 $g\in L^p(G)$ をそれぞれ $C_c(G)$ の列 $f_n,g_n$ で近似する。得られた評価から

\|f_n*g_n-f_m*g_m\|_p \leq\|f_n-f_m\|_1\|g_n\|_p +\|f_m\|_1\|g_n-g_m\|_p

であるため、 $f_n*g_n$ は Cauchy 列である。 $L^p(G)$ における極限を $f*g$ と定めると、同じ評価によって近似列の選び方に依存しない。双線形性と Young の評価は極限へ移り、稠密性から延長は一意である。

一般の $f\in L^1(G)$ 、 $g\in L^p(G)$ について、 $C_c(G)$ の列 $f_n$ を $\|f_n-f\|_1\to0$ となるように取る。部分列を選べば、 $f_n\to f$ がほとんど至る所成り立つ。各写像 $y\mapsto f_n(y)L_yg$ は連続でコンパクトな台をもち、そのコンパクト像の可分性から強可測である。したがって、極限 $y\mapsto f(y)L_yg$ も強可測である。さらに、そのノルムは $|f(y)|\|g\|_p$ に等しいので Bochner 可積分である。この積分は $f,g$ に関して Young の評価を満たす双線形写像であり、 $C_c(G)\times C_c(G)$ 上で既に定めた積と一致する。延長の一意性から、一般の $f,g$ についても積分表示が成り立つ。▨

定理 2.3. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $\Delta$ をモジュラー関数とし、 $f\in L^1(G)$ に対して

f^*(x)=\Delta(x)^{-1}\overline{f(x^{-1})}

とおく。このとき、次が成り立つ。

畳み込みを積とする $L^1(G)$ は結合的な Banach 環である。
対応 $f\mapsto f^*$ は $L^1(G)$ の等長な対合を定め、任意の $f,g\in L^1(G)$ に対して $(f^*)^*=f,\qquad (f*g)^*=g^* * f^*,\qquad \|f^*\|_1=\|f\|_1$ が成り立つ。
$1\leq p<\infty$ 、 $f,g\in L^1(G)$ 、 $h\in L^p(G)$ に対しても $(f*g)*h=f*(g*h)$ が成り立つ。

証明. $f,g,h\in C_c(G)$ とし、 $x\in G$ を固定する。反復積分を交換する際の核は、いずれもコンパクトな台をもつ連続関数である。したがって、§E10.36 補題 1.1と左不変性による変数変換 $y=zt$ を用いると、

\begin{aligned} ((f*g)*h)(x) &=\int_G\int_G f(z)g(z^{-1}y)h(y^{-1}x)\,dz\,dy\\ &=\int_G\int_G f(z)g(t)h(t^{-1}z^{-1}x)\,dt\,dz\\ &=(f*(g*h))(x) \end{aligned}

を得る。定理 2.2により、両辺は $L^1\times L^1\times L^p$ 上でノルムが各因子のノルムの積以下の三重線形写像である。各因子の $C_c(G)$ 稠密性から、一般の $f,g,h$ に対して結合律が成り立つ。 $p=1$ とすれば $L^1(G)$ の結合律である。積のノルム評価と $L^1$ の完備性から、Banach 環を得る。

§E14.5 定理 3.1により、反転と正の連続関数 $\Delta^{-1}$ による乗法によって、対合の式は同値類上の写像を定める。反転積分公式から

\|f^*\|_1 =\int_G\Delta(x)^{-1}|f(x^{-1})|\,dx =\int_G|f(y)|\,dy

である。 $\Delta(x^{-1})=\Delta(x)^{-1}$ から $(f^*)^*=f$ が従う。共役線形性も定義の式から従う。

$f,g\in C_c(G)$ に対して、 $\Delta(y)\Delta(y^{-1}x)=\Delta(x)$ と変数変換 $y=xz$ により

\begin{aligned} (g^* * f^*)(x) &=\Delta(x)^{-1} \int_G\overline{g(y^{-1})}\,\overline{f(x^{-1}y)}\,dy\\ &=\Delta(x)^{-1} \int_G\overline{f(z)}\,\overline{g(z^{-1}x^{-1})}\,dz\\ &=(f*g)^*(x) \end{aligned}

となる。対合の等長性、積の連続性および $C_c(G)$ の稠密性から、この等式はすべての $f,g\in L^1(G)$ に成立する。▨

例 2.4. 実数加法群に Lebesgue 測度を入れ、 $u=\mathbf1_{[0,1]}$ とする。このとき、

(u*u)(x)= \begin{cases} x,&0\leq x\leq1,\\ 2-x,&1\leq x\leq2,\\ 0,&x\notin[0,2] \end{cases}

である。実際、被積分関数 $u(y)u(x-y)$ は $[0,1]\cap[x-1,x]$ の指示関数なので、その積分は共通部分の長さに等しい。表示された関数は連続で台が $[0,2]$ であり、

\int_\R(u*u)(x)\,dx =\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=1 =\left(\int_\R u(x)\,dx\right)^2

となる。もとの $u$ は不連続であるが、自己畳み込みは連続である。

命題 3.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とし、 $f,g\in L^2(G)$ に対して

C_{f,g}(x)=\int_Gf(y)\overline{g(x^{-1}y)}\,dy \qquad(x\in G)

とおく。このとき、次が成り立つ。

各 $x\in G$ で、 $C_{f,g}(x)$ を定める積分は絶対収束する。
$C_{f,g}$ は $f,g$ の代表元に依存しない $C_0(G)$ の関数である。
$\|C_{f,g}\|_\infty\leq\|f\|_2\|g\|_2$ が成り立つ。

証明. 左移動は $L^2(G)$ 上の等長写像なので、Cauchy–Schwarz の不等式から、主張 (1)と主張 (3)を得る。左移動は零集合を保つため、積分は代表元に依存しない。また

|C_{f,g}(x)-C_{f,g}(a)|\leq\|f\|_2\|L_xg-L_ag\|_2

であるから、定理 1.2により連続性が従う。

$f,g\in C_c(G)$ ならば $C_{f,g}$ の台はコンパクト集合 $(\supp f)(\supp g)^{-1}$ に含まれる。一般の $f,g$ に対し、§E10.35 補題 4.1により $f_n,g_n\in C_c(G)$ をそれぞれ $L^2$ ノルムで $f,g$ に収束するように取る。先の評価から

\|C_{f,g}-C_{f_n,g_n}\|_\infty \leq\|f-f_n\|_2\|g\|_2+\|f_n\|_2\|g-g_n\|_2\longrightarrow0.

任意の正の誤差に対して一様に近い $C_{f_n,g_n}$ を選ぶと、そのコンパクトな台の外で $C_{f,g}$ は誤差以下である。したがって $C_{f,g}\in C_0(G)$ である。▨

定理 3.2. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $\Delta$ をモジュラー関数とし、 $f\in L^2(\mu_{\mathrm{loc}})$ 、 $g\in L^2(\Delta^{-1}\mu_{\mathrm{loc}})$ に対して

(f*g)(x)=\int_Gf(y)g(y^{-1}x)\,d\mu_{\mathrm{loc}}(y) \qquad(x\in G)

とおく。このとき、次が成り立つ。

すべての $x\in G$ で、 $(f*g)(x)$ を定める積分は絶対収束する。
$f*g$ は $f,g$ の代表元に依存しない $C_0(G)$ の関数である。
次の不等式が成り立つ。 $\|f*g\|_\infty \leq\|f\|_{L^2(\mu_{\mathrm{loc}})} \|g\|_{L^2(\Delta^{-1}\mu_{\mathrm{loc}})}$

証明. 正の密度 $\Delta^{-1}$ を掛けても零集合は変わらない。§E14.5 定理 3.1による反転の公式から、 $h(z)=\overline{g(z^{-1})}$ は $L^2(G)$ の同値類を定め、

\|h\|_2^2=\int_G|g(z)|^2\Delta(z)^{-1}\,dz

である。 $\overline{h(x^{-1}y)}=g(y^{-1}x)$ なので、命題 3.1を $f,h$ に適用すれば、 $f*g=C_{f,h}$ とすべての結論を得る。▨

系 3.3. $G$ が Hausdorff なユニモジュラー局所コンパクト群ならば、任意の $f,g\in L^2(G)$ に対して $f*g\in C_0(G)$ であり、 $\|f*g\|_\infty\leq\|f\|_2\|g\|_2$ である。

証明. $\Delta=1$ なので定理 3.2を適用すればよい。▨

例 3.4. 向きを保つアフィン変換群

G=\{(a,b):a>0,\ b\in\R\},\qquad (a,b)(c,d)=(ac,ad+b)

の左 Haar 測度 $d\mu(a,b)=a^{-2}\,da\,db$ を取る。このとき、関数

f(a,b)=a^{1/4}\mathbf1_{\{0<a<1,\ 0<b<a\}},\qquad g(a,b)=a^{1/4}\mathbf1_{\{a>1,\ -1<b<0\}}

はともに $L^2(G)$ に属するが、非負の積分で定めた $f*g$ は単位元の任意の近傍で本質的に非有界である。したがって、その同値類には局所有界な代表元も $C_0(G)$ の代表元も存在しない。

実際、Haar 測度と $\Delta(a,b)=a^{-1}$ は§E14.5 例 5.2による。直接積分すると

\|f\|_2^2=\int_0^1a^{-1/2}\,da=2,\qquad \|g\|_2^2=\int_1^\infty a^{-3/2}\,da=2

である。 $x=(c,d)$ 、 $y=(a,b)$ に対して $y^{-1}x=(c/a,(d-b)/a)$ であるから、Tonelli の定理§E10.19 定理 2.3により

(f*g)(c,d)=c^{1/4}\int_0^{\min(1,c)} \frac{\operatorname{length}((0,a)\cap(d,d+a))}{a^2}\,da.

$0<|d|<1/4$ 、 $3/4<c<5/4$ ならば、 $2|d|<a<1/2$ における交わりの長さは $a-|d|\geq a/2$ なので

(f*g)(c,d)\geq\frac{(3/4)^{1/4}}2 \log\frac1{4|d|}.

単位元 $(1,0)$ の任意の近傍は、ある $0<\delta<1/4$ について $(1-\delta,1+\delta)\times(-\delta,\delta)$ を含む。任意の $M>0$ に対して、 $0<\eta<\delta$ を十分小さく取ると、 $1-\delta<c<1+\delta$ 、 $0<|d|<\eta$ の全点で上の下界が $M$ を超える。この領域は正の Haar 測度をもつので、本質的非有界性が従う。 $d\ne0$ ならば $a\leq|d|$ で交わりが空となるので積分は有限であり、 $d=0$ では発散する。直線 $d=0$ は Haar 零集合であるから、その上の値を変更すれば有限値の代表元を得るが、本質的非有界性は変わらない。

命題 4.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $\Delta$ をモジュラー関数とし、 $1\leq p<\infty$ 、 $u\in C_c(G)$ とする。このとき、写像 $f\mapsto f*u$ は $C_c(G)$ から $L^p(G)$ へ一意に連続延長し、

f*u=\int_Gu(z)\Delta(z)^{-1}R_{z^{-1}}f\,dz,\qquad \|f*u\|_p \leq\|f\|_p\int_G|u(z)|\Delta(z)^{-1+1/p}\,dz

を満たす。右辺のベクトル値積分は Bochner 積分である。 $f\in L^1(G)\cap L^p(G)$ ならば、この積は $L^1(G)$ の畳み込みと同じ関数の同値類を表す。

証明. $f\in C_c(G)$ に対して、反転積分公式と左不変性による $y=xz^{-1}$ の変数変換から

\int_Gf(y)u(y^{-1}x)\,dy =\int_Gu(z)\Delta(z)^{-1}f(xz^{-1})\,dz

を得る。定理 2.2の証明と同じく、共通のコンパクトな台をもつ連続関数の Banach 空間で積分し、評価汎関数および $L^p(G)$ への包含と積分を交換すれば、表示された Bochner 積分と一致する。

一般の $f\in L^p(G)$ に対しても、定理 1.2により $z\mapsto u(z)\Delta(z)^{-1}R_{z^{-1}}f$ は連続でコンパクトな台をもつ。コンパクト像は可分な距離空間なので、この写像は強可測である。さらに、

\|u(z)\Delta(z)^{-1}R_{z^{-1}}f\|_p =|u(z)|\Delta(z)^{-1+1/p}\|f\|_p

であり、右辺は可積分である。§E10.18 定理 2.4と§E10.18 命題 4.3から、積分の存在とノルム評価を得る。稠密性によって延長は一意である。

$f\in L^1(G)\cap L^p(G)$ に対して、§E10.35 補題 4.1によって完備可測代表元を取る。有限測度部分での有界な単関数への切断を両ノルムで行い、各有限測度の完備可測集合を、零集合を除いて一致する Borel 集合で置き換える。§E10.34 補題 1.1により、各指示関数 $\mathbf1_E$ を $0\leq v\leq1$ の連続関数で $L^1$ 近似する。 $|v-\mathbf1_E|^p\leq|v-\mathbf1_E|$ から $L^p$ 近似も従うので、 $\|\,\cdot\,\|_1+\|\,\cdot\,\|_p$ に関して $f$ を $C_c(G)$ の列で近似することができる。近似列との畳み込みは $L^1$ と $L^p$ のそれぞれで収束する。両ノルムの収束からほとんど至る所収束する共通部分列を取ると、二つの極限は同じ同値類である。▨

系 4.2. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群とし、左 Haar 測度を固定する。このとき、 $f\in L^2(G)$ 、 $u\in C_c(G)$ に対し、命題 4.1による $L^2(G)$ の元 $f*u$ は一意な連続代表元をもち、その代表元は

x\longmapsto\int_Gf(y)u(y^{-1}x)\,dy

で与えられて $C_0(G)$ に属する。

証明. $\Delta^{-1}$ は $\supp u$ 上で有界なので $u\in L^2(\Delta^{-1}\mu_{\mathrm{loc}})$ である。定理 3.2により、表示された積分は $C_0(G)$ の関数 $F$ を定める。 $f_n\in C_c(G)$ を $L^2$ ノルムで $f$ に収束するように取ると、同定理により $f_n*u\to F$ は一様収束である。一方、命題 4.1により $f_n*u\to f*u$ は $L^2$ 収束である。後者からほとんど至る所収束する部分列を取れば、 $F$ は $f*u$ の代表元である。

二つの連続代表元の差がある点で零でなければ、ある非空開集合で差の絶対値が正の定数より大きい。§E14.4 命題 1.3によりその開集合は正の測度をもつので、ほとんど至る所での一致に反する。ゆえに連続代表元は一意である。▨

定理 4.3. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。単位元 $e$ の開近傍全体を逆包含で有向集合とする。このとき、各開近傍 $U$ に対して

u_U\in C_c(G),\qquad u_U\geq0,\qquad \supp u_U\subseteq U,\qquad \int_Gu_U(x)\,dx=1

を満たす関数を選ぶことができる。任意のそのような選択、任意の $1\leq p<\infty$ および $f\in L^p(G)$ に対して

\lim_U\|u_U*f-f\|_p=0,\qquad \lim_U\|f*u_U-f\|_p=0

が成り立つ。特に、 $(u_U)$ は $L^1(G)$ のノルムが $1$ の左右近似単位である。

証明.§E2.24 命題 2.4を $\{e\}\subseteq U$ に適用して、 $v(e)=1$ 、 $0\leq v\leq1$ 、 $\supp v\subseteq U$ を満たす $v\in C_c(G)$ を取る。 $v$ はある空でない開集合上で $1/2$ より大きく、§E14.4 命題 1.3により $\int_Gv>0$ である。 $u_U=v/\int_Gv$ とすれば所要の関数を得る。

定理 2.2の積分表示と $\int_Gu_U=1$ から、

\|u_U*f-f\|_p \leq\int_Gu_U(y)\|L_yf-f\|_p\,dy \leq\sup_{y\in U}\|L_yf-f\|_p

である。定理 1.2により、右辺は $U$ が単位元へ縮小するとき零へ収束する。

命題 4.1によって

\|f*u_U-f\|_p \leq\sup_{z\in U} \|\Delta(z)^{-1}R_{z^{-1}}f-f\|_p

である。ここで

\|\Delta(z)^{-1}R_{z^{-1}}f-f\|_p \leq\Delta(z)^{-1}\|R_{z^{-1}}f-f\|_p +|\Delta(z)^{-1}-1|\,\|f\|_p

であり、右辺は $\Delta$ の連続性と右移動の強連続性により $z\to e$ のとき零へ収束する。したがって右近似も成立する。非負性と積分の正規化から $\|u_U\|_1=1$ である。▨

命題 5.1. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とする。このとき、局所化された測度に関する $L^\infty(G)$ は、

\ell_F(h)=\int_G h(x)F(x)\,dx \qquad(h\in L^1(G))

によって $L^1(G)^*$ と線形かつ等長に同一視される。以下、 $L^\infty(G)$ の＊弱位相は、この同一視による位相とする。

証明.§E10.35 定理 6.1と§E10.29 命題 2.4 (2)により、 $\mu_{\mathrm{loc}}$ は局所化可能である。したがって、§E10.30 定理 3.1の積分双対写像 $T_\infty$ は全単射かつ等長である。そこで $F\mapsto\overline F$ と合成すると、 $\ell_F=T_\infty(\overline F)$ であるから、表示された線形な等長同一視を得る。▨

定理 5.2. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度、 $\Delta$ をモジュラー関数とする。 $\varphi\in L^1(G)$ 、 $F\in L^\infty(G)$ に対し、各 $x\in G$ で

k_x^\varphi(z)=\Delta(z)^{-1}\varphi(xz^{-1}),\qquad (\varphi*F)(x)=\ell_F(k_x^\varphi)

と定める。このとき、次が成り立つ。

各 $x\in G$ に対して、 $k_x^\varphi$ は $L^1(G)$ の同値類として定まる。
$\varphi*F$ は有界連続関数である。
$\|\varphi*F\|_\infty\leq\|\varphi\|_1\|F\|_\infty$ が成り立つ。
任意の $a\in G$ に対して $\|L_a(\varphi*F)-\varphi*F\|_\infty \leq\|L_a\varphi-\varphi\|_1\|F\|_\infty$ が成り立つ。とくに、左辺は $a\to e$ のとき零へ収束する。
$\varphi,F\in C_c(G)$ の場合、この定義は既に定めた畳み込みと一致する。

証明.§E14.5 定理 3.1により、式

(Jv)(z)=\Delta(z)^{-1}v(z^{-1})

は $L^1(G)$ 上の線形等長写像を定める。実際、反転積分公式によって $\|Jv\|_1=\|v\|_1$ である。 $k_x^\varphi=J L_{x^{-1}}\varphi$ と書くことができるので、この同値類は代表元に依存せず、 $\|k_x^\varphi\|_1=\|\varphi\|_1$ である。定理 1.2により $x\mapsto k_x^\varphi$ はノルム連続である。 $\ell_F$ は有界線形汎関数なので、 $\varphi*F$ は連続であり、主張 (3)が従う。

任意の $a,x\in G$ に対して $k_{a^{-1}x}^\varphi=k_x^{L_a\varphi}$ であるから、

|(\varphi*F)(a^{-1}x)-(\varphi*F)(x)| \leq\|L_a\varphi-\varphi\|_1\|F\|_\infty.

$x$ について上限を取ると主張 (4)の不等式を得る。左移動の強連続性から極限の主張も従う。

$\varphi,F\in C_c(G)$ の場合、 $z=y^{-1}x$ への反転と左移動による変数変換は

\int_G\Delta(z)^{-1}\varphi(xz^{-1})F(z)\,dz =\int_G\varphi(y)F(y^{-1}x)\,dy

を与えるので、二つの定義は一致する。有界連続関数の同値類に対しては、§E14.4 命題 1.3により一様ノルムと本質的上限ノルムが一致する。同じ理由で、その連続代表は一意である。▨

補題 5.3. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とし、 $\varphi,h\in L^1(G)$ に対して

K_\varphi h=\int_G\varphi(y)L_{y^{-1}}h\,dy

とおく。このとき、次が成り立つ。

$K_\varphi h$ は $L^1(G)$ 値の Bochner 積分として存在する。
$\|K_\varphi h\|_1\leq\|\varphi\|_1\|h\|_1$ が成り立つ。
任意の $F\in L^\infty(G)$ に対して、次の等式が成り立つ。 $\int_Gh(x)(\varphi*F)(x)\,dx=\ell_F(K_\varphi h)$

証明.定理 1.2により $y\mapsto L_{y^{-1}}h$ は連続であり、そのノルムは $\|h\|_1$ に等しい。 $\varphi$ を $C_c(G)$ の列で $L^1$ 近似し、ほとんど至る所で収束する部分列を取る。近似した各被積分関数は連続でコンパクトな台をもち、コンパクト像の可分性から強可測である。その極限 $y\mapsto\varphi(y)L_{y^{-1}}h$ も強可測であり、ノルムの積分は $\|\varphi\|_1\|h\|_1$ である。主張 (1)と主張 (2)が従う。

$\varphi,h\in C_c(G)$ とする。 $L^1(G)$ 値の連続写像 $x\mapsto h(x)k_x^\varphi$ はコンパクトな台をもち、同じ理由で Bochner 可積分である。 $z$ を変数とする連続核

h(x)\Delta(z)^{-1}\varphi(xz^{-1})

の台は、コンパクト集合

(\supp h)\times(\supp\varphi)^{-1}(\supp h)

に含まれる。共通のコンパクト台をもつ連続関数の空間で積分し、評価汎関数と積分を交換すれば、 $\int_Gh(x)k_x^\varphi\,dx$ の連続代表は

z\longmapsto \int_Gh(x)\Delta(z)^{-1}\varphi(xz^{-1})\,dx =\int_G\varphi(y)h(yz)\,dy

である。等号では $x=yz$ と置いた。右移動により $dx=\Delta(z)\,dy$ となるので、核の $\Delta(z)^{-1}$ が相殺される。右辺の連続代表は、同じ評価汎関数との交換によって $K_\varphi h$ を表す。

(\varphi,h)\longmapsto\int_Gh(x)k_x^\varphi\,dx,\qquad (\varphi,h)\longmapsto K_\varphi h

は、ともに $L^1(G)\times L^1(G)$ 上でノルム評価 $\|\varphi\|_1\|h\|_1$ を満たす双線形写像である。 $C_c(G)$ の稠密性から、両写像は一般の $\varphi,h$ についても一致する。最後に、§E10.18 命題 5.2によって

\int_Gh(x)\ell_F(k_x^\varphi)\,dx =\ell_F\!\left(\int_Gh(x)k_x^\varphi\,dx\right) =\ell_F(K_\varphi h)

を得る。▨

定理 5.4. $G$ を Hausdorff な局所コンパクト群、 $\mu$ を左 Haar 測度とし、 $(u_U)$ を定理 4.3の非負で積分が $1$ の近似単位とする。このとき、任意の $F\in L^\infty(G)$ に対して、次が成り立つ。

$u_U*F$ は有界連続関数である。
$\|u_U*F\|_\infty\leq\|F\|_\infty$ が成り立つ。
$u_U*F$ は $\sigma(L^\infty(G),L^1(G))$ 位相について $F$ に収束する。

証明.主張 (1)と主張 (2)は定理 5.2による。 $h\in L^1(G)$ を取ると、 $\int_Gu_U=1$ と補題 5.3により

\|K_{u_U}h-h\|_1 \leq\int_Gu_U(y)\|L_{y^{-1}}h-h\|_1\,dy \leq\sup_{y\in U}\|L_{y^{-1}}h-h\|_1 \longrightarrow0

である。最後の収束は定理 1.2と反転の連続性による。したがって、

\left|\int_Gh(x)\bigl((u_U*F)(x)-F(x)\bigr)\,dx\right| =|\ell_F(K_{u_U}h-h)| \leq\|F\|_\infty\|K_{u_U}h-h\|_1 \longrightarrow0

となり、＊弱収束を得る。▨

§E14.7平行移動の連続性と畳み込み

1 有限指数の関数空間と平行移動

2 畳み込みと群環

3 二乗可積分関数の畳み込み

4 左右の近似単位

5 本質的有界関数の畳み込み

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