§E14.34コンパクト集合で代数的に生成される群

証明.$G$を代数的に生成するコンパクト集合を$C$、零の対称コンパクト近傍を$W$とすると、$V=C\cup(-C)\cup W$が所要の近傍である。連続準同型$f\colon G\to H$に対して、$f(C)$はコンパクトであり、$f(G)$を代数的に生成する。離散空間のコンパクト部分集合は有限集合なので、離散群については二つの生成条件が一致する。▨

証明.$n=0$の場合は$H=\{0\}$である。$n\geq1$とし、次元が$n$より小さい場合の主張を仮定する。

$H$が離散でないとする。$0\ne h_j\in H$、$h_j\to0$となる列を取る。単位球面のコンパクト性により、部分列に取り替えて$h_j/\|h_j\|\to u$、$\|u\|=1$としてよい。任意の$t\in\R$に対し、$|k_j\|h_j\|-t|\leq\|h_j\|$を満たす整数$k_j$を取ると、$k_jh_j\to tu$である。$H$は閉じているので$\R u\subseteq H$となる。直交分解により

であり、右辺の第二因子は$u^\perp$の閉部分群である。帰納法の仮定を第二因子に適用して所要の座標を得る。

$H$が離散であり、$H\ne\{0\}$とする。$H$と任意の閉球の交わりはコンパクトな離散空間なので有限である。したがって、$H\setminus\{0\}$の中でノルムが最小の元$v$が存在する。$tv\in H$ならば、$t$に最も近い整数$k$を取ることで$(t-k)v\in H$、$\|(t-k)v\|\leq\|v\|/2$となる。最小性から$t=k$であり、$H\cap\R v=\Z v$である。

直交射影$p\colon\R^n\to v^\perp$に対して$p(H)$は離散である。実際、離散でなければ$0\ne y_j\in p(H)$、$y_j\to0$を取ることができる。$y_j$の持上げから$v$の整数倍を引いて、$h_j=t_jv+y_j\in H$、$|t_j|\leq1/2$とする。この列はある閉球に含まれ、その閉球と$H$の交わりは有限である。したがって、零でない有限個の値しか取らない列$p(h_j)=y_j$が零に収束することになり、矛盾する。

さらに$p(H)$は閉じている。$y_j\in p(H)$が$y$に収束するならば、同じように取った持上げ$h_j=t_jv+y_j$はある閉球に含まれる。有限個の持上げの一つが無限回現れるので、$y\in p(H)$である。帰納法の仮定から$p(H)$は実線形独立な元$w_1,\ldots,w_{s-1}$の整数係数線形結合全体である。それぞれの持上げ$v_1,\ldots,v_{s-1}\in H$を取ると、$v,v_1,\ldots,v_{s-1}$は実線形独立であり、$H$の整数係数線形結合による基底となる。この基底を$\R^n$の実基底へ延長すれば、所要の座標を得る。$H=\{0\}$の場合は$r=s=0$とすればよい。

得られた座標において、写像

は$\R^n$から$\R^{n-r-s}\times\mathbb T^s$への連続な全射準同型であり、核は$\R^r\times\Z^s\times\{0\}$である。射影と各座標の指数写像は開写像なので、この写像は開写像である。§E14.1 系 4.6により、主張した商群の位相群としての同型を得る。離散な$H$は非零の実直線を含まないので、$r=0$である。▨

証明.§E6.16 命題 3.4と§E6.16 命題 1.2 条件 (c)によって、包含$E\hookrightarrow G$に対するレトラクション$r\colon G\to E$が存在する。$r|_E=\id_E$であり、$E$は開近傍なので、$r$は零で連続である。準同型の連続性は平行移動によって各点へ移るので、$r$は連続である。

$D=\ker r$とおく。$D\cap E=\{0\}$であり、$E$は開なので、$D$の部分空間位相は離散である。連続な和写像$E\times D\to G$の逆写像は

であり、第二座標も部分空間$D$への連続写像である。よって和写像は位相群としての同型であり、$E$上で所要の性質をもつ。▨

証明.$n=0$ならば$\{0\}$が$G$の開集合なので、$G$自身が離散群である。$n\geq1$とし、局所同型を$g\colon O\subseteq G\to O'\subseteq\R^n$と書く。$W+W\subseteq O$となる零の開近傍$W\subseteq O$を取り、零を中心とする開球$U\subseteq g(W)$を取る。$f=g^{-1}|_U$とおく。$u,v,u+v\in U$の逆像を$x,y,z\in W$とすると、$x+y\in O$であり、$g(x+y)=u+v=g(z)$である。$g$の単射性から$x+y=z$となるので、$f$は局所加法性を満たす。同相写像$f\colon U\to V=f(U)$の像は$G$の開近傍である。

$x\in\R^n$に対して、$x/m\in U$となる正整数$m$を取り、

とおく。$x/m,x/k\in U$ならば、線分$[0,x/m]$と$[0,x/k]$が$U$に含まれるので、局所加法性を繰り返して

を得る。したがって$F(x)$は$m$の選択によらない。$x,y\in\R^n$に対し、$x/m,y/m,(x+y)/m\in U$となる$m$を取れば、局所加法性から$F(x+y)=F(x)+F(y)$である。

$x\in U$のときは$m=1$を取ることができるので$F|_U=f$である。ゆえに$F$は連続であり、核$L$は閉じていて、$L\cap U=\{0\}$であるから離散である。像$E=F(\R^n)$は開集合$V$を含む部分群なので開である。また$F$は開写像である。実際、開集合$O\subseteq\R^n$と$x\in O$に対して、$x+W\subseteq O$となる零の開近傍$W\subseteq U$を取ると、$F(x+W)=F(x)+f(W)$は$G$で開いている。

よって$E\cong\R^n/L$であり、命題 2.1によって$E\cong\R^a\times\mathbb T^b$、$a+b=n$となる。$\R$と$\mathbb T$では、任意の正整数倍写像が全射なので、$E$は可除である。補題 3.1を$E\subseteq G$に適用して結論を得る。▨

証明.命題 1.3によって、$G$を生成する対称コンパクト近傍$V$を取る。$V+V$のコンパクト性から、有限個の元$g_1,\ldots,g_d$を用いて

と書くことができる。$H=\langle g_1,\ldots,g_d\rangle$とおく。$V+V\subseteq V+H$であり、$kV\subseteq V+H$ならば$(k+1)V\subseteq V+V+H\subseteq V+H$なので、帰納法により$G=V+H$となる。

$H$に含まれる閉離散自由可換部分群のうち、階数が最大のものを$A$とする。この最大値は存在する。実際、零群が候補であり、§E6.53 定理 16.2によって$H\cong\Z^t\oplus F$、$t\leq d$、$F$は有限群である。自由可換部分群の基底の$\Z^t$への射影は$\Q^t$で一次独立である。射影に有理係数の関係があれば、分母と$|F|$を掛けることによって元の基底に非零の整数係数の関係を得るからである。したがって候補の階数は$t$以下である。

$q\colon G\to G/A$とし、$G/A$がコンパクトでないと仮定する。§E14.2 定理 3.1によって$G/A$は Hausdorff な局所コンパクト可換群である。各$i$に対して$M_i=\tpcl{\langle q(g_i)\rangle}$とおく。すべての$M_i$がコンパクトならば、

はコンパクトとなるので、ある$M_i$はコンパクトでない。Weil の定理§E14.33 定理 5.2により、この$M_i$は離散群$\Z$と同型である。巡回部分群$\langle q(g_i)\rangle$は$M_i$で稠密であり、$M_i$は離散なので、$M_i=\langle q(g_i)\rangle$である。

$A'=A+\Z g_i=q^{-1}(M_i)$とおく。$q(g_i)$は無限位数なので、$A'\cong A\oplus\Z$である。$M_i$は閉じているので$A'$は閉じている。さらに、$O\cap M_i=\{0\}$となる商群の零の開近傍$O$と、$W\cap A=\{0\}$となる$G$の零の開近傍$W$を取ると、

である。よって$A'$は離散であり、$A'\subseteq H$である。これは$A$の階数の最大性に反する。したがって$G/A$はコンパクトである。

零を含むコンパクト集合$C$を固定する。$A\cap C$は有限である。$A$の基底を固定し、$A\cap C$の元のすべての整数座標の絶対値より大きい正整数$l$を取れば、$lA\cap C=\{0\}$である。また$G/lA$もコンパクトである。実際、$G/A$を有限個の$q(x_j+\tpint V)$で覆うと、$P=\bigcup_j(x_j+V)$はコンパクトで$G=P+A$となる。$A/lA$の有限代表集合$T$によって$G=P+T+lA$であり、$G/lA$はコンパクト集合$P+T$の像である。$lA$は$A$と同型な閉離散部分群なので、$A$を$lA$に取り替えれば最後の主張も成り立つ。▨

証明.$U$に含まれる零の開近傍$O$を取る。§E14.13 系 2.3により、各$x\in C\setminus O$に対して$\chi_x(x)\ne1$となる指標$\chi_x$が存在する。開集合$\{y:\chi_x(y)\ne1\}$はコンパクト集合$C\setminus O$を覆うので、有限個の指標$\chi_1,\ldots,\chi_k$で覆うことができる。$B=\bigcap_{i=1}^k\ker\chi_i$とおくと、$B$は閉部分群で$B\subseteq O\subseteq U$である。$C\setminus O$が空の場合には$k=0$、$B=C$とする。

写像$x\mapsto(\chi_1(x),\ldots,\chi_k(x))$は$C/B$から$\mathbb T^k$への連続単射を誘導する。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続単射は像への同相写像なので、$C/B$を$\mathbb T^k$の閉部分群と同一視することができる。指標の延長§E14.16 系 3.4により、制限写像$\widehat{\mathbb T^k}\to\widehat{C/B}$は全射である。§E14.13 例 4.3 (2)と§E14.13 補題 1.3により、始域は$\Z^k$である。よって$\widehat{C/B}$は有限生成可換群であり、§E14.16 命題 4.1により離散である。

§E6.53 定理 16.2を適用すると、$\widehat{C/B}\cong\Z^s\times F$、$F$は有限可換群となる。§E14.16 定理 2.1、§E14.13 例 4.3 (3)、§E14.13 例 4.3 (4)、§E14.13 補題 1.3によって、$C/B\cong\mathbb T^s\times F$を得る。▨

証明.命題 4.1によって、$G/A$がコンパクトとなる閉離散部分群$A\cong\Z^m$を取る。$q\colon G\to G/A$を商写像とする。$A$の離散性と局所コンパクト性により、$N\subseteq U$、$3N\cap A=\{0\}$を満たす零の対称コンパクト近傍$N$を取ることができる。§E14.1 系 4.3によって$q(N)$は零の近傍である。補題 5.1を$G/A$に適用し、

となる閉部分群$B$と有限可換群$E$を取る。

$K=N\cap q^{-1}(B)$とおくと、$K$はコンパクトで$q(K)=B$である。$x,y\in K$に対して、$q(x-y)\in B$なので$q(z)=q(x-y)$となる$z\in K$が存在する。すると

であり、$x-y=z\in K$となる。よって$K$は部分群である。また$q^{-1}(B)=K+A$であり、$K\cap A=\{0\}$である。

$\theta\colon G\to G/K$とし、$L=\theta(A)$とおく。$K+A=q^{-1}(B)$は閉じているので、$L$は$G/K$で閉じている。$\theta(\tpint N)$は零の開近傍であり、$\theta(a)\in\theta(\tpint N)$、$a\in A$ならば、ある$x\in N$に対して$a-x\in K\subseteq N$となる。したがって$a\in2N\cap A=\{0\}$である。よって$L$は離散である。合成$G\to G/A\to(G/A)/B$は開な全射準同型で、核は$K+A$であるから、商位相の普遍性によって

が位相群として成り立つ。

$J=G/K$とし、$\pi\colon J\to J/L$を商写像とする。$L$の離散性によって、$3W\cap L=\{0\}$となる零の対称開近傍$W\subseteq J$を取る。$\pi|_W$は単射な開写像なので、$W$と$\pi(W)$の間の同相写像である。その逆写像は局所加法性を満たす。実際、$u,v,u+v\in\pi(W)$の持上げを$x,y,z\in W$とすると、$x+y-z\in3W\cap L=\{0\}$である。$J/L\cong\mathbb T^n\times E$の零の近傍では、有限因子$E$を零に固定し、指数写像の局所逆を各円周座標に取ることができる。十分小さい$\R^n$の開球からの指数写像を$\pi|_W$の逆と合成すると、$\R^n$と$J$の局所同型を得る。

補題 3.3によって$J\cong\R^a\times\mathbb T^c\times D$、$a+c=n$、$D$は離散可換群となる。$D$は$G$の連続準同型像なので、命題 1.3によって有限生成である。§E6.53 定理 16.2から$D\cong\Z^b\times F$、$F$は有限可換群である。$K\subseteq N\subseteq U$と合わせて結論を得る。▨

証明.命題 5.2によって、コンパクト部分群$C\subseteq G$と位相群としての同型

を取る。§E14.16 定理 3.2 (2)により、$C^\perp\cong\widehat{G/C}$である。また$C^\perp$は$\widehat G$で開いている。実際、§E14.16 定理 3.2 (3)によって制限写像$\widehat G\to\widehat C$は連続であり、§E14.16 命題 4.1により$\widehat C$は離散なので、その核$C^\perp$は開いている。

基本群の双対§E14.13 例 4.3 (1)・§E14.13 例 4.3 (2)・§E14.13 例 4.3 (3)・§E14.13 例 4.3 (4)と§E14.13 補題 1.3によって

である。右辺の部分群$\R^a\times\mathbb T^b\times\{0\}\times\{1\}$は開いていて可除である。したがって$\widehat G$は$\R^a\times\mathbb T^b$と同型な開可除部分群をもつ。補題 3.1によって、ある離散可換群$D$に対して

となる。Pontryagin 双対§E14.16 定理 2.1を適用すると、

であり、§E14.16 命題 4.1によって$\widehat D$はコンパクトである。

得られた分解の元を$(v,z,k)$と書く。$v\ne0$ならば、整数倍の実座標$jv$は非有界なので、巡回閉包はコンパクトでない。$z\ne0$ならば、整数倍の離散座標$jz$は無限集合なので、巡回閉包はコンパクトでない。$v=z=0$ならば、巡回閉包はコンパクト群$K$の閉部分群なのでコンパクトである。したがって$P(G)=\{0\}\times\{0\}\times K$である。位相群としての同型は巡回閉包のコンパクト性を保つので、$K$の位相群としての同型類は一意に定まる。

商群$G/P(G)\cong\R^a\times\Z^b$の零の連結成分は$\R^a\times\{0\}$である。実際、$\R^a$は連結であり、連結集合の離散座標への像は一点である。この成分による商は$\Z^b$なので、§E6.53 定理 16.2によって$b$は一意に定まる。別の分解から得られる実成分との位相群としての同型$T\colon\R^a\to\R^{a'}$は実線形である。加法性から整数倍、次いで有理数倍を保ち、有理数列の極限と連続性から実数倍を保つからである。実線形同型の次元は等しいので、$a=a'$である。▨

証明.$G$が NSS 条件を満たすとし、自明でない部分群を含まない零の近傍$U$を取る。§E14.2 命題 2.1によって、対称コンパクト近傍が生成する開部分群$H\subseteq G$を取る。命題 5.2を$H$と$U\cap H$に適用すると、コンパクト部分群$K\subseteq U\cap H$、非負整数$a,b,c$、有限可換群$F$が存在して

となる。$U$の選び方により$K=\{0\}$である。したがって$H$、ひいては$G$は、$\R^a\times\mathbb T^b$と同型な開可除部分群をもつ。補題 3.1によって、所要の分解を得る。

逆に$G\cong\R^a\times\mathbb T^b\times D$とする。実ベクトル群の開単位球は自明でない部分群を含まない。非零ベクトルの整数倍は非有界だからである。また、§E14.13 補題 4.1によって、$\{z\in\mathbb T:\Re z>0\}$は自明でない部分群を含まない。これらの近傍と$D$の開集合$\{0\}$の積を$W$とする。$W$に含まれる部分群の各座標への射影は自明なので、その部分群も自明である。よって$G$は NSS 条件を満たす。▨