§E14.8ユニタリ表現

証明.$U,V\in \Uni(H)$と$v,w\in H$に対し、Cauchy–Schwarz の不等式から

である。したがって弱作用素位相は強作用素位相より粗い。一方、$V\in \Uni(H)$と$v\in H$を固定すると、

である。右辺は$U$の弱作用素位相に関して連続であり、$U=V$で零である。有限個の$v$にこの等式を適用すると、$V$の各強作用素近傍は弱作用素近傍を含む。よって両位相は一致する。

$U,V,U_0,V_0\in \Uni(H)$と$v\in H$に対して

であるから、積は強作用素位相について連続である。また

であるから、逆元も連続である。異なる作用素$U,V$に対して$Uv\ne Vv$を満たす$v\in H$が存在し、$H$は Hausdorff 空間であるから、強作用素位相は Hausdorff である。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)を示す。$v,w\in H$を固定すると、

であるから、強連続性から係数の連続性が従う。

(b)$\Rightarrow$(c)は、$w=v$として連続性を$e$で用いれば従う。

(c)$\Rightarrow$(a)を示す。$v\in H$に対して

であるから、$x\to e$ならば$\pi(x)v\to v$である。任意の$a\in G$に対して

であり、$x\to a$ならば$a^{-1}x\to e$である。したがって各軌道写像は$G$上で連続である。▨

証明.§E12.7 命題 1.6 (1)により、$H$は内積$\langle v,w\rangle=\sum_\alpha\langle v_\alpha,w_\alpha\rangle$をもつ Hilbert 空間であり、有限個の成分のみが非零である元の全体は稠密である。各$\pi_\alpha(x)$はノルムを保つから、$\pi(x)v\in H$かつ$\|\pi(x)v\|=\|v\|$である。$\pi(x)$は線形であり、成分ごとの計算から$\pi(xy)=\pi(x)\pi(y)$と$\pi(e)=I_H$が従う。特に$\pi(x^{-1})$は$\pi(x)$の逆であるから、各$\pi(x)$は全射の線形等長作用素、したがってユニタリ作用素である。

$v\in H$と$\varepsilon>0$を取る。有限集合$F\subseteq A$への切り詰め$v_F$で$\|v-v_F\|<\varepsilon/4$となるものを取る。各成分の強連続性と$F$の有限性により、$x\to e$のとき

である。さらに

であるから、$\pi(x)v\to v$である。定理 2.2により$\pi$は強連続である。▨

証明.§E12.9 定理 3.1により、純テンソル上で指定された値をもつ有界作用素が一意に存在する。§E12.9 定理 3.1 (4)により、この作用素は等長であり、二つの作用素がユニタリならばユニタリである。合成と恒等作用素の等式は§E12.9 定理 3.1 (2)による。▨

証明.命題 3.2により、各$(\pi\otimes\rho)(x)$はユニタリであり、合成と恒等作用素の等式から$\pi\otimes\rho$は群準同型である。$v\in H$、$w\in K$に対し、§E12.9 命題 2.3 (1)と三角不等式により

である。したがって、各純テンソルの軌道写像は$e$で連続である。有限個の連続な写像の和は連続であるから、純テンソルの有限和の軌道写像も$e$で連続である。

$\xi\in H\otimes K$と$\varepsilon>0$を取る。§E12.9 命題 2.3 (3)により、純テンソルの有限和$\eta$で$\|\xi-\eta\|<\varepsilon/4$を満たすものが存在する。$T(x)=(\pi\otimes\rho)(x)$とおくと、

であるから、$x\to e$ならば$T(x)\xi\to\xi$である。定理 2.2により$\pi\otimes\rho$は強連続である。▨

証明.$\pi(x^{-1})M\subseteq M$に$\pi(x)$を作用させると$M\subseteq\pi(x)M$となるから、$\pi(x)M=M$である。$v\in M^\perp$と$m\in M$に対して

であるから、$M^\perp$も不変である。両制限は全射の線形等長作用素であり、軌道写像はもとの連続な軌道写像の制限である。よって両制限はユニタリ表現である。

§E10.3 定理 2.2により、各$v\in H$は$v=m+n$、$m\in M$、$n\in M^\perp$と一意に分解される。両部分空間の不変性により$\pi(x)v=\pi(x)m+\pi(x)n$は対応する直交分解である。したがって直和表示が成り立ち、$P_M\pi(x)v=\pi(x)m=\pi(x)P_Mv$である。▨

証明. 非零の巡回不変部分空間からなる集合のうち、相異なる元が直交するもの全体を、包含によって順序付ける。これらの集合は$H$の冪集合の冪集合の元であり、鎖の合併も相異なる元が直交する集合である。§E1.20 定理 2.1 (3)により極大な集合$\{H_i:i\in I\}$が存在する。$M=\tpcl{\operatorname{span}\bigcup_{i\in I}H_i}$とおくと$M$は閉不変部分空間であり、命題 4.2により$M^\perp$も不変である。$M^\perp$に非零の元$v$があれば、その巡回部分空間$H_v$は$M^\perp$に含まれるので、この集合に$H_v$を追加することができる。これは極大性に反する。したがって$M^\perp=\{0\}$であり、§E10.3 定理 2.2から$M=H$である。§E12.7 命題 1.6 (3)により$H=\bigoplus_{i\in I}H_i$を得る。▨

証明.$\pi$が既約であるとし、自己共役作用素$A\in\pi(G)'$を取る。$A$のスペクトル$K$に異なる二点$a,b$があると仮定する。$r=|a-b|/3$とおき、$K$上の実数値連続関数を

で定める。$f(a)=h(b)=1$であり、$f$と$h$の台は交わらないから$fh=0$である。§E12.55 定理 3.1 (1)により$f(A),h(A)$はともに非零である。各$\pi(x)$は$A=A^*$と可換であるから、§E12.55 定理 3.1 (4)により$f(A),h(A)\in\pi(G)'$である。したがって

は非零の閉不変部分空間である。連続汎関数計算の積と対合の保存から$h(A)^*f(A)=(hf)(A)=0$である。したがって、任意の$u,v\in H$に対して$\langle f(A)u,h(A)v\rangle=0$である。よって$M\perp N$であり、$N\ne\{0\}$から$M\ne H$となる。$M$が非零の真の閉不変部分空間であることは既約性に反する。したがって$K$は二点を含まない。§E12.47 系 2.6により$K$は空でないから、$K=\{\lambda\}$を満たす$\lambda\in\C$が存在する。§E12.55 定理 3.1 (1)のノルム公式から$\|A-\lambda I_H\|=0$となる。よって$A=\lambda I_H$である。

$T\in\pi(G)'$を取る。$T\pi(x^{-1})=\pi(x^{-1})T$の共役作用素を取ると$\pi(x)T^*=T^*\pi(x)$となるから、$T^*\in\pi(G)'$である。したがって

はともに可換子環に属する自己共役作用素であり、すでに示した結論からスカラー作用素である。したがって、$T=A+iB$もスカラー作用素である。逆にスカラー作用素はすべての作用素と可換であるから、$\pi(G)'=\C I_H$である。

$\pi(G)'=\C I_H$とし、$M$を閉不変部分空間とする。命題 4.2により$P_M\in\pi(G)'$であるから、$P_M=cI_H$を満たす$c\in\C$が存在する。$P_M^2=P_M$と$H\ne\{0\}$により$c^2=c$である。したがって、$c=0$または$c=1$である。したがって$M=\{0\}$または$M=H$であり、$\pi$は既約である。▨

証明.$\pi$が既約ならば、$G$の可換性から各$\pi(x)$は$\pi(G)'$に属する。定理 4.6により$\pi(x)=\chi(x)I_H$を満たすスカラー$\chi(x)$が一意に存在する。単位ベクトル$v\in H$を取ると$\chi(x)=\langle\pi(x)v,v\rangle$であるから$\chi$は連続であり、ユニタリ性から$|\chi(x)|=1$である。準同型の等式と$H\ne\{0\}$から$\chi(xy)=\chi(x)\chi(y)$が従う。一次元の閉部分空間$\C v$はすべてのスカラー作用素で不変であるから、既約性により$H=\C v$である。

$\dim_\C H=1$ならば、$H$の線形部分空間は$\{0\}$と$H$のみであるから、$\pi$は既約である。▨