§E14.33単元生成群

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一つの元の整数冪が位相群の全体を尽くさなくても、その整数冪全体の閉包が群全体になることがある。例えば、円周群では無理数回転の整数冪が稠密になり、pp進整数群では11の整数倍が稠密になる。このような稠密性がどの元について成り立つかを調べるには、群の演算とともに位相を考える必要がある。稠密な巡回部分群をもつ単元生成群は、整数群からの準同型を通じてコンパクト群を調べる基本的な対象である。本記事では、単元生成性の特徴づけと代表的な例について解説する。

1 稠密な巡回部分群と双対

定義 1.1 (単元生成群). Hausdorff 位相群GGが、ある元a∈Ga\in Gに対して

⟨a⟩‾=G,⟨a⟩={an:n∈Z}\tpcl{\langle a\rangle}=G,\qquad \langle a\rangle=\{a^n:n\in\Z\}

を満たすとき、GGを単元生成群 (monothetic group) という。このとき、aaをGGの位相的生成子という。加法群では、条件をZa‾=G\tpcl{\Z a}=Gと書く。

命題 1.2. Hausdorff な単元生成群は可換である。

証明.aaをGGの位相的生成子とする。可換子写像

c ⁣:G×G⟶G,c(x,y)=xyx−1y−1c\colon G\times G\longrightarrow G,\qquad c(x,y)=xyx^{-1}y^{-1}

は連続であり、⟨a⟩×⟨a⟩\langle a\rangle\times\langle a\rangle上で単位元eeに等しい。任意の空でない積開集合は⟨a⟩×⟨a⟩\langle a\rangle\times\langle a\rangleと交わるので、この部分集合はG×GG\times Gで稠密である。Hausdorff 性により{e}\{e\}は閉集合なので、c−1({e})=G×Gc^{-1}(\{e\})=G\times Gである。したがって、すべてのx,y∈Gx,y\in Gは可換である。▨

補題 1.3.KKをコンパクト Hausdorff 可換群、a∈Ka\in Kとする。このとき、次の条件は同値である。

  1. ⟨a⟩‾=K\tpcl{\langle a\rangle}=Kである。
  2. 準同型ev⁡a ⁣:K^→T\ev_a\colon\widehat K\to\mathbb T、ev⁡a(χ)=χ(a)\ev_a(\chi)=\chi(a)は単射である。

証明. 巡回部分群⟨a⟩\langle a\rangleについて

ker⁡ev⁡a={χ∈K^:χ(a)=1}=⟨a⟩⊥\ker\ev_a =\{\chi\in\widehat K:\chi(a)=1\} =\langle a\rangle^\perp

である。§E14.16 命題 3.3により、⟨a⟩\langle a\rangleの稠密性はこの核の自明性と同値なので、二条件は同値である。▨

定理 1.4.KKをコンパクト Hausdorff 可換群とし、Td\mathbb T_dを円周群に離散位相を入れた群とする。このとき、KKが単元生成群であるための必要十分条件は、離散群K^\widehat KがTd\mathbb T_dの部分群と同型であることである。

証明.a∈Ka\in Kが位相的生成子ならば、補題 1.3によりev⁡a\ev_aは単射である。§E14.16 命題 4.1によりK^\widehat Kは離散群なので、ev⁡a\ev_aはTd\mathbb T_dの部分群への位相群としての同型を与える。

逆に、単射準同型u ⁣:K^→Tdu\colon\widehat K\to\mathbb T_dが存在するとする。値域を通常の円周群T\mathbb Tとみなすと、K^\widehat Kは離散群なのでuuは連続指標である。Pontryagin 双対定理§E14.16 定理 2.1により、あるa∈Ka\in Kに対して

u(χ)=χ(a)(χ∈K^)u(\chi)=\chi(a)\qquad(\chi\in\widehat K)

となる。u=ev⁡au=\ev_aは単射なので、補題 1.3からaaは位相的生成子である。▨

2 Kronecker の定理と具体的な生成子

定理 2.1.nnを正整数、α=(α1,…,αn)∈Rn\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\R^nとする。このとき、加法群Rn/Zn≅Tn\R^n/\Z^n\cong\mathbb T^nにおいて

{kα+Zn:k∈Z}\{k\alpha+\Z^n:k\in\Z\}

が稠密であるための必要十分条件は、1,α1,…,αn1,\alpha_1,\ldots,\alpha_nがQ\Q上一次独立であることである。

証明. 円周群の双対§E14.13 例 4.3 (2)と有限直積の双対§E14.13 補題 1.3により、Tn\mathbb T^nの指標はm=(m1,…,mn)∈Znm=(m_1,\ldots,m_n)\in\Z^nによって

χm(x+Zn)=e2πi(m1x1+⋯+mnxn)\chi_m(x+\Z^n)=e^{2\pi i(m_1x_1+\cdots+m_nx_n)}

と一意に表される。したがって補題 1.3により、問題の巡回部分群が稠密であるための必要十分条件は

m∈Zn,m1α1+⋯+mnαn∈Z⟹m=0m\in\Z^n,\quad m_1\alpha_1+\cdots+m_n\alpha_n\in\Z \quad\Longrightarrow\quad m=0

である。1,α1,…,αn1,\alpha_1,\ldots,\alpha_nの非自明な有理係数の一次関係は、分母を払うことによって整数係数の関係

m0+m1α1+⋯+mnαn=0m_0+m_1\alpha_1+\cdots+m_n\alpha_n=0

となる。この関係でm=0m=0ならばm0=0m_0=0でもあるので、非自明な関係ではm≠0m\ne0である。したがって、上の条件は所要の一次独立性と同値である。▨

例 2.2.α∈R∖Q\alpha\in\R\setminus\Qとし、z=e2πiαz=e^{2\pi i\alpha}とおく。このとき、T2\mathbb T^2における(z,z2)(z,z^2)の巡回部分群の閉包は

C={(w,w2):w∈T}C=\{(w,w^2):w\in\mathbb T\}

である。実際、写像ϕ ⁣:T→T2\phi\colon\mathbb T\to\mathbb T^2、ϕ(w)=(w,w2)\phi(w)=(w,w^2)は連続である。CCはコンパクト集合の像なので閉じており、(z,z2)(z,z^2)のすべての整数冪を含む。逆に定理 2.1のn=1n=1の場合により{zk:k∈Z}\{z^k:k\in\Z\}はT\mathbb Tで稠密である。w∈Tw\in\mathbb Tとϕ(w)\phi(w)の任意の開近傍UUに対して、ϕ−1(U)\phi^{-1}(U)はwwの開近傍なので、あるk∈Zk\in\Zに対してϕ(zk)∈U\phi(z^k)\in Uとなる。よってCCの全点は巡回部分群の閉包に属する。

点(1,−1)(1,-1)はCCに属さないので、C≠T2C\ne\mathbb T^2である。各座標の回転が稠密でも、二つの座標の間にある関係w2=w12w_2=w_1^2によって、積全体では稠密性が失われる。

例 2.3.ppを素数とする。このとき、加法群

Zp=lim←⁡n≥1Z/pnZ,Z^=lim←⁡m≥1Z/mZ\Z_p=\varprojlim_{n\geq1}\Z/p^n\Z,\qquad \widehat\Z=\varprojlim_{m\geq1}\Z/m\Z

は、ともに11を位相的生成子とするコンパクト単元生成群である。Zp\Z_pにおける整数群の稠密性は§E7.31 例 4.2、Z^\widehat\Zにおける稠密性は§E7.31 例 4.3による。有限個の座標を指定する基本近傍に対し、Zp\Z_pでは最大の指数の剰余類、Z^\widehat\Zでは指定された法の共通の倍数による剰余類の整数代表を取ると、すべての指定を同時に満たす。

ここでZ^\widehat\Zは整数群の副有限完備化を表す。整数群の Pontryagin 双対はT\mathbb Tであり、この記号は本例では双対群を意味しない。

3 ソレノイドと有理数群の双対

定義 3.1 (ソレノイド).a≥2a\geq2を整数とする。コンパクト Hausdorff 可換群

Σa={(zn)n≥0∈T{0,1,…}:zn+1a=zn for all n≥0}=lim←⁡(T,z↦za)\Sigma_a=\{(z_n)_{n\geq0}\in\mathbb T^{\{0,1,\ldots\}}: z_{n+1}^{a}=z_n\text{ for all }n\geq0\} =\varprojlim(\mathbb T,z\mapsto z^a)

をaa進ソレノイド (solenoid) という。位相は積位相からの相対位相、積は座標ごとの積である。各整合条件は閉条件なので、Σa\Sigma_aはコンパクト Hausdorff 群の積の閉部分群である。

命題 3.2.a≥2a\geq2を整数とし、加法群Z[1/a]={m/an:m∈Z, n≥0}\Z[1/a]=\{m/a^n:m\in\Z,\ n\geq0\}に離散位相を入れる。このとき

Φ ⁣:Z[1/a]^⟶Σa,Φ(χ)=(χ(1/an))n≥0\Phi\colon\widehat{\Z[1/a]}\longrightarrow\Sigma_a, \qquad \Phi(\chi)=(\chi(1/a^n))_{n\geq0}

は位相群としての同型である。さらに、任意のt∈R∖Qt\in\R\setminus\Qに対して

st=(e2πit/an)n≥0s_t=(e^{2\pi it/a^n})_{n\geq0}

はΣa\Sigma_aの位相的生成子である。

証明. 指標χ\chiに対してχ(1/an+1)a=χ(1/an)\chi(1/a^{n+1})^a=\chi(1/a^n)なので、Φ\Phiの値はΣa\Sigma_aに属する。Z[1/a]\Z[1/a]の任意の元はm/anm/a^nと書くことができ、

χ(m/an)=χ(1/an)m\chi(m/a^n)=\chi(1/a^n)^m

なので、Φ\Phiは単射準同型である。

(zn)∈Σa(z_n)\in\Sigma_aに対してχ(m/an)=znm\chi(m/a^n)=z_n^mと定める。m/an=k/arm/a^n=k/a^rならば、N≥n,rN\geq n,rに対してmaN−n=kaN−rma^{N-n}=ka^{N-r}であり、整合条件によって

znm=zNmaN−n=zNkaN−r=zrkz_n^m=z_N^{ma^{N-n}}=z_N^{ka^{N-r}}=z_r^k

となる。したがってχ\chiは表示に依存しない。共通分母を取ると加法を積に移すことが分かり、定義域が離散なのでχ\chiは連続である。よってΦ\Phiは全射である。各座標評価はコンパクト開位相について連続なので、Φ\Phiは連続である。§E14.16 命題 4.1によって定義域はコンパクトであり、値域は Hausdorff なので、§E2.19 定理 6.8によりΦ\Phiは位相群としての同型である。

A=Z[1/a]A=\Z[1/a]とおく。Pontryagin 双対定理§E14.16 定理 2.1により、qqを評価χ↦χ(q)\chi\mapsto\chi(q)に対応させる写像によって、AAとA^^\widehat{\widehat A}を同定することができる。指標χt(q)=e2πitq\chi_t(q)=e^{2\pi itq}はΦ\Phiによってsts_tに移る。q≠0q\ne0は有理数なので、ttが無理数ならばtq∉Ztq\notin\Zである。したがって

χt(q)=1⟹q=0.\chi_t(q)=1\quad\Longrightarrow\quad q=0.

双対群A^^\widehat{\widehat A}のχt\chi_tにおける評価は、この同定の下で単射である。補題 1.3によってχt\chi_tはA^\widehat Aを稠密に生成する。よってsts_tはΣa\Sigma_aの位相的生成子である。▨

例 3.3.Q\Qに離散位相を入れる。このとき、コンパクト可換群Q^\widehat\Qは、任意の無理数ttに対して、指標

χt ⁣:Q⟶T,χt(q)=e2πitq\chi_t\colon\Q\longrightarrow\mathbb T,\qquad \chi_t(q)=e^{2\pi itq}

を位相的生成子にもつ。実際、§E14.16 命題 4.1によりQ^\widehat\Qはコンパクトであり、§E14.16 定理 2.1によりその双対はQ\Qと評価によって同定される。q≠0q\ne0ならばtqtqは無理数なのでχt(q)≠1\chi_t(q)\ne1である。したがって補題 1.3を適用することができる。

4 普遍的なコンパクト単元生成群

命題 4.1.bZb\Zを離散整数群Z\Zの Bohr コンパクト化とする。このとき、次が成り立つ。

  1. bZb\ZはjZ(1)j_\Z(1)を位相的生成子にもつ。
  2. KKをコンパクト Hausdorff 単元生成群、aaをその位相的生成子とすると、F(jZ(1))=aF(j_\Z(1))=aを満たす連続準同型F ⁣:bZ→KF\colon b\Z\to Kが一意に存在し、FFは全射である。
  3. bZ^≅Td\widehat{b\Z}\cong\mathbb T_dである。

証明.§E14.28 例 3.3により、jZ(1)j_\Z(1)はbZb\Zの位相的生成子であり、F(jZ(1))=aF(j_\Z(1))=aを満たす連続準同型F ⁣:bZ→KF\colon b\Z\to Kは一意に存在する。像F(bZ)F(b\Z)はコンパクトなので、Hausdorff 群KKの閉部分群である。F(bZ)F(b\Z)は稠密部分群⟨a⟩\langle a\rangleを含むので、KKに等しい。

可換群の Bohr コンパクト化の双対表示§E14.28 定理 3.1と整数群の双対§E14.13 例 4.3 (3)により

bZ≅Td^.b\Z\cong\widehat{\mathbb T_d}.

Pontryagin 双対定理§E14.16 定理 2.1を離散群Td\mathbb T_dに適用すると、bZ^≅Td\widehat{b\Z}\cong\mathbb T_dを得る。▨

5 Weil の定理

補題 5.1.GGを非離散な Hausdorff 単元生成群、aaをその位相的生成子とする。このとき、単位元eeの任意の対称開近傍VVに対して

G=⋃n≥1anVG=\bigcup_{n\geq1}a^nV

が成り立つ。

証明.GGは命題 1.2により可換である。aaの位数が有限ならば、⟨a⟩\langle a\rangleは有限閉集合なのでG=⟨a⟩G=\langle a\rangleとなり、有限 Hausdorff 群GGは離散になる。これは仮定に反する。したがってaaの整数冪はすべて相異なる。

GGの任意の空でない開集合OOは、⟨a⟩\langle a\rangleの無限個の元を含む。実際、O∩⟨a⟩O\cap\langle a\rangleが有限ならば、Hausdorff 性と稠密性により、開集合O∖(O∩⟨a⟩)O\setminus(O\cap\langle a\rangle)は空である。よってOO自身が有限開集合になる。有限開集合の一点以外を除けば一点集合が開になるので、平行移動によりGGは離散になる。これは仮定に反する。

g∈Gg\in Gを任意に取る。稠密性により、あるk∈Zk\in\Zに対してak∈gVa^k\in gVとなる。VVの対称性からga−k∈Vga^{-k}\in Vである。連続性により、ga−kW⊆Vga^{-k}W\subseteq Vを満たすeeの対称開近傍WWを取る。WWは無限個の整数冪を含み、対称性によりその指数の集合は符号の反転で不変である。したがって、j<kj<kかつaj∈Wa^j\in Wを満たす整数jjが存在する。n=k−j>0n=k-j>0とおくと

ga−n=ga−kaj∈ga−kW⊆Vga^{-n}=ga^{-k}a^j\in ga^{-k}W\subseteq V

なので、g∈anVg\in a^nVである。▨

定理 5.2. Hausdorff な局所コンパクト単元生成群GGは、コンパクトであるか、離散群Z\Zと位相群として同型である。

証明.aaをGGの位相的生成子とする。命題 1.2によりGGは可換である。GGが離散ならば、すべての部分集合が閉じているのでG=⟨a⟩G=\langle a\rangleである。aaの位数が有限ならばGGは有限でありコンパクトである。位数が無限ならばn↦ann\mapsto a^nは離散群Z\ZからGGへの位相群としての同型である。

GGを非離散とする。§E14.2 命題 1.2により、単位元eeの対称コンパクト近傍CCを取る。V=int⁡(C)V=\tpint{C}とおくと、V=V−1V=V^{-1}はeeの開近傍であり、V‾\tpcl Vはコンパクトである。補題 5.1によって、G=⋃n≥1anVG=\bigcup_{n\geq1}a^nVである。

V‾\tpcl Vはコンパクトなので、V‾\tpcl Vを覆う開被覆{anV:n≥1}\{a^nV:n\geq1\}から有限部分被覆を取ることができる。選んだ指数の最大値をNNとすれば

V‾⊆⋃i=1NaiV.\tpcl V\subseteq\bigcup_{i=1}^Na^iV.

g∈Gg\in Gに対して、g∈anVg\in a^nVとなる最小の正整数nnを取る。VVの対称性によりang−1∈V⊆V‾a^ng^{-1}\in V\subseteq\tpcl Vなので、ある1≤i≤N1\leq i\leq Nに対してang−1∈aiVa^ng^{-1}\in a^iVとなる。再び対称性を用いると

g∈an−iV.g\in a^{n-i}V.

n−in-iが正ならばnnの最小性に反する。したがってn≤i≤Nn\leq i\leq Nである。ggは任意だったので

G=⋃n=1NanV‾.G=\bigcup_{n=1}^Na^n\tpcl V.

右辺はコンパクト集合の有限和集合なので、GGはコンパクトである。▨

例 5.3.α∈R∖Q\alpha\in\R\setminus\Qとし、a=e2πiαa=e^{2\pi i\alpha}とおく。このとき、円周群の部分群

H={an:n∈Z}H=\{a^n:n\in\Z\}

に円周群からの相対位相を入れると、HHは Hausdorff な単元生成群であるが、非離散かつ非コンパクトである。

定理 2.1によりHHはT\mathbb Tで稠密である。HHは可算で、T\mathbb Tは非可算なので、H≠TH\ne\mathbb Tである。HHがコンパクトならば、Hausdorff 空間T\mathbb Tの閉集合になるため、稠密性に反する。よってHHはコンパクトでない。

HHが離散ならば、U∩H={1}U\cap H=\{1\}となるT\mathbb Tの開近傍UUが存在する。円周の開近傍UUには11と異なる点があるので、U∖{1}U\setminus\{1\}は空でない開集合である。稠密性によってこの開集合はHHと交わり、U∩H={1}U\cap H=\{1\}に反する。よってHHは非離散である。したがって定理 5.2から局所コンパクト性の仮定を除くことはできない。

参考文献

  1. Sidney A. Morris, Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series 29, Cambridge University Press, Cambridge, 2008, originally published 1977.単元生成群の双対による特徴づけと、局所コンパクト単元生成群に関する Weil の定理の直接証明を参考にした。

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