§E14.31辰馬双対と完備化

証明.主張 (1)を示す。§E14.21 補題 5.1 (1)により、任意の連続ユニタリ表現の巡回部分空間の次元は$\max\{|G|,\aleph_0\}$以下であり、したがって$\kappa$以下である。§E14.8 補題 4.3により任意の連続ユニタリ表現は巡回部分表現の直交直和に分解され、§E14.21 命題 1.2 (2)により各巡回部分表現は$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の元にユニタリ同値である。これらのユニタリ同値の直和により、表現は$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の元の族の Hilbert 直和にユニタリ同値である。

主張 (2)を示す。$\mathcal D$を$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$から§E14.21 定理 3.1で定まる表現の全体とすると、主張 (1)により$\mathcal D$はすべての連続ユニタリ表現からなる。$T$の成分はユニタリであるからノルムは$1$以下であり、§E14.21 定理 3.1 (1)により、$T$は$\mathcal D$上の作用素場へ一意に延長され、その延長はユニタリ作用素場である。

主張 (3)を示す。恒等作用素は$\bigoplus_\alpha\pi_\alpha$から$\bigoplus_\alpha\pi_\alpha$へのユニタリ同変作用素であるから、§E14.21 命題 2.3 (1)を$\mathcal D$上の作用素場$\widetilde T$に適用すると、$\widetilde T_{\bigoplus_\alpha\pi_\alpha}=\bigoplus_\alpha\widetilde T_{\pi_\alpha}$である。§E14.21 命題 1.2 (3)により、$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の元のテンソル積と共役表現を標準空間へユニタリ作用素で運んだ表現は$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$に属する。$T$は許容作用素場であるので、§E14.21 定理 3.1 (3)と§E14.21 定理 3.1 (4)により$\widetilde T_{\pi\otimes\rho}=\widetilde T_\pi\otimes\widetilde T_\rho$と$\widetilde T_{\overline\pi}=\overline{\widetilde T_\pi}$を得る。

主張 (4)を示す。一次元の自明表現$1_\C$の次元は$\kappa$以下であるから、§E14.21 命題 4.3 (1)により$\widetilde T_{1_\C}$は§E14.21 命題 4.3の移送の値に等しく、§E14.21 系 4.4により$\widetilde T_{1_\C}=I_\C$である。各$v\in H$について写像$a\mapsto av$は$1_\C$から$1_H$への有界同変作用素であるから、作用素場の定義により$\widetilde T_{1_H}v=v$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$\kappa=\max\{|G|,\aleph_0\}$とおく。系 1.2 (1)により、各連続ユニタリ表現は$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の元の族の Hilbert 直和にユニタリ同値であるから、$N$と$G_s$の位相は$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の元だけで定まる。$G/N$は写像$gN\mapsto(\pi(g))_\pi$によってユニタリ群の積へ単射に写る。定めた位相はこの単射からの部分空間位相なので、Hausdorff な群位相である。$q$は連続である。$G$の各表現は$N$上で自明であり、$G_s$上で定まる表現は定義によって連続である。逆に$G_s$の連続表現は$q$との合成によって$G$の連続表現となる。$q$は全射なので同変作用素も一致する。直和、テンソル積、共役はこの対応と可換であり、成分とベクトルの評価も同じなので、$\mathcal T_\kappa(G_s)$と$\mathcal T(G)$は位相群として一致する。$\max\{|G_s|,\aleph_0\}\leq\kappa$であるから、§E14.21 定理 6.1 (2)により制限$\mathcal T_\kappa(G_s)\to\mathcal T(G_s)$は位相群としての同型である。

主張 (2)を示す。単位ベクトル$v$に対して

である。非零のベクトルを規格化してその巡回部分表現へ制限すれば、これらの不等式から、集合$\{g:\|\pi(g)v-v\|<\varepsilon\}$と定義 2.1の形の集合を、互いに他を含むように取ることができる。したがって、$G_s$の単位元の近傍基は定義 2.1の形の集合の有限共通部分からなる。よって$G_s$は分離系をもち、その評価は位相的埋込みである。

主張 (3)を示す。前段の二つの不等式による単位元近傍の比較は、一般の$G$でも成り立つ。係数近傍の有限共通部分が$G$の単位元の近傍基をなすならば、すべての係数近傍の共通部分は$N$に等しく、$G$の Hausdorff 性により$N=\{e\}$である。したがって$\Phi_G$は単射であり、前段の比較により位相的埋込みである。逆向きは積位相の近傍の形から従う。

主張 (4)を示す。有限個の係数$c_j(g)=\langle\pi_j(g)v_j,v_j\rangle$と正数$\varepsilon_j$が与えられたとする。$v=m^{-1/2}(v_1,\ldots,v_m)$とし、直和表現の$v$による巡回部分表現を$\sigma$とする。その係数は$c=m^{-1}\sum_jc_j$である。$|c_j|\leq1$なので

$0<\delta<\min_j\varepsilon_j^2/(2m)$を取れば、$|1-c(g)|<\delta$はすべての$|1-c_j(g)|<\varepsilon_j$を導く。▨

証明.主張 (1)を示す。$\pi,\rho\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)$、有界同変作用素$A\colon H_\pi\to H_\rho$と$v\in H_\pi$に対して、$A$の連続性から$AB^{(\alpha)}_\pi v\to AB_\pi v$であり、$B^{(\alpha)}_\rho Av\to B_\rho Av$である。したがって等式$AB^{(\alpha)}_\pi=B^{(\alpha)}_\rho A$は極限でも成り立ち、$B$は作用素場である。

主張 (2)を示す。強極限の作用素のノルムも$1$以下である。$v\in H_\pi$、$w\in H_\rho$に対して

である。純テンソルの線形包は稠密であり、左辺の差の作用素ノルムは$2$以下なので、$B^{(\alpha)}_\pi\otimes B^{(\alpha)}_\rho$は$B_\pi\otimes B_\rho$へ強収束する。標準空間へのユニタリ作用素$q$に対して$X\mapsto qXq^{-1}$は強収束を保つので、§E14.21 定義 2.6 条件 (a)の等式は極限でも成り立つ。

主張 (3)を示す。$\|\overline{B^{(\alpha)}_\pi}\bar v-\overline{B_\pi}\bar v\|=\|B^{(\alpha)}_\pi v-B_\pi v\|$であるから、$\overline{B^{(\alpha)}_\pi}$は$\overline{B_\pi}$へ強収束し、§E14.21 定義 2.6 条件 (b)の等式も極限で成り立つ。▨

証明.§E14.21 定理 6.1により、$\mathcal T(G)$は成分ごとの積と逆について積群の部分群である。$\mathcal T(G)$の元のネットが積群で収束するとき、極限は各成分での強極限であり、成分はユニタリである。補題 3.1により、この極限は許容作用素場であるので、$\mathcal T(G)$に属する。よって$\mathcal T(G)$は積群の閉部分群である。

§E14.25 補題 5.1により各座標の強位相のユニタリ群は Raikov 完備であるから、§E14.25 系 1.5により積群は Raikov 完備である。§E14.25 系 1.4により、その閉部分群$\mathcal T(G)$も Raikov 完備である。▨

証明.命題 2.2 (1)と命題 2.2 (2)によって、$G_s$を$\mathcal T(G)$の部分群として同一視する。成分の定義から、命題 2.2 (1)の同型$\mathcal T(G_s)\to\mathcal T(G)$は$\Phi_{G_s}(q(g))$を$\Phi_G(g)$へ送るので、この同一視のもとで$G_s=\Phi_G(G)$である。その閉包$C$は定理 3.2と§E14.25 系 1.4によって Raikov 完備である。包含$G_s\to C$は稠密な位相的埋込みなので、$C$は$G_s$の Raikov 完備化である。§E14.25 定理 3.2 (2)により$\varrho G_s\cong C$となる。この同型と包含$C\subseteq\mathcal T(G)$の合成を$j$とすれば所要の分解を得て、$j(\varrho G_s)=C=\tpcl[\mathcal T(G)]{\Phi_G(G)}$である。

主張 (3)を示す。$\Phi_G$が位相群としての同型ならば、分離系の存在は命題 2.2 (3)から、Raikov 完備性は定理 3.2から従う。▨

証明. 分離系をもつ$G$の評価像はユニタリ群の積$P=\prod_\pi \Uni(H_\pi)$の部分群である。$G$が Raikov 完備ならば§E14.25 系 1.4によって像は閉じている。$H=\bigoplus_\pi H_\pi$とし、$P\to \Uni(H)$を$(U_\pi)_\pi\mapsto\bigoplus_\pi U_\pi$で定める。有限成分のベクトルへの近似と各作用素のノルムの評価から、この写像は位相的埋込みである。その像は各成分への直交射影と可換なユニタリ作用素全体なので閉じている。よって$G$は$\Uni(H)$の閉部分群に同型である。

逆に、$G\subseteq \Uni(H)$が閉部分群ならば§E14.25 補題 5.1によって Raikov 完備である。包含表現のベクトルによる強近傍が$G$の位相を定めるので、命題 2.2の係数との比較によって$G$は分離系をもつ。▨

証明. 係数の和は直和表現の係数であり、積はテンソル積表現の係数である。複素共役は共役表現の係数であり、定数$1$は一次元自明表現の係数である。各係数の絶対値は$\|v\|\|w\|$以下なので、係数全体は$C_b(G)$の単位的$*$部分代数である。

$c_{\pi,v,w}=0$とすると、$w$は$v$の巡回部分空間$H_v$に直交する。系 1.2により$T_\pi v\in H_v$なので、$\langle T_\pi v,w\rangle=0$である。二つの係数表示の差を直和上の一つの係数として書けば、両表示に対する値が等しいことを得る。同じ直和の計算で線形性を得る。テンソル積との整合から乗法性を、共役との整合から$\phi_T(\bar p)=\overline{\phi_T(p)}$を得る。自明表現上の正規化によって$\phi_T(1)=1$である。▨

証明.$\Phi_G(g_a)\to T$ならば、各係数$p$に対して$p(g_a)\to\phi_T(p)$である。したがって$|\phi_T(p)|\leq\|p\|_\infty$を得る。

逆にこの不等式を仮定する。$B=\tpcl[C_b(G)]{\mathcal A(G)}$を上限ノルムによる閉包とすると、$B$は単位的可換$C^*$環である。$\phi_T$は有界線形汎関数$\chi\colon B\to\C$へ一意に延長され、積と共役の連続性から単位的$*$準同型である。$X$を、Gelfand 位相を入れた$B$の指標空間とする。§E12.53 系 2.1により$X$はコンパクト Hausdorff 空間であり、Gelfand 変換$b\mapsto\widehat b$は等長な$*$同型$B\to C(X)$である。

各$g\in G$に対して$\ev_g(b)=b(g)$で定まる点評価$\ev_g\in X$の全体は、$X$で稠密である。実際、その閉包$K$が$X$の真部分集合ならば、$x\in X\setminus K$を取る。コンパクト Hausdorff 空間の正規性§E2.19 定理 6.11と Urysohn の補題§E2.18 定理 3.1により、$K$上で零、$x$で$1$となる$F\in C(X)$が存在する。$F=\widehat b$と書けば、すべての$g\in G$に対して$b(g)=F(\ev_g)=0$である。$B$のノルムは$G$上の上限ノルムなので$b=0$であり、$F(x)=1$に反する。よって$K=X$である。

したがって$\ev_{g_a}\to\chi$となるネットを取ることができる。すべての$\pi,v,w$に対して

これは各成分の弱作用素収束である。極限$T_\pi$はユニタリなので、§E14.8 定理 1.2によって強作用素収束でもある。ゆえに$\Phi_G(g_a)\to T$である。▨

証明. 必要性は定理 3.3による。逆に$G$が Raikov 完備ならば、同じ定理において$G_s=G$、$\varrho G_s=G$であり、評価像は閉じている。稠密性によって像は$\mathcal T(G)$全体となる。▨

証明. 各連続ユニタリ表現$\pi\colon G\to \Uni(H)$は、§E14.25 補題 5.1と§E14.25 定理 3.2によって$\widetilde\pi\colon\varrho G\to \Uni(H)$へ一意に延長される。有界作用素$A$が二つの表現の間の同変作用素ならば、各ベクトル上の等式$A\pi(g)=\rho(g)A$は連続性と$G$の稠密性によって完備化全体で成り立つ。延長の一意性により、$\widetilde{\pi\oplus\rho}=\widetilde\pi\oplus\widetilde\rho$、$\widetilde{\pi\otimes\rho}=\widetilde\pi\otimes\widetilde\rho$、$\widetilde{\overline\pi}=\overline{\widetilde\pi}$である。したがって制限は$G$と$\varrho G$の表現および整合条件を同一視する。$\lambda=\max\{|G|,|\varrho G|,\aleph_0\}$とおくと、§E14.21 定理 6.1 (2)により、制限$\mathcal T_\lambda(G)\to\mathcal T(G)$と$\mathcal T_\lambda(\varrho G)\to\mathcal T(\varrho G)$は位相群としての同型である。成分の Hilbert 空間と作用素の評価が同じなので、$\mathcal T_\lambda(G)\cong\mathcal T_\lambda(\varrho G)$は位相群としての同型であり、$\mathcal T(G)\cong\mathcal T(\varrho G)$を得る。

§E14.25 定理 3.6によって$\varrho G$は局所コンパクトである。§E14.23 定理 3.2を$\varrho G$に適用すれば、$\mathcal T(\varrho G)\cong\varrho G$を得る。両同型は評価と可換なので、$\Phi_G$は$\iota_G$に対応する。後者は位相的埋込みであり、命題 2.2 (3)によって分離系の存在も従う。▨

証明. 有限次元表現$\pi\colon G\to \Uni(n)$の値域は、§E14.2 例 4.3によりコンパクト群$\Uni(n)$に含まれる。§E14.28 定理 1.2によって、$\pi$は$bG$の表現へ一意に延長される。$j_G(G)$の稠密性から、判定法の二条件と§E14.21 定義 2.6 条件 (a)は$G$と$bG$で同じである。したがって、成分と位相を保つ同一視$\mathcal T_{\mathrm{fin}}(G)\cong\mathcal T_{\mathrm{fin}}(bG)$を得る。$bG$はコンパクト Hausdorff 群であるから、コンパクト群の淡中双対§E14.23 系 4.2により、評価$bG\to\mathcal T_{\mathrm{fin}}(bG)$は位相群としての同型である。各同一視の定義から、評価は$j_G$に対応する。▨

証明.主張 (1)を示す。$v\in H_\pi$に対して、次数分解の直交性から

である。したがって$T_\pi v$の級数は収束し、$\|T_\pi v\|=\|v\|$となる。各次数上で$T_\pi^2=I$なので、$T_\pi$は全射でもあり、ユニタリ作用素である。

有界同変作用素$A:H_\pi\to H_\rho$に対して、§E14.30 定理 4.5 (2)により$AP_{\pi,n}=P_{\rho,n}A$である。この等式を有限和に適用し、強極限を取ると$AT_\pi=T_\rho A$を得る。また、§E14.30 命題 4.6 (3)により、任意の族$(\pi_a)_a$について、$T_{\bigoplus_a\pi_a}$の各$H_{\pi_a}$への制限は$T_{\pi_a}$に一致する。よって任意直和とも整合する。

主張 (2)を示す。§E14.30 命題 4.6 (1)により、テンソル積表現の次数$k$の部分空間は

である。各$H_{\pi,n}\widehat\otimes H_{\rho,m}$上で

となる。これらの部分空間の直交和は全テンソル空間を尽くすので、$T_{\pi\otimes\rho}=T_\pi\otimes T_\rho$である。

§E14.30 命題 4.6 (2)により、$H_{\overline\pi,n}=\overline{H_{\pi,n}}$である。符号$(-1)^n$は実数なので、$T_{\overline\pi}=\overline{T_\pi}$を得る。標準空間へ運ぶユニタリ作用素は同変作用素であるから、有界同変作用素との可換性によって、運んだテンソル積と共役表現についても同じ等式が成り立つ。したがって、任意の無限基数$\kappa$について、$T$の$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$への制限は許容ユニタリ作用素場である。

主張 (3)を示す。§E14.30 定理 4.5 (3)により自明表現は零次、Koopman 表現は一次であるから、$T_1=I$、$T_U=-I$となる。▨

証明.§E14.29 命題 3.1の巡回係数近傍の条件によって$G$は分離系をもち、同命題によって Raikov 完備である。したがって$G_s=\varrho G_s=G$である。$U$を Koopman 表現とし、$0<\mu(A)<\infty$となる可測集合$A$と単位ベクトル$\xi=1_A/\sqrt{\mu(A)}$を取る。写像$K\mapsto\langle K_U\xi,\xi\rangle$は$\mathcal T(G)$上で連続であり、評価像上での値は

である。係数$c$は$0\leq c(g)\leq1$を満たすので、$p=1-c\in\mathcal A(G)$は$\|p\|_\infty\leq1$を満たす。一方、命題 6.1の場$T$については

閉包判定定理 4.2によって$T\notin\tpcl{\Phi_G(G)}$である。よって包含は真である。特に$A=[0,1]$と取ると、平行移動$\tau_2(x)=x+2$によって$c(\tau_2)=0$となるので、$\|p\|_\infty=1$である。▨

証明.主張 (1)を示す。SSUR が存在すれば、その係数は連続であり、単位元の任意の近傍は一つの係数近傍を含む。したがって$G$は定義 2.1の分離系をもつ。逆に$G$が分離系をもつとする。単位元の任意の近傍は有限個の係数近傍の共通部分を含み、命題 2.2 (4)により、その共通部分は一つの係数近傍を含む。$\kappa=\max\{|G|,\aleph_0\}$とおく。§E14.21 補題 5.1 (1)と§E14.21 命題 1.2 (2)により、各巡回表現は$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の元にユニタリ同値である。したがって、$\operatorname{Rep}_\kappa(G)$の巡回表現とその巡回単位ベクトルの組からなる集合を取れば SSUR を得る。

主張 (2)を示す。$\mathcal F$が Cauchy であり、$V$が単位元の近傍ならば、条件を満たす$\alpha$とその後続$\beta$を取ると$F_\beta^{-1}F_\beta\subseteq V$である。逆に$F_\alpha^{-1}F_\alpha\subseteq V$ならば、$\beta,\gamma\succ\alpha$に対して$F_\beta^{-1}F_\gamma\subseteq F_\alpha^{-1}F_\alpha\subseteq V$である。逆集合の族について同じ議論を行うと、$\mathcal F^{-1}$の Cauchy 性は、任意の$V$に対して$F_\alpha F_\alpha^{-1}\subseteq V$となる$\alpha$が存在することと同値である。二つの包含を満たす添字は、有向性と族の縮小性によって一つに取ることができる。$\mathcal F$の元は生成フィルターに属し、生成フィルターの各元は$\mathcal F$のある元を含むから、§E14.25 補題 2.2 (1)と§E14.25 補題 2.2 (3)により、これらの包含はそれぞれ生成フィルターの左 Cauchy 性と両側 Cauchy 性に対応する。

主張 (3)を示す。フィルター基$\mathcal F$とその生成フィルターの集積点は一致する。左または両側 Cauchy なフィルターの集積点は、§E2.53 補題 1.2 (4)によりそのフィルターの収束先である。逆に、任意の$G$上のフィルター$\mathfrak H$は、$\mathfrak H\times\NN$を添字集合とし、$(A,n)\preceq(B,m)$を$B\subseteq A$かつ$n\leq m$によって定め、$F_{(A,n)}=A$とおけば、命題の仮定を満たすフィルター基として表すことができる。この添字集合は有向であり、各$(A,n)$は後続$(A,n+1)$をもつ。得られた基が生成するフィルターは$\mathfrak H$である。したがって、主張 (2)と§E14.25 定義 1.1により、complete と Weil 完備性、b-complete と Raikov 完備性のそれぞれが同値である。

主張 (4)は、注意 6.4 条件 (c)の条件と、主張 (1)および主張 (3)から従う。▨

証明.主張 (1)を示す。Hilbert 空間$H$の等長作用素の強 Cauchy ネット$(S_a)$に対して、各$S_av$は$H$で Cauchy である。その極限$Sv$は$v$について線形であり、$\|Sv\|=\|v\|$なので$S$も等長作用素である。したがって等長作用素全体は強一様構造について完備である。積でも座標ごとの極限によって完備性を得る。等長作用素のノルムは$1$以下であるから、補題 3.1により、$\mathcal I(G)$の元のネットの各成分での強極限も許容作用素場である。よって$\mathcal I(G)$は完備な積一様空間の閉部分空間として完備である。

主張 (2)を示す。評価の引戻し位相は、命題 2.2の係数と強近傍の比較によって、表現が定める最弱の位相である。したがって$\Phi_G^{\mathrm i}$が同相写像ならば$G$は分離系をもつ。分離系をもつ場合、強一様構造の引戻しは$G$の左一様構造に等しい。実際、

であり、有限個の$(\pi_j,v_j)$について右辺が$\varepsilon$未満であるという条件は、$x^{-1}y\in\{g:\|(I-\pi_j(g))v_j\|<\varepsilon\ (j=1,\ldots,m)\}$という条件であり、分離系の仮定のもとで、命題 2.2 (3)によりこの形の集合の全体は単位元の近傍基をなすからである。ゆえに、i 型双対定理が成り立てば、主張 (1)により$G$の左一様構造は完備である。

主張 (3)を示す。必要性は主張 (2)による。逆に、分離系をもつ Weil 完備な$G$の評価は、左一様構造について$\mathcal I(G)$への一様埋込みである。像は完備なので、Hausdorff 一様空間の完備部分空間の閉性§E2.53 命題 2.1 (2)によって閉じている。評価像が稠密であるという仮定から全射性を得る。位相的埋込みでもあるので、$\Phi_G^{\mathrm i}$は同相写像となる。▨